4.3空间直角坐标系课件

关于谁谁 不变，其 余的相反
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)
(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)
典例展示
例1.如下图，在长方体 OABC D' A' B'C '中，| OA | 3 | OC | 4，| OD ' | 2，写出四点D’，C，A’，B ’的坐标．
(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1), (1 , 1 ,1) 22
空间两点间距离公式
复习：平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式：
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一 下空间两点 P1(x1, y1, z1 ), P2(x2 , y2 , z2 ) 间的距离公 式吗？
|PA|=|PB|，求点P的坐标.
解：设P点坐标为 P(0,0, z)
PA (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
PB (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
(4 0)2 (1 0)2 (7 z)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为， 所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
(1 ,0, 1),(1, 1 , 1),(1 ,1, 1),(0, 1 , 1) 2 2 22 2 2 22
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这 五个钠原子所在位置的坐标分别是:
解：D’在z 轴上，且OD’=2,它的
竖z
所以点D’的坐标是(0,0,2)． 3,0,2 2 D'(0, 0, 2)
C '0,4,2
点C在y 轴上，且OC’=4,
A'
它的纵坐标是4；它的横坐标x与 竖坐标z都是零，
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
(x,0,0)
(0,y,0) (0,0,z)
点P的位置 x Oy面内D y Oz面内E z Ox面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
规律总结：
(1)坐标平面内的点:
z
•C
xoy平面上的点竖坐标为0
•E
yoz平面上的点横坐标为0
• F
1
O•
•B 1
y
xoz平面上的点纵坐标为0
•1 A
Or
x
如果|OP|是定长r，那么 x2 y2 z2 r 2
表示什么图形？
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离 z
O x
R2
Q2
S2
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
S1
Q1
R1
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|； |R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠
原子所在位置的坐标．
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写
它们所在位置的坐标．
O
y
下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖 x
坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标
分别(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), (1 , 1 ,0) 22
D'
A'
C'
B'
O
C
y
A
B
x
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方 向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个 坐标系为右手直角坐标系．
3.空间直角坐标系的画法：
zz
（1）x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
（2）y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的 单位长度的一半．
z
R
O
P
x
M
Q M’
其中x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
z叫做点M的竖坐标．
y
小提示：坐标轴
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面
上的点至少有一个
坐标等于0。
特殊位置的点的坐标
z
•C
•E
• F
x
1 O• •1 A
•B 1 •D
y
点P的位置
原点O
x轴上A
y轴上B z轴上C
坐标形式 (0,0,0)
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离 |OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z| 所以 |OP| x2 y2 z2 平面内任一点P(x,y)到原点O的距离
|OP| x2 y2
z
C
0
A x
y
P(x,y,z) By
方程 x 2 y2 r 2 表示
以原点为圆心，r为半径的圆。
4y
所以点C的坐标是(0,4,0)．
3
同理，点A’的坐标是(3,0,2)． x A(3, 0, 0)
C (0, 4, 0) B (3, 4, 0)
例2.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成 是八个棱长为 1 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原 子，黑点代表氯2原子．
z
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
典例展示
例3.已知A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)， 求证其连线组成的三角形为直角三角形。
解：利用两点间距离公式，由
|AB| 89 ,|AC| 75 ,|BC| 14
从而， |AC|2 |BC|2 |AB|2
根据勾股定理，结论得证。
练习1. 在空间中，已知点A(1,0,-1)，B(4,3,-1)， 求A、B两点之间的距离.
解： AB (4 1)2 (3 0)2 [1 (1)]2 3 2
练习2. 已知两点 A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，点P在z轴上，若
1350 O1350
yy
xx
空间点的坐标
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
P
Q M’
y
x
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空 间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z) 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
OA,OC,OD’ 的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单位长，
建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角
坐标系 O xyz ,
z
其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴． 1.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
解得：z 14 所 以P(0,0, 14)
9
9
1.空间直角坐标系 2.点在空间直角坐标系中的坐标 3.空间两点间的距离公式
| P1P2 | (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (z1 z2)2
•D
(2)坐标轴上的点:
x
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足 下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点 (x,-y,-z)
(2)与点M关于y轴对称的点 (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
4.3 空间直角坐标系
问题引入：
飞机的飞行速度是很快的， 时速都在1 000 km以上， 全世界的飞机非常多，这 些飞机在天空中风驰电掣， 速度是如此的快，不是很 容易撞机吗？我们如何确 定一架飞机在空中的位置 呢？
空间直角坐标系
如图，OABC D' A'B'C ' 是单位正方体．以O为原点，分别以射线