4.3空间直角坐标系课件

•D
(2)坐标轴上的点:
x
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0
y轴上的点横坐标和竖坐标都为0
z轴上的点横坐标和纵坐标都为0
空间点的对称问题：
点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足 下列条件的点的坐标
(1)与点M关于x轴对称的点 (x,-y,-z)
(2)与点M关于y轴对称的点 (-x,y,-z) (3)与点M关于z轴对称的点 (-x,-y,z) (4)与点M关于原点对称的点 (-x,-y,-z) (5)与点M关于xOy平面对称的点 (x,y,-z)
4y
所以点C的坐标是(0,4,0)．
3
同理，点A’的坐标是(3,0,2)． x A(3, 0, 0)
C (0, 4, 0) B (3, 4, 0)
例2.结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成 是八个棱长为 1 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原 子，黑点代表氯2原子．
z
4.3 空间直角坐标系
问题引入：
飞机的飞行速度是很快的， 时速都在1 000 km以上， 全世界的飞机非常多，这 些飞机在天空中风驰电掣， 速度是如此的快，不是很 容易撞机吗？我们如何确 定一架飞机在空中的位置 呢？
空间直角坐标系
如图，OABC D' A'B'C ' 是单位正方体．以O为原点，分别以射线
中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为， 所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是
(1 ,0, 1),(1, 1 , 1),(1 ,1, 1),(0, 1 , 1) 2 2 22 2 2 22
上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这 五个钠原子所在位置的坐标分别是:
D'
A'
C'
B'
O
C
y
A
B
x
2.右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x 轴的正方 向，食指指向 y 轴的正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这个 坐标系为右手直角坐标系．
3.空间直角坐标系的画法：
zz
（1）x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴．
（2）y轴和z轴的单位长度相同， x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的 单位长度的一半．
关于谁谁 不变，其 余的相反
(6)与点M关于xOz平面对称的点 (x,-y,z)
(7)与点M关于yOz平面对称的点 (-x,y,z)
典例展示
例1.如下图，在长方体 OABC D' A' B'C '中，| OA | 3 | OC | 4，| OD ' | 2，写出四点D’，C，A’，B ’的坐标．
1350 O1350
yy
xx
空间点的坐标
设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x 轴、y 轴 和z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、Q和R．
z
R M
O
P
Q M’
y
x
设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x,y和z,这样空 间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示, (x，y，z) 叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．
Or
x
如果|OP|是定长r，那么 x2 y2 z2 r 2
表示什么图形？
表示以原点为球心，r为半径的球体。
空间任意两点间的距离 z
O x
R2
Q2
S2
P2 (x2,y2,z2)
P1 (x1,y1,z1)
S1
Q1
R1
y
|P1Q1|=|x1-x2|； |Q1R1|=|y1-y2|； |R1P2|=|z1-z2| |P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2
空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离 |OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z| 所以 |OP| x2 y2 z2 平面内任一点P(x,y)到原点O的距离
|OP| x2 y2
z
C
0
A x
y
P(x,y,z) By
方程 x 2 y2 r 2 表示
以原点为圆心，r为半径的圆。
从而， |AC|2 |BC|2 |AB|2
根据勾股定理，结论得证。
练习1. 在空间中，已知点A(1,0,-1)，B(4,3,-1)， 求A、B两点之间的距离.
解： AB (4 1)2 (3 0)2 [1 (1)]2 3 2
练习2. 已知两点 A(-4,1,7)和B(3,5,-2)，点P在z轴上，若
z
R
O
P
x
M
Q M’
其中x叫做点M的横坐标，
y叫做点M的纵坐标，
z叫做点M的竖坐标．
y
小提示：坐标轴
上的点至少有两个
坐标等于0；坐标面
上的点至少有一个
坐标等于0。
特殊位置的点的坐标
z
•C
•E
• F
x
1 O• •1 A
•B 1 •D
y
点P的位置
原点O
x轴上A
y轴上B z轴上C
坐标形式 (0,0,0)
(x,0,0)
(0,y,0) (0,0,z)
点P的位置 x Oy面内D y Oz面内E z Ox面内F
坐标形式 (x,y,0)
(0,y,z)
(x,0,z)
规律总结：
(1)坐标平面内的点:
z
•C
xoy平面上的点竖坐标为0
•E
yoz平面上的点横坐标为0
• F
1
O•
•B 1
y
xoz平面上的点纵坐标为0
•1 A
解：D’在z 轴上，且OD’=2,它的
竖坐标是2；
它的横坐标x与纵坐标y都是零，
z
Fra Baidu bibliotek
所以点D’的坐标是(0,0,2)． 3,0,2 2 D'(0, 0, 2)
C '0,4,2
点C在y 轴上，且OC’=4,
A'
它的纵坐标是4；它的横坐标x与 竖坐标z都是零，
B '(3, 4, 2)
O 0,0,0
如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠
原子所在位置的坐标．
解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写
它们所在位置的坐标．
O
y
下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖 x
坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标
分别(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), (1 , 1 ,0) 22
解得：z 14 所 以P(0,0, 14)
9
9
1.空间直角坐标系 2.点在空间直角坐标系中的坐标 3.空间两点间的距离公式
| P1P2 | (x1 x2)2 ( y1 y2)2 (z1 z2)2
(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1), (1 , 1 ,1) 22
空间两点间距离公式
复习：平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式：
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
类比平面两点间距离公式的推导，你能猜想一 下空间两点 P1(x1, y1, z1 ), P2(x2 , y2 , z2 ) 间的距离公 式吗？
| P1P2 | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 (z1 z2 )2
典例展示
例3.已知A(1,-2,11)，B(4,2,3)，C(6,-1,4)， 求证其连线组成的三角形为直角三角形。
解：利用两点间距离公式，由
|AB| 89 ,|AC| 75 ,|BC| 14
OA,OC,OD’ 的方向为正方向，以线段OA,OC, OD’的长为单位长，
建立三条数轴：x轴、y 轴、z 轴．这时我们说建立了一个空间直角
坐标系 O xyz ,
z
其中点O 叫做坐标原点， x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴． 1.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面．
|PA|=|PB|，求点P的坐标.
解：设P点坐标为 P(0,0, z)
PA (4 0)2 (1 0)2 (7 z)2
PB (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2
(4 0)2 (1 0)2 (7 z)2 (3 0)2 (5 0)2 (2 z)2