北京四中-学年高一数学上学期期末试题
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
2020-2021学年北京四中高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年北京四中高一（上）期中数学试卷试题数：26，总分：1401.（单选题，4分）已知全集为U，集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{3}B.{-3，2}C.{2}D.{-2，3}2.（单选题，4分）不等式x−2≤0的解集是（）x+1A.（-∞，-1）∪（-1，2）B.[-1，2]C.（-∞，-1）∪[2，+∞）D.（-1，2]3.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A.y=x2-2xB.y=|x|C.y=2x+1D. y=−√x4.（单选题，4分）已知函数f（x）=x3-5x+1，则下列区间中一定包含f（x）零点的区间是（）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）5.（单选题，4分）若函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，则（）A.f（-1）＞f（2）＞f（3）B.f（3）＞f（-1）＞f（2）C.f（2）＞f（-1）＞f（3）D.f（3）＞f（2）＞f（-1）6.（单选题，4分）已知x1，x2是方程x2- √7 x-2=0的两根，则x12+x22=（）A.2B.11C.4D.57.（单选题，4分）设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A. ab＞1B. 1a ＜1bC.|a|＞|b|D.a3＞b38.（单选题，4分）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A.充分条件不必要B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.（单选题，4分）向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）A.B.C.D.10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个11.（填空题，5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＜1}，则集合∁U A=___ ，集合（∁U A）∪B=___ ．12.（填空题，5分）命题“∀x＜1，1＞1”的否定是___ ．x13.（填空题，5分）某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=x+ 1（x＞1）的最小值是___ ；此时x=___ ．x−115.（填空题，5分）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为___ ．16.（问答题，8分）已知a＞0，记关于x的不等式（x-a）（x+1）＜0的解集为P，不等式|x-1|≤1的解集为Q．（1）若a=3，求集合P；（2）若Q⊆P，求a的取值范围．，m∈R．17.（问答题，9分）已知定义在R上的奇函数f（x）= x+mx2+1（1）求m；（2）用定义证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递减；（3）若实数a满足f（a2+2a+2）＜25，求a的取值范围．18.（问答题，8分）二次函数f（x）满足f（0）=1，再从条件① 和条件② 两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，函数f（x）的图象总在一次函数y=2x+m图象的上方，试确定实数m的取值范围．条件① ：f（x+1）-f（x）=2x；条件② ：不等式f（x）＜x+4的解集为（-1，3）．19.（单选题，4分）已知如非零实数a，b，c满足：a＞b＞c，下列不等式中一定成立的有（）① ab＞bc② ac2＞bc2③ a+bc ＞a−bcA.0个B.1个C.2个D.3个20.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件21.（单选题，4分）已知min{a，b}= {a，a≤b，b，a＞b．设f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}，则函数f（x）的最大值是（）A.8B.7C.6D.522.（填空题，5分）若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=___ ，函数f（x）的单调递增区间是___ ．23.（填空题，5分）某学校运动会上，6名选手参加100米决赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现并没有并列名次且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___ ．≤2a在区间（0，+∞）上有解，则实数a的24.（填空题，5分）已知关于x的不等式ax+ 3x取值范围是___ ．25.（问答题，10分）区间[α，β]的长度定义为β-α，函数f（x）=（1+a2）x2-ax，其中a＞0，区间I={x|f（x）≤0}．（1）求I的长度；（2）求I的长度的最大值．26.（问答题，13分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t-增长函数．-（1）已知函数g（x）=x，函数h（x）=x2，判断g（x）和h（x）是否为区间[-1，0]上的32增长函数，并说明理由；（2）已知函数f（x）=|x|，且f（x）是区间[-4，-2]上的n-增长函数，求正整数n的最小值；（3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按① 得分计入总分）① 如果对任意正有理数q，f（x）都是R上的q-增长函数，判断f（x）是否一定为R上的单调递增函数，并说明理由；② 如果f（x）是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f（x）=|x-a2|-a2，且f（x）为R上的4-增长函数，求实数a的取值范围．2020-2021学年北京四中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：26，总分：1401.（单选题，4分）已知全集为U，集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A.{3}B.{-3，2}C.{2}D.{-2，3}【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为A∩B．【解答】：解：根据题意，图中阴影部分表示集合A、B的公共部分，即A∩B，∵集合A={1，2，3，4，5}，B={-3，2}，∴A∩B={2}，故选：C．【点评】：本题考查Venn图表示集合，关键是分析阴影部分表示的集合，属基础题．≤0的解集是（）2.（单选题，4分）不等式x−2x+1A.（-∞，-1）∪（-1，2）B.[-1，2]C.（-∞，-1）∪[2，+∞）D.（-1，2]【正确答案】：D【解析】：将“不等式x−2x+1 ≤0”转化为“不等式组 {(x +1)(x −2)≤0x +1≠0 ”，有一元二次不等式的解法求解．【解答】：解：依题意，不等式化为 {(x +1)(x −2)≤0x +1≠0， 解得-1＜x≤2，故选：D ．【点评】：本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．3.（单选题，4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（ ）A.y=x 2-2xB.y=|x|C.y=2x+1D. y =−√x【正确答案】：D【解析】：由二次函数的性质可知，y=x 2-2x 在（0，+∞）上的单调性；由一次函数及函数图象变换可知y=|x|在（0，+∞）上为增函数；由一次函数的性质可知，y=2x+1在（0，+∞）上为增函数；由幂函数的性质可知，y= √x 在（0，+∞）上为增函数，从而可判断y=- √x （0，+∞）上为减函数【解答】：解：由二次函数的性质可知，y=x 2-2x 在（0，+∞）上先减后增，故A 错误； y=|x|在（-∞，0）上为减函数，（0，+∞）上为增函数，故B 错误；由一次函数的性质可知，y=2x+1在（0，+∞）上为增函数，故C 错误；由幂函数的性质可知，y= √x 在（0，+∞）上为增函数，从而有y=- √x （0，+∞）上为减函数，故D 正确；故选：D ．【点评】：本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．4.（单选题，4分）已知函数f （x ）=x 3-5x+1，则下列区间中一定包含f （x ）零点的区间是（ ）A.（-2，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，2）【正确答案】：C【解析】：利用函数的连续性，结合零点存在定理，直接计算函数在选项的区间端点出的函数值，根据函数值的符号来判断．【解答】：解：函数f（x）=x3-5x+1，是连续函数，并且f（-2）=3＞0，f（-1）=-1+5+1=5＞0，f（0）=1＞0；f（1）=1-5+1=-3＜0，f（2）=8-10+1=-1＜0，f（0）f（1）＜0，由零点存在定理，函数f（x）在（0，1）有零点；故选：C．【点评】：本题考查函数的零点问题，考查零点存在定理，属于基础题．5.（单选题，4分）若函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，则（）A.f（-1）＞f（2）＞f（3）B.f（3）＞f（-1）＞f（2）C.f（2）＞f（-1）＞f（3）D.f（3）＞f（2）＞f（-1）【正确答案】：A【解析】：由已知结合函数的奇偶性及单调性即可比较函数值的大小．【解答】：解：因为函数f（x）是偶函数，且在区间[0，3]上单调递减，所以f（-1）=f（1），又f（1）＞f（2）＞f（3），所以f（-1）＞f（2）＞f（3）．故选：A．【点评】：本题主要考查了利用函数的奇偶性及单调性比较函数值的大小，属于基础试题．6.（单选题，4分）已知x1，x2是方程x2- √7 x-2=0的两根，则x12+x22=（）A.2B.11C.4D.5【正确答案】：B【解析】：根据根与系数的关系计算．【解答】：解：由根与系数的关系可知x1+x2= √7，x1x2=-2，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=7+4=11．故选：B．【点评】：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．7.（单选题，4分）设a，b∈R，且a＞b，则下列结论中正确的是（）A. ab＞1B. 1a ＜1bC.|a|＞|b|D.a3＞b3【正确答案】：D【解析】：对于A，B，C，举反例即可判断，对于D，根据幂函数的性质即可判断．【解答】：解：对于A，若a=1，b=-1，则ab＜1，故A不成立，对于B，若a=1，b=-1，则1a ＞1b，故B不成立，对于C，若a=1，b=-1，则|a|=|b|，故C不成立，对于D，对于幂函数y=x3为增函数，故a3＞b3，故D成立，故选：D．【点评】：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质的应用，属于基础题8.（单选题，4分）“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（）A.充分条件不必要B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：∵函数f（x）=|x-a|在区间[a，+∞）上为增函数，∴要使函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，∴“a=2”是“函数f（x）=|x-a|在区间[2，+∞）上为增函数”充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．9.（单选题，4分）向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，但第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案．【解答】：解：由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，故选：A．【点评】：本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，难度不大，属于基础题．10.（单选题，4分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=x2+1，值域为{1，3}的同族函数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：由函数y=x2+1的值域求出它可能的定义域是什么，从而得出它的同族函数有多少．【解答】：解：根据题意，当x2+1=1时，求得x=0；当x2+1=3时，求得x=± √2；∴函数y=x2+1的定义域可以是{0，√2 }，{0，- √2 }，{0，√2，- √2 }，共3个；∴它的同族函数有3个．故选：C．【点评】：本题考查了新定义的函数性质的应用问题，是基础题．11.（填空题，5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，集合B={x|x＜1}，则集合∁U A=___ ，集合（∁U A）∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|x≥2}; [2]{x|x＜1或x≥2}【解析】：进行补集和并集的运算即可．【解答】：解：∵A={x|x＜2}，B={x|x＜1}，U=R，∴∁U A={x|x≥2}，（∁U A）∪B={x|x＜1或x≥2}．故答案为：{x|x≥2}，{x|x＜1或x≥2}．【点评】：本题考查了描述法的定义，补集和并集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．＞1”的否定是___ ．12.（填空题，5分）命题“∀x＜1，1x≤1或x0=0【正确答案】：[1]∃x0＜1，1x0【解析】：根据含有量词的命题的否定即可得到结论．≤1或x0=0，【解答】：解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x0＜1，1x0≤1或x0=0．故答案为：∃x0＜1，1x0【点评】：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．13.（填空题，5分）某班共38人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，16人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+16=38，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．【解答】：解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+16=38，解得x=3，所以15-x=12，即所求人数为12人，故答案为：12．【点评】：本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．（x＞1）的最小值是___ ；此时x=___ ．14.（填空题，5分）函数f（x）=x+ 1x−1【正确答案】：[1]3; [2]2【解析】：由x ＞1可得x-1＞0，函数y= 1x−1 +x=x-1+ 1x−1 +1，利用基本不等式即可得出．【解答】：解：∵x ＞1，∴x -1＞0．∴函数y= 1x−1 +x=x-1+ 1x−1 +1≥2 √(x −1)•1x−1+1=3， 当且仅当x=2时取等号．∴函数y= 1x−1 +x 的最小值是3．此时x=2．故答案为：3，2．【点评】：本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形：x=x-1+1，属于基础题．15.（填空题，5分）能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为___ ．【正确答案】：[1]-1，-2，-3【解析】：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一【解答】：解：设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”是假命题，则若a ＞b ＞c ，则a+b≤c”是真命题，可设a ，b ，c 的值依次-1，-2，-3，（答案不唯一），故答案为：-1，-2，-3【点评】：本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（问答题，8分）已知a ＞0，记关于x 的不等式（x-a ）（x+1）＜0的解集为P ，不等式|x-1|≤1的解集为Q ．（1）若a=3，求集合P ；（2）若Q⊆P ，求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当a=3时，解不等式（x-3）（x+1）＜0即可求出集合P．（2）先求出集合P和集合Q，再利用Q⊆P，即可求出a的取值范围．【解答】：解：（1）当a=3时，不等式即为（x-3）（x+1）＜0，解得：-1＜x＜3，所以集合P={x|-1＜x＜3}．（2）解不等式|x-1|≤1得：0≤x≤2，即集合Q={x|0≤x≤2}，解不等式（x-a）（x+1）＜0得：-1＜x＜a，即集合P={x|-1＜x＜a}，∵Q⊆P，∴a＞2，故a的取值范围为：（2，+∞）．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式、绝对值不等式的解法，考查了集合间的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．，m∈R．17.（问答题，9分）已知定义在R上的奇函数f（x）= x+mx2+1（1）求m；（2）用定义证明：f（x）在区间[1，+∞）上单调递减；，求a的取值范围．（3）若实数a满足f（a2+2a+2）＜25【正确答案】：【解析】：（1）根据函数是奇函数，得f（0）=0，即可求得m的值；（2）根据减函数的定义进行证明即可；，及（2）中结论，将不等式转化为a2+2a+2＞2，解之即可．（3）由a2+2a+2≥1，f（2）= 25【解答】：（1）解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，解得m=0．，（2）证明：由（1）知f（x）= xx2+1任取1≤x 1＜x 2，f （x 1）-f （x 2）= x 1x 12+1 - x2x 22+1 = x 1(x 22+1)−x 2(x 12+1)(x 12+1)(x 22+1) = (x 1x 22−x 2x 12)+(x 1−x 2)(x 12+1)(x 22+1) = (x 1−x 2)(1−x 1x 2)(x 12+1)(x 22+1) ，∵1≤x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，x 1x 2＞1，∴1-x 1x 2＜0，∴f （x 1）-f （x 2）＞0，∴f （x 1）＞f （x 2），∴f （x ）在[1，+∞）上单调递减．（3）解：由（2）可知f （x ）在[1，+∞）上单调递减，又∵a 2+2a+2=（a+1）2+1≥1，f （2）= 25，∴f （a 2+2a+2）＜ 25 ，可化为f （a 2+2a+2）＜f （2），则a 2+2a+2＞2，解得a ＜-2或a ＞0，即a 的取值范围是（-∞，-2）∪（0，+∞）．【点评】：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合，利用减函数的定义证明单调性，由函数的单调性解不等式，属于中档题．18.（问答题，8分）二次函数f （x ）满足f （0）=1，再从条件 ① 和条件 ② 两个条件中选择一个作为已知，求：（1）求f （x ）的解析式；（2）在区间[-1，1]上，函数f （x ）的图象总在一次函数y=2x+m 图象的上方，试确定实数m 的取值范围．条件 ① ：f （x+1）-f （x ）=2x ；条件 ② ：不等式f （x ）＜x+4的解集为（-1，3）．【正确答案】：【解析】：选条件 ① ：（1）先设f （x ）=ax 2+bx+c ，在利用f （0）=1求c ，再利用两方程相等对应项系数相等求a ，b 即可．选条件 ② ：（1）先设f （x ）=ax 2+bx+c ，在利用f （0）=1求c ，再根据不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解a ，b 即可．（2）转化为x 2-3x+1-m ＞0在[-1，1]上恒成立问题，找其在[-1，1]上的最小值让其大于0即可．【解答】：解：选条件 ① ：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1．因为f （x+1）-f （x ）=2x ，所以a （x+1）2+b （x+1）+1-（ax 2+bx+1）=2x ．即2ax+a+b=2x ，所以 {2a =2a +b =0 ，∴ {a =1b =−1， 所以f （x ）=x 2-x+1，选条件 ② ：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c ，由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1， 因为不等式f （x ）＜x+4的解集为（-1，3），所以：ax 2+bx+1＜x+4的解集为（-1，3），即ax 2+（b-1）x-3=0的根为-1和3，∴-1+3=- b−1a 且（-1）×3=- 3a， ∴a=1，b=-1，所以f （x ）=x 2-x+1，（2）由题意得x 2-x+1＞2x+m 在[-1，1]上恒成立．即x 2-3x+1-m ＞0在[-1，1]上恒成立． 设g （x ）=x 2-3x+1-m ，其图象的对称轴为直线x= 32，所以g （x ）在[-1，1]上递减． 故只需最小值g （1）＞0，即12-3×1+1-m ＞0，解得m ＜-1．【点评】：本题考查了二次函数解析式的求法．二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活的选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移，对称，函数的周期性，奇偶性等知识有机的结合在一起．19.（单选题，4分）已知如非零实数a ，b ，c 满足：a ＞b ＞c ，下列不等式中一定成立的有（ ）① ab ＞bc② ac 2＞bc 2③ a+b c ＞ a−b c A.0个B.1个C.2个D.3个【正确答案】：B【解析】：由不等式的基本性质逐一判断即可得结论．【解答】：解：若a＞0＞b＞c，则ab＜0，bc＞0，ab＜bc，故① 不一定成立；因为非零实数a，b，c满足：a＞b＞c，所以ac2＞bc2，故② 一定成立；a+b c - a−bc= 2bc，当b＞c＞0或0＞b＞c时，2bc＞0，即a+bc＞a−bc，当b＞0＞c时，2bc ＜0，即a+bc＜a−bc，故③ 不一定成立，故不等式中一定成立的有1个．故选：B．【点评】：本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．20.（单选题，4分）已知a，b∈R，则“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：a3+a2b-a2-ab+a+b=0，因式分解化为：（a+b）（a2-a+1）=0⇔a+b=0．即可判断出结论．【解答】：解：a3+a2b-a2-ab+a+b=0，化为：（a+b）（a2-a+1）=0，∵a2-a+1= (a−12)2+ 34＞0，∴a+b=0．∴“a+b=0”是“a3+a2b-a2-ab+a+b=0”的充要条件．故选：C．【点评】：本题考查了因式分解方法、简易逻辑的判定方法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．21.（单选题，4分）已知min{a，b}= {a，a≤b，b，a＞b．设f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}，则函数f（x）的最大值是（）A.8B.7C.6D.5【正确答案】：C【解析】：由题意可得函数f（x）的解析式，作出图象，数形结合得答案．【解答】：解：由-x+6=-2x2+4x+6，得2x2-5x=0，解得x=0或x= 52．∴当0 ≤x≤52时，-x+6≤-2x2+4x+6，当x＜0或x＞52时，-x+6＞-2x2+4x+6，则f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}= {−x+6，0≤x≤52−2x2+4x+6，x＜0或x＞52．作出函数y=f（x）的图象如图：由图可知，函数f（x）的最大值为6．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想，是中档题．22.（填空题，5分）若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则实数a=___ ，函数f（x）的单调递增区间是___ ．【正确答案】：[1]0; [2][- 12，0]，[ 12，+∞）．【解析】：根据函数f（x）是偶函数，f（-x）=f（x）恒成立求出a的值，根据绝对值的意义，去绝对值，对函数单调性进行讨论即可．【解答】：解：若函数f（x）=x2-|x+a|为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2-|-x+a|=x2-|x+a|，解得a=0；∴f （x ）= {x 2−x ，x ≥0x 2+x ，x ＜0， 当x≥0时，f （x ）=x 2-x=（x- 12 ）2- 14 ，∴f （x ）在[ 12 ，+∞）上单调递增；当x ＜0时，f （x ）=x 2+x=（x+ 12 ）2- 14 ，∴f （x ）在[- 12 ，0]上单调递增；∴f （x ）的单调增区间为：[- 12 ，0]，[ 12 ，+∞）．故答案为：0，[- 12 ，0]，[ 12 ，+∞）．【点评】：本题考查了函数的单调性与奇偶性及分类讨论的思想，属于基础题．23.（填空题，5分）某学校运动会上，6名选手参加100米决赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1、2、6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4、5、6道的选手都不可能得第一名．比赛后发现并没有并列名次且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，则此人是___ ．【正确答案】：[1]丁【解析】：分情况讨论，根据条件甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果排除即可．【解答】：解：如果1或2号得第一名，则乙和丙都猜对，不符合题意，如果3号得第一名，则只有丁猜对，符合题意，如果4或5得第一名，则甲和乙都猜对，不符合题意，如果6号得第一名，则乙和丙都猜对，不符合题意，所以只有丁猜对．故答案为：丁．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．24.（填空题，5分）已知关于x 的不等式ax+ 3x ≤2a 在区间（0，+∞）上有解，则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][3，+∞）∪（-∞，0 ）．【解析】：由题意可得，当x ＞0时，ax 2-2ax+3≤0能成立，分类讨论a 的范围，利用二次函数的性质，求得实数a 的取值范围．【解答】：解：关于x的不等式ax+ 3x≤2a在区间（0，+∞）上有解，即当x＞0时，不等式ax+ 3x≤2a能成立，即 ax2-2ax+3≤0能成立．当a=0时，不等式不成立，故a≠0．当a＞0时，则x=1时，函数y=ax2-2ax+3的最小值为12a−4a24a=3-a≤0，求得a≥3．当a＜0时，二次函数y=ax2-2ax+3的图象开口向下，满足条件．综上可得，实数a的范围为a≥3或 a＜0，故答案为：[3，+∞）∪（-∞，0 ）．【点评】：本题主要考查其它不等式的解法，函数的能成立问题，属于中档题．25.（问答题，10分）区间[α，β]的长度定义为β-α，函数f（x）=（1+a2）x2-ax，其中a＞0，区间I={x|f（x）≤0}．（1）求I的长度；（2）求I的长度的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据已知解不等式f（x）≤0，即可求解；（2）利用基本不等式即可求解．【解答】：解：（1）令f（x）≤0，即（1+a2）x2-ax≤0，解得0 ≤x≤a1+a2，所以区间I=[0，a1+a2]，故区间I的长度为a1+a2；（2）因为a1+a2 = 1a+1a≤2√a•1a= 12，当且仅当a= 1a，即a=1时取等号，此时I的长度的最大值为12．【点评】：本题考查了解一元二次函数以及求最值问题，属于基础题．26.（问答题，13分）若函数f（x）的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f（x+t）＞f（x），则称f（x）为M上的t-增长函数．（1）已知函数g （x ）=x ，函数h （x ）=x 2，判断g （x ）和h （x ）是否为区间[-1，0]上的 32 -增长函数，并说明理由；（2）已知函数f （x ）=|x|，且f （x ）是区间[-4，-2]上的n-增长函数，求正整数n 的最小值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答：（如果两问都做，按 ① 得分计入总分）① 如果对任意正有理数q ，f （x ）都是R 上的q-增长函数，判断f （x ）是否一定为R 上的单调递增函数，并说明理由；② 如果f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，且f （x ）为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）依据t-增长函数的定义进行验证即可；（2）将增长函数问题转换为关于n 的不等式在给定区间恒成立问题进行解决即可； （3） ① 构造出一个函数进行反证即可；② 作出f （x ）的图象，然后依据特殊区间进行求解．【解答】：解：（1）g （x ）=x 是：因为∀x∈[-1，0]，g （x+ 32）-g （x ）=（x+ 32）-x= 32＞0； h （x ）=x 2不是，反例：当x=-1时，h （-1+ 32）=h （ 12）= 14 ＜h （-1）=1． （2）由题意得，|x+n|＞|x|对于x∈[-4，-2]恒成立，等价于x 2+2nx+n 2＞x 2，即2nx+n 2＞0对x∈[-4，-2]恒成立，因为n ＞0，所以2nx+n 2是关于x 的一次函数且单调递增，于是只需-8n+n 2＞0， 解得n ＞8，所以满足题意的最小正整数n 为9． （3） ① 不是构造 f (x )={x ，x ∈Qx −1，x ∈C R Q ，则对任意的正有理数q ，若x∈Q ，则x+q∈Q ，因此f （x+q ）=x+q ＞x=f （x ）； 若x∈C R Q ，则x+q∈C R Q ，因此f （x+q ）=x+q-1＞x-1=f （x ）． 因此f （x ）是R 上的q-增函数，但f （x ）不是增函数． ② 根据题意，当x≥0时，f （x ）=|x-a 2|-a 2，则当x≥a 2时，f （x ）=x-2a 2，当0≤x≤a 2时，f （x ）=-x ，由奇函数的对称性可知：当x≤-a2时，f（x）=x+2a2，当-a2≤x≤0时，f（x）=-x，则可得函数图象如图：易知图象与x轴交点为M（-2a2，0），N（2a2，0），因此函数f（x）在[-a2，a2]上是减函数，其余区间上是增函数，f（x）是R上的4-增长函数，则对任意的x，都有f（x+4）＞f（x），易知当-2a2≤x≤0时，f（x）≥0，为保证f（x+4）＞f（x），必有f（x+4）＞0，即x+4＞2a2，故-2a2≤x≤0且x+4＞2a2，所以4＞4a2，解得-1＜a＜1，故答案为a∈（-1，1）．【点评】：本题借助新定义考查了函数的单调性，奇偶性以及最值的求解，考查了学生的分析能力以及逻辑推理能力，属于难题．。
最新北京四中—度第一学期高一数学期末考试试卷
北京四中2015 —2016学年度第一学期期末试卷高一数学2016.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A卷[必修模块4] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 11. sin45π= _____. 12. 如图所示，D 为ABC △中BC 边的中点，设AB =u u u r a ，AC =u u u rb ，则BD =u u u r_____.（用a ，b 表示）13. 角α终边上一点的坐标为(1,2)，则tan 2α=_____. 14. 设向量(0,2),a b ==，则,a b 的夹角等于_____. 15. 已知(0,)α∈π，且cos sin8απ=-，则α=_____. 16. 已知函数()sin f x x ω=（其中0ω>）图象过(,1)π-点，且在区间(0,)3π上单调递增，ABCD则ω的值为_______.三、解答题：本大题共3小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知2απ∈π(,)，且3sin 5α=. （Ⅰ）求tan()4απ-的值；（Ⅱ）求sin2cos 1cos 2ααα-+的值．18．（本小题满分12分）如图所示，C B ，两点是函数()sin(2)3f x A x π=+（0>A ）图象上相邻的两个最高点，D 点为函数)(x f 图象与x 轴的一个交点. （Ⅰ）若2=A ，求)(x f 在区间[0,]2π上的值域；（Ⅱ）若CD BD ⊥，求A 的值．19．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，1AB AC ==，120BAC ∠=o.（Ⅰ）求AB BC ⋅u u u r u u u r的值；（Ⅱ）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r，其中,x y ∈R . 求xy 的最大值.ABCPB 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在题中横线上. 1．设U =R ，{|0}A x x =>，{|1}B x x =>，则U A B =I ð_____． 2．2log =_____，31log 23+=_____．3．已知函数()f x =1,2,1.x x x x ⎧-⎪⎨⎪<⎩≥1,且()(2)0f a f +=，则实数a = _____．4．已知函数)(x f 是定义在R 上的减函数，如果()(1)f a f x >+在[1,2]x ∈上恒成立，那么实数a 的取值范围是_____．5． 通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y (单位：升/小时)与液体所处环境的温度x (单位：℃)近似地满足函数关系ekx by +=（e 为自然对数的底数，,k b 为常数). 若该液体在0℃的蒸发速度是0.1升/小时，在30℃的蒸发速度为0.8升/小时，则该液体在20℃的蒸发速度为_____升/小时．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 6．（本小题满分10分）已知函数26()1xf x x =+. （Ⅰ）判断函数)(x f 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅱ）求满足不等式(2)2xxf >的实数x 的取值范围．7．（本小题满分10分）设a 为实数，函数2()2f x x ax =-．（Ⅰ）当1a =时，求()f x 在区间[0,2]上的值域；（Ⅱ）设函数()()g x f x =，()t a 为()g x 在区间[0,2]上的最大值，求()t a 的最小值. 8．（本小题满分10分）设函数()f x 定义域为[0,1]，若()f x 在*[0,]x 上单调递增，在*[,1]x 上单调递减，则称*x 为函数()f x 的峰点，()f x 为含峰函数．（特别地，若()f x 在[0,1]上单调递增或递减，则峰点为1或0）对于不易直接求出峰点*x 的含峰函数，可通过做试验的方法给出*x 的近似值. 试验原理为：“对任意的1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，若)()(21x f x f ≥，则),0(2x 为含峰区间，此时称1x 为近似峰点；若12()()f x f x <，则)1,(1x 为含峰区间，此时称2x 为近似峰点”．我们把近似峰点与*x 之间可能出现．．．．的最大距离称为试验的“预计误差”，记为d ，其值为=d }}1,m ax {},,m ax {m ax {212121x x x x x x ---（其中},max{y x 表示y x ,中较大的数）． （Ⅰ）若411=x ，212=x ．求此试验的预计误差d ． （Ⅱ）如何选取1x 、2x ，才能使这个试验方案的预计误差达到最小？并证明你的结论（只证明1x 的取值即可）．（Ⅲ）选取1x ，2(0,1)x ∈，12x x <，可以确定含峰区间为2(0,)x 或1(,1)x . 在所得的含峰区间内选取3x ，由3x 与1x 或3x 与2x 类似地可以进一步得到一个新的预计误差d '．分别求出当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值．（本问只写结果，不必证明）北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷高一数学参考答案及评分标准 2016.1A 卷 [必修 模块4] 满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.C ；2.B ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7.A ；8.A ；9.C ； 10.D . 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 2-； 12. 1()2-b a ； 13. 43-； 14.3π； 15. 85π； 16. 32. 三、解答题：本大题共3小题，共36分. 17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为2απ∈π(,)，且3sin 5α=，所以4cos 5α==-. ………………3分所以sin 3tan cos 4ααα==-. ………………5分 所以tan 1tan()741tan αααπ--==-+. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………9分2321cos 22cos 25αα+==. ………………11分所以244sin2cos 1255321cos 2825ααα-+-==-+. ………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意()2sin(2)3f x x π=+，因为02x π≤≤，所以02x ≤≤π.所以42333x πππ≤+≤. ………………3分所以sin(2)123x π-≤+≤. ………………6分 所以2)(3≤≤-x f ，函数)(x f的值域为[. ………………8分 （Ⅱ）由已知(,)12B A π，13(,)12C A π，(,0)3D π, ………………11分 所以(,)4DB A π=-u u u r ，3(,)4DC A π=u u u r .因为CD BD ⊥，所以DC DB ⊥，223016DB DC A -π⋅=+=u u u r u u u r，解得4A =±.又0A >，所以4A =. ………………12分 19.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r………………2分213122AB AC AB =⋅-=--=-u u u r u u u r u u u r . ………………4分（Ⅱ）建立如图所示的平面直角坐标系，则(1,0)B，1(,22C -. ………………5分 设(cos ,sin )P θθ，[0,]3θ2π∈， ………………6分 由AP xAB y AC =+u u u r u u u r u u u r ，得1(cos ,sin )(1,0)(,22x y θθ=+-.所以cos ,sin 22y x y θθ=-=.所以cos x θθ=+，y θ=， ………………8分2211cos sin 2cos 2333xy θθθθθ+=+-2112cos 2)3223θθ=-+ ………………10分 21sin(2)363θπ=-+. ………………11分 因为2[0,]3θπ∈，2[,]666θππ7π-∈-.所以，当262θππ-=，即3θπ=时，xy 的最大值为1. ………………12分B 卷 [学期综合] 满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1. {|01}x x <≤；2. 1,62； 3. 1-； 4. {2}a a <； 5. 0.4. 注：2题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分. 6.（本小题满分10分） 解:（Ⅰ）因为26()1x f x x =+，所以26()1xf x x --=+ ()f x =-. ………………4分所以()f x 为奇函数. ………………6分（Ⅱ）由不等式(2)2xxf >，得262221xx x⋅>+. ………………8分 整理得225x<， ………………9分所以22log 5x <，即21log 52x <. ………………10分 7.（本小题满分10分）解: （Ⅰ）当1a =时，2()2f x x x =-. 二次函数图象的对称轴为1x =，开口向上.所以在区间[0,2]上，当1x =时，()f x 的最小值为1-. ………………1分 当0x =或2x =时，()f x 的最大值为0. ………………2分所以()f x 在区间[0,2]上的值域为[1,0]-. ………………3分 （Ⅱ）注意到2()2f x x ax =-的零点是0和2a ，且抛物线开口向上.当0a ≤时，在区间[0,2]上2()()2g x f x x ax ==-，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………4分当01a <<时，需比较(2)g 与()g a 的大小，22()(2)(44)44g a g a a a a -=--=+-，所以，当02a <<时，()(2)0g a g -<；当21a -≤<时，()(2)0g a g ->.所以，当02a <<时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………5分当21a ≤<时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………6分 当12a ≤≤时，()g x 的最大值2()()t a g a a ==. ………………7分 当2a >时，()g x 的最大值()(2)44t a g a ==-. ………………8分所以，()g x的最大值244,2,(),22,44, 2.a a t a a a a a ⎧-<⎪⎪=≤≤⎨⎪->⎪⎩………………9分所以，当2a =时，()t a的最小值为12-………………10分 8.（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）由已知114x =，212x =. 所以 121212max{max{,},max{,1}}d x x x x x x =---1111111max{max{,},max{,}}max{,}4442422===. ………………4分（Ⅱ）取113x =，23x 2=，此时试验的预计误差为31. ………………5分以下证明，这是使试验预计误差达到最小的试验设计. 证明：分两种情形讨论1x 点的位置. ① 当311<x 时，如图所示， 如果 21233x ≤<，那么 2113d x ≥->； 如果2213x ≤≤，那么 2113d x x ≥->. ………………7分 011x 2x 31② 当311>x ，113d x ≥>.综上，当113x ≠时，13d >. ………………8分 (同理可得当223x ≠时，13d >) 即113x =，23x 2=时，试验的预计误差最小. （Ⅲ）当411=x 和125x =时预计误差d '的最小值分别为14和15. ………………10分注：用通俗语言叙述证明过程也给分.。
人教A版数学必修四第一学期期末测试高一年级.doc
北京四中2009～2010学年度第一学期期末测试高一年级数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，满分共计150分；考试时间：120分钟卷(I)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1．的值是( )A．B． C． D．2．等于( )A. B. C. D.3．在中，是边上一点，则等于( )A. B. C. D.4．函数最小值是( )A. 1 B．C．-1 D．5．若是周期为的奇函数，则可以是( )A. B. C. D.6．将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D.7．已知，向量与垂直，则实数的值为( )A. B. C. D.8．函数的图象( )A．关于点对称B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于直线对称9．设非零向量满足则( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°10．设，对于函数，下列结论正确的是( )A．有最大值而无最小值B．有最小值而无最大值C．有最大值且有最小值D．既无最大值又无最小值二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分11．若，则____________.12．已知向量夹角为，且，，则____________.13．已知是锐角，，且，则=___________.14．若，则___________.15．已知函数的图像如图所示，则_____________.16．已知函数，如果存在实数使得对任意实数，都有，则的最小值是_________.三、解答题(本大题共3小题，共26分)17．(本题满分8分)已知.求：(1)的值；(2)的值.18．(本题满分8分)已知ΔABC三个顶点的坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(m，0)．(1)若，求m的值；(2)若m=5，求的值．19．(本题满分10分)已知向量，函数.(1)求函数的解析式；(2)求函数的最小正周期、单调增区间；(3)求函数在时的最大值及相应的的值.卷(II)一、选择题：(本大题共3小题，每小题4分，共12分)1. 函数是偶函数，则值的集合是( )A．B．C．D．2．已知，点在内，且，设，则( )A．B．C． D．3. 设,是锐角三角形的两内角，则( )A．cos>sin, cos>sin B. cos>sin, cos<sinC. cos<sin, cos<sinD. cos<sin, cos>sin二、填空题：(本大题共2小题，每小题4分，共8分)4．函数的最小正周期为_______________，单调减区间为______________________________.5．下面有五个命题：①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②终边在y轴上的角的集合是{a|a=|}.③在同一坐标系中，函数y=sin x的图象和函数y=x的图象有三个公共点.④把函数⑤函数其中真命题的序号是_______________(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)6．(本题满分10分) 已知,,,.(1) 求的值；(2) 求的值.7．(本题满分10分)记．若函数.(1)用分段函数形式写出函数的解析式；(2)求的解集.8．(本题满分10分)设函数，其中为正整数.(1)判断函数的单调性，并就的情形证明你的结论；(2)证明：；(3)对于任意给定的正奇数，求函数的最大值和最小值.参考答案卷(I)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D C D B C A A B B二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)11 1213 1415 0 16三、解答题(本大题共3小题，共26分)17. 解：法一：(1)由得：，(2)法二：由得.；若，则；若，则.综上有.18．解析：(1),由可得解得.(2)当时,可得,所以.因为A为三角形的内角，所以.19.解：(1)(2)由(1)知，所以最小正周期为；令，解得，所以函数的单调递增区间为.(3)当时，，所以，当，即时，取最大值，即. 卷(Ⅱ)1. B2.B3.C4.，5.①④6. 解：(1)因为,.又,所以(2)根据(1)，得而,且,所以故=.7．解：(1)=解得．又函数在内递减，在内递增，所以当时，；当时，．所以．(2)等价于：①或②．解得：，即的解集为．8．解：(1)在上均为单调递增的函数.对于函数，设，则，，函数在上单调递增.(2)原式左边.又原式右边..(3)当时，函数在上单调递增，的最大值为，最小值为.当时，函数在上为单调递增.的最大值为，最小值为.下面讨论正奇数的情形：对任意且，以及，，从而.在上为单调递增，则的最大值为，最小值为.综上所述，当为奇数时，函数的最大值为，最小值为.。
北京市第四中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题(含答案)
2024北京四中高一（上）期中数 学试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，满分150分，考试时间120分钟卷（I ）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1. 已知集合，，则集合A. B. C. D.2. 函数的定义域是A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 如果，那么下列不等式中正确的是A ． BC ． D．5. 下列函数中，在区间上为减函数的是A ． B. C. D. 6. 函数的图像关于A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．点对称 7. 已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数在区间内的零点个数是A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 下列函数中，满足的是A ．B ．C ．D ．10. 两个不同的函数，满足，，则可能的情况是{0,1,2,3}A ={1,3,5,7}B =A B ={1,2,3}{3}{1,3}{0,1,2,3,5,7}()f x =[2,1]-(,2][1,)-∞-+∞ (,2)(1,)-∞-+∞ [2,)-+∞R x ∀∈3210x x -+≤R x ∃∉3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+>R x ∃∈3210x x -+≥R x ∀∈3210x x -+>0b a >>2ab b -<<22a b <11a b <()0,+∞22y x x =-y =31x y x +=+21y x =+()|1||1|f x x x =+--(1,0)0a b >>0c >a b a c b c >++31()2f x x x=--(0,)+∞(2)2()f x f x =2()(2)f x x =+()1f x x =+4()f x x=()f x x x =-()f x ()g x R x ∀∈()()0f x g x ⋅>A ．是一次函数，是二次函数B ．在上递增，在上递减C ．，都是奇函数D ．是奇函数，是偶函数二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．若，则实数x 的值为 .12. 不等式的解集为，则 ， .13. 函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ．14. 函数，则的减区间为 ，的值域是 .15. 已知函数.①当时，在定义域内单调递减；②当时，一定有；③若存在实数，使得函数没有零点，则一定有；④若存在实数，使得函数恰有三个零点，则一定有；以上结论中，所有正确结论的序号是 .三、解答题：本大题共3小题，共35分16. （12分）设集合，，. （I ）求；（II ）求；（III ）若，求实数k 的取值范围.17. （11分）某学校课外活动小组根据预报的当地某天（0 ~ 24时）空气质量指数数据绘制成散点图，并选择函数来近似刻画空气质量指数随时间变化的规律（如下图所示）：（I ）求的值；（II ）当空气质量指数大于150时，有关部门建议市民外出活动应戴防雾霾口罩，并禁止特殊行业施工.请结合上面选择的函数模型，回答以下问题，并说明理由：()f x ()g x ()f x R ()g x R ()f x ()g x ()f x ()g x {21,3,5}x x ∈-210ax bx +-≥1(,1][,)4-∞-+∞U a =b =()f x R 0x >2()3f x x x =-((1))f f =231, 02()2, 20x x f x x x x +≤≤⎧=⎨+-≤<⎩()f x ()f x 2()(,4)2R x a f x a a x +=∈≠--1a =()f x 4a <-(3)(4)(1)f f f <<k ()y f x x k =-+4a <-k 2()1y f x kx =-+4a >-{||1|2}A x x =->4{|0}23x B x x +=≤-{|2121}C x k x k =-<<+()U A B ðA B C A B ⊆ 2118,08264,824at t y t t b t +≤≤⎧=⎨-+<≤⎩y t ,a b①某同学该天7:00出发上学，是否应戴防雾霾口罩？②当天特殊行业可以连续施工的最长时间为多少小时？18. （12分）已知函数.（I ）判断在上的单调性，并用定义证明；（II ）若是偶函数，求的值.卷（Ⅱ）一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分1. 已知集合，，，则A ．B ．C ．D ．2. 当时，恒成立，则的最大值为 A ．6 B ．10C ．12D ．133. 设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为.已知，，，，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为A ．14 B ．15 C ．16 D ．18二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分4. ________.5. 若二次函数的图像关于对称，且，则实数的取值范围是 .6. 设函数. 当时，的最小值是________；若是的最小值，则a 的取值范围是________.三、解答题：本大题共2小题，共20分7. （10分）已知函数.（I ）求方程组的解集；（II ）在答题纸的坐标系中，画出函数的图像；（III ）若在上具有单调性，求实数a 的取值范围.1()(2)f x x x =-)(x f (1,2)()()g x f x a =+a {1,1}A =-{|,,}B z z x y x A y A ==+∈∈{|,,}C z z x y x A y A ==-∈∈B C =B CÞB C =∅I B C A =U 2x >142x a x +≥-a A M m A A X M m =-01A 2A 3A n A *N 123120nA A A A X X X X ++++= n 13213410.125()25627--+---=()f x 2x =()()()01f a f f <<a 2(),0()1,0x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩12a =()f x (0)f ()f x ()(2)1f x x x =-+()20y f x x y =⎧⎨-=⎩()f x ()f x (,1)a a +8. （10分）如果正整数集的子集满足：①；②，，使得，则称为集.（I ）分别判断与是否为集（直接写出结论）；（II ）当时，对于集，设，求证：；（III ）当时，若，求集中所有元素的和的最小值.{}*12,,,(,2)N n A a a a n n =∈≥ 121n a a a =<<< ()2k a A k n ∀∈≤≤(),1i j a a A i j n ∃∈≤≤≤k i j a a a =+A ψ{}1,3,5A ={}1,2,3,6B =ψ5n =ψ{}12345,,,,A a a a a a =15S a a =++ 521a S +≤7n ≥36n a =ψA参考答案I 卷一、单项选择题（每题4分，共40分）题号12345678910答案C B B D C A A B DB 二、填空题（每题5分，共25分）11. 1或5 12. 4，3 13. 214. ， 15. ②③注：12、14题第一空3分，第二空2分；15题少选3分，错选漏选0分.三、解答题（共35分）16. 由题意，，，(I) ；(II) ；(III) 显然，，解得，因此的取值范围是.17. (I) ，解得(II) ①是. .②时，，解得；时，，解得；,所以可以连续施工的最长时间为12小时.18. (I)在上单调递减.124⎛⎫-- ⎪⎝⎭，178⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()13A =-∞-+∞ ，，A R ð[]1,3=34,2B ⎡⎫=-⎪⎢⎣⎭31,2A B ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭R ð()3,3,2A B ⎛⎫=-∞+∞ ⎪⎝⎭ 2121,k k C -<+≠∅3212132k k +≤-≥或124k k ≤≥或k [)124⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ，，8118206264648206a b +=⎧⎨⨯-⨯+=⎩11590a b =⎧⎨=⎩711118195150⨯+=>08t ≤≤11118150t +≤32011t ≤≤824t ≤≤2264590150t t -+≤1022t ≤≤3222101211-=>)(x f ()1,2定义域为，任取且，所以在上单调递减.(II)，是偶函数，则定义域关于原点对称，，则，此时，定义域，，符合题意，所以.II 卷一、单项选择题（每题5分，共15分）1. A2. C3. C二、填空题（每题5分，共15分）4. 5. 6. ，注：6题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共20分）7. ，(I) ，()()()00,22-∞+∞ ，，()12,1,2x x ∈12x x <()()()()1211221122f x f x x x x x -=---()()()22221112122222x x x x x x x x ---=--()()()()211212122220x x x x x x x x -+-=-->)(x f ()1,2()()1(2)g x x a x a =++-()g x ()(2)0a a -+-=1a =()()11(1)g x x x =+-()()()11,11-∞--+∞ ，，()()()()111(1)1(1)g x g x x x x x -===-+--+-1a =15-()(),04,-∞+∞ 14⎡⎣()()()()()21,121,1x x x f x x x x -+≥-⎧⎪=⎨---<-⎪⎩()2()0202y f x x f x x y y x =-=⎧⎧⇔⎨⎨-==⎩⎩当，，，解得或当， ，即，解得或（舍）；综上，方程组的解集是.(II)（作图过程略）(III) 在递增，在递减，所以或或，因此实数a 的取值范围是.8. (I) 注意到：，因此数集不是集.注意到：，因此数集是集.(II) 由于集合是集，即对任意的，存在，使得成立。
2022-2023学年北京四中高一(上)月考数学试卷(10月份)(含答案解析)
2022-2023学年北京四中高一（上）月考数学试卷（10月份）1. 全集U ={0,1,2,3}，若∁U A ={2}，则集合A 是( ) A. {2} B. {0,1}C. {0,1,2}D. {0,1,3}2. 下列命题中的真命题是( )A. 2≤3B. 集合N 中最小的数是1C. x 2+1=2x 的解集可表示为{1,1}D. x 2+|y|=0 3. 已知集合A ={−1,0,1}，集合B ={x ∈Z|x 2−2x ≤0}，那么A ∪B 等于( ) A. {−1}B. {0,1}C. {0,1,2}D. {−1,0,1,2}4. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+2x <0”的否定是( ) A. ∃x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 B. ∀x ∈R ，使得x 2+2x ≥0 C. ∃x ∈R ，使得x 2+2x >0 D. ∀x ∈R ，使得x 2+2x <05. 下列四个集合中，是空集的是( ) A. {x|x +3=3} B. {(x,y)|y 2=−x 2,x,y ∈R} C. {x|x 2≤0} D. {x|x 2−x +1=0,x ∈R}6. 设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知集合M ={(x,y)|x +y =0}，N ={(x,y)|x 2+y 2=2,x ∈R,y ∈R}，那么M ∩N =( )A. {(−1,1),(1,−1}B. {(1,1),(−1,−1)}C. {(−2,2),(2,−2)}D. {(−2,−2),(2,2)}8. 不等式1−x x≥2的解集为( )A. (−∞,13)B. (0,13]C. [0,13]D. (−∞,0)∪(13,+∞)9. 对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a >b ，则ac <bc ； ②若ac 2>bc 2，则a >b ； ③若a <b <0，则a+b2<−√ab ； ④若c >a >b >0，则ac−a >bc−b . 则其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知集合A={x|y=√4−x2}，B={x∈R|a≤x≤a+l}，若A∩B=⌀，则实数a的取值范围为( )A. [−3,2]B. (−∞,−3)∪(2,+∞)C. [−2,1]D. (−∞,−3]∪[2,+∞)11. 已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )A. 13B. 18C. 21D. 2612. 如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A.B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA的机动车数(假设：单位时间内，在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则( )A. x2>x3>x1B. x1>x3>x2C. x1>x2>x3D. x3>x2>x113. 不等式x2−5x−6<0的解集为______ .14. 已知集合A={1,2}，B={a,a+3}，若A∩B={1}，则满足条件的实数a的集合为______.15. 命题“∀x∈R，ax2−2ax+3>0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围是______.16. 设a，b∈R，写出一个使a<b和1a <1b同时成立的充分条件，可以是______.17. 当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A={−1,12,1}，B={x|x2=a}，若集合A与集合B构成“全食”时，a的取值集合为______；若集合A与集合B构成“偏食”，则a的取值集合为______.18. 某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(i)男学生人数多于女学生人数；(ii)女学生人数多于教师人数；(iii)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为(1) .②该小组人数的最小值为(2) .19. 已知全集U=R，A={x|x2−x−6<0}，B={x|x2+2x−8>0}. (Ⅰ)求A∩B；(Ⅰ)若集合C={x|x2−4ax+3a2<0}且A∩B⊆C，求实数a的取值范围．20. 关于x的方程x2−2(m+2)x+m2−1=0，设x1，x2为方程的两根．(Ⅰ)若m=2，求1x1+1x2的值；(Ⅰ)若x1，x2，满足x12+x22=18，试求m的值；(Ⅰ)若x1，x2均大于0，求m的取值范围．21. 已知集合A={a1,a2,a3,a4}中a1<a2<a3<a4，且A∩N∗=A.(Ⅰ)若集合B={y|y=x2,x∈A}，满足A∩B={a1,a4}，a1+a4=10，试求a1，a4的值；(Ⅰ)若集合C={z|z=uv,u∈A,v∈A}，问是否存在一组a1，a2，a3，a4值，使得C= {3,4,9,12,36,51}，若存在试找出，若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵全集U={0,1,2,3}，若∁U A={2}，∴A={0,1,3}，故选：D.利用补集的运算求解即可．本题主要考查了补集的运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：对于A：2≤3为真命题，故A正确；对于B：集合N中最小的数为0，故B错误；对于C：x2+1=2x的解为x=1，故解集可表示为{1}，故C错误；对于D：x2+|y|=0不是命题，故D错误．故选：A.直接利用集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，来判断命题真假．本题考查的知识要点：集合的表示方法，常见的集合，方程的解法，命题真假的判断，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．先分别求出集合B，再由并集定义能求出A∪B.【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2−2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}，又集合A={−1,0,1}，∴A∪B={−1,0,1,2}.故本题选D.4.【答案】B【解析】解：命题“∃x∈R，使得x2+2x<0”的否定是“∀x∈R，使得x2+2x≥0”．故选：B.直接利用含有一个量词的命题的否定方法进行否定即可．本题考查了命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后否定结论．5.【答案】D【解析】解：根据题意，由于空集中没有任何元素，对于选项A ，x =0； 对于选项B ，(0,0)是集合中的元素； 对于选项C ，由于x =0成立； 对于选项D ，方程无解． 故选：D.根据空集的定义，分别对各个选项进行判断即可． 本题考查了集合的概念，是一道基础题．6.【答案】D【解析】 【分析】本题考查充分、必要、充要条件的判断，属于基本知识的考查． 利用特例结合充分、必要、充要条件的判断方法，判断正确选项即可． 【解答】解：a ，b 是实数，如果a =−1，b =2，则“a +b >0”，但是“ab >0”不成立． 如果a =−1，b =−2，则”ab >0“，但是”a +b >0“不成立，所以设a ，b 是实数，则“a +b >0”是“ab >0”的既不充分也不必要条件． 故选：D.7.【答案】A【解析】解：解{x +y =0x 2+y 2=2得，{x =−1y =1或{x =1y =−1，∴M ∩N ={(−1,1),(1,−1)}.故选：A.可解方程组{x +y =0x 2+y 2=2即可得出M ∩N.本题考查了交集的定义及运算，集合的描述法和列举法的定义，考查了计算能力，属于容易题．8.【答案】B【解析】解：由1−xx ≥2得1−xx −2=1−3x x≥0，可转化为(3x −1)x ≤0且x ≠0，解得0<x≤13.故选：B.利用移项，通分，转化为二次不等式求解即可．本题考查分式不等式的解法，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：①若a>b，当c=0时，ac=bc，故错误，②若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b，故正确，③若a<b<0，则a+b2−(−√ab)=a+b+2√ab2=−(√−a+√−b)22<0，即a+b2<−√ab，故正确，④ac−a −bc−b=c(a−b)(c−a)(c−b)，因为c>a>b>0，则c(a−b)>0，c−a>0，c−b>0，所以ac−a −bc−b>0，即ac−a>bc−b，故正确，故正确的命题个数为3个，故选：C.利用不等式的性质以及作差比较大小的方法对各个问题逐个化简即可判断求解．本题考查了不等式的性质以及命题的真假，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：A={x|4−x2≥0}={x|−2≤x≤2}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=⌀，∴a>2或a+1<−2，∴a<−3或a>2，∴a的取值范围为(−∞,−3)∪(2,+∞).故选：B.可求出A={x|−2≤x≤2}，然后根据A∩B=⌀可得出a的范围．本题考查了一元二次不等式的解法，交集和子集的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：设f(x)=x2−6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x=3的抛物线，如图所示．若关于x的一元二次不等式x2−6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，即{22−6×2+a ≤012−6×1+a >0， 解得5<a ≤8，又a ∈Z ，∴a =6，7，8. 则所有符合条件的a 的值之和是6+7+8=21. 故选：C.设f(x)=x 2−6x +a ，其图象是开口向上，对称轴是x =3的抛物线，如图所示．利用数形结合的方法得出，若关于x 的一元二次不等式x 2−6x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则{f(2)≤0f(1)>0，从而解出所有符合条件的a 的值之和．本题考查了有特殊要求的一元二次不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12.【答案】A【解析】解：由图可知：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，即{x 1=x 3−5x 2=x 3+5， 所以x 2>x 3>x 1， 故选：A.先对图表数据进行分析处理得：{x 1=x 3−55+50x 2=x 1−20+30x 3=x 2−35+30，再结合数据进行简单的合情推理得：{x 1=x 3−5x 2=x 3+5，所以x 2>x 3>x 1，得解 本题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理，属中档题13.【答案】(−1,6)【解析】解：不等式变形得：(x −6)(x +1)<0， 可化为{x −6>0x +1<0或{x −6<0x +1>0，解得：−1<x <6， 则不等式的解集为(−1,6). 故答案为：(−1,6)不等式左边分解因式后，利用两数相乘积为负，得到两因式异号转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可．此题考查了一元二次不等式的解法，利用了转化的思想，是一道基本题型．14.【答案】{−2,1}【解析】解：∵A ∩B ={1}， ∴1∈B ，2∉B ， ∴a =1或a +3=1， ∴a =1或a =−2， ∴实数a 的集合为{−2,1}. 故答案为：{−2,1}.根据条件得出1∈B ，从而得出a =1或a +3=1，然后解出a 的值即可．本题考查了交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力，属于容易题．15.【答案】0≤a <3【解析】解：若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题， 则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得：0≤a <3， 故答案为：0≤a <3.若命题“∀x ∈R ，ax 2−2ax +3>0恒成立”是真命题，则a =0，或{a >0△=4a 2−12a <0，解得实数a 的取值范围．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了全称命题和特称命题，二次函数的图象和性质，难度中档．16.【答案】a =−1，b =1，(不唯一)【解析】解：∵1a<1b， ∴1a −1b =b−aab <0，∴ab <0， ∵a <b ，∴a <0<b ，∴使a <b 和1a <1b 同时成立的充分条件可以是a =−1，b =1， 故答案为：a =−1，b =1，(不唯一).先利用不等式的性质得到a <0<b ，再利用充要条件的定义判定即可．本题考查了不等式的性质，充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】{a|a <0或a =1}{14}【解析】解：根据题中定义，当集合A ={−1,12,1}，B ={x|x 2=a}时，若集合A 与集合B 构成“全食”时，B ⊆A ，则a <0，即B =⌀，符合题意，或a =1，即B ={−1,1}，符合题意，故a 的取值组成的集合为{a|a <0或a =1}； 若集合A 与集合B 构成“偏食”时， 当a =1时，B ={−1,1}，不符合题意， 当a =14时，B ={−12,12}，符合题意， 故a 的取值组成的集合为{14}， 故答案为：{a|a <0或a =1}；{14}.根据题中新定义结合子集与交集的概念可解．本题考查集合的运算，以及对新定义的理解，属于基础题．18.【答案】612【解析】 【分析】本题考查的知识点是推理和证明，简易逻辑，线性规划，难度中档．①设男学生女学生分别为x ，y 人，若教师人数为4，则{x >yy >42×4>x ，进而可得答案；②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ，则{x >yy >z 2z >x ，进而可得答案；【解答】解：①设男学生女学生人数分别为x ，y 人， 若教师人数为4，则{x >y y >42×4>x ，即4<y <x <8， 即x 的最大值为7，y 的最大值为6， 即女学生人数的最大值为6.②设男学生女学生分别为x ，y 人，教师人数为z ， 则{x >yy >z 2z >x ，即z <y <x <2z 即z 最小为3才能满足条件， 此时x 最小为5，y 最小为4， 即该小组人数的最小值为12， 故答案为：6，12.19.【答案】解：因为A ={x|x 2−x −6<0}={x|−2<x <3}，B ={x|x 2+2x −8>0}={x|x <−4或x >2}.(Ⅰ)A ∩B ={2<x <3}，(Ⅰ)因为集合C ={x|x 2−4ax +3a 2<0}={x|(x −a)(x −3a)<0}，且A ∩B ⊆C ， 当a =0时，C 为空集，不合题意，当a <0时，C =(3a,a)，则3a ≤2且a ≥3，无解，不合题意， 当a >0时，C =(a,3a)，则a ≤2且3a ≥3，则1≤a ≤2， 则实数a 的取值范围为[1,2]. 【解析】(Ⅰ)根据交集的定义可解． (Ⅰ)根据集合的包含关系可解．本题考查交集的定义以及集合间的包含关系，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)当m =2时，x 2−8x +3=0，由韦达定理有，x 1+x 2=8，x 1x 2=3， 则1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=83；(Ⅰ)由Δ=4(m +2)2−4(m 2−1)≥0，解得m ≥−54， 由韦达定理有，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，又x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=4(m +2)2−2(m 2−1)=18，即m 2+8m =0，解得m =0或m =−8(舍)， 故m 的值为0；(Ⅰ)由(Ⅰ)可知，m ≥−54，又x 1，x 2均大于0，则{2(m +2)>0m 2−1>0，解得{m >−2m >1或m <−1，综上，实数m 的取值范围为[−54,−1)∪(1,+∞).【解析】(Ⅰ)将m =2代入，可得x 1+x 2=8，x 1x 2=3，进而得解；(Ⅰ)由韦达定理可得，x 1+x 2=2(m +2),x 1x 2=m 2−1，结合题意可得m 2+8m =0，由此得解； (Ⅰ)根据题意建立关于m 的不等式组，解出即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)已知集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4}中a 1<a 2<a 3<a 4，且A ∩N ∗=A ，若集合B ={y|y =x 2,x ∈A}，则B ={a 12,a 22,a 32,a 42}， 因为a 1<a 2<a 3<a 4，所以a 12<a 22<a 32<a 42，由A∩N∗=A可知，1≤a1<a2<a3<a4，若a1>1，则a1<a12<a22<a32<a42，显然A∩B≠{a1,a4}，所以a1=1，又因为a1+a4=10，所以a4=9，因为9∈B，所以a22=9或a32=9，当a22=9，即a2=3时，a3可以取4，5，6，6，7，8，所以a42>a32>9，所以A∩B={1,9}，满足题意；当a32=9，即a3=3时，此时A={1,2,3,9}，B={1,4,9,81}，满足A∩B={1,9}，综上，a1=1，a4=9；(Ⅰ)若存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}，则由a1<a2<a3<a4可知a1a2=3，因为a1,a2∈N∗，所以a1=1，a2=3，则a1a3=4，可得a3=4，因为36∈C，所以a4=36或3a4=36或4a4=36或a42=36，即a4=36或a4=12或a4=9或a4= 6，所以A={1,3,4,6}或A={1,3,4,9}或A={1,3,4,12}或A={1,3,4,36}，易知上述四种情况均不存在u∈A，v∈A，使得uv=51.故不存在a1，a2，a3，a4值，使得C={3,4,9,12,36,51}.【解析】(Ⅰ)先求出集合B，然后根据元素之间的大小关系，结合交集结果可求出a1，然后可解；(Ⅰ)根据元素间的大小关系可先求a1，然后依次确定其他元素，最后验证可知．本题考查了集合的综合应用，属于中档题．第11页，共11页。
北京四中高一数学上学期期末试题
北京市四中上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分考试时间：120分钟卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确的是 A. ||||= B. 22=⋅b a C. b b a 与-垂直D. b a ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量、满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确的是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内的一点，且BC BP BA 2=+，则 A. =++ B. =+ C. =+D. =+7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为π2的奇函数D. 最小正周期为π2的偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅，则=⋅ A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 的最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 的值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
北京市北京四中数学高一上期末测试卷(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12118]已知a =21.3，b =40.7，c =log 38，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a <<2．(0分)[ID ：12115]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 3．(0分)[ID ：12113]已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是增函数.若()()lg 1f x f <-，则x 的取值范围是（ ） A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()()0,110,⋃+∞4．(0分)[ID ：12092]已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<5．(0分)[ID ：12089]已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．(0分)[ID ：12087]已知函数()y f x =在定义域()1,1-上是减函数，且()()211f a f a -<-，则实数a 的取值范围是（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,2D ．()0,∞+7．(0分)[ID ：12121]若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]8．(0分)[ID ：12077][]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．(0分)[ID ：12060]已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 10．(0分)[ID ：12059]函数()f x 的反函数图像向右平移1个单位，得到函数图像C ，函数()g x 的图像与函数图像C 关于y x =成轴对称，那么()g x =（ ） A ．(1)f x +B ．(1)f x -C ．()1f x +D ．()1f x -11．(0分)[ID ：12055]用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.912．(0分)[ID ：12033]若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭13．(0分)[ID ：12031]设函数()f x 是定义为R 的偶函数，且()f x 对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+且当[]2,0x ∈-时， ()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(1a f x x a -+=>恰好有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)214．(0分)[ID ：12071]已知函数()0.5log f x x =，则函数()22f x x -的单调减区间为( ) A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(]0,1D ．[)1,215．(0分)[ID ：12088]函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）二、填空题16．(0分)[ID ：12216]已知函数()f x 满足1121-+⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x f f x x x ，其中x ∈R 且0x ≠，则函数()f x 的解析式为__________17．(0分)[ID ：12202]已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+=⎨--+≤⎩，＞，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围是______. 18．(0分)[ID ：12201]已知函数2()log f x x =，定义()(1)()f x f x f x ∆=+-，则函数()()(1)F x f x f x =∆++的值域为___________.19．(0分)[ID ：12184]已知函数()f x 满足对任意的x ∈R 都有11222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x 成立，则 127...888f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝ ． 20．(0分)[ID ：12177]已知偶函数()f x 的图象过点()2,0P ，且在区间[)0,+∞上单调递减，则不等式()0xf x >的解集为______． 21．(0分)[ID ：12166]0.11.1a =，12log 2b =，ln 2c =，则a ，b ，c 从小到大的关系是________.22．(0分)[ID ：12155]2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________23．(0分)[ID ：12146]已知11,,1,2,32a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若幂函数()af x x =为奇函数，且在()0,∞+上递减，则a 的取值集合为______.24．(0分)[ID ：12141]已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在区间[0,)+∞上是减函数，则()()2f x f ≤的解集是________．25．(0分)[ID ：12130]已知函数()5,222,2x x x f x a a x -+≤⎧=++>⎨⎩，其中0a >且1a ≠，若()f x 的值域为[)3,+∞，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题26．(0分)[ID ：12315]已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值.27．(0分)[ID ：12307]已知函数()(lg x f x =.（1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：12297]某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修，排气扇恢复正常．排气4min 后，测得车库内的一氧化碳浓度为64L /L μ，继续排气4min ，又测得浓度为32L /L μ，经检测知该地下车库一氧化碳浓度(L /L)y μ与排气时间(min)t 存在函数关系：12mty c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（c ，m 为常数）。
2020-2021学年北京四中高一(上)适应性数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京四中高一（上）适应性数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.若集合A={1,3}，B={2,3，4}，则A∩B=()A. {1}B. {2}C. {3}D. {1,2，3，4}2.已知a∈R，则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.集合A={x|x2−3x−4≥0}，B={x|1<x<5}，则集合(∁R A)∪B=()A. [−1,5)B. (−1,5)C. (1,4]D. (1,4)4.若A、B、C为三个集合，且有A∪B=B∩C，则一定有()A. A⊆CB. C⊆AC. A≠CD. A=⌀5.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为()A. ∃x0≤0，使得(x0+1)2x0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1C. ∀x>0，总有(x+1)2x≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)2x≤16.设a，b∈R，集合{1,a+b,a}={0,ba,b}，则b−a=()A. 1B. −1C. 2D. −27.不等式x−1x2−4>0的解集是()A. (−2,1)∪(2,+∞)B. (2,+∞)C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)8.若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，则m=2是A∩B={4}的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.若a>b>0，c<d<0，则一定有()A. ad >bcB. ad<bcC. ac>bdD. ac<bd10.若不等式{x−1>a2x−4<2a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−3,1)D. (−∞,−3)∪(1,+∞)二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.集合A={x∈N|1≤x≤10}，集合B={x∈R|x2+x−6≤0}，则A∩B=______．12.命题p：“∀x∈R，x3−x2+1≤0”则命题￢p是______，￢p是______命题(用“真”、“假”填空)．13.设全集U=R，集合M={x|√x2>2}，集合P=(1,3)，则M∩(∁U P)=______．14.不等式|x+1|(2x−1)≥0的解集为______．15.关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，且x2−x1=15，则a=______ ．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.将含有3n个正整数的集合M分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A、B、C，其中A={a1,a2,…,a n}，B={b1,b2,…,b n}，C={c1,c2,…,c n}，若A、B、C中的元素满足条件：c1<c2<⋯<c n，a k+b k=c k，k=1，2，…，n，则称M 为“完并集合”．(1)若M={1,x，3，4，5，6}为“完并集合”，则x的一个可能值为(1).(写出一个即可)(2)对于“完并集合”M={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，在所有符合条件的集合C中，其元素乘积最小的集合是(2)．四、解答题（本大题共3小题，共30.0分）17.已知二次函数y=x2−x+m的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x13+x23=2.求实数m的值．18.已知a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，求证：“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．19.已知关于x的不等式−x2+ax+4≥|x+1|+|x−1|(a∈R)．(1)当a=1时，求该不等式的解集；(2)若该不等式在区间[−1,1]上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∩B={1,3}∩{2,3，4}={3}，故选：C．直接求A、B的公共元素．本题考查集合的交集运算，很基本．2.【答案】B【解析】解：令p：“a+c>b+d”，q：“a>b且c>d”由于a+c>b+d推不出a>b且c>d，则p⇒q为假命题；由于a>b且c>d，根据不等式同向可加性得到a+c>b+d，则q⇒p为真命题．故命题p是命题q的必要不充分条件，故答案选B．若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.【答案】B【解析】解：因为集合A={x|x2−3x−4≥0}={x|x≤−1或x≥4}，又B={x|1<x<5}，所以∁R A=(−1,4)则集合(∁R A)∪B=(−1,5)．故选：B．先求出集合A，然后由集合补集与并集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合补集与并集的定义，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：因为A⊆A∪B且C∩B⊆C，A∪B=C∩B由题意得A⊆C，故选A本题考查三个抽象集合之间的关系，由交集、并集的定义有结论A⊆A∪B，B⊆A∪B，A∩B⊆A，A∩B⊆B．本题主要考查．集合的并集与交集运算，集合之间关系的理解．5.【答案】B【解析】解：命题为全称命题，则命题p：∀x>0，总有(x+1)2x>1，则命题p的否定为，∃x0>0，使得(x0+1)2x0≤1．故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．6.【答案】C,b}，【解析】解：根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba又∵a≠0，∴a+b=0，即a=−b，=−1，∴bab=1；故a=−1，b=1，则b−a=2，故选：C．,b}，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意根据题意，集合{1,a+b,a}={0,ba义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．7.【答案】A>0等【解析】解：不等式x−1x2−4价于(x+2)(x−1)(x−2)>0，令(x+2)(x−1)(x−2)=0，解得x=−2，或x=1，或x=2，如图所示，由图象可知不等式的解集为(−2,1)∪(2,+∞)，故选：A．根据不等式的解法解得即可．本题利用穿根法解高次不等式，第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0.(注意：一定要保证x前的系数为正数)第二步：将不等号换成等号解出所有根，第三步：在数轴上从左到右依次标出各根，第四步：画穿根线：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根．第五步：观察不等号，如果不等号为“>”，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为“<”则取数轴下方，穿根线以内的范围．x的次数若为偶数则不穿过，即奇过偶不过．8.【答案】A【解析】解：若m=2，则A={1,4}，B={2,4}，A∩B={4}，“m=2”是“A∩B={4}”的充分条件；若A∩B={4}，则m2=4，m=±2，所以“m=2”不是“A∩B={4}”的必要条件．则“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件．故选A．当m=2时，可直接求A∩B；反之A∩B={4}时，可求m，再根据必要条件、充分条件与充要条件的定义进行判断即可．本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属基本题．9.【答案】B【解析】 【分析】利用特值法或不等式的基本性质，判断选项即可． 本题考查比较大小，属于基础题． 【解答】解法一：若a >b >0，c <d <0， 不妨令a =3，b =1，c =−3，d =−1， 则ac =−1,bd =−1， ∴C 、D 不正确；a d =−3，bc =−13 ∴A 不正确，B 正确．解法二：∵c <d <0，∴−c >−d >0， ∵a >b >0，∴−ac >−bd ， 又cd >0，∴−ac cd>−bd cd，∴a d<bc．故选：B ．10.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解法，交集非空的条件，属于基础题． 由题意可得a 2+1<2a +4，由此求得a 的范围． 【解答】解：不等式{x −1>a 2x −4<2a ，即{x >a 2+1x <2a +4，根据它的解集非空，可得a 2+1<2a +4，求得−1<a<3，故选：A．11.【答案】{1,2}【解析】解：因为集合A={x∈N|1≤x≤10}，又集合B={x∈R|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，则A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．先求出集合B，然后由集合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集定义的应用，属于基础题．12.【答案】∃x∈R，x3−x2+1>0真【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x∈R，x3−x2+1>0，当x=0时，不等式成立，所以命题的否定是真命题．故答案为：∃x∈R，x3−x2+1>0；真．根据含有量词的命题的否定即可得到结论，然后判断真假．本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题．13.【答案】(−∞,−2)∪(2,+∞)【解析】解：因为集合M={x|√x2>2}={x|x<−2或x>2}，又集合P=(1,3)，所以∁U P=(−∞,1]∪[3,+∞)，则M∩(∁U P)=(−∞,−2)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)．先求出集合M，然后由集合补集与交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合的补集与交集的定义，考查了运算能力，属于基础题．,+∞)14.【答案】{−1}∪[12【解析】解：由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，解得x≥1，或x=−12,+∞)，故不等式的解集为{−1}∪[12,+∞)．故答案为{−1}∪[12由不等式|x+1|(2x−1)≥0可得2x−1≥0，由此求得不等式的解集．本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】52【解析】解：∵关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，∴x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，∴△=4a2+32a2>0．∴x1+x2=2a，x1x2=−8a2．∵x2−x1=15，∴152=(x1+x2)2−4x1x2=4a2+32a2，又a>0．．解得a=52故答案为：5．2关于x的不等式x2−2ax−8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2)，则x1，x2是一元二次方程x2−2ax−8a2=0(a>0)的实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．16.【答案】7，9，11{6,10，11，12}【解析】解：(1)若集合A={1,4}，B={3,5}，根据完并集合的概念知集合C={6,x}，∴x=“4+3=7，“若集合A={1,5}，B={3,6}，根据完并集合的概念知集合C={4,x}，∴x=“5+6= 11，“若集合A={1,3}，B={4,6}，根据完并集合的概念知集合C={5,x}，∴x=3+6=9，故x的一个可能值为7，9，11中任一个；(2)若A={1,2，3，4}，B={5,8，7，9}，则C={6,10，12，11}，若A={1,2，3，4}，B=“{5,6，8，10}，则C={7,9，12，11}，若A={1,2，3，4}，B={5,6，7，11}，则C={8,10，12，9}，这两组比较得元素乘积最小的集合是{6,10，11，12}故答案为：7，9，11，{6,10，11，12}(1)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，根据a k+b k=c k建立等式可求出x的值；(2)讨论集合A与集合B，根据完并集合的概念知集合C，然后比较得元素乘积最小的集合即可．这类题型的特点是在通过假设来给出一个新概念，在新情景下考查考生解决问题的迁移能力，要求解题者紧扣新概念，对题目中给出的条件抓住关键的信息，进行整理、加工、判断，实现信息的转化17.【答案】解：由题意可得x1，x2是方程x2−x+m=0的两个实数解，可得x1+x2=1，x1x2=m，且Δ=1−4m≥0，由x13+x23=2，即(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]=1−3m=2，，满足Δ≥0，解得m=−13．所以m=−13【解析】由韦达定理和判别式大于等于0，结合立方和公式，解方程可得所求值．本题考查二次方程的韦达定理的运用，以及立方和公式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：若√a+√b>√c+√d，平方得a+b+2√ab>c+d+2√cd，即√ab>√cd，则ab>cd，(a−b)2=(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd=(c−d)2，即“|a−b|<|c−d|”成立．若“|a−b|<|c−d|”成立，则|a−b|2<|c−d|2，即(a+b)2−4ab<(c+d)2−4cd，由于a+b=c+d，则ab>cd，则a+b+2√ab>c+d+2√cd，即(√a+√b)2>(√c+√d)2，则√a+√b>√c+√d，成立，综上“√a+√b>√c+√d”是“|a−b|<|c−d|”的充要条件．【解析】根据不等式的性质以及充要条件的定义进行证明即可．本题主要考查充要条件的证明，利用不等式的性质是解决本题的关键，是中档题．19.【答案】解：(1)函数y=|x+1|+|x−1|={2x,x>12,−1≤x≤1−2x,x<−1，当a=1时，y=−x2+x+4的图象是开口向下，对称轴为x=12的二次函数，当x>1时，令−x2+x+4≥2x，解得1<x≤√17−12；当x<−1时，y=−x2+x+4>1，y=|x+1|+|x−1|<2，不等式无解．综上所述，不等式的解集为[−1,√17−12]；(2)问题可转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，作出图象如图所示，由图可知，函数y=ax必须在l1，l2之间，所以−1≤a≤1，故实数a的取值范围为[−1,1]．【解析】(1)利用绝对值的定义将函数转化为分段函数，然后分类讨论，分别求解不等式即可；(2)将不等式转化为x2−2≤ax在[−1,1]上恒成立，利用数形结合法求解即可．本题考查了含有绝对值的函数的应用，对于含有绝对值的函数，常见的解法是利用绝对值的定义去掉绝对值，将函数转化为分段函数进行求解，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．第11页，共11页。
2023-2024学年北京四中高三(上)期中数学试题和答案
2023北京四中高三（上）期中数 学（试卷满分150分，考试时间为120分钟）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1. 已知集合{|51}A x x =-<≤<，2{|9}B x x =≤，则A B = （A ）[3,1)-（B ）[3,1]-（C ）(5,3]-（D ）[3,3]-2. 若复数()()3i 1i z =-+，则z = （A）（B）（C（D）3. 化简5sin(π)2cos(π)αα+=- （A ）tan α（B ）tan α-（C ）1（D ）1-4. 下列函数中，值域为(1)+∞，的是 （A ）1sin y x=（B）1y =+（C ）lg(||1)y x =+（D ）21x y =+5. 函数sin 2y x =的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位后经过点(3π，则ϕ的最小值为（A ）12π（B ）6π（C ）3π（D ）65π6. 若1a >，则141a a +-的最小值为 （A ）4 （B ）6（C ）8（D ）无最小值7. 已知函数35()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）(2,3)（B ）(3,4)（C ）(4,5) （D ）(5,6)8．已知函数()sin()f x x ϕ=+．则“(0)1f =”是“()f x 为偶函数”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件9. 已知a ，0b >，且1≠a ，1≠b ，若log 1a b >，则 （A ）(1)(1)0a b -->（B ）(1)()0a a b -->（C ）(1)()0b a b -->（D ）(1)()0b b a -->10. 已知()f x =21|1|,02,0x x x x x -+<⎧⎨-≥⎩，若实数[]2,0m ∈-，则1|()(|2f x f --在区间[,1]m m +上的最大值的取值范围是（A ）15[,]44（B ）13[,]42（C ）13[,22（D ）1[,2]2二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．已知α为第二象限角，且sin α=πtan()4α+=_______．12. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1316,2a S a ==，则公差d =_______，n S 的最大值为_________． 13．设(),()f x g x 分别是定义域为R的奇函数和偶函数，当0x >时，()()()()0f x g x f x g x ''-->，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x >的解集为 .14. 如图，为了测量湖两侧的A ，B 两点之间的距离，某观测小组的三位同学分别在B 点，距离A 点30km 处的C 点，以及距离C 点10km 处的D 点进行观测. 甲同学在B 点测得30DBC ∠= ，乙同学在C 点测得45ACB ∠= ，丙同学在D 点测得45BDC ∠= ，则A ，B 两点间的距离为_______km.15. 设函数()f x 定义域为D ，对于区间I D ⊆，若存在1212,,x x I x x ∈≠，使得12()()f x f x k +=，则称区间I 为函数()f x 的k T 区间. 给出下列四个结论：①当2a <时，(,)-∞+∞是3x y a =+的4T 区间；②若[,]m n 是2y x x =-的4T 区间，则n m -的最小值为3；③当3ω≥时，[π,2π]是cos y x ω=的2T 区间；④当5π10πA ≤≤时，[π,+)∞不是2sin +1A xy x =的2T 区间； 其中所有正确结论的序号为 . 三、解答题：（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足234a b ==，6516a b ==．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：135b b b +++…21n b -+．17.（本小题满分13分）已知函数2π()cos 22sin (6f x x x =--．（Ⅰ）求π()2f 的值；（Ⅱ）求()f x 的对称轴；（Ⅲ）若方程()1f x =-在区间[0,]m 上恰有一个解，求m 的取值范围．18.（本小题满分14分）在△ABC 中，sin cos 02B b A a -=.（Ⅰ）求B ∠；（Ⅱ）若b =ABC 存在且唯一确定，并求a 及△ABC 的面积.条件①：c =条件②：sin sin 2sin A C B +=；条件③：21ac =.19．（本小题满分15分）已知函数()2e [(21)1]xf x x a x =-++.（Ⅰ）若12a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a >时，若对任意实数x ，2()(23)e a f x a >-恒成立，求a 的取值范围.20.（本小题满分15分）已知函数22ln ()(1)xf x a x x=+-.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，求()f x 在[1,)+∞上的最小值；（Ⅲ）若()f x 在(1,e)上存在零点，求a 的取值范围.21.（本小题满分15分）已知集合12{,,,}(3)n S a a a n =≥ ，集合{(,)|,,}T x y x S y S x y ⊆∈∈≠，且满足,(,1,2,,,)i j a a S i j n i j ∀∈=≠ ，(,)i j a a T ∈与(,)j i a a T ∈恰有一个成立. 对于T 定义1,(,)(,)0,(,)T a b Td a b b a T ∈⎧=⎨∈⎩，以及1,()(,)nT i T i j j j i l a d a a =≠=∑，其中1,2,,i n = .例如22123242()(,)(,)(,)(,)T T T T T n l a d a a d a a d a a d a a =++++ .（Ⅰ）若1232244,(,),(,),(,)n a a a a a a T =∈，求2()T l a 的值及4()T l a 的最大值；（Ⅱ）从1(),,()T T n l a l a 中任意删去两个数，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值（用n 表示）；（Ⅲ）对于满足()1(1,2,,)T i l a n i n <-= 的每一个集合T ，集合S 中是否都存在三个不同的元素,,e f g ，使得(,)(,)(,)3T T T d e f d f g d g e ++=恒成立？请说明理由.改：（Ⅱ）若6n =，从1(),,()T T n l a l a 中删去一个最大值和一个最小值，记剩下的数的和为M ，求M 的最小值；16,()()15T T n n l a l a =++= ，最大值5A ≤，最小值2B ≤，否则3615⨯>于是15528M ≥--=，构造16(),,()T T l a l a 为5，2，2，2，2，2构造121314151624253234434654566263{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}T a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =，即\,1,1,1,1,10,\,0,1,1,00,1,\,0,1,00,0,1,\,0,10,0,0,1,\,10,1,1,0,0,\⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，恰好取得等号.参考答案一、选择题CBDDB CBADC 二、填空题11. 1212. 2,12- 13. (3,0)(3,+)-∞14. 15. ①③④12题：前3分后2分15题：2分，3分，5分三、解答题16．（共13分）解：（Ⅰ）因为 21614,516,a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩ ……2分所以 11,3.a d =⎧⎨=⎩ ……4分从而 32n a n =-. ……6分（Ⅱ）因为2314514,16,b b q b b q ⎧==⎨==⎩ ……8分所以 121,4.b q =⎧⎨=⎩ ……10分所以22211211()4n n n n b b q q ----=⋅== ， ……11分所以135211441143n n n b b b b ---+++==- . ……13分17. 解：（1）5()22f π=- ……3分（2）()13f x x π=+- ……8分1()212x k k Z ππ=+∈ ……10分（3）5[,)36m ππ∈ ……13分18. 解：（Ⅰ）由正弦定理得，由题设得，，因为，所以所以.,. ……4分（Ⅱ）选条件①：c =由正弦定理sin sin b c B C =得sin C =，sin sin b A a B =sin cos02Ba B a -=2sincos cos 0222B B Ba a -=022B π<<cos 0.2B a ≠1sin22B =26B π=3B π=因为，所以cos C =sin sin()A B C =+=，进而a =1sin 2S bc A ==+……14分选条件②：由正弦定理得2a c b +==由余弦定理得2222cos ,18b a c ac B ac =+-=，所以1sin 2S ac B ==由18a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得a c ==……14分19. 解：（1）1y x =-+ ……4分（2）2()[(12)2](2)(1)x x f x e x a x a e x a x '=+--=-+ ……6分①12a >-，(,1),(2,)a -∞-+∞增，(1,2)a -减 ……8分②12a <-，(,2),(1,)a -∞-+∞增，(2,1)a -减 ……10分③12a =-，(,)-∞+∞增 ……11分（3）首先(2)f a 为()f x 在(1,)-+∞上的极小值，也是最小值。
北京市西城区北京四中2022-2023学年高一上数学期末综合测试试题含解析
故选：D.
2、B
【解析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当角 为第二象限角时， ，所以 ，故充分；
当 时， 或 ，所以 在第二象限或在第三象限，故不必要；
故选：B
3、B
【解析】令 ，则用计算器作出 的对应值表：
由表格数据知，用二分法操作 次可将 作为得到方程 的近似解，， ， 近似解的精确度应该为0.01，故选B.
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
18．对于等式 ，如果将 视为自变量 ， 视为常数， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是幂函数；如果将 视为常数， 视为自变量 ， 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是指数函数；如果将 视为常数， 视为自变量 为关于 （即 ）的函数，记为 ，那么 ，是对数函数．事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．例如，如果 为常数 （ 为自然对数的底数），将 视为自变量 ，则 为 的函数，记为
所以， ， .
故选：D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、1
【解析】根据幂函数定义可构造方程求得 ，将 的值代入解析式验证函数奇偶性可确定结果.
【详解】由题意得 ，∴ 或1，
当 时， 是偶函数；
当 时， 是奇函数.
故答案为：1.
12、
【解析】等比数列 中，由 可得 ．等比数列 ， 构成以 为首项， 为公比的等比数列，所以
（Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 分贝以下（不含 分贝），试求声音强度 的取值范围
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
2020-2021北京市北京四中高一数学上期末模拟试题(带答案)
t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，结合图象可知，方程 f t 3 有三个实根，
进而可得答案. 【详解】
由题意，函数 y f f x 3 的零点个数，即方程 f f x 3 的实数根个数，
设 t f x ，则 f t 3，作出 f x 的图象，
如图所示，结合图象可知，方程
4．设 a log4 3 ， b log8 6 ， c 20.1 ，则（ ）
A． a b c
B． b a c
C． c a b
D． c b a
5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL
血液中酒精含量低于 20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到 20～79mg 的驾驶员即为
【详解】
由题意，对数的运算公式，可得
a
log4
3
log2 log2
3 4
1 2
log2
3
log2
3，
b
log8
6
log2 log2
6 8
1 3
log
2
6
log2
3
6
，
又由 3 3 6 2 ，所以 log2 3 log2 3 6 log2 2 1，即 a b 1，
由指数函数的性质，可得 c 20.1 20 1 ， 所以 c b a .
所以 g(2) 2 ， g 2 2，
所以 f (2) g(2) 3 2 3 1，故选 D.
【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．
3．B
解析：B 【解析】 【分析】
先化简集合 A,B,再求 B A 得解.
【详解】
由题得 A x | 2x1 20 {x | x 1} ， B y | y 0 .
北京四中2023年高一数学期末真题
北京四中2023年高一数学期末真题（正文部分）一、选择题1. 已知函数 f(x) 的导函数为 f'(x)，则 f(x) 的原函数为（）A. f'(x)B. f(x)C. xf'(x) + CD. xf'(x)解析：根据函数的求导和积分的性质，函数 f(x) 的导函数 f'(x) 对应的原函数是 F(x) + C，其中 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，C 为常数。
因此，选项 C 和 D 是正确的答案，选择 C。
2. 在三角形 ABC 中，AB = AC，∠BAC = 70°，∠ABC = 80°，则∠ACB 的度数为（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°解析：由已知条件可知，在三角形 ABC 中，AB = AC，∠BAC = 70°，∠ABC = 80°，所以∠ACB = ∠ABC = 80°。
选择 B。
二、填空题1. 一直线上有两个点 A(-2, 3) 和 B(4, -1)，则直线 AB 的斜率为______。
解析：直线 AB 的斜率 k 可以通过两点间的坐标计算得出：k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (-1 - 3) / (4 - (-2)) = (-4) / 6 = -2/3所以直线 AB 的斜率为 -2/3。
2. 已知集合 A = {x | x > 0}，集合 B = {y | y < 5}，则集合 A ∪ B = ________。
解析：集合 A = {x | x > 0} 表示所有大于 0 的实数，集合 B = {y | y < 5} 表示所有小于 5 的实数。
集合 A ∪ B 表示 A 和 B 的并集，即包含A 和 B 所有元素的集合。
由于 A 中的元素大于 0，而 B 中的元素小于 5，所以集合 A ∪ B 中的元素既包含大于 0 的数，也包含小于 5 的数，即 A ∪ B = {x | x > 0, x < 5}。
北京四中第一学期高一数学期末测试卷
北京四中第一学期高一数学期末测试卷卷（I）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）则样本数据落在上的频率为A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.642．一个容量为的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为，，则的值为A. 640B. 320C. 240D. 1603．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生A．30人，30人，30人B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人4．已知均为实数，且，，则下列不等式中成立的是A. B. C. D.5．样本中共有5个个体，其值分别为,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则其样本方差为A. B. C. D. 26．某人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为A．B． C． D．7．某程序框图如右图所示，若输出的，则判断框内为A．k＞2?B．k＞3?C．k＞4?D．k＞5?8．掷一枚均匀的硬币两次，事件A“朝上面一正一反”，事件B“朝上面至少一正”，则下列结果正确的是A．B．C．D．9．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A．，B．，C．，D．，10．从单词“education”中选取5个不同的字母排成一排，则含“at”（“at”相连且顺序不变）的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是80%，两人和棋的概率是50%，则甲获胜的概率是_________.12．口袋里装有100个大小相同的小球，分别是红、黑、白三种颜色，其中红球有45个，若从口袋里摸出一球是白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为_________.13．函数的定义域为_________.14．将容量为的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图．若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则等于_________.15．不等式的解集为_________.16．若,则的最小值为_________.三、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）17．随机抽取名学生，测得他们的身高（单位：），按照区间，，，，分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．(1) 求频率分布直方图中的值及身高在以上的学生人数；(2) 将身高在，，区间内的学生依次记为，，三个组，用分层抽样的方法从三个组中抽取人，求从这三个组分别抽取的学生人数；(3) 要从(2)中已经抽取的名学生中再抽取人，求组中至少有人被抽中的概率．18．设函数，(1) 若=10，求在上的最小值；(2) 若的解集为，求的值；(3) 若函数的值域为，求实数的取值范围．卷（Ⅱ）一、选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）1．若关于的不等式的解集是，则等于A． B. 24 C. 14 D.2．已知是上的减函数，那么的取值范围是A． B. C． D.3．定义在R上的函数满足，则的值为A. B. 0 C. 1 D. 2二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）4．已知关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则实数的取值范围是__________.5．设，且，则按从大到小的顺序排列为__________.6．若不等式对于一切成立，则的最小值是__________.三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7．袋子中装有编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.(1) 写出所有不同的结果；(2) 求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；(3) 求至少摸出1个黑球的概率.8．设二次函数，(1) 若不等式在R上恒成立，求实数的取值范围；(2) 若方程的两根,满足，求实数的取值范围；(3) 在条件(2)下，试比较与的大小．并说明理由．答题纸班级__________姓名__________成绩__________卷（I）三、解答题（本大题共2小题，每小题13分，共26分）17.18.答题纸班级__________姓名__________成绩__________卷（Ⅱ）三、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）7.8.参考答案卷（I）C B B BD B A D B A11．30%；12．0.32；13．；14．60；15. 16.17．解：（1）0.06，60；（2）分别为3,2,1人；（3）.18．解：（1），时取等号；（2）图象或穿根法，；（3）卷（II）B C B 4．； 5．； 6．-2.5；7．解：（1）ab，ac，ad，ae,bc，bd，be，cd，ce，de；（2）恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.（3）至少摸出1个黑球的概率为0.7 .8．解：（1）；（2）实数的取值范围是；（3）．参考答案及试卷分析Ⅰ．2．，即，则3．分层抽样按比例抽取样本，因为3600：5400：1800=2：3：1．所以应在这三校分别抽取学生，，人．4．因为且，由不等式的可乘性，有即，从而．B正确易错：学生容易由推出，直接取倒数得到，错因在于没有准确理解不等式的基本性质，除法可以转化为乘法，而乘法性质有重要的限制条件：，．5．熟悉平均值及方差的定义即可．6．典型的几何概型：无限性，等可能性，所以设“此人射击中靶点与靶心的距离小于2”为事件A，则A对应半径为2的圆的面积，基本事件空间对应半径为6的圆的面积，即7．读程序框图，循环第一次：k=2，S=4；循环第二次k=3，S=11．即第二次就跳出循环，所以判断框内应为．8．Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，A={(正，反)，(反，正)}B={(正，正)，(正，反)，(反，正)}，(反，反)}，依古典概型计算公式，得到，．9．甲、乙测试成绩进行对比，由于总和相同，所以平均值相同．又由于甲的成绩更集中，所以方差小，直接计算也可得结论．10．基本事件总数为9×8×7×6×5个．事件A“含‘at’（‘at’相连且顺序不变）”可理解为从除与之外的7个字母中选出3个之后与‘at’整体进行排序．所以共有种．运用古典概型计算公式得到．易错：对于事件A所含基本事件个数不清楚，对于计数问题，找到合适的计数方法至关重要．此题也可认为有4个位置，先选一个放‘at’，再从剩余7个中依次选3个排在剩余3个位置上．12．由小球个数可以知概率，由概率也可推知小球个数，即白球有23个．所以黑球为32个．摸一次摸黑球概率为0.32．13．解不等式组即可．15．法一：运用解绝对值不等式的通法，则不等式等价于即．法二：因为当且仅当，所以不等式等价于．易错分析：注意把握各种类型不等式求解的通法，运用转化和化归的方法加以解决等价变形非常重要．16．，因为，所以，当且仅当取等．所以最小值为．易错：运用均值不等式求最值一定要正，定等三个条件，适当的配凑出倒数，相反数常常是解决此类问题的突破口．17．3)运用对立事件的概率公式，计算B组中无人被抽中的概率，则．18．1)因为，所以当且仅当，即时取等号．2)即，变形得的解集为．即且的解集为．由穿根法得到的两根分别为1，3．所以．3)若的值域为R，必须有能取遍所有正数．即可以取遍所有正数．由知．所以．从而即．又且，所以．易错：1)不标明取等条件2)对于解集理解不透彻，容易直接将1，3代入．这只能说明1，3是零点，不能说明解集恰好为．3)对于值域为R与条件恒大于零混淆．Ⅱ．1．二次不等式解集为，说明对应的二次函数开口向上，且两个零点分别为和，所以解得2．分段函数为减函数，必须满足在每段上为减函数，且分界点处也要左侧函数值大于右侧函数值，即要满足不等式组．易错：根据定义，函数在区间M上为减函数必须保证对于任意，且都有．由于对“任意”这个条件认识不够，导致错选B．3．因为所以．即时，的函数值以6为一个周期．所以．4．设，则只需要即可．解得．5．根据函数的单调性．因为，所以6．法一：设，则①或时，即或②时，，即综上，即的最小值．法二：分离变量．因为在上恒成立，所以只需要在上恒成立．因为在上最大值是，所以即可．7．1)ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be．共6个基本事件，所以．3)记“至少摸出一个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be共7个基本事件，所以．所以，至少摸出一个黑球的概率为．8．1)，即．2)令，则由题意得所以实数的取值范围是．3)法一：设，则在上单增，所以而，且，所以．法二：设．则由得所以．综合评价：试卷难度不高，重点考查必修3的知识，客观题准确计算很重要，主观题书写规范要注意．。
2023-2024学年北京四中高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京四中高一（上）期中数学试卷一、选择题。
（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|x＞﹣1}B．{x|x≥1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}2．已知下列表格表示的是函数y＝f（x），则f（﹣1）+f（2）的值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．13．函数f(x)=13x3−2x−2一定存在零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．函数f(x)=√3x+61−x的定义域为（）A．[﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞）5．关于x，y的方程组{x 2+y2−1=0y−x−m=0有唯一的一组解，则实数m的值是（）A．√2B．−√2C．±√2D．16．已知a，b为非零实数，则“a＞b”是“1a ＜1b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知函数f（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么（）A．f（2）＝2B．f（2）＝﹣2C．f（2）＞﹣2D．f（2）＜﹣28．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（）A．80B．70C．60D．509．已知函数f（x）={x2+4x+3，x≤0−2x2+4x−1，x＞0，若关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不同的实数根，那么实数a的取值范围是（）A．（1，3]∪{﹣1}B．（1，3）∪{﹣1}C．（1，3）D．（1，3]10．已知函数f(x)=√x+1+k，若存在区间[a，b]，使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+1，b+1]，则实数k的取值范围为（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，0]C．[−14，+∞)D．(−14，0]二、填空题。
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北京市四中2011-2012学年上学期高一年级期末测验数学试卷试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分，共计150分 考试时间：120分钟 卷（I ）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. ︒210cos = A.21B.23 C. 21-D. 23-2. 设向量()⎪⎭⎫⎝⎛==21,21,0,1b a ，则下列结论中正确嘚是 A. ||||b a = B. 22=⋅b a C. b b a 与-垂直D. b a ∥3. 已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πα，53cos =a ，则=αtanA.43B. 43-C.34 D. 34-4. 已知向量a 、b 满足2||,1||,0===⋅b a b a ，则=-|2|b a A. 0 B. 22C. 4D. 85. 若24πθπ<<，则下列各式中正确嘚是A. θθθtan cos sin <<B. θθθsin tan cos <<C. θθθcos sin tan <<D. θθθtan sin cos <<6. 设P 是△ABC 所在平面内嘚一点，且BC BP BA 2=+，则 A. 0=++PC PB PA B. 0=+PC PA C. 0=+PC PBD. 0=+PB PA7. 函数14cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx y 是 A. 最小正周期为π嘚奇函数B. 最小正周期为π嘚偶函数C. 最小正周期为π2嘚奇函数D. 最小正周期为π2嘚偶函数8. 若向量()()1,1,4,3-==d AB ，且5=⋅AC d ，则=⋅BC d A. 0B. －4C.4D. 4或－49. 若函数()⎪⎭⎫⎝⎛<≤+=20sin 3cos πx x x x f ，则()x f 嘚最小值是 A. 1B. －1C. 2D. －210. 若()()m x x f ++=ϕωcos 2，对任意实数t 都有()t f t f -=⎪⎭⎫⎝⎛+4π，且18-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则实数m 嘚值等于 A. 1± B. 3±C. －3或1D. －1或3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知ααcos 3sin =，则=ααcos sin _________。
12. 已知向量()()()2,1,,1,1,2-=-=-=c m b a ，若()c b a ∥+，则=m ________。
13. ⎪⎭⎫⎝⎛+6tan πα21=，316tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πβ，则()=+βαtan _________。
14. 若函数()x x f 2sin =，则=⎪⎭⎫⎝⎛12πf _________，，单调增区间是_________。
15. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BD BC 3=，1||=AD ，则=⋅AD AC _________。
16. 定义运算b a *为：()()⎩⎨⎧>≤=b a b b a a b a *。
例如：12*1=，则函数()x x x f cos *sin =嘚值域为_________。
三、解答题（本大题共3小题，共26分） 17. （本小题满分6分）已知：如图，两个长度为1嘚平面向量OB OA 和，它们嘚夹角为32π，点C 是以O 为圆心嘚劣弧AB 嘚中点。
求：（1）OB OA ⋅嘚值； （2）AC AB ⋅嘚值。
18. （本小题满分10分）已知：函数()()023cos 3cos sin 2>++-⋅=a b a x a x x a x f （1）若R x ∈，求函数()x f 嘚最小正周期及图像嘚对称轴方程； （2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，()x f 嘚最小值是－2，最大值是3，求：实数b a ,嘚值。
19. （本小题满分10分）已知：向量()()()ββββααsin 4,cos ,cos 4,sin ,sin ,cos 4-===c b a （1）若16tan tan =βα，求证：b a ∥； （2）若c b a 2-与垂直，求()βα+tan 嘚值； （3）求||c b +嘚最大值。
卷（II ）一、选择题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 1. 要得到⎪⎭⎫⎝⎛+=32πx f y 嘚图象，只需把()x f y 2=嘚图象A. 向右平移3π个单位 B. 向左平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 2. 设函数()x f 是以2为周期嘚奇函数，若()1,0∈x 时，()xx f 2=，则()x f 在区间（1，2）上是A. 增函数且()0>x fB. 减函数且()0<x fC. 增函数且()0<x fD. 减函数且()0>x f3. 设250cos 1,13tan 113tan 2,6sin 236cos 212︒-=︒+︒=︒-︒=c b a ，则有 A. c b a >> B. c b a <<C. b c a <<D. a c b <<4. 函数()23log 21-=x y 嘚定义域是_________5. 设πθ20<≤时，已知两个向量()()θθθθcos 2,sin 2,sin ,cos OP 21-+==OP ，而||21P P 嘚最大值为_________，此时=θ_________。
6. 已知函数()x f 是定义在]1,(-∞上嘚减函数，且对一切实数x ，不等式()()x k f x k f 22sin sin -≥-恒成立，则实数=k _________。
二、解答题（本大题共2小题，共20分） 7. （本小题满分10分）已知：向量()()m b a ,2,3,1-=-=，且()b a a -⊥。
（1）求实数m 嘚值；（2）当b a k +与b a -平行时，求实数k 嘚值。
8. （本小题满分10分）对于在区间[]q p ,上有意义嘚两个函数()x f 和()x g ，如果对于任意嘚[]q p x ,∈，都有()()1||≤-x g x f ，则称()x f 与()x g 在区间[]q p ,上是“接近”嘚两个函数，否则称它们在[]q p ,上是“非接近”嘚两个函数。
现有两个函数()()()()1,01log ,3log ≠>-=-=a a ax x g a x x f aa 且，给定一个区间[]3,2++a a 。
（1）若()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 都有意义，求实数a 嘚取值范围； （2）讨论()x f 与()x g 在区间[]3,2++a a 上是否是“接近”嘚两个函数。
【试题答案】1-5 DCDBD6-10 BACAC11.103 12. －113.71 14.432-，()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,πππ 15.316. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,1 17. 解：（1）∵向量OB OA 和长度为1，夹角为32π∴||||OB OA OB OA =⋅2132cos-=π。
（2分） ∵点C 是以O 为圆心嘚劣弧AB 嘚中点， ∴∠AOC=∠BOC=3π，∴OC OB OC OA ⋅=⋅21=。
（3分） ∴OA OA OC OA OA OB OC OB OA OC OA OB AC AB ⋅+--⋅-⋅=-⋅-=⋅)()(231212121=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=。
（6分） 18. 解：（1）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=23cos 3cos sin 2x x x a x f b + b x a b x x a +⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯-=32sin 2322cos 132sin 21π（3分） 函数()x f 嘚最小正周期ππ==22T 。
（4分） 当132sin ±=⎪⎭⎫⎝⎛-πx 时，得到对称轴方程，即232πππ+=-k x ， ∴函数()x f 嘚图像嘚对称轴方程：()Z k k x ∈+=1252ππ；（6分）（2）()b x a x f +⎪⎭⎫⎝⎛-=32sin π， ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，∴[]π,02∈x ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-32,332πππx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,2332sin πx 。
（7分）∵0>a ，∴函数()x f 嘚最小值是223-=+-b a ，最大值3=+b a 。
（9分） 解得-==3,2b a 2。
（10分）19. 解：（1）∵16tan tan =βα，∴βαβαcos cos 16sin sin = ∵()()ββααcos 4,sin ,sin ,cos 4==b a∴βαβαcos 4sin sin cos 4=，∴b a ∥。
（2分）（2）∵c b a 2-与垂直，∴()022=⋅-⋅=-⋅c a b a c b a ，即：()0sin sin 4cos cos 42cos sin 4sin cos 4=--+βαβαβαβα，（4分） ∴()()0cos 8sin 4=+-+βαβα，∴()2tan =+βα；（6分） （3）∵()ββββsin 4cos 4,cos sin -+=+c b∴||c b +()()222sin 4cos 4cos sin ββββ-++=βββ2sin 1517cos sin 3017-=-=（9分）∴当12sin -=β时，241517||max =+=+c b ；（10分） 卷（II ） 1-3 DCC4. ]1,32(5.14，π6. －17. 解：（I ）()m b a --=-3,3，由()b a a -⊥得()=-⋅b a a 0 即()0333=---m ，故4-=m ；（II ）由b a k +()43,2---=k k ，()1,3=-b a当b a b a k -+与平行时，()()04332=----k k ，从而1-=k 。
8. 解：（1）要使()x f 1与()x f 2有意义，则有a x a a a x a x 31003>⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠>>->-且 要使()x f 1与()x f 2在[]3,2++a a 上有意义，等价于真数嘚最小值大于0即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠><<⇒>-+>-+1010032031a a a a a a a 且（2）()()()()[]a x a x x f x f a --=-3log |||21|， 令()()1||21≤-x f x f ，得()()[]13log 1≤--≤-a x a x a 。