点到直线的距离教案--公开课

点到直线的距离教案-公开课

《点到直线的距离》教案

教学目标

（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思

考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。

教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用教学难点：点到直线的距离公式的推导

教学方法：启发引导法、讨论法学习方法：任务驱动下的研究性学习教学工具：计算机多媒体、三角板教学过程：

一、创设情境、提出问题

多媒体显示实际的例子：

如图,在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？

仓库

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。

二、师生互动、探究新知

教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P （x o ,y 0）和一条定直线i：Ax+By+C=O,那么如何求点P到直线l的距离d ?请学生思考并回答。

学生：先过点P作直线i的垂线，垂足为Q, 则

|PQ|的长度就是点P到直线i的距离d，将点线距离

转化为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示下列2道题（尝试性题组），请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）

⑴求P （X。,y 0）到直线i: By+C=O（ B H 0）的距

离 d ；（答案：d = y°+B ）

B

（2）求P （x o ,y o）到直线i: Ax+C=0（ A H 0）

的距离d ；（答案：d = Xo£）

A

第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于

直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。

教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什

么启示？

学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显

示并板书:

教师：当AB=0时，那么，而当直线是倾斜位 置时，L^+By+C"，此时直线含有多个字母则较 难；，虽然有一些思路，但具体操作起来因计算 量很大难以得出结果。点到直线的距离有没有 运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据 刚才的第（1 ）、（2）的启示或者是以前学过的 方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何

/

I

Q □ --- P G D ,

死）

一 /

X

当A = 0时，I : By+C =0, PQ = y 。—y Q 当B =0时，I : Ax+C =0, PQ = X 。—X Q y o

X o

|By 。+c B |AX 0 +c A

知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……

教师根据学生提出的方案，收集思路思路一：利用定义八

y

P

Q

O

X

①求垂线PQ的方程（由POL i以及直线i的斜率

可知垂线PQ的斜率，点斜式）

②求交点Q坐标（联立方程组求解）

③两点间距离公式

上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎

----- 运算较为繁琐。

（思路一）解：直线PQ: y - y° = B x 一X。，x = X。，

即

A

Bx - Ay 二Bx o -

Ay。

厂 2

』Bx - Ay = Bx0- Ay。_ B x0— ABy0 - AC

jAx+By+C=O ，X Q _ A2+B2

2 2 2

B x0—ABy。一AC「A x0「B x0

A2 B -A Ax o By o C

A 2

丄 f 2

A B

Ax o By o C

7~2

^"2

A B

.d 二 X Q - X 。2 y Q - y ° 2

教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐 如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提 出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构 造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图 形？如何构造？ 思路二：利用直角三角形 面积法

如图，设A M 0, B M 0。 引导过程：

① 点P 的坐标的意义。

② 过P 分别作x 轴、y 轴的垂线。

③ 构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。

y Q - y

A x-x °「

B A

2 B 2 , A B

2

Ax 。By 。C

Ax o By o C A 2

B 2

等

④ 如果知道面积和底边，就可以求出高。现在 要求RP PS SR 的长度。

⑤ 两点间距离公式，转化问求 R 、P 、S 的坐标。

多媒体显示、师生一起推导： (思路二)解：设 Px o

,y

o ?

0x Q > y

Q )， R(X R , y

0 )， S(x

0 , y

s )

Ax o C

y S

思路二：将来可以为利用二角函数、不等式、 向量等方法求解

A X R By o C =0

， X R

二

By 。C A

Ax o By s C = 0

，

RP = X 。— X R

Ax o By 。 C

PS = y

0 — y

s

Ax o By 。 C

由 PQ| RS = PR PS ， PQ

PR PS RS

而 |RS = J|RP |2

+|PS 2

=Ax

o

+ By o + C A 2 B 2

A 2B

2

=

Ax o By o C

AB

■■ A 2 B 2

二 pQ 」Ax

o+By

o+

C

A 2

B 2