定积分的计算(教案)
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易知上面的运算实际上是通过变换 u cos x 把原积分化为 u 5 的积分。如果 在这里把关于 x 的积分改写关于 u 的积分, 那么必须注意: 原来 sin 5 x cos x 关于 x 在 [0, / 2] 上的积分换元后相应的是 u 5 关于 u 从 1 到 0 的积分,即
n为 偶 数 , n为 奇 数 .
二.换元积分法 从不定积分的换元法转换到定积分的换元法,要特别注意积分上、下限的对 应关系。 定理 3.3.2 设 f 是 [a, b] 上的连续函数, 是定义于 和 间的具有连续导 数的函数,其值域包含于 [a, b] ,且 a ( ) , b ( ) 。则
0 0
xc o s x0 cos xdx
0
s in x0 。
例 3.3.2 解
计算 I n 2 sin n xdx ,其中 n 为非负整数。
0
显然,
I 0 2 sin 0 xdx
0
2
,
2 1。 I1 2 sin xdx cos x 0 0
教
案
定积分的计算
教学内容
由 Newton-Leibniz 公式知道, 函数的定积分等于其原函数在积分区间两端取 值之差, 因而为求定积分似应先算出相应的不定积分。但定积分计算的目标毕竟 并非原函数而是积分的值, 所以计算不定积分时常用的分部积分及变量代换等技 巧在这里可以转变为直接适用于定积分计算的相应运算法则。 定积分计算是微积 分中的基本技术,是学生必须掌握的技能。本节主要讲解以下几方面的内容: (1) 定积分的分部积分法; (2) 定积分的换元积分法; (3) 定积分的常用计算技巧; (4) 定积分的近似计算(数值积分法) 。
a
只要把 Newton-Leibniz 公式和不定积分的分部积分法相结合,便可得上述定 积分的分部积分公式。 例 3.3.1 求由曲线 y x sin x ( 0 x )和 x 轴围成的区域的面积 A 。 解 由定积分的几何意义知,
A x sin xdx xd cos x
0
(n 1)( I n 2 I n ) 。
由此,可得递推关系
n 1 I n2 , n 结合 I 0 和 I 1 的结果,1)(n 3) 1 n(n 2) 2 2 , In (n 1)(n 3) 2 , n(n 2) 3
r 0
r 2 x 2 dx r 2 2 cos 2 tdt
0
t sin 2t 2 1 2 r2 r 。 4 2 4 0 2 所以,整个圆的面积 A r 。
x 1 dx 。 1 x 解 令 t x 1 ,于是 x t 2 1 , dx 2tdt ,且 x 1 时 t 0 ; x 2 时, t 1 。于是
0
作变量代换 x
2
t ,于是
I n 2 sin n tdt 。
0
右端积分的值见例 3.3.2。 要补充说明的是,如果在计算中使用的是凑微分的不定积分换元法,因为运 算过程往往不另行写出中间变量,从而也毋须引入中间变量的变化区间。这就是 说:如果 f (u )du F (u ) c ,函数 g 在 [a, b] 上连续可微,则
2
1
1 x2 1 x2 1 1 1 x 4 dx 2 arctan 2 x 0 。 1 结果显然是错误的。因为在[-1,1]上恒取正值的连续函数的积分不可能为 0,正 确的计算如下: 由于被积函数是偶函数,由例 3.3.9 可知其积分值为 [0, 1] 上积分值的 2 倍, 所以
0
a
利用这个关系式,有时也可简化积分计算。 1 例 3.3.11 计算 4 dx 。 1 sin x 4 解
1 1 1 dx 4 1 sin x dx 04 1 sin x 1 sin( x)
4
1 4 2。 dx 2 tan x 0 0 1 sin 2 x 例 3.3.12 设 f 是以 T 为周期的连续函数,证明:对任何实数 a ,成立着
例 3.3.7 计算
2 2
2 0
cos 5 x sin xdx u 5 du
1
0
1 。 6
1 x x2 1
dx 。
2 ;当 3
解一 作变量代换 x sect ,则 dx sec t tan tdt ,且当 x 2 时, t
3 x 2 时, t ,于是 4 2 1
b a
f [ g ( x)]g ( x)dx F[ g ( x)] a 。
b
例 3.3.6 解
计算 2 cos 5 x sin xdx 。
0
2 0
c o s xs i n xdx 2 c o 5 s xd c o s x
5 0
2 1 1 cos 6 x 。 6 6 0
1 2 2 2 (1 cos 2 x)dx 2 x sin 2 x . 0 2 0
例 3.3.9 的结论实际上蕴含于以下更一般的结论中:对于 [a, a] 上任何连续 函数 f ,总有
a a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx 。
教学安排
一.分部积分法 定理 3.3.1 设函数 u , v 在 [a, b] 上具有连续导数,则
或
b a
u( x)v( x)dx u( x)v( x) a v( x)u ( x)dx ,
b a
b b
b
b a
u( x)dv( x) u( x)v( x) a v( x)du( x) 。
0 0
T a
a
a T a T
f ( x)dx f ( x)dx f (t )dt
a 0 a T 0 0
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 。
a
证毕
1 x dx 。 1 x4 解 先计算不定积分。当 x 0 或 x 0 时,有
例 3.3.13 计算 I
教学思路和要求
( 1 )定积分的分部积分法和换元积分法可以从不定积分的相应思想结合 Newton-Leibniz 公式得出; (2)定积分的计算有着许多特有的技巧,特别是在处理奇偶函数、周期函数 和满足一定恒等关系的函数的定积分计算时, 常有一些简便的方法, 需特别指出, 注意引导学生发挥主动意识,举一反三; (3)注意在讲授数值积分时强调背景思想,并指出误差估计。
和
b a
f ( x)dx F (b) F (a)
f [ (t )] (t )dt F[ ( )] F[ ( )] F (b) F (a) 。
所以上述两个积分相等。 例 3.3.3 求半径为 r 的圆的面积。 解 设圆的中心在原点。由对称性,只须求出它在第一象限部分的面积。圆 周在第一象限部分的方程为
2
6
解 由于 x cos 2 x sin x 是奇函数, sin 2 x 是偶函数,因此
x
2 2
2
cos 2 x sin xdx 0 ,
6
sin
2 2
2
xdx 2 2 sin 2 xdx 。
0
于是
2
2 6 2 2 2 sin x ( x cos 2 x sin 2 x 2 sin x ) dx 4 sin xdx 2 0
1 2 1
1 1 d x 2 1 x x x 1 x 4 dx 2 1 dx 1 2 x 2 x 2 x x 2 1 x 1 arctan c。 2 2x 至此,如果不假思索地应用 Newton-Leibniz 公式,便得
例 3.3.4
计算
2
1 x 1 t dx 2 2tdt 0 x t 1 1 1 1 2 1 dt 2(t arctan t ) 0 21 。 2 0 4 1 t
2
1
例 3.3.5 解
计算 I n 2 cos n xdx, 其中 n 是非负整数。
ln 2 0
1 e 2 x dx
3 2 0
u
u 1 du 2 1du 2 2 0 1 u 1 u
3
1 1 u 3 2 ln 1 u u ln( 2 3 ) 2 。 0 下面例 3.3.9 和例 3.3.11 的几何意义是明显的,它们往往可以用来简化积 分的计算。 例 3.3.9 设 a 0 , f 是 [a, a] 上的连续函数,则 (1)当 f 是奇函数时,
对上式右端第一个积分作换元 x t ,则有
0 a
f ( x)dx f (t )(dt) f (t )dt ,
a 0
a
所以
a a
f ( x)dx 0 。类似地可以讨论偶函数的情况。
证毕 例 3.3.10
2
计算 2 sin x( x 2 cos 6 2 x 2 sin x)dx 。
y r 2 x2 , 0 x r 。
因此,相应的面积为
r 0
r 2 x 2 dx 。
为计算这个积分,作变量代换 x r sin t ,t [0, / 2] ,于是,dx r cos tdt 。 变量 x 对应的积分区间 [0, 1] 转换为变量 t 对应的积分区间 [0, / 2] ,且 t 0 时, x 0 ; t 时 x r 。这样 2
3 2
(2)当 f 是偶函数时
a a
f ( x)dx 0 ;
a
a a
a a
f ( x)dx 2 f ( x)dx 。
0
证 设 f 是奇函数,即 f ( x) f ( x) , x [a, a] 。于是
f ( x)dx
0
0 a
f ( x)dx
a 0
f ( x)dx 。
证
b a
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt 。
因为函数 f 连续,故存在原函数,设 F f ,于是 d F [ (t )] f [ (t )] (t ) , dt 即 F[ (t )] 是 f [ (t )] (t ) 的原函数。由 Newton-Leibniz 公式,可得
x x2 1 这个积分也可以用凑微分的方法计算。 解二 1 d 2 2 1 x arcsin 1 2 x x 2 1 dx 2 2 x 1 1 x
2
dx 24
sec t tan t dt 24 dt 。 sec t ( tan t ) 12 3 3
2 4
证 显然
a T a
f ( x)dx f ( x)dx 。
0
T
a T a
f ( x)dx f ( x)dx
a
T
a T T
f ( x)dx 。
a
对最后一个积分作换元 x t T ,得
因此
a T T
f ( x)dx f (t T )dt f (t )dt 。
3
3
2
2
12
。
例 3.3.8 计算 解
ln 2 0
1 e 2 x dx 。
1 u du ,且当 作变量代换 u 1 e 2 x ,即 x ln(1 u 2 ) ,则 dx 2 1 u2 3 x 0 时, u 0 ;当 x ln 2 时, u ,于是 2
而对 n 2 ,有
I n 2 sin n xdx 2 sin n1 x sin xdx
0 0 n 1 n2 s in xc o s x 2 (n 1) 2 s i n xc o 2 sxdx 0 0
(n 1) 2 sin n2 x(1 sin 2 x)dx