中学数学竞赛常见定理

中学数学竞赛常见定理

西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。

西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。

塞瓦定理: 在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

海伦公式: 设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：

S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] ,p为半周长：p=(a+b+c)/2

托勒密定理: 圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．

正余弦定理:正弦a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R为三角形的外接圆半径.

三角形面积S=(bcsinA)/2=(acsinB)/2=(absinC)/2

余弦: 对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a,b,c 三角为A,B,C ，则满足:

a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A

b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B

c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C

Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab

Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac

Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc

斯特瓦尔特定理：△ABC的BC边上有一点D则：

AB^2*DC+AC^2*BD-AD^2*BC=BC*DC*BD

广勾股定理：在三角形中，锐角(或钝角)所对的边的平方等于另外两边的平方和，减去(或加上)这两边中的一边与另一边在这边(或其延长线)上的射影的乘积的2倍．

阿基米德折弦定理

笛沙格定理:平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

密克定理: 三圆定理：设三个圆C1, C2, C3交于一点O，而M, N, P分别是C1 和C2, C2和C3, C3和C1的另一交点。设A 为C1的点，直线MA交C2于B，直线PA交C3于C。那么B, N, C这三点共线。

逆定理：如果是三角形，M, N, P三点分别在边AB, BC, CA 上，那么三角形, , 的外接圆交于一点O。

完全四线形定理：如果ABCDEF是完全四线形，那么三角形, , , 的外接圆交于一点O，称为密克点。

四圆定理：设C1, C2,C3, C4为四个圆，A1和B1是C1和C2的交点，A2和B2是C2 和C3的交点，A3和B3是C3和C4的交点，A4和B4是C1和C4的交点。那么A1, A2, A3, A4四点共圆当且仅当B1, B2, B3, B4四点共圆。

五圆定理：设ABCDE为任意五边形，五点F, G, H, I, J分别是EA和BC , AB和CD, BC和DE, CD和EA, DE和AB的交点，那么三角形, , , , 的外接圆的五个不在五边形上的交点共圆，而且穿过这些交点的圆也穿过五个外接圆的圆心。

逆定理：设C1,, C2, C3, C4, C5五个圆的圆心都在圆C上，相邻的圆交于C上，那么把它们不在C上的交点与比邻同样的点连起来，所成的五条直线相交于这五个圆上

欧拉定理：△ABC的外接圆圆心为O，半径为R，内切圆圆心为I，半径为r,记OI=d,则有：d2=R2-2Rr

三角形位似心定理：如图，若△ABC与△DEF位似，则通过对应点的三直线AD、BE、CF共点于P

密格尔定理：已知AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，那么，这四个三角形的外接圆共点圆

中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)AB^2+AC^2=2(AP^2+BP^2)

等周定理: 在周界相等的形状之中，以圆的面积最大，即面积相等的形状之中，以圆的周界最小

帕斯卡定理: 圆内接六边形的三双对边(所在直线)的交点共线。这条直线称为该六边形的帕斯卡线

九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆: 三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点［连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点］九点

共圆。通常称这个圆为九点圆［nine-point circle］，又称欧拉圆或费尔巴哈圆.。

九点圆具有许多有趣的性质，例如：

1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；

2.九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；费尔巴哈定理:三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切

有斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+mn/(m+n)BC^2n×AB^2+m×AC^2=(m+n)AP^2+mn/(m+n)BC^2

阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上

爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。

史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于

△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。

史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。

波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC的西姆松线交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).

波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点

波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。

卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。

奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线