均值不等式的八类拼凑方法
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=〞号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=〞号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正〞、二“定〞、三“等〞；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积〞的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=〞。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和〞的形式，变为“积〞的形式，然后利用隐含的“定和〞关系，求“积〞的最大值。
例2 求函数)2101y xx x =-<<的最大值。
解：()()2242214122x x y x x x =-=•••-。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即6x =时，上式取“=〞。
均值不等式常用变形及解题方法总结
均值不等式应用（一）均值不等式* 也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。
（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值·形函数例：求函数2y =的值域。
(2)t t =≥2y =1(2)t t t ==+≥当1t t=时函数在x 轴正半轴有最小值，在y 轴负半轴有最大值，即1t =± ∵1t =±不属于区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。
∵1y t t=+在区间[)1,+∞单调递增， ∴52y ≥∴所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭·分离法例3.：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
解：当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（，当且仅当x ＝1时等号成立·换元法例：已知 ，则解：令 则·拼凑（系数、常数）例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.解：x 1＋y 2＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22x 1＋y 2 ＝ 2 ·x 12 ＋y 22 ≤ 2x 2＋(12 ＋y 22 )22 ≤ 342例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
解：∵54x <∴540x -> ∴11425432314554y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭ 当且仅当15454x x-=-，即1x =时等号成立 ∴当1x =时，max 1y =。
·化积为和（因式分解、平方）例：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。
基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式(教师版)
基本(均值)不等式与其他知识相结合的9种方式基本(均值)不等式是解决函数、立体几何、三角函数、数列、向量、解三角形等知识领域重要的方法之一.本资料整理高一知识融合试题，试题偏难，仅供强基计划学生选用.一、不等式与三角函数1.已知α+β+γ=π，β为锐角，tan α=3tan β，则1tan γ+1tan α的最小值为()A.12B.43C.32 D.34解析：∵α+β+γ=π，∴tan γ=-tan (α+β)=-tan α+tan β1-tan αtan β=-4tan β1-3tan 2β，∴1tan γ+1tan α=3tan 2β-14tan β+13tan β=9tan 2β+112tan β=34tan β+19tan β≥34×23=12，当且仅当tan β=19tan β即tan β=13时取等号，所以1tan γ+1tan α的最小值为12.故选：A .二、不等式与数列2.阅读：已知a 、b ∈(0,+∞)，a +b =1，求y =1a +2b的最小值.解法如下：y =1a +2b =(1a +2b )(a +b )=b a +2ab +3≥3+22，当且仅当b a =2a b ，即a =2-1,b =2-2时取到等号，则y =1a +2b的最小值为3+2 2.应用上述解法，求解下列问题：(1)已知a ,b ,c ∈(0,+∞)，a +b +c =1，求y =1a +1b+1c 的最小值；(2)已知x ∈(0,12)，求函数y =1x +81-2x的最小值；(3)已知正数a 1、a 2、a 3,⋯,a n ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =1，求证：S =a 21a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 23a 3+a 4+⋯+a 2na n +a 1≥12.解析：(1)∵a +b +c =1，∴y =1a +1b +1c =(a +b +c )(1a +1b +1c )=3+(b a +a b +c a +a c +c b+bc )≥3+2b a ⋅a b +2c a ⋅a c +2c b ⋅b c =9，当且仅当a =b =c =13时取等号．即y =1a +1b+1c 的最小值为9．(2)y =22x +81-2x =(22x +81-2x )(2x +1-2x )=10+2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x，而x ∈(0，12)，∴2⋅1-2x 2x +8⋅2x1-2x≥22(1-2x )2x ⋅8⋅2x 1-2x =8，当且仅当2(1-2x )2x =8⋅2x 1-2x ，即x =16∈(0，12)时取到等号，则y ≥18，∴函数y =1x +81-2x的最小值为18．(3)∵a 1+a 2+a 3+…+a n =1，∴2S =(a 12a 1+a 2+a 22a 2+a 3+a 32a 3+a 4+⋯+a n2a n +a 1)[(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+…+(a n +a 1)]=(a 21+a 22+⋯+a 2n )+[a 21a 1+a 2(a 2+a 3)+a 22a 2+a 3(a 1+a 2)+⋯+a 2n a n +a 1(a 1+a 2)+a 21a 1+a 2(a 3+a 4)+⋯]≥(a 21+a 22+⋯+a 2n )+(2a 1a 2+2a 2a 3+⋯+2a n a 1)=(a 1+a 2+⋯+a n )2=1．当且仅当a 1=a 2=⋯=a n =1n 时取到等号，则S ≥12．三、不等式与立体几何3.已知三棱锥A -BCD 的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ,∠BAC =120°，AD =2，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为()A.33B.233C.3D.23【解析】设球O 的半径为R ，AB =x ，AC =y ，由4πR 2=20π，得R 2=5．如图：设三角形ABC 的外心为G ，连接OG ，GA ，OA ，可得OG =12AD =1，则AG =R 2-1=2．在ΔABC 中，由正弦定理可得：BCsin120°=2AG =4，即BC =23，由余弦定理可得，BC 2=12=x 2+y 2-2xy ×(-12)=x 2+y 2+xy ≥3xy ，∴xy ≤4．则三棱锥A -BCD 的体积的最大值为13×12×4×sin120°×2=233．故选：B ．4.如图，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥面ABC ，AB ⊥BC ,E 、F 是SC 上两个三等分点，记二面角E -AB -F 的平面角为α，则tan α()A.有最大值43B.有最大值34C.有最小值43D.有最小值34【解析】将三棱锥放入长方体中，设AB =a ，BC =b ，AS =c ，如图所示：过E 作EN ⊥平面ABC 与N ，NM ⊥AB 与M ，连接ME ，则∠EMN 为二面角E -AB -C 的平面角，设为α1，则NE =13c ，MN =23b ，故tan α1=c2b .同理可得：设二面角F -AB -S 的平面角为α2，tan α2=b 2c.tan α=tan π2-α1-α2 =1-tan α1tan α2tan α1+tan α2=34c 2b+b2c ≤34，当c 2b=b 2c ，即b =c 时等号成立.故选：B .5.如图，已知四面体ABCD 为正四面体，AB =22，E ，F 分别是AD ，BC 中点.若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为()A.1B.2C.2D.22【解析】把正四面体补为正方体，如图，根据题意，KL //BC ，LM //GH ，KL BC =AL AB ，LM AD =BLAB ，所以KL =AL ，LM =BL ，故KL +LM =AL +BL =22，S 截面=KL ⋅LM ≤KL +LM 2 2=2，当且仅当KL =LM 时成立，故选：C .四、不等式证明6.设x ,y ,z >0，a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x，则a ,b ,c 三个数()A.都小于4B.至少有一个不大于4C.都大于4D.至少有一个不小于4【解析】假设三个数4x +1y <4且4y +1z <4且4z +1x<4，相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z <12，由基本不等式得：1x +4x ≥4；1y +4y ≥4；1z+4z ≥4；相加得：1x +4x +1y +4y +1z+4z ≥12，与假设矛盾；所以假设不成立，三个数4x +1y 、4y +1z 、4z +1x 至少有一个不小于4．故选：D ．7.已知a ，b ，c ∈R ，a 2+b 2+c 2=1．1 证明：-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．【解析】1 证明：由a +b +c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =1+2ab +2bc +2ca ≥0，得ab +bc +ca ≥-12．另一方面，a 2+b 2≥2ab ，b 2+c 2≥2bc ，c 2+a 2≥2ca ，所以2a 2+2b 2+2c 2≥2ab +2bc +2ca ，即ab +bc +ca ≤1．所以-12≤ab +bc +ca ≤1．2 证明：a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 =a 21-a 2 +b 21-b 2 +c 21-c 2 =1-a 4+b 4+c 4 ，因为a 4+b 4+c 4=a 2+b 2+c 2 2-2a 2b 2-2b 2c 2-2c 2a 2≥1-a 4+b 4+b 4+c 4+c 4+a 4 ，即3a 4+b 4+c 4 ≥1，则a 4+b 4+c 4≥13，所以a 2b 2+c 2 +b 2c 2+a 2 +c 2a 2+b 2 ≤23．8.已知a ,b ,c 为正数，且满足a +b +c =1. 证明：(1)1a +1b+1c ≥9；(2)ac +bc +ab -abc ≤827.【解析】(1)a +b +c =1，故1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b+a +b +cc =3+b a +a b +c a +a c +c b+b c ≥3+2+2+2=9，当a =b =c =13时等号成立.(2)易知1-a >0,1-b >0,1-c >0.ac +bc +ab -abc =1-a +b +c +ac +bc +ab -abc =1-a 1-b 1-c≤1-a +1-b +1-c 3 3=827.当a =b =c =13时等号成立.9.设实数x ，y 满足2x +y =1．1 若2y -1 -2x <3，求x 的取值范围；2 若x >0，y >0，求证：1x +2y -2xy ≥152．【解析】1 由2x +y =1，得y =1-2x ，所以不等式2y -1 -2x <3，即为4x -1 -2x <3，所以有1-4x +2x <3x <0 或0≤x ≤141-4x -2x <3 或x >144x -1-2x <3解得-1<x <0或 0≤x ≤14 或14<x <2，所x 的取值范围为x ∈-1,2 ．2 ∵x >0，y >0，2x +y =1所以1x +2y =1x +2y 2x +y =4+y x +4xy≥4+4=8当且仅当y x =4x y ，即2x =y =12时取等号．又-2xy ≥-2x +y 2=-12，当且仅当2x =y =12时取等号，所以1x +2y -2xy ≥152，当且仅当2x =y =12时取等号．10.1在锐角ΔABC 中，证明：(1)tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ；(2)tan A ⋅tan B ⋅tan C ≥3 3.证明：(1)∵tan C =-tan (A +B )=tan A +tan Btan A tan B -1∴tan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C ,(2)解法1：∵y =tan x ,x ∈(0,π2)是凸函数，∴tan A tan B tan C ≥3 3.解法2：∵tan A tan B tan C ≤(tan A +tan B +tan C 3)3，∴tan A tan B tan C ≥33五、最值问题11.设x>0,y>0且x+y=4，则x2x+1+y2y+2的最小值是A.167B.73C.2310D.94【解析】∵x+y=4，∴(x+1)+(y+2)=7∴x2x+1+y2y+2=x+12-2x+1+1x+1+y+22-4y+2+4y+2=1+1x+1+4y+2=1+1x+1+4 y+2x+17+y+27=1+17+47+y+27(x+1)+4(x+1)7y+2≥127+2×27= 16712.已知实数a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1的最小值为()A.3+224 B.3+424 C.3+226 D.3+426【解析】因为a>0,b>1满足a+b=5，则2a+1b-1=(2a+1b-1)a+b-1×14=143+2b-1a+ab-1≥14(3+22)当且仅当2b-1a=ab-1时取等号，故选：A．13.设a>b>0，则ab+4b2+1b a-b的最小值是()A.2B.3C.4D.6【解析】因为a>b>0⇒a-b>0；所以ab+4b2+1b(a-b)=ab-b2+1b(a-b)+b2+4b2=b(a-b)+1b(a-b)+b2+4b2≥2b(a-b)×1b(a-b)+2b2×4b2=2+4=6．当且仅当b(a-b)=1b(a-b)，b2=4b2时取等号，∴ab+4b2+1b(a-b)的最小值为6．故选：D．六、不等式与函数14.已知f x =2x-2+x+1．(1)求不等式f x <6的解集；(2)设m,n,p为正实数，且m+n+p=f2 ，求证：mn+np+pm≤3.【解析】(1)不等式2x-2+x+1<6等价于不等式组x<-1-3x+3<6或-1≤x≤2-x+5<6或x>23x-3<6，所以不等式2x-2+x+1<6的解集为-1,3；(2)证明：因为m+n+p=3，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9，因为m,n,p为正实数，所以由基本不等式m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立)，同理m2+p2≥2mp,p2+n2≥2pn，所以m2+n2+p2≥mn+mp+np，所以m+n+p2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np，所以mn+mp+np≤3.15.已知函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .(1)求实数m 的取值范围；(2)设实数t 为m 的最大值，若实数a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2=t 2，求1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值.【解析】(1)∵函数f x =2x -3 -x -m -1的定义域为R .∴2x -3 -x -1≥m 对任意的x ∈R 恒成立，令g x =2x -3 -x -1，则g x =x -7,x ≥3 5-3x ,0<x <3 5-x ,x ≤0，结合g x 的图像易知g x 的最小值为-4，所以实数m 的取值范围-∞,-4 .(2)由(1)得t =-4，则a 2+b 2+c 2=16，所以a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 =22，1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3=1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3a 2+1 +b 2+2 +c 2+3 22=3+b 2+2a 2+1+a 2+1b 2+2+c 2+3a 2+1+a 2+1c 3+3+c 2+3b 2+2+b 2+2c 2+322≥3+2b 2+2a 2+1×a 2+1b 2+2+2c 2+3a 2+1×a 2+1c 2+3+2c 2+3b 2+2×b 2+2c 2+322=922，当且仅当a 2+1=b 2+2=c 2+3=223，即a 2=193，b 2=163，c 2=133时等号成立，∴1a 2+1+1b 2+2+1c 2+3的最小值为922.七、不等式与向量16.若非零向量m ,n 满足|m -e |-m ⋅e =|n -e |-n ⋅e =1(e 为单位向量)，且m ⊥n ，则|m -n|的最小值是()A.1B.2C.4D.8【解析】由非零向量m ,n 满足m ⊥n ，可设m =(a ,0)，n=(0,b )，其中a ,b 均不为0．因为e 为单位向量，可设e =(cos θ,sin θ)，因为|m -e |-m ⋅e=(a -cos θ)2+sin 2θ-a cos θ=1，所以a 2-2a cos θ+cos 2θ+sin 2θ=1+2a cos θ+a 2cos 2θ，即a sin 2θ=4cos θ①，同理，由|n -e |-n ⋅e=1可得b cos 2θ=4sin θ②，由①②，可得a 2+b 2=16cos 2θsin 4θ+16sin 2θcos 4θ=16cos 4θ+sin 2θcos 2θsin 4θ+ sin 4θ+sin 2θcos 2θcos 4θ=161tan 4θ+1tan 2θ+tan 4θ+tan 2θ ≥16×(2+2)=64当且仅当tan 2θ=1时，等号成立，所以当tan 2θ=1时，|m -n |min =8，故选：D ．17.已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD =2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF =λAB +56AD ，则AF 的最小值为___________．【解析】由题可知，平行四边形ABCD 的图象如下：设DF =kDE ，∴AF =AD +DF =AD +kDE =AD+k DC +CE ，∵DC =AB ，CE =12DA，则AF =AD +kAB +12kDA ，所以AF =kAB +AD -12kAD =kAB +1-12k AD ，又∵AF =λAB +56AD ，则有：k =λ1-12k =56，解得：k =λ=13，即AF =13AB +56AD ，∵平行四边形ABCD 的面积为93，即∵AB ⋅AD sin 2π3=93，∴AB ⋅AD =18，∴AF 2=13AB +56AD2=19AB 2+59AB ⋅AD +2536AD 2，即：∴AF 2=19AB 2+59AB ⋅AD cos ∠BAD +2536AD2，∴AF 2=19AB 2+59×18×-12 +2536AD 2=19AB2+2536AD 2-5，即：AF2=19AB2+2536AD 2-5，∵19AB 2+2536AD 2≥219AB 2×2536AD 2=2×518×18=10，即19AB 2+2536AD 2≥10，所以19AB 2+2536AD2-5≥5，∴AF 2≥5，∴AF ≥5，当且仅当：19AB 2=2536AD2时，取等号，∴AF 的最小值为 5.18.平面向量a ,b ,c 满足|a |≤1，|b |≤1，|2c -(a +b )|≤|a -b |，则|c |的最大值为_______．【解析】由绝对值不等式的性质可知，已知中|2c -(a +b )|≤|a -b |，可得|2c |-|a +b |≤|a -b |，即|2c |≤|a+b |+|a -b |，将a ，b 的起点移到同一点，以a ，b 为边构造平行四边形，则a +b ，a -b 为平行四边形的两条对角线，在平行四边形ABCD 中，|AC |2=|AB +AD |2=|AB |2+|AD |2+2|AB |⋅|AD|cos ∠BAD ，由余弦定理可知|BD |2=|AB |2+|AD |2-2|AB |⋅|AD |cos ∠BAD ，则|AC |2+|BD |2=2|AB |2+2|AD |2，显然|AC |+|BD |若取最大值，则|AB |，|AD |应为最大1，即|AC |2+|BD |2=4⇒|AC |+|BD | 2-2|AC ||BD |=4⇒|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |由基本不等式可知|AC |+|BD | 22-2=|AC ||BD |≤|AC |+|BD |24⇒|AC |+|BD | 2≤8⇒|AC |+|BD |≤22当且仅当|AC |=|BD |时取等号，所以当|a |=1，|b |=1且|a +b |=|a -b |时，|a +b |+|a -b|取得最大值22，则|2c |≤|a +b |+|a -b |≤22，即|c |≤2，所以|c |的最大值为2．故答案为：2八、不等式与解三角形19.在锐角ΔABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，ΔABC 的面积为S ，若sin (A +C )=2Sb 2-c 2，则tan C +12tan (B -C )的最小值为()A.2B.2C.1D.22【解析】因为sin (A +C )=2S b 2-c 2，即sin B =2Sb 2-c 2，所以sin B =ac sin Bb 2-c 2，因为sin B ≠0，所以b 2=c 2+ac ，由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得a -2c cos B =c ，再由正弦定理得sin A -2sin C cos B =sin C ，因为sin A -2sin C cos B =sin (B +C )-2sin C cos B =sin (B -C )，所以sin (B -C )=sin C ，所以B -C =C 或B -C +C =π，得B =2C 或B =π(舍去).因为ΔABC 是锐角三角形，所以0<C <π20<2C <π20<π-3C <π2，得π6<C <π4，即tan C ∈(33,1)，所以tan C +12tan (B -C )=tan C +12tan C ≥2，当且仅当tan C =22，取等号.故选:A20.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =6，点O 为其外接圆的圆心.已知BO ·AC=15，则当角C 取到最大值时△ABC 的面积为()A.35B.25C.30D.56【解析】设AC 中点为D ，则BO ⋅AC =BD +DO ⋅AC =BD ⋅AC =12BC +BA⋅BC -BA=12BC 2-12BA 2 ，∴12a 2-12c 2=15，即c =6，由c <a 知角C 为锐角，故cos C =a 2+b 2-c 22ab =30+b 212b =112b +30b≥112×2b ⋅30b =306，当且仅当b =30b，即b =30时cos C 最小，又y =cos x 在0,π2 递减，故C 最大.此时，恰有a 2=b 2+c 2，即△ABC 为直角三角形，S △ABC =12bc =35，故选A .21.在△ABC 中,已知AB ·AC =9,sin B =cos A sin C ,S △ABC =6,P 为线段AB 上的点,且CP =x CA CA +y CBCB ,则xy 的最大值为________.【解析】由sin B =cos A sin C 得b =c b 2+c 2-a 22bc⇒a 2+b 2=c 2⇒S ΔABC =12ab =6所以由AB ·AC =9得AC 2=9,∴b =3,a =4又P 为线段AB 上的点，且CP =x CA CA +y CBCB ,所以x b+y a =1,∴x3+y 4=1,∴1≥2x 3⋅y 4∴xy ≤3，当且仅当x =32,y =2时，等号成立即xy 的最大值为3.22.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，且a cos B -b cos A =35c ，则tan A -B 的最大值为A.32B.34C.32D.3【解析】∵a cos B -b cos A =35c ∴由正弦定理，得sin A cos B -sin B cos A =35sin C ，∵C =π-(A +B )⇒sin C =sin (A +B )，，∴sin A cos B -sin B cos A =35(sin A cos B +cos A sin B )，整理，得sin A cos B =4sin B cos A ，同除以cos A cos B ，得tan A =4tan B ，由此可得tan (A -B )=tan A -tan B 1+tan A tan B =3tan B 1+4tan 2B=31tan B+4tan B ，∵A 、B 是三角形内角，且tan A 与tan B 同号，∴A 、B 都是锐角，即tan A >0，tan B >0，∵1tan B+4tan B ≥21tan B ⋅4tan B =4tan (A -B )=31tan B+4tan B ≤34，当且仅当1tan B =4tan B ，即tan B =12时，tan (A -B )的最大值为34．故选B ．23.已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2=8，则△ABC 面积的最大值为()A.55B.255C.355D.53【解析】因为a 2+b 2+2c 2=8，所以a 2+b 2=8-2c 2，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =8-3c 22ab，即2ab cos C =8-3c 2①由正弦定理得S =12ab sin C ，即2ab sin C =4S ②由①，②平方相加得4ab 2=8-3c 2 2+4S 2≤a 2+b 2 2=8-2c 2 2，所以4S 2≤8-2c 2 2-8-3c 2 2=16-5c 2 c 2≤1516-5c 2+5c 222=645，即S 2≤45，所以S ≤255，当且仅当a 2=b 2且16-5c 2=5c 2即a 2=b 2=125,c 2=85时，取等号.故选：B24.已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ,N ，且AM =xAB ，AN =yAC，x ,y >0 ，则3x +y 的最小值是()A.83B.72C.52D.43+233【解析】因为M ,G ,N 三点共线，故AG =tAM +1-t AN ，因为AM =xAB ,AN =yAC ，所以AG =txAB+1-tyAC ，又G 为重心，故AG =13AB +13AC ，而AB ,AC 不共线，所以tx =13,1-t y =13，也即是1x +1y=3.3x +y =133x +y 1x +1y =134+y x +3x y，由基本不等式可以得到：y x +3x y ≥23，当且仅当x =3+39,y =33+13等号成立，故3x +y 的最小值为43+233，故选D .25.已知O 是△ABC 的外心，∠C =45°,OC =2mOA +nOB ,(m ,n ∈R ),则1m 2+4n2的最小值为____．【解析】OC =2mOA +nOB ∴OC 2=2mOA +nOB 2=4m 2OA 2+n 2OB 2+4mnOA ⋅OB∠C =45°∴∠AOB =90°∴OA ⋅OB=0故4m 2+n 2=11m 2+4n 2=1m 2+4n 2 4m 2+n 2=4+n 2m 2+16m 2n 2+4≥216+8=16当n 2m 2=16m 2n 2即n 2=12,m 2=18时等号成立，故答案为：1626.在锐角三角形ABC 中，角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，若b 2+c 2=4bc sin A +π6，则tan A +tan B +tan C 的最小值是______．【解析】由余弦定理，得b 2+c 2=a 2+2bc cos A ，则由b 2+c 2=4bc sin A +π6 ，得a 2+2bc cos A =4bc sin A +π6=2bc (3sin A +cos A )，所以a 2=23bc sin A ，由正弦定理，得sin 2A =23sin B ⋅sin C ⋅sin A ，所以sin A =23sin B sin C ，所以sin (B +C )=23sin B sin C ，sin B cos C +cos B sin C =23sin B sin C ，tan B +tan C =23tan B tan C ．因为tan A =-tan (B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1，所以tan A +tan B +tan C =tan A ⋅tan B ⋅tan C ，则tan A +tan B +tan C =tan B +tan C tan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C =23tan B tan Ctan B tan C -1⋅tan B ⋅tan C ．令tan B ⋅tan C -1=m ，而tan B ⋅tan C -1=tan B tan A +tan Ctan A,∴m >0则tan B ⋅tan C =m +1，tan A +tan B +tan C =23(m +1)2m =23m 2+2m +1 m =23m +1m+2 ≥23(2m ⋅1m +2)=83，当且仅当m =1时，等号成立，故tan A +tan B +tan C 的最小值为83．27.已知ΔABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a cos C -c cos A =35b ，则tan (A -C )的最大值为______．【解析】因为a cos C -c cos A =35b ，由正弦定理得sin A cos C -sin C cos A =35sin B ，又B =π-(A +C )，所以sin A cos C -sin C cos A =35sin [π-(A +C )]，即sin A cos C -sin C cos A =35sin (A +C )，所以5sin A cos C -5sin C cos A =3sin A cos C +3cos A sin C ，所以2sin A cos C =8cos A sin C ，当cos C ≤0或cos A ≤0时，等式不成立，所以A ,C ∈(0,π2)，所以tan A =4tan C ，所以tan (A -C )=tan A -tan C 1+tan A tan C =3tan C 1+4tan 2C =31tan C+4tan C 又tan C >0，所以1tan C +4tan C ≥21tan C ⋅4tan C =4，当且仅当1tan C =4tan C ，即tan C =12时，等号成立，所以tan (A -C )=31tan C +4tan C ≤34，所以tan (A -C )的最大值为34．28.已知ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足a cos A+b +2c cos B =0,则sin2B ⋅tan 2C 的取值范围是__________.【解析】a cos A+b +2c cos B =0，即a cos B +b cos A +2c cos A =0，即sin A cos B +sin B cos A +2sin C cos A =0，sin C 1+2cos A =0，sin C ≠0，故1+2cos A =0，A =3π4，故B +C =π4.sin2B ⋅tan 2C =cos2C ⋅sin 2C cos 2C =2cos 2C -1 1-cos 2C cos 2C =3-2cos 2C +1cos 2C，C ∈0,π4 ，故t =cos 2C ∈12,1 ，故y =3-2t +1t，根据双勾函数性质知：函数在12,22上单调递增，在22,1 上单调递减.故y max =3-22，当t =1时，y =0，当t =12时，y =0，故sin2B ⋅tan 2C ∈0,3-22 .故答案为：0,3-22 .九、不等式与恒成立问题29.正数a,b满足1a+9b=1，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】∵a>0,b>0,1a+9b=1，∴a+b=(a+b)1a+9b=10+b a+9a b≥10+2b a⋅9a b=16当且仅当3a=b，即a=4,b=12时，“=”成立，若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立，则-x2+4x+18-m≤16，即-x2+4x+2≤m对任意实数x恒成立，∵-x2+4x+2=-(x-2)2+6≤6∴m≥6实数m的取值范围是[6,+∞)30.数列a n中，a1=12，a n+1=na nn+1na n+1n∈N*，若不等式4n2+1n+-1nλa n≥0恒成立，则实数λ的取值范围为__________.【解析】由数列 a n满足a1=12,a n+1=na n(n+1)(na n+1)(n∈N x)，两边取倒数可得：1(n+1)a n+1-1nan=1，∴数列1nan是等差数列, 公差为1, 首项为2∴1nan =2+(n-1)=n+1，∴a n=1n(n+1)由4n2+1n+(-1)nλa n≥0恒成立,得(-1)n⋅1n(n+1)λ≥-4n2-1n=-4-nn2,当n为偶数时，λ≥-(n+1)(n+4)n=-(n+4n+5), 则λ≥-9，当n为奇数时，λ≤n+4n+5,则λ≤283，∴实数λ的取值范围为-9,283。
运用均值不等式的八类配凑方法
运用均值不等式的八类配凑方法均值不等式是数学中常用的一类不等式，具有广泛的应用领域。
在解决问题时，可以通过配凑合适的均值不等式来简化计算，提升效率。
下面介绍八种常见的配凑方法。
1.a/b+b/c≥2√(a/b*b/c)：若题目中涉及到两个有理式之和，并且等式右边的两个有理式可以构成一个平方根形式，那么可以应用该不等式。
2. (a+b)² ≥ 4ab：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的两倍，那么可以应用该不等式。
3. (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ac)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的三倍，那么可以应用该不等式。
4. a²+b² ≥ 2ab：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的两倍，那么可以应用该不等式。
5. (a+b+c+d)² ≥ 4(ab+bc+cd+da)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的四倍，那么可以应用该不等式。
6. (a+b+c+d+e)² ≥ 5(ab+bc+cd+de+ea)：若题目中涉及到平方和的形式，并且等式右边的项是该形式的五倍，那么可以应用该不等式。
7. (a+b)³ ≥ 4ab(a+b)：若题目中涉及到立方和的形式，并且等式右边的项是该形式的四倍，那么可以应用该不等式。
8.(a+b)⁴≥16a²b²：若题目中涉及到四次方和的形式，并且等式右边的项是该形式的十六倍，那么可以应用该不等式。
通过应用以上八类配凑方法，可以在解决问题时简化计算，加快解题速度。
需要注意的是，每个不等式的应用条件和推导过程可能会有所不同，需要根据具体情况进行分析和运用。
同时，配凑方法只是数学问题解决的一种思路，实际问题解决过程可能还需要运用其他方法和技巧。
均值不等式求值的十种方法
均值不等式求最值的十种方法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(33333333+∈++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立；④)(3333+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤⇔≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立.注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a bab +≤≤≤222b a +。
一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ (1) 当时，求(82)y x x =-的最大值。
(2) 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2 求函数()22101y xx x =-<<的最大值。
均值不等式方法及例题
之宇文皓月创作均值不等式当且仅当a＝b时等号成立）是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目，可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行需要的变形才干利用均值不等式求解。
下面是一些经常使用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当时，求的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。
当且仅当，即x＝2时取等号。
所以当x＝2时，的最大值为8。
评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知，求函数的最大值。
解析：由题意知，首先要调整符号，又不是定值，故需对进行凑项才干得到定值。
∵∴当且仅当，即时等号成立。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
3. 分离例3. 求的值域。
解析：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当，即时（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
当，即时（当且仅当x＝－3时取“＝”号）。
∴的值域为。
评注：分式函数求最值，通常化成g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知，求的最小值。
解法1：无妨将乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当时取等号，由即时，的最小值为。
解法2：将分子中的1用代换。
评注：本题巧妙运用“1”的代换，得到，而与的积为定值，即可用均值不等式求得的最小值。
三、换元例5. 求函数的最大值。
解析：变量代换，令，则当t＝0时，y＝0当时，当且仅当，即时取等号故。
评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数的最大值。
解析：注意到的和为定值。
又，所以当且仅当，即时取等号。
故。
评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。
均值不等式中的“配凑”技巧
平均值不等式是高中数学的重要知识，是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置.在使用均值不等式处理问题的时候，最常使用的技巧就是“配凑”.本文通过以下例题简要说明.1均值不等式设a1,a2,…,a n均为正实数，则有n1 a1+1a2+…+1ana1a2…a nn a1+a2+…+ann，当且仅当a1=a2=…=an时，三个等号同时成立.对于这个不等式，高考中只要求n=2或n=3的情形，在数学竞赛和自主招生考试中要求更高.2均值不等式中的“配凑”技巧2.1配凑常数例1设a,b,c为三个正实数，且abc=1，求证：1a+b+1+1b+c+1+1c+a+11.证明：不妨设x,y,z为三个正实数，使得x3=a，y3=b，z3=c，则xyz=abc3=1，a+b+ 1=x3+y3+xyz=(x+y)(x2+y2-xy)+xyz (x+y)(2xy-xy)+xyz=xy(x+y+z)=x+y+zz，所以1a+b+1zx+y+z，同理可得1b+c+1xx+y+z,1c+a+1yx+y+z，所以1a+b+1+ 1b+c+1+1c+a+1zx+y+z+xx+y+z+ yx+y+z=1.评注：本题关键是用abc3代替1.例2设a,b,c∈R+,且a2+b2+c2=1，求证：a1-a2+b1-b2+c1-c2.证明：原不等式a1-a2+b1-b2+c1-c2,等价于a2a(1-a2)+b2b(1-b2)+c2c(1-c2) .由于a2+b2+c2=1，如果能证明x(1-x) 233，这里0<x<1.则上述不等式成立，由平均值不等式得，x(1-x2)=均值不等式中的“配凑”技巧河北省邯郸市第一中学师文亮056006摘要：平均值不等式是高中数学的重要知识，是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置.本文通过例题旨在说明均值不等式在使用时的一些技巧.关键词：平均值不等式；配凑；技巧··1=233故不等式成立.评注：由于分子之和a 2+b 2+c 2=1，所以当各分母被控制在某个常数之内时，便可以推出命题成立.这个方法在分式不等式证明中常常使用.2.2配凑项数例3若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1，求证：(a +1a )(b +1b )(c +1c ) 100027.证明：注意到a =b =c =13时，不等式的等号成立，将原不等式变形为(3a +3a)(3b +3b )(3c +3c ) 1000.经观察要使不等式的等号成立，只需3a =3ma=1，解得m =9,故a +1a =a +19a +19a +⋯+19a 9个(a +1a )(b +1b )(c +1c )=1000×3-3=100027,当且仅当a =b =c =13时等号成立.评注：本题的关键在于根据取等条件将1a 拆成9个19a之和，进而使用均值不等式解决问题.在含等号不等式中，等号成立的条件尤为重要，往往是解题的钥匙.例4设a >b >0，求证：2a 3+3ab -b 210.证明：因为ab -b 2=b ()a -b[]b +()a -b 24=a 24,所以2a 3+3ab-b 2 2a 3+12a2=33+4a 2+4a 2+4a2=10，即命题成立.评注：为了消去a ，将2a 3写成两项，12a 2写成三项.这样利用平均值不等式，他们的乘积为一个常数.2.3配凑系数例5设a ,b ,c 0，a +b +c >0，求证：(a +b )3(b +c )2(c +a )(a +b +c )6427.证明：由于(a +b )3(b +c )2(c +a )(a +b +c )6=108æèöøa +b 33æèöøb +c 22()c +a ()a +b +c 6 108æèöøa +b +c 36()a +b +c 6=427,当c =0,b =2a >0时，等号成立.评注：本题待证不等式的左边分子分母次数相等，所以考虑配凑系数即可.例6设x ,y ,z 是正数，且满足x 5+y 5+z 5=3，证明：x 4y 3+y 4z 3+z 4x3 3.证明：注意到(x 5+y 5+z 5)2=x 10+2x 5y 5+y 10+2y 5z 5+z 10+2z 5x 5=9,从这个形式，我们利用平均值不等式，可得10⋅x 4y3+6x 5y 5+3x 10=x 4y 3+⋯+x 4y 310+ x 5y 5+⋯+x 5y 56+x 10+x 10+x 10 19x 10019，同理可得10⋅y 4z 3+6y 5z 5+3y 10 19y 10019,10⋅z 4x3+6z 5x 5+3z 10 19z 10019,将上述三个不等式相加，得10æèçöø÷x 4y3+y 4z 3+z 4x 3+3(x 5+y 5+z 5)219æèçöø÷x 10019+y 10019+z 10019.于是，只需要证明下列不(下转第11页)··2借助补形往往也能收到奇效，这里就不一一列举了．虽说鳖臑在高考中正式以本名“出道”是在2015年的湖北卷，但作为立体几何中的一个重要基本图形，在历年高考中一直有自己的一席之地，其中有的问题直接处理起来相对比较棘手，补形思想的运用给这类问题的解决提供了一个很好的视角．参考文献[1]王凤学.巧用补形法妙解几何题[J].中学生数学，2007，16.[2]何文忠.立体几何中的一个重要基本图形－鳖臑[J].数学通报，1996，5.等式x10019+y10019+z10019x 5+y 5+z 5成立.事实上(x 5+y 5+z 5)+19∑x 10019=3+19∑x10019=∑æèçöø÷1+19x 10019 20∑x 5.评注：本题由()x 5+y 5+z 52的展开式得到灵感，进而找到合适的系数配比.2.4配凑次数例7设a ,b ,c ,d ∈R +满足abcd =1，a +b +c +d >a b +b c +c d +d a.求证：a +b +c +d <b a +c b +d c +a d.证明：a==14(a b+)a b +b d +a c ,同理可得b 14(b c +b c +b d )+c a ，c 14æèöøcd +c d +d b +c a ，d 14(d a +d a +a c +)d b .将上述四个式子相加得2(a +b +c +d )<(a b+)b c +c d +d a +æèöøa b +a b +b c +a d ，因为a +b +c +d >a b +b c +c d +d a ，故a +b +c +d <b a +c b +dc +a d得证.评注：本题的关键是将a ,b ,c ,d 进行齐次化改写.(上接第2页)··11。
均值不等式凑项法
均值不等式凑项法均值不等式是高中数学中常用的不等式之一，它在数学证明和应用中具有重要作用。
凑项法是解决均值不等式问题的常用方法之一，可以通过凑项将不等式转化为更简单的形式，从而得到问题的解答。
下面我们就来详细介绍均值不等式凑项法的思路和应用。
一、均值不等式的基本概念均值不等式是一种描述数列平均情况的不等式，它基于算术平均数、几何平均数和谐均值之间的关系。
对于任意非负实数a1，a2，…，an，均值不等式定理表述如下：(1) 算术平均数与几何平均数的关系：（a1 + a2 + … + an）/n ≥ (√(a1a2a3…an))(2) 几何平均数与谐均值的关系：√(a1a2a3…an) ≥ n/(1/a1 +1/a2 + … + 1/an)通过均值不等式，我们可以得到数列的上下界，更进一步地，可以解决一些数学问题。
二、凑项法的基本思路凑项法是解决均值不等式问题的一种常用方法，它通过凑项的方式将不等式转化为更简单的形式。
具体来说，凑项法可以分为以下几个步骤：(1) 将原始不等式进行化简，将不等式的两边变成均值不等式的形式。
(2) 利用凑项法，尽可能地凑出与均值不等式相对应的函数形式。
(3) 将原始不等式转化为凑项后的不等式。
(4) 对凑项后的不等式进行化简，得到最终的结果。
三、凑项法的应用举例下面我们通过一些具体例子，来看看凑项法在解决均值不等式问题中的应用。
例1：证明当a、b、c为正实数时，有ab/a+b + bc/b+c +ca/c+a ≥ 3/2解：首先将原始不等式进行化简，化为均值不等式的形式：ab/a+b + bc/b+c + ca/c+a = (ab/ac + bc/bc + ca/ca) / (1/a+b +1/b+c + 1/c+a)利用凑项法，我们观察到ab/ac + bc/bc + ca/ca可以凑成几何平均数的形式。
因此，我们可以将原始不等式转化为凑项后的不等式：(ab/ac + bc/bc + ca/ca) / (1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) ≥ (√(ab/ac *bc/bc * ca/ca)) / (√((1/a+b)*(1/b+c)*(1/c+a)))化简后得到：(ab/ac + bc/bc + ca/ca) / (1/a+b + 1/b+c + 1/c+a) ≥( √(abc/(ac+b)(bc+a)(ca+b)) ) / (√((1/a+b)*(1/b+c)*(1/c+a)))利用均值不等式的定义，我们可以得到：( √(abc/(ac+b)(bc+a)(ca+b)) ) / (√((1/a+b)*(1/b+c)*(1/c+a))) ≥ 3/2因此，我们证明了原始不等式成立。
拼凑8法解高中数学均值不等式！附例题
拼凑8法解高中数学均值不等式！附例题均值不等式常见题型梳理总结欢迎点赞关注转发评论二元，三元都需要掌握，更多的一个道理，一般不会用到。
高考数学范围内不要求掌握n元均值不等式的证明方法，需要结合函数凹凸性的知识，与二阶导数挂钩（高中阶段的考试要求也没有明确表明对于二阶导数的掌握程度，我们在解答题里面能不出现二阶导函数的符号就不出现，换成构造新的函数并且求解导数的方法，例如fx的导函数为gx fx的二阶导函数就是gx的导函数，这样就避免了二阶导数甚至更高阶导数符号的使用。
如果在解答题里面我们构造新的函数并且求解导数这个步骤已经进行了三次以及以上仍然无果，大概率就是出现了问题，检查之后继续完成。
）意欲使用均值不等式即应当确保和与乘积其中一者是定值正，如果是负的，转化为其相反数定，分为和为定值与乘积为定值二情形相等:可找寻到取等条件，在满足题目所给条件的前提之下无法找寻到取等条件的情况下改用对号函数（我们在求解这类函数最值的时候可以画一个草图，最值点清晰可见一目了然。
）否则不可运用均值定理应当给出取等条件当且仅当并且应该根据所给出的条件以及取等条件将未知数的具体数值求解出来才算给出了完善的取等条件。
解答题里面不写取等条件是要扣分的。
还有在实际问题当中有的时候不能满足取等条件，这个就需要根据具体题目具体分析。
例题十三中就是可以利用一的代换的方法。
做题的时候要善于观察，是否有和为一的部分，在分母上就是一个很有利的条件，如果是n 的代换，之后还需要乘以一个系数。
有一些问题看上去与均值不等式的问题没有关系，但是通过各种变形转化之后妙用均值定理。
为了具有更多这种变形思想方法技巧的储备就应当多积累总结归纳。
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
均值不等式求最值的十种方法
用均值不等式求最值的方法和技巧一、几个重要的均值不等式2 . 2®a2 +b2> lab <^> ab < ° +(a. b e /?),当且仅当a = b时，号成立:2S + ZP)注：①注意运用均值不等式求最值时的条件：②熟悉一个重要的不等式链：-A-<v^<—<丄+丄2a b一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号、升慕等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点, 均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例1⑴当0 <4时，求y = x(8-2x)的最大值。
(2)已知0vxvl,求函数y = -疋一/+兀+1的最大值。
解:y = -x2(x + l) + (x + l) = (x + l)(l-x2) = (x + l)2(l-x)当且仅当¥ = l — x，即x = |时，上式取“二”。
故儿琢°评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系, 求“积”的最大值。
例2 求函数y = x2>J\-x2 (0<x<\)的最大值。
27当且仅当斗=(1 —/),即x = £时，上式取“二”。
故儿瘁=半。
2 3 9② a + b> 2y[cib <=> ab <(a、beRJ当且仅当&二b时，“日号成立:③ / + + c' »3abc 0 abc < -_"十"3/ d+/? + C、< 3 >(A)a + b + c>3y/abc <^> abc<(a、b、cer),当且仅当a二b二c时，“才号成立:(a、b、cwRT•当且仅当a = b = c时，“〜‘号成立.一“正”、二“定”、三“等”;=4•凹・斗1_归2 2x+i A+i 厶x y〒+〒+(宀)33227评注：将函数式中根号外的正变量移进根号的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件例3已知0vx<2,求函数y = 6x（4-x2）的最大值。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
20-21版：微专题3 均值不等式的用法技巧（步步高）
反思 感悟
带有多个根号，并且是相加形式的题目求最值，思路往往是采 用先平方再开方的方法.
七、建立求解目标不等式
例7 已知a，b是正数，且(a＋b)(a＋2b)＋a＋b＝9，则3a＋4b的最小值 等于_6__2_－__1_.
反思 感悟
换元主要是为了让计算更简洁、更有利于分析，本题也可直接 采用例3的方法.
五、代换减元
例 5 若实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<21，则3x＋y－1 3的最小值为_8_.
解析 ∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝30<x<21， ∴x＝y＋3 3，∴0<y＋3 3<12，解得 y>3. 则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋6≥2 当且仅当 y＝4，x＝37时取等号.
y－3·y－1 3＋6＝8，
反思 感悟
在解含有两个以上变元的最值问题时，通过代换的方法减少 变元，把问题化为两个或一个变元的问题，再使用均值不等 式求解.
六、平方再开方
例 6 求函数 y＝ 2x－1＋ 5－2x12<x<52的最大值.
解 注意到2x－1与5－2x的和为定值. y2＝( 2x－1＋ 5－2x)2＝4＋2 2x－15－2x
第二章 等式与不等式
当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数 的和为定值时，可以求它们的积的最大值，正所谓“积定和最小，和定 积最大”.均值不等式在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明 不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.主要的方法有凑项、凑系数、 分离、换元、代换减元.
均值不等式的八种证法
Eight Proofs for Mean Inequality 作者： 毕力格图[1] 赵丽[2]
作者机构： [1]兴安职业技术学院数学系,内蒙乌兰浩特137400 [2]白城市洮北区海明小学,吉林白城137000
出版物刊名： 白城师范学院学报
页码： 12-15页
年卷期： 2010年 第6期
主题词： 不等式 算术平均值 几何平均值 证明方法
摘要：由于不等式本身在数学中的重要地位以及不等式的证明的困难性,使不等式的证明方法成为数学领域内的热门问题.本文拟将介绍均值不等式的算术归纳法、局部调整法、排序原理、不等式法、几何方法、变量替换法、归纳原理、逐次调整法等八种证明方法,归纳总结出不等式证明技巧,进而提高学习者不等式探究能力和证明方法.。
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运用均值不等式的八类拼凑方法利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。
在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。
均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。
以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。
笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。
一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x =-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故min 9y =。
评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。
例5 已知1x >-，求函数()()22413x y x +=+的最大值。
解：1,10x x >-∴+>，()()()()22412424342241414141x y x x x x +∴==≤=⨯+++++++++。
当且仅当1x =时，上式取“=”。
故max 3y =。
评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。
例6 已知0x π<<，求函数2cos sin xy x -=的最小值。
解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2xt =，则0t >。
所以211cos 113133sinsin 2222x t t ty t x x t t t -+=+=+=+≥=。
当且仅当1322tt =，即3t x π==时，上式取“=”。
故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。
三、 拼凑常数降幂例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。
分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。
本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。
()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。
评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。
例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。
解：333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++()()33333333221151775733x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤==。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故225x y xy ++的最大值为7。
例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。
证明：333333131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，()()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。
当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
四、 拼凑常数升幂例10若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。
分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是13a b c ===，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。
证明：()()()161616161616255,255,255333333a ab bc c +≤+++≤+++≤++， (()1623132.3a abc ∴+≤+++=≤。
当且仅当13a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。
证明：33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。
又332,2a b a b +=∴+≥。
当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
五、 约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。
例12 已知28,,0,1x y x y>+=，求xy 的最小值。
解：222846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+=⎪⎝⎭。
当且仅当2812x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。
例13 已知01x <<，求函数411y x x=+-的最小值。
解：因为01x <<，所以10x ->。
所以()()414141159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。
当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。
例14 若,,a b c R +∈，求证()22212a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。
分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。
此时22a ab c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4b c+为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。
证明：2222222,2,2444444a b c a b c b c a b c a c a b c a ba b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++。
()22212a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。
当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。
六、 引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。
例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149x y z++的最小值。
解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。
()1491491491x y z x x x x y z x y z x y zλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭λλ≥=。
当且仅当149,,x y z x y zλλλ===同时成立时上述不等式取“=”，即x y z ===，代入1x y z ++=，解得36λ=，此时36λ=，故149x y z++的最小值为36。
七、 引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。
例16 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证31222221111123123n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。
证明：记3122222123n n a a a a b n =+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111nn d a a a a =+++⋅⋅⋅+， 则3122222123111111112123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当(),i a i i N i n +=∈≤时，等号成立。
又因为12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+++⋅⋅⋅+，因此1111123n b n≥+++⋅⋅⋅+。
评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。
八、 确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。
例17 在ABC ∆中，证明1cos cos cos 8A B C ≤。
分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。