均值不等式的八类拼凑方法

运用均值不等式的八类拼凑方法
利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。

在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。

均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。

以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。

笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。

一、 拼凑定和
通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。

例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。

解：()()()()()()2
2
2111111y x
x x x x x x =-+++=+-=+-
()()3
11111322241422327
x x x x x x ++⎛⎫
++- ⎪++=•••-≤=
⎪ ⎪⎝⎭。

当且仅当
112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。

故max 32
27
y =。

评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大
值。

例2
求函数)01y x x =<<的最大值。

解：
y ==
因()()3
2222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
， 当且仅当()2
212
x x =
-，即3x =时，上式取“
=”。

故max 9y =。

评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。

例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。

解：()
()()2
2
2
222236418244y x
x x x x =-=⨯--
()()3
2223
24418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当(
)
2
2
24x x
=-
，即x =
=”。

故max
32
18827
y ⨯=
，又max 0,y y >=。

二、 拼凑定积
通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定
积，创造运用均值不等式的条件
例4 设1x >-，求函数()()521
x x y x ++=
+的最小值。

解：()())
141144
1515911
1
x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=
=+++≥+=+++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。

故min 9y =。

评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十
分方便的。

例5 已知1x >-，求函数()
()
2
2413x y x +=
+的最大值。

解：
1,10x x >-∴+>，()
()
()()2
24124
24
34
224
1414
141
x y x x x x +∴=
=
≤
=⨯+++++++
++。

当且仅当1x =时，上式取“=”。

故max 3y =。

评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定
积”。

例6 已知0x π<<，求函数2cos sin x
y x -=
的最小值。

解：因为0x π<<，所以022x π<<，令tan 2
x
t =，则0t >。

所以211cos 113133sin
sin 2222
x t t t
y t x x t t t -
+=
+=+=+≥=。

当且仅当
1322
t
t =，即3t x π==时，上式取“=”。

故min y = 评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。

三、 拼凑常数降幂
例7 若332,,a b a b R ++=∈，求证：2a b +≤。

分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信
息，开辟捷径。

本题已知与要求证的条件是1a b ==，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”
与“不等”的辩证转化。

证明：
33333333333333113113,113113a a a b b b ++≥=++≥=。

()33463, 2.a b a b a b ∴++=≥+∴+≤当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”， 故原不等式得证。

评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。

例8 若332,,x y x y R ++=∈，求225x y xy ++的最大值。

解：
333333311,311,311,x x x x y y y y x y x y ⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++⨯⨯⨯≤++
()
()
3333333322115177573
3
x x y y x y x y x y xy ++++++++++∴++≤
=
=。

当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故2
2
5x y xy ++的最大值为7。

例9 已知,,0,1a b c abc >=，求证：333a b c ab bc ca ++≥++。

证明：3
3
3
3
3
3
131,131,131a b a b b c b c c a c a ++≥⨯••++≥⨯••++≥⨯••，
()
()333323a b c ab bc ca ∴+++≥++，又3ab bc ca ++≥=， ()()3333333223,a b c ab bc ca a b c ab bc ca ∴+++≥+++∴++≥++。

当且仅当1a b c ===时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

四、 拼凑常数升幂
例10
若,,a b c R +∈，且1a b c ++=≤。

分析：已知与要求证的不等式都是关于,,a b c 的轮换对称式，容易发现等号成立的条件是1
3
a b c ===
，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。

证明：
()()()16
16161616
16
2
55,255,255333
33
3
a a
b b
c c +≤
+++≤
+++≤
++， (
()16
2
3132.3
a a
b
c ∴+≤+++=≤。

当且仅当1
3
a b c ===
时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

例11 若2,,,a b a b R ++=∈，求证：332a b +≥。

证明：
33333331111,31111,a a b b ⨯⨯≤++⨯⨯≤++()3334a b a b ∴+≤++。

又
332,2a b a b +=∴+≥。

当且仅当1a b ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

五、 约分配凑
通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。

例12 已知28
,,0,1x y x y
>+=，求xy 的最小值。

解：2
2
2846446413223264y x y x xy xy xy x y x y x y ⎛⎫==+=++≥+=
⎪⎝⎭。

当且仅当
281
2
x y ==时，即 4.16x y ==，上式取“=”，故()min 64xy =。

例13 已知01x <<，求函数41
1y x x
=
+
-的最小值。

解：因为01x <<，所以10x ->。

所以()()41414
1159111x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+-+=++≥⎡⎤ ⎪⎣⎦---⎝⎭。

当且仅当()411x x x x -=-时，即23x =，上式取“=”，故min 9y =。

例14 若,,a b c R +
∈，求证
()2221
2
a b c a b c b c c a a b ++≥+++++。

分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于,,a b c 的轮换对称式，当a b c ==时，等式成立。

此时
22
a a
b c =+， 设()2a m b c +=，解得14m =，所以2a b c +应拼凑辅助式4
b c
+为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。

证明：2222222,2,2444444
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
a b c b c b c c a c a a b a b +++++++≥=+≥=+≥=++++++。

()22212
a b c a b c b c c a a b ∴++≥+++++。

当且仅当a b c ==时，上述各式取“=”，故原不等式得证。

六、 引入参数拼凑
某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。

例15 已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求149
x y z
++的最小值。

解：设0λ>，故有()10x y z λ++-=。

()1491491491x y z x x x x y z x y z x y z
λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
∴++=+++++-=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
λλ≥=。

当且仅当
149
,,x y z x y z
λλλ===同时成立时上述不等式取“=”，
即x y z =
=
=
，代入1x y z ++=，解得36λ=
，此时36λ=，故
149
x y z
++的最小值为36。

七、 引入对偶式拼凑
根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。

例16 设12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数，求证
31222221111
123123n a a a a n n
+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+。

证明：记3
122222
123n n a a a a b n =
+++⋅⋅⋅+，构造对偶式1231111n
n d a a a a =+++⋅⋅⋅+， 则31222221231111111
12123123n n n n a a a a b d a a a n a n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++++++⋅⋅⋅++≥+++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
当且仅当()
,i a i i N i n +=∈≤时，等号成立。

又因为12,,,n a a a ⋅⋅⋅为互不相等的正整数， 所以1111123n d n ≤+
++⋅⋅⋅+，因此1111123n b n
≥+++⋅⋅⋅+。

评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。

八、 确立主元拼凑
在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，
恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。

例17 在ABC ∆中，证明1cos cos cos 8
A B C ≤。

分析：cos cos cos A B C 为轮换对称式，即,,A B C 的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），
减少变元个数，化陌生为熟悉。

证明：当cos 0A ≤时，原不等式显然成立。

当cos 0A >时，()()1
cos cos cos cos cos cos 2A B C A B C B C =
++-⎡⎤⎣⎦ ()1
cos cos cos 2
A B C A =--⎡⎤⎣⎦ []()2
cos 1cos 111cos 1cos 2228
A A A A +-⎡⎤≤-≤=⎢⎥⎣⎦。

当且仅当cos()1
cos 1cos B C A A -=⎧⎨=-⎩
，即ABC ∆为正三角形时，原不等式等号成立。

综上所述，原不等式成立。

评注：变形后选择A 为主元，先把A 看作常量，B 、C 看作变量，把B 、C 这两个变量集中到cos()B C -，然后利用cos()
B C -的最大值为1将其整体消元，最后再回到A 这个主元，变中求定。

综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可
创造性地使用均值不等式，轻松获解。

这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学
生的思维，培养了学生的数学能力。