高中数学高考数学学习资料：专题1 第5讲 导数

zxxk
f′(x0)(x－x0)．
[做考题
查漏补缺]
(2011· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知P 是函数f(x)＝ex(x＞0)的图像上的动点，该图像在点P处的 切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N.设线段
MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是________．
[解析] 设点 P 的坐标为(x0，e x0 )， 则切线 l 的方程为 y－e x0 ＝e x0 (x－x0)， 1 则过点 P 作 l 的垂线 m 的方程为 y－e ＝－ x0 (x－x0)，令 x＝0， e
出方程；
(3)已知切线上一点(非切点)，求切线方程： 设切点 P(x0 ， y0) ，利用导数求得切线斜率 f′(x0) ，再由斜率
公式求得切线斜率．列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式
写出方程.
[联知识
串点成面]
函数的单调性与导数的关系： 在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间
1 3．(2011· 通州模拟)设函数f(x)＝x(ex－1)－ x2，则函数f(x)的单调 2 增区间为________．
x0＝－1， 解得 a＝2.来自答案：2[悟方法
触类旁通]
求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法
(1)已知切点P(x0，y0)，求切线方程： 求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程； (2)已知切线的斜率k，求切线方程： 设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写
知考情 第5讲 研考题
导
数
析考向
战考场
高频考点 利用导数求解 曲线的切线问
考情解读
考查方式
题
利用导数研究 函数的单调性
考查求过某点的切线的斜率、 题型以选择 方程、切点的坐标，或以平 题、填空题 行、垂直直线斜率间的关系 为主 为载体求参数的值
zxxk
利用导数求函数的单调区间 或判断函数的单调性问题
A．－9
C． 9
B．－3
D．15
解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，
故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9. 答案：C
2．(2011· 大连模拟)已知直线y＝x＋1与曲线f(x)＝ln(x
＋a)相切，则a的值为________．
解析：据题意设切点为(x0，x0＋1)， 1 由于 f′(x)＝ ， x＋a 1 ＝1， x ＋ a 0 由导数的几何意义可知 lnx0＋a＝x0＋1，
综上，当0＜a＜
1 时，f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在 3
(x1，x2)上单调递减； 1 当 ≤a≤1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 3 当a＞1时，f(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，＋∞)上单调递减． 1－a－ 1－a1－3a 其中x1＝ ， 2a1－a 1－a＋ 1－a1－3a x2＝ . 2a1－a
各种题型
高频考点
考情解读
考查方式
多以解答题 形式出现 多以选择题、 填空题形式 出现
利用导数研 导数是研究函数极值与最值问
究函数的极 题的重要工具，常与函数、方
值与最值 程、不等式等交汇命题
zxxk
定积分
一般考查定积分的直接运算及 定积分在几何或物理中的应用
[联知识
导数的几何意义：
串点成面]
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)． (2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝
x0
x0 x0e x0 单调递增；当 x0＞1 时，t′＜0，t＝ex0＋ x0 － 单调递减，所 2 2e 1 1 以当 x0＝1 时，t 取最大值，为 (e＋ )． 2 e 1 1 [答案] (e＋ ) 2 e
1．(2011· 山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线 与y轴交点的纵坐标是 ( )
(2)当 0＜a＜1 时，g(x)的图像为开口方向向上的抛物线， Δ＝[－2(1－a)]2－8a(1－a)＝4(1－a)(1－3a) 1 1 3 若 ≤a＜1，Δ≤0，g(x)≥0，f ′(x)≥0，仅当 a＝ ，x＝ 时取等号， 3 3 2 ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1 若 0＜a＜ ，则 Δ＞0，令 g(x)＝0 解得 3 1－a－ 1－a1－3a x1＝ ＞0， 2a1－a 1－a＋ 1－a1－3a x2＝ ＞0，且 x1＜x2， 2a1－a 当 0＜x＜x1 或 x＞x2 时， g(x)＞0，f ′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x1＜x ＜x2 时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，f ′(x)单调递减．
(3)当a＞1时，g(x)的图像为开口方向向下的抛物线，且 1－a－ 1－a1－3a Δ＞0，令g(x)＝0，解得x1＝ ＞0， 2a1－a 1－a＋ 1－a1－3a x2＝ ＜0， 2a1－a 当0＜x＜x1时， g(x)＞0，f ′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＞x1时，g(x)＜0，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，
x0
1 得 M(0，e x0 －x0e x0 )，N(0，e x0 ＋x0 x0 )， e
x0 x0 x x e e 1 0 0 所以 t＝e x0 ＋ x0 － ，得 t′＝(1－x0)( ＋ x0 )， 2 2 2e 2e
x0 x0e x0 令 t′＝0，得 x0＝1，当 0＜x0＜1 时，t′＞0，t＝e ＋ x0 － 2 2e
(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间
(a，b)上单调递减．
[做考题 a)x2－2(1－a)x的单调性．
查漏补缺]
(2011· 广东高考)设a＞0，讨论函数f(x)＝lnx＋a(1－
[解]
由题知a＞0，x＞0，
2a1－ax2－21－ax＋1 f ′(x)＝ ， x 令g(x)＝2a(1－a)x2－2(1－a)x＋1， (1)当a＝1时，g(x)＝1＞0，f ′(x)＞0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；