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dt
3.计算互感系数： (1)给任一回路通电流;
(2)计算穿过另一回路的磁通量;
(3)代入定义式或定义方程
例3：长直导线与矩形线圈共面，线圈中通有电
流I(t),计算长直导线中的互感电动势。
问题:长直导线是 解:设长直导线通有电流 I1
回路吗?
矩形线圈内的磁通量
I 1 I(t)
ds l
m S
BdS
=0
Lddtmddt(L)I
LdI dt
I
dL dt
当线圈形状、匝数、介质等不变时，L是常量.
εL
LdI dt
L L
dI dt
自感电动势与电流的变化率成正比
3.自感系数计算 考虑方法同计算电容。
(1)令回路通电流；
B
(2)计算穿过回路的磁通量；
(3)代入定义式或定义方程。
I
例1.计算长直螺线管(N,l,R)的自感系数:
da d
0 I1ldx 2 x
0Ill 2
nda d
o x d a
M m 0l lnd a
I1
M
2 d
dI 0llndadI
dt 2 d dt
三、磁场的能量
L
考虑自感线圈中电流的建立过程：
L
L di dt
K1
在移动dq=idt的过程中，电源反抗
自感电动势做功 dALdqLidt Lidi
在i从0到I过程中，做功
•单位：伏V
正
第十一章 变化的电磁场
§1 电磁感应 §2自感与互感 §3 Maxwell’s 方程组
本章重点：感应电动势、自感、互感 的计算
本章难点：涡旋电场,位移电流,场概念的理解
§1 电磁感应 一 法拉第电磁感应定律 二 动生电动势 三 感生电动势 涡旋电场
§1 电磁感应 一、电磁感应定律 1.电磁感应现象
(1)动生电B动势的 公式:
(v B)dl
A
与法拉第定律一致.
I Iv l
C
B B'
前例1,由法拉第定律: εdΦBldxBlv
dt
dt
(2)功能关系:ref.P271-中
外力为了维持导体的运动,须克服安培力做功。
如图,设长为l的导体匀速运动,外力的功率:
P=Fv=BIlv=I ,即电功率与外力的功率相等.
解: 设长直螺线管中通有电流I，其内部磁场:
B 0 NI l
L 0R2N2 l
穿过匝线圈的磁通量(磁链数):
NNBS 0N l 2IR2
LN
I
例2.由定义方程 求自感系数：
一自感线圈中,电流强度在0.002s内均匀地由 10A增加到12A,此过程中线圈中的自感电动势 为400V,则线圈的自感系数为
d
变化率。
dt
磁铁(或载流线圈)与不含电 源的闭合线圈间有相对运动
线圈之间无相对运动,但 初级载流线圈中电流即 产生的磁场发生变化.
对定律中物理量的说明： 任意指定回路的绕行方向，规定
(1)电动势方向与绕行方向一致时为正
(2)当磁场线方向与绕行方向成右螺时
磁通量为正
d 0 dt
与回路绕行方
例计6算. 感长应为电L的动金势属。棒放在i磁场E 中涡 , ddB l/d t0
解：涡旋电场分布
rR:
r dB Ek 2 dt
做辅助线OA、 OC，
RE
B E
OA CO AAC CO
E
O
OACO0
ACOAC
A
E
L
C
dB
dS
R2(L/2)2 dB L
即:感生电场的电场线,在管内外都是与螺线管同
轴的同心圆.同一条场线上各点E相同,方向沿圆
的切线. 取回路L方向与场线相同,计算E大小
Ekdl Ek2r
r dB Ek 2 dt
L
(1)rR:
dm
dBr2
dt dt
(2)rR:
ER
Ek
2r
dBR2
dt
EL
B r
E
R2 dB
方向:AC
dt AEO
2
dt
例7: 在半径为R的圆柱形空间存在轴向均匀磁场，一长
为2R的导体棒在垂直磁场的平面内以速度v 横扫过磁场。 磁场以 dB/d变 t化0，求导体棒运动到图示位置时，
棒上感应电动势的大小和方向。
解.设动R生电动势为
ε1 (vB)dl
,1感生电动势为 ,则2
vBR方向: 右左
aB
I vl
b
i
d dt
B0co stdal ——感生
(3) BB0sin t，导线以速度v向右移动.
Bvtl B0sin tvtl
i
d dt
v0 lsB it n vt0c lB ots
4.对定律应用的进一步讨论：
(1)如果围绕磁场的线圈有N匝,则电动势:
d dN
N
dt
dt
称N为磁通链匝数(磁链).
A
I
Lidi
1
LI
2
0
2
即自感线圈贮存了能量(磁能):
Wm
1 2
LI2
以充满 介质的长直螺线管(磁场全 部集
中在管内)为例:
B
πR2N2
L
n2Sl
n2V
l
S lI
Wm
1 2
LI2
1
2
n2VI2
(2)当回路电阻为R时,电流 I 1 d
R dt
(3)通过回路的电量为:
q
t2 Idt 1
t2
d dt
1
2
t1
R t1 dt
R
电量与 成正比而与d /dt 无关。
例2:一通有电流 I 的无限长直导线所在平面内 , 有 一半径为 r 、电阻为 R 的导线小环 , 环中心距直导 线为a , 如图所示 , 且a>>r 。当直导线的电流被切 断后 , 沿着小环导线流过的电荷约为?
§2 自感与互感 一.自感应 1.自感现象
磁2.自感感应系强数度与电一流般成,由正毕比-萨，定律d：B40 Idlr3r
所以磁通量也与电流成正比： I
定义式： L N ——自感系数：
I
自感系数L的单位:亨利(H),常用mH,H等.
为了建立感应电动势与电流的关系 V4.0
定义方程: 自感电动势
解. L L
dI
dI 1210 dt 0.002
dt
L=0.4H
二、互感应 1.互感现象
2.互感系数
定义式：
I1
I1
M Φ12 Φ21
I2
I1
单位与自感相同:亨利(H),常用mH,H等.
定义方程:
由
i
d
dt
M 12 21
dI2
dI1
有
21
M
dI1 dt
12
M
dI2 dt
dt
解: q 1 2
1
R
BS
0I 2a
r 2
I
r
2 0 q 0I r2
a
2Ra
(4)非静电力,其力场强度为Ek
ES
根据电源的电动势
B AEk dl
Ek
Fk q0
结合法拉第定律有:
LE kdld d mtd d tSB dS
外电路
A
+ 电源
-----B-----
内电路
L
思考：应该存在一种非静电力，是什么？ （后面两段将讨论两种非静电场力）
可见感生电场是不同于静电场的另一种电场.
由于 E涡dl 0，是非保守力场 不可引入电势。
L
但当场空间有导体时，感生电场(涡旋电场)力驱 动电荷在导体两端堆积，形成静电场(电源)，可 以比较导体两端电势高低。
(6)感生电场假设源于法拉第电磁感应定律又高 于法拉第电磁感应定律。
揭示了电场与磁场间更为本质的关系。 无论有无导体，只要 dB 就0有涡旋电场。
2.楞次定律（1833） 闭合回路中感应电流的方向，总是抵抗产生它的 原因。
或：闭合回路中感应电流的方向，总是使它产生 的磁场去阻碍引起感应电流的磁通量的变化。
S
N
G
外力做功转化为感应 电流的能量
楞次定律是能量守恒在电磁感应中的体现.
3.法拉第电磁感应定律
回路中感应电动势的大小，正比
计算涡旋电场的场强Ek ,只要求会此一种
rR:
BB(t)
dB
0
rR: B0 dt
ER
B I' I'E
r dB Ek 2 dt
E
E
E
R2 dB Ek 2r dt
0Rr
例5.在半径为R 的圆柱形空间内,存在磁感应强度
为B 的均匀磁场 ,B 的方向垂直纸面向里. 磁感应
问题:前例1(2)中,导线不动, 电源中的非静电力？
电磁感应定律:
D
A
d d
LEkdldtdtSBdS
l
当仅 有磁场的变B 化时
LE感
生 dl
S
t
dS
C
B
你能看出什么？
Maxwell 假设： 变化的磁场可以激发电场.
dB
电dt荷激，发充了当一了种电电源场中(感的生非电静场电)，力该。电场力驱动
εε1ε2
2 0 R R 2 R
B
ε 2 0E d l 0E 1 d l RE 2 d l
OR
做 O 辅助A 线COOA A 、 OACC ， CO=0
F
Rv R
A
D
C
ε ε ε 2
AC
ΔOACddB t(SΔADOS扇O 形D)FR42 (
3π)dB 3 dt
R2( 3π)dBvBR方向:左右 方向:左右
向相反
L
d 0 dt
与回路绕行方 向相同
(这套方法严谨但繁琐，解题时不推荐用)
推荐：先计算大小，再由楞次定律判断方向
例1.计算感应电动势。(1)在恒定匀强磁场
中，导线以速度v向右移动。
Bvtli
d Bvld dt
方向dabc—d —动生
I
(2)导线不动 BB0sint
Bdal B0sintdalc
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2.电动势电:源内把单位正电荷从负极移向正极
过程中，非静电力所做的功.
•非 设非静静 电力:场F 电 强 q EE i i力 i Aqi
i
Ai q
(高)
(低)
Ei dl
Ai qEi dl
L
若整个回路都有非静电场：i Ei dl
L
•电动势的方向： 规定：
强度以dB /dt=k增加.D点在圆柱形空间内,到轴线
距离r1=2R/3;C点在圆柱形空间外,到轴线距离
r2=2R. 求这两点的涡旋电场。
EkD1223Rk
kR 3
E
.D
E
.C
EkC
R2 k 2 2R
kR 4
EK
r
2
dB dt
(r
R)
R2 dB
2r dt (r R)
dt
涡旋电场存在的直接验证
I I' I' I
应用:
——涡电流 I
用于金属熔炼,电磁灶,真空技术等
I
实验
2.涡旋电场的计算
法拉第定律 i
又电动势定义i
dm
dt Ei
dl
有：
L
Ei
dl
dm
dt
涡旋电场一例: L
长直 螺线管半径为R，计算当其内部磁场 dB 0 时,管内外涡旋电场的大小和方向.
例4.已知
B、L
、求感应电动势
B
C
(vB)dl
lBdlcos
即电动势的假定正方
O
x
向为O→C
i
LlBdl 0
1 BL2
2
CO O点电势高
推电荐动方势法的：方向i 即非0L静l电B力d场l强12度(BvL2B)的方向.
例3.(11.9)与长度为a的导线OC共面放置一通有电
流I的长直导线,O端到无限长导线的距离为d，OC
以速度v沿如图所示方向运动,求CO两端电势差．
解. 取动生电动势的假定正
方(v 向B 为)Odl→Cv2 0x Ico 1s5 dl0
d xc3 od s 0 l
x dl
εO C O C v20x Ic1 os 5 dl 0 d d a co 3s 0 v20x Idx μ20πIvlndadcos负假3号定0表的示正方电向动相势反的，实为际C方→向O与
二、动生电动势
D Fm A A'
1.非静电力 是什么力？
I
(非运洛静动仑电兹导)线力力中:场的F 强电度荷:qv受E B k vCB
AI -v
B
B
A
B'
l
2.感应电动势 由定义:
B
(高)
i Ei dl
(低)
如图中动生电动势:
B()
(vB)dl
Bvl
A()
3.讨论：
D A A'
dt
R
B
I'
I'
I
I
长直螺线管磁场分布
rR: BB(t)
L
Ei
dl
dm
dt
rR: B0
dB 0 dt
E
R
B I'E I'
由Maxwell假设、场的对称性
E
及dB dt
0可
知E涡方向如图所示 :
E
即:感生电场的电场线,在管内外都是与螺线管同
轴的同心圆.同一条场线上各点E涡大小相同,方 向沿圆的切线.
4
3 dt
本节内容小结：
1.电动势定义 i
Ai q
(高) Edl
(低)
2.法拉第电磁感应定律 d m
dt
3.动生电动势：
B( )
微观本质、及计算
ε ( v B) dl
A( )
r dB
4.感生电动势 涡旋电场
r R:Ek 2 dt
R2 dB rR:Ek 2r dt
作业： 11.4；11.5；11.8; 11.14去掉第(5)问; 11.15; 选作 11.16;
三. 感生电动势 涡旋电场
1. 感生电场性质
B
(1)感生电场也同静电场一样
t
对电荷有作用力 FqE
(2)感生电场源于变B 化的磁场
E
LE感生 dl
S
t
dS
(3)感生电场是涡旋场，场线是无头无尾的
闭合曲线。且与 B线套连。
(4)由电动势定义：i E涡dl
(5)对照静电场的环路定律: LEdl 0