数学物理方法相关例题
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补充例题： 求cot z 在0z =邻域上的洛朗展开。
分析：为了有效求解此问题，需要发展一些新方法。在具体求解前，
可以先明确以下几点：
1. 奇函数幂级数展开只有奇次幂部分，偶函数幂级数展开只有偶次幂部分。cot z 是奇函数，因此只含有奇次幂项。
2. 由于0
lim cot 1z z z →=，因此cot z 在0z =处是单极点，洛朗展开从-1项开始，且-1次幂系数为1.
3. 最近邻的奇点为π±，所以收敛区域为0z π
<
<。
解：方法1：利用三角恒等式tan cot 2cot 2z z z =-。将问题转化为的泰
勒展开问题。 若0tan ,cot k
k
k k k k z a z
z b z
∞
∞
==-∞
==
∑∑
，则 ()cot 222k
k k
k k k k z b z b z
∞∞
=-∞
=-∞
=
=
∑
∑
三角恒等式两边同阶系数相等，所以有
1
12212
k
k k k k k k a b b b a +=-⋅⇒=
-
1k =-时本方法失效：而1k ≠-时cot z 的展开系数可由tan z 展开系
数直接得到。
tan z 为奇函数，展开式只有奇次项。下面使用高阶导数法求的泰
勒展开系数：
()2
tan 1tan z z '
=+，
()
()
32
4
tan 28tan 6tan z z z =++
…
在0z =点tan z 的1阶和3阶导数值分别为1和2.
3
1tan 3z z z =+
+
，而13
11,3a a ==
。
11332
4
1111
,12
312
45
b a b a =
=-
==-
--，
所以()
3
111cot , 03
45
z z z z z
π=
--
+<<
方法2：将
11t
-的展开方法继续推广。
当t 是一个多项式甚至是一个无穷级数时，仍然可以应用11t
-的展
开公式。 若23
1
2
3t a z a
z a z =+++
，则在一定的区域上，有：
()
()()2
3
1232
2
3
2
3
12312311
11 1t
a z a z a z a z a z a z a z a z a z =
--+++=+++++++++
由于第n 项的最低项为1n z -，上式还可继续化简为：
()()2
2
3
3
121
3121
1121a z a a z
a a a a z
t
=+++++++-
即：展开公式：若2
3
1
2
3t a z a
z a z =+++
，则
()()2
2
3
3
121
31211121a z a a z
a a a a z
t
=+++++++-
同样可将cot z 的级数展开问题归结为tan z 的级数展开问题：
3
5
2424
3
11cot 12tan 315
11
1213151121
13159111 345z z z z z z
z z z z z z z z =
=+
++=⋅
⎛⎫
---- ⎪
⎝⎭
⎡⎤⎛⎫=⋅-+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
=
--
+
方法3：微分方程法
令()cot f z z =，则()()2
1f z f z '=--。这是一个微分方程。 考虑到cot z 性质，()f z 可展开为1
3
13z a z a z -+++
，则：
()(
)1
3
2
2
1
3
1
3
3f z z a z
a z z a a z
--
''==
+
++=-
+++ 左边
()()()
()()2
1
3
1
3
13132
2
2
131
1=1 212f z z a z a z z
a z a z z
a a a z
--
-=----++++++=--+-++
右边
所以：()()21133121,32a a a a a =-+=-+ 解得：1311,345a a =-
=-
。
所以：()3
111cot 3
45
f z z z z z
==
-
-
+
方法4：级数相除法（待定系数法）。
c o s c o t s i n z z z
=
，其中cos z 和sin z
的级数容易给出，
令分式
2
2
0120122
012a a z a z c c z c z b b z b z +++=++++++
其中n a 和n b 已知，n c 待求。
则()()222012012012a a z a z b b z b z c c z c z +++=++++++