排列组合题型大全

[例 3] 6 个人排一队参观某项目，其中甲、乙、丙三 人进入展厅的次序必须是先乙，再甲，最后丙，则不同的 列队方式有________种．
A
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解析：解法 1：由于甲、乙、丙三人的次序已定，故 只须从 6 个位置中选取 3 个排上其余 3 人，有 A63种排法， 剩下的三个位置排甲、乙、丙三人，只有一种排法，∴共 有 A63＝120 种．
A
6
(1)当 m<n 时的排列称为选排列，排列数
Amn ＝n(n－1)×…×(n－m＋1)＝
n！ n－m！.
(2)当 m＝n 时的排列称为全排列，排列数
Ann＝n(n－1)×…×3×2×1＝n！.
规定 0！＝1.
A
7
4．组合
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的
个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用
A
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[例 1] (2010·重庆理，9)某单位安排 7 位员工在 10
月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班 1 天．若 7
位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在 10 月 1 日，
丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有( )
A．504 种
B．960 种
C．1008 种
D．1108 种
A
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分析：甲、乙相邻看作一个元素与其它 元素一块排，由于丙不排在第1天也不排在 第7天，因此按甲乙的排位进行分类．
A
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解析：甲、乙相邻的所有方案有 A22A66＝1440 种；其 中丙排在 10 月 1 日的和丁排在 10 月 7 日的一样多，各 有：A22A55＝240 种，其中丙排在 10 月 1 日且丁排在 10 月 7 日的有 A22A44＝48 种，故符合题设要求的不同安排方 案有：1440－2×240＋48＝1008 种，故选 C.
A
1
第六 节
排列与组合(理)
A
2
A
3
重点难点 重点：1.两个计数原理的理解和应用． 2．排列与组合的定义、计算公式，组合数的两个性质． 难点：1.如何区分实际问题中的“类”与“步”． 2．组合数的性质和有限制条件的排列组合问题．
A
4
知识归纳 1．分类计数原理 完成一件事，有两类不同方案，在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法， 那么完成这件事共有 N＝m＋n 种不同的方法．
A
5
2．分步计数原理 完成一件事，需要分成两个步骤，做第一步有 m 种不同 的方法，做第二步有 n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m×n 种不同的方法． 3．排列 从 n 个不同元素中，取出 m(m≤n)个元素，按照一定的 顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列．所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的排列数，用符号 Amn 表示．
答案：C
A
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(2)相离问题插空法．相离问题是指要求 某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开， 此类问题可以先将其它元素排好，再将所指 定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端 位置，故称“插空法”．
A
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[例 2] (2011·湘潭期末)2010 年上海世博会某国将展 出 5 件艺术作品，其中不同书法作品 2 件、不同绘画作品 2 件、标志性建筑设计 1 件，在展台上将这 5 件作品排成 一排，要求 2 件书法作品必须相邻，2 件绘画作品不能相 邻，则该国展出这 5 件作品不同的方案有________种．(用 数字作答)
A
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解析：将两件书法作品排在一块看作“一件”作品与 标志性建筑设计一块排好，有 A22·A22种排法，在上述“两 件”作品形成的三个空档中插入绘画作品，有 A23种插法．
∴共有不同展出方案 A22A22·A32＝24 种．
答案：24
A
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(3)定序问题属组合．排列时，如果限定某些元素或所 有元素保持一定顺序称为定序问题，定序的元素属组合问 题．
A
9
A
百度文库
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一、“分类”与“分步”，应该如何理解与区分 (1)分类：“做一件事，完成它可以有两类办法”．每一类 办法中的每一种方法都能将这件事完成．分类时，首先据问题 特点确定一个合理的分类标准，在这个“标准”下分类能够做 到“不重不漏”． ①完成这件事的任何一种方法必须属于其中的某一 类．(不漏) ②分别在不同两类中的两种方法不能相同．(不重复)
符号 Cmn 表示． (1)Cmn ＝AAmnmm＝nn－1n－m2！·…·n－m＋1
＝m！nn！－m！.
规定：C0n＝1.
(2)Cmn ＝Cnn－m； Cmn＋1＝Cmn ＋Cnm－1.
A
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误区警示 1．正确区分“分类”与“分步”，恰当地进行分类， 使分类后不重、不漏． 2．正确区分是组合问题还是排列问题，要把“定序” 和“有序”区分开来． 3．正确区分分堆问题和分配问题
[例 4] (2010·山东理)某台小型晚会由 6 个节目组成， 演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不 能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目 演出顺序的编排方案共有( )
A
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(2)分步要做到“步骤完整”，完成了所有步骤，恰好 完成任务．步与步之间要相互独立．必须并且只需连续完 成这些步骤后，这件事才算最终完成．
所以区分一种分法是分类还是分步就看这．种．分．法．中．的． 一．种．方．法．能．否．完．成．这．件．事．情．．．
A
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二、排列、组合问题的类型及解答策略 排列、组合问题，通常都是以选择题或填空题的形式 出现在试卷上，它联系实际，生动有趣；但题型多样，解 法灵活．实践证明，备考有效的方法是将题型与解法归类， 识别模式、熟练运用．下面介绍常见排列组合问题的解答 策略． (1)相邻元素捆绑法．在解决某几个元素必须相邻问题 时，可整体考虑将相邻元素视为一个元素参与排列．
解法 2：先选取 3 个位置排甲、乙、丙三人有 C36种方 法，剩下 3 个位置站其余 3 人，有 A33种方法，∴共有 C63·A33 ＝120 种．
答案：120
A
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(4)定元、定位优先排．在有限制条件的排列、组合问 题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在 某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种 特殊元素(位置)解题时要优先考虑．