(完整版)导数与单调性极值最基础值习题

导数与单调性极值最基础值习题评卷人得分一．选择题（共14小题）1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件2．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值23．函数f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9，已知f（x）的两个极值点为x1，x2，则x1•x2=（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣14．函数的最大值为（）A．B．e2C．e D．e﹣15．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．26．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或17．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或1810．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2 12．函数y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值为（）A．0 B．C．D．13．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣1614．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对评卷人得分二．填空题（共10小题）15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为．16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，则a+b=．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=．18．已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．19．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=．23．设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m的取值范围为．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=．评卷人得分三．解答题（共10小题）25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．26．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）﹣2g（）＜（b﹣a）ln2．27．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．29．已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1，2]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、b的值．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．32．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．33．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．34．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．导数与单调性极值最基础值习题参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．可导函数y=f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．必要非充分条件【分析】结合极值的定义可知必要性成立，而充分性中除了要求f′（x0）=0外，还的要求在两侧有单调性的改变（或导函数有正负变化），通过反例可知充分性不成立．【解答】解：如y=x3，y′=3x2，y′|x=0=0，但x=0不是函数的极值点．若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）=0，所以f′（x0）=0是x0为函数y=f （x）的极值点的必要不充分条件故选：D．【点评】本题主要考查函数取得极值的条件：函数在x0处取得极值⇔f′（x0）=0，且f′（x＜x0）•f′（x＞x0）＜02．函数y=1+3x﹣x3有（）A．极小值﹣1，极大值3 B．极小值﹣2，极大值3C．极小值﹣1，极大值1 D．极小值﹣2，极大值2【分析】利用导数工具去解决该函数极值的求解问题，关键要利用导数将原函数的单调区间找出来，即可确定出在哪个点处取得极值，进而得到答案．【解答】解：∵y=1+3x﹣x3，∴y′=3﹣3x2，由y′=3﹣3x2＞0，得﹣1＜x＜1，由y′=3﹣3x2＜0，得x＜﹣1，或x＞1，∴函数y=1+3x﹣x3的增区间是（﹣1，1），减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．∴函数y=1+3x﹣x3在x=﹣1处有极小值f（﹣1）=1﹣3﹣（﹣1）3=﹣1，函数y=1+3x﹣x3在x=1处有极大值f（1）=1+3﹣13=3．故选：A．【点评】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数大于0时的实数x的范围，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用3．函数f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9，已知f（x）的两个极值点为x1，x2，则x1•x2=（）A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1【分析】本题的函数为三次多项式函数，若三次多项式函数有两个极值点，说明它的导函数有两个不相等的零点，转化为二次函数的根求解，用韦达定理可得x1•x2=﹣1【解答】解：由f（x）=x3+ax2﹣3x﹣9得，f′（x）=3x2+2ax﹣3f′（x）=0的两根为x1，x2就是函数的两个极值点根据韦达定理，得故选：D．【点评】本题主要考查利用导数工具讨论函数的单调性，从而得到函数的极值点．一元二次方程根与系数的关系是解决本题的又一个亮点．4．函数的最大值为（）A．B．e2C．e D．e﹣1【分析】利用导数进行求解，注意函数的定义域，极大值在本题中也是最大值；【解答】解：∵函数，（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，当x＞e时，y′＜0，f（x）为减函数，当0＜x＜e时，y′＞0，f（x）为增函数，∴f（x）在x=e处取极大值，也是最大值，∴y最大值为f（e）==e﹣1，故选：D．【点评】此题主要考查函数在某点取极值的条件，利用导数研究函数的最值问题，是一道基础题；5．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求导数得到f′（x）=3x2﹣12，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选：D．【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象．6．已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c 的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．7．设函数f（x）=xe x，则（）A．x=1为f（x）的极大值点B．x=1为f（x）的极小值点C．x=﹣1为f（x）的极大值点D．x=﹣1为f（x）的极小值点【分析】由题意，可先求出f′（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=﹣1为f（x）的极小值点【解答】解：由于f（x）=xe x，可得f′（x）=（x+1）e x，令f′（x）=（x+1）e x=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）e x＞0可得x＞﹣1，即函数在（﹣1，+∞）上是增函数令f′（x）=（x+1）e x＜0可得x＜﹣1，即函数在（﹣∞，﹣1）上是减函数所以x=﹣1为f（x）的极小值点故选：D．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，8．函数y=x3﹣2ax+a在（0，1）内有极小值，则实数a的取值范围是（）A．（0，3） B．（0，）C．（0，+∞）D．（﹣∞，3）【分析】先对函数求导，函数在（0，1）内有极小值，得到导函数等于0时，求出x的值，这个值就是函数的极小值点，使得这个点在（0，1）上，求出a的值．【解答】解：根据题意，y'=3x2﹣2a=0有极小值则方程有解a＞0x=±所以x=是极小值点所以0＜＜10＜＜10＜a＜故选：B．【点评】本题考查函数在某一点取得极值点条件，本题解题的关键是在一个区间上有极值相当于函数的导函数在这一个区间上有解．9．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则f（2）等于（）A．11或18 B．11 C．18 D．17或18【分析】根据函数在x=1处有极值时说明函数在x=1处的导数为0，又因为f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因为f（1）=10，所以可求出a与b的值确定解析式，最终将x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或①当时，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1处不存在极值；②当时，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合题意．∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故选：C．【点评】本题主要考查导数为0时取到函数的极值的问题，这里多注意联立方程组求未知数的思想，本题要注意f′（x0）=0是x=x0是极值点的必要不充分条件，因此对于解得的结果要检验．10．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y=x•f′（x）的图象的一部分如图所示，则正确的是（）A．f（x）的极大值为，极小值为B．f（x）的极大值为，极小值为C．f（x）的极大值为f（﹣3），极小值为f（3）D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（﹣3）【分析】观察图象知，x＜﹣3时，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，yf′（x）＞0．x＞3时，f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．【解答】解：观察图象知，x＜﹣3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知极小值为f（﹣3）．0＜x＜3时，y=x•f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3时，y=x•f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知极大值为f（3）．故选：D．【点评】本题考查极值的性质和应用，解题时要仔细图象，注意数形结合思想的合理运用．11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A．﹣a＜a＜2 B．a＞2或a＜﹣1 C．a≥2或a≤﹣1 D．a＞1或a＜﹣2【分析】求出函数的导函数，根据函数的极值是导函数的根，且根左右两边的导函数符号不同得到△＞0；解出a的范围．【解答】解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）∵f（x）有极大值和极小值∴△=16a2﹣36（a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故选：B．【点评】本题考查函数的极值点是导函数的根，且根左右两边的导函数符号需不同．12．函数y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值为（）A．0 B．C．D．【分析】先求出导函数f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出x的取值范围，得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数的最值．【解答】解：，当x∈[0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，4]时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∵f（0）=0，，∴当x=0时，f（x）有最小值，且f（0）=0．故选：A．【点评】本题考查的是利用导数，判断函数的单调性，从而求出最值，属于基础题．13．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间[0，3]上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间[0，3]上最大值与最小值位置，求值即可【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是5，﹣15故选：A．【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤．14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A．【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f （b）比较而得到的，属于基础题．二．填空题（共10小题）15．函数f（x）=x3﹣3x2+1的极小值点为2．【分析】首先求导可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根，再判断导函数的符号分析函数的单调性，即可得到极小值点．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2且x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＞0；x∈（0，2）时，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0故f（x）在x=2出取得极小值．故答案为2．【点评】本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查．熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，则a+b=7．【分析】求导函数，利用函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2∴f'（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，当x=1时，有极值10，∴，∴或时，f'（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣1）（3x+11）=0有不等的实根，满足题意；时，f'（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1）2=0有两个相等的实根，不满足题意；∴a+b=7故答案为：7【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题．17．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则c=6．【分析】由已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，则必有f′（2）=0，且在x=2的两侧异号即可得出．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函数f（x）=x（x ﹣c）2在x=2处有极大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去．故c=6．故答案为6．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键．18．已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【分析】先对函数进行求导，根据函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，可以得到△＞0，进而可解出a的范围．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1∴f'（x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值∴△=（6a）2﹣4×3×3（a+2）＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．19．已知函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是m＜﹣3或m＞6．【分析】求出函数f（x）的导函数，根据已知条件，导函数必有两个不相等的实数根，只须令导函数的判别式大于0，求出m的范围即可．【解答】解：∵函数f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在极大值，又存在极小值f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有两个不相等的实根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案为：m＜﹣3或m＞6．【点评】本题主要考查了函数在某点取得极值的条件．导数的引入，为研究高次函数的极值与最值带来了方便．20．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=36．【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函数的极值点，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案为：36．【点评】本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．21．f（x）=x3﹣3x2+2在区间[﹣1，1]上的最大值是2．【分析】求出函数的导函数，令导函数为0，求出根，判断根是否在定义域内，判断根左右两边的导函数符号，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0；当0＜x＜1时，f′（x）＜0所以当x=0时，函数取得极大值即最大值所以f（x）的最大值为2故答案为2【点评】求函数的最值，一般先求出函数的极值，再求出区间的端点值，选出最值．22．已知函数f（x）=x3﹣12x+8在区间[﹣3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M﹣m=32．【分析】先对函数f（x）进行求导，令导函数等于0求出x，然后根据导函数的正负判断函数f（x）的单调性，列出在区间[﹣3，3]上f（x）的单调性、导函数f'（x）的正负的表格，从而可确定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x）+0﹣0+f（x）17极值24极值﹣8﹣1可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案为：32【点评】本题主要考查函数的求导运算、函数的单调性与其导函数的正负之间的关系和函数在闭区间上的最值．导数是由高等数学下放到高中的内容，每年必考，要引起重视．23．设f（x）=x3﹣﹣2x+5，当x∈[﹣1，2]时，f（x）＜m恒成立，则实数m 的取值范围为（7，+∞）．【分析】先求导数，然后根据函数单调性研究函数的极值点，通过比较极值与端点的大小从而确定出最大值，进而求出变量m 的范围．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣当x∈时，f'（x）＞0，当x∈时，f'（x）＜0，当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞f max（x）=7．故答案为：（7，+∞）【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的，属于基础题．24．f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=4．【分析】这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形．当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．【解答】解：①若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；②当x＞0，即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥设g（x）=，则g′（x）=，所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；③当x＜0，即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．答案为：4．【点评】本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．三．解答题（共10小题）25．已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f′（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（﹣x）=﹣g（x），利用待系数法求解．（2）由（1）知，再求导g'（x）=﹣x2+2，由g'（x）≥0求得增区间，由g'（x）≤0求得减区间；求最值时从极值和端点值中取．【解答】解：（1）由题意得f'（x）=3ax2+2x+b因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因为函数g（x）是奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），即对任意实数x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]从而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表达式为．（2）由（Ⅰ）知，所以g'（x）=﹣x2+2，令g'（x）=0解得则当时，g'（x）＜0从而g（x）在区间，上是减函数，当，从而g（x）在区间上是增函数，由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在时取得，而，因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为，最小值为．【点评】本题主要考查构造新函数，用导数研究函数的单调性和求函数的最值．26．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）﹣2g（）＜（b﹣a）ln2．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）﹣2g（）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据y=lnx的单调性进行放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．．令f′（x）=0，解得x=0．当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．（Ⅱ）证明：=．由（Ⅰ）结论知ln（1+x）﹣x＜0（x＞﹣1，且x≠0），由题设，因此ln=﹣ln（1+）＞﹣，，所以．又，＜．=（b﹣a）ln＜（b﹣a）ln2综上．【点评】本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．27．已知函数f（x）=x﹣1﹣lnx（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的极值；（Ⅲ）对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出f（2），再根据导数的几何意义，求出该点的导数值，即得曲线在此点处的切线的斜率，然后用点斜式写出切线方程即可（Ⅱ）令导数大于0解出增区间，令导数小于0，解出函数的减区间，然后由极值判断规则确定出极值即可．（Ⅲ）由于f（x）≥bx﹣2恒成立，得到在（0，+∞）上恒成立，构造函数g（x）=，b≤g（x）min即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），，则，f（2）=1﹣ln2，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，即x﹣2y﹣2ln2=0；（Ⅱ），令f′（x）＞0，得x＞1，列表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘0↗∴函数y=f（x）的极小值为f（1）=0；（Ⅲ）依题意对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立等价于x﹣1﹣lnx≥bx﹣2在（0，+∞）上恒成立可得在（0，+∞）上恒成立，令g（x）=，令g′（x）=0，得x=e2列表：x（0，e2）e2（e2，+∞）g'（x）﹣0+g（x）↘↗∴函数y=g（x）的最小值为，根据题意，．【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力，属于中档题．28．已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．（2）将f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立转化为不等式对于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，对函数g（x）进行求导，根据导函数的正负可判断其单调性进而求出最小值，使得a小于等于这个最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）=1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系、根据导数求函数的最值．导数是高等数学下放到高中的内容，是每年必考的热点问题，要给予重视．29．已知函数f（x）=（x﹣2）e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值和最大值．【分析】（1）求出函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，求得端点的函数值，比较即可得到最大值．【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=（x﹣1）e x，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1．则f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（﹣∞，1）；（2）由（1）可得f（x）在[0，1]递减，在（1，2]递增，即有f（x）在x=1处取得极小值，且为最小值，且为f（1）=﹣e，由f（0）=﹣2，f（2）=0，可得f（x）的最大值为f（2）=0．则f（x）的最小值为﹣e，最大值为0．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，正确求导是解题的关键．30．已知函数f（x）=ax3﹣6ax2+b（x∈[﹣1，2]）的最大值为3，最小值为﹣29，求a、b的值．【分析】求出f′（x）=0在[﹣1，2]上的解，研究函数f（x）的增减性，函数的最值应该在极值点或者区间端点取，已知最大值为3，最小值为﹣29代入即可．【解答】解：函数f（x）=ax3﹣6ax2+b∴f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）令f′（x）=3ax2﹣12ax=3a（x2﹣4x）=0，显然a≠0，否则f（x）=b为常数，矛盾，∴x=0，若a＞0，列表如下：由表可知，当x=0时f（x）取得最大值∴b=3又f′（0）=﹣29，则f（2）＜f（0），这不可能，∴f（2）=8a﹣24a+3=﹣16a+3=﹣29，∴a=2若a＜0，同理可得a=﹣2，b=﹣29故答案为：a=2，b=3或a=﹣2，b=﹣29【点评】本题考查函数的导数在求最大值、最小值中的应用，关键是对于闭区间上的最值要注意函数的端点函数值，注意区别理解函数的极值点一定不在函数端点，而最值点可能在函数端点，属于基础题．31．求函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）=x3﹣2x2+5在区间[﹣2，2]的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x2+5的导函数是f'（x）=x（3x﹣4），令f'（x）=0得x=0或，如下表：∴y max=5，y min=﹣11【点评】本题考点是利用导数求闭区间上的函数的最值，考查用导数研究函数的单调性并利用单调性确定函数的最值，并求出．此是导数的一个很重要的运用．32．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）证明；当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有f（x）＞k（x﹣1）．【分析】（Ⅰ）求导数，利用导数大于0，可求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），证明F（x）在[1，+∞）上单调递减，可得结论；（Ⅲ）分类讨论，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），利用函数的单调性，可得实数k的所有可能取值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx﹣，∴f′（x）=＞0（x＞0），∴0＜x＜，∴函数f（x）的单调增区间是（0，）；（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（x﹣1），则F′（x）=当x＞1时，F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上单调递减，∴x＞1时，F（x）＜F（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x﹣1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，k=1时，不存在x0＞1满足题意；当k＞1时，对于x＞1，有f（x）＜x﹣1＜k（x﹣1），则f（x）＜k（x﹣1），从而不存在x0＞1满足题意；当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣k（x﹣1）（x＞0），则G′（x）==0，可得x1=＜0，x2=＞1，当x∈（1，x2）时，G′（x）＞0，故G（x）在（1，x2）上单调递增，从而x∈（1，x2）时，G（x）＞G（1）=0，即f（x）＞k（x﹣1），综上，k的取值范围为（﹣∞，1）．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，正确构造函数是关键．33．设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，由f′（x）=0，得x1=，x2=，x1＜x2，∴由f′（x）＜0得x＜，x＞；由f′（x）＞0得＜x＜；故f（x）在（﹣∞，）和（，+∞）单调递减，在（，）上单调递增；（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．34．已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．。