非线性方程组的求解
牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法求解非线性方程组方法例题及答案
1. 非线性方程组求解1．分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法。
(1) 求ln(sin )x x +的根。
初值0x 分别取0.1，1，1.5，2，4进行计算。
(2) 求sin =0x 的根。
初值0x 分别取1，1.4，1.6，1.8，3进行计算。
分析其中遇到的现象与问题。
（1）牛顿法牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种线性方程来求解。
将已知方程()0f x =在近似值k x 附近展开，有()()()()'0k k k f x f x f x f x x ≈+-=，构造迭代公式，则1k x +的计算公式为：()()1',0,1,,k k k k f x x x k f x +=-= (1-1)根据Taylor 级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解()0f x =的过程，第一次迭代()()'1000/x x f x f x =-，其中()()'00/f x f x 的几何意义很明显，就是0x 到1x 的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代()()'2111/x x f x f x =-，其中()()'11/f x f x 的几何意义很明显，就是1x 到2x 的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x 的取值在不断逼近真实解*x 。
如图1-1所示：图1-1○1求ln(sin )=0x x +的根时，迭代公式为()1ln(sin )sin 1cos k k x x x x x x x+++=++，0示。
计算结果见附录1表F.1-1所示。
初值取1.5，2，4进行计算时结果不收敛。
表 1-1 牛顿法计算结果○2求sin =0x 的根时，迭代公式为1cos k k x x x+=+，初值0x 分别取1、1.4、1.6、1.8、3计算时结果收敛，误差小于510-时，近似解如表1-2所示。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
《非线性方程组解法》课件
03
常见的拟牛顿法包括DFP方法 和BFGS方法等。
共轭梯度法
01
共轭梯度法是一种基于共轭方向和梯度方向的迭代方法，通过 不断逼近方程的解。
02
共轭梯度法的优点是避免了存储和计算海森矩阵，适用于大规
模非线性方程组的求解。
常见的共轭梯度法包括Fletcher-Reeves方法和Polak-Ribiere方
机械工程
非线性方程组可以用来描述机械 系统的行为和性能，如车辆动力 学、机器人运动等。
航空航天工程
非线性方程组可以用来描述飞行 器的运动和性能，如飞机和火箭 的发射和导航等。
电子工程
非线性方程组可以用来描述电子 系统的行为和性能，如电路设计 和电磁波传播等。
04
非线性方程组的求解软件
MATLAB
强大的矩阵计算能力
MATLAB提供了高效的矩阵运算功能，适用于 大规模的非线性方程组求解。
内置优化工具箱
MATLAB的优化工具箱提供了多种非线性优化 算法，如牛顿法、拟牛顿法等。
用户友好性
MATLAB的用户界面简洁直观，易于学习和使用。
Python的SciPy库
丰富的数学函数库
SciPy库包含了大量的数学函数和算法，可用于非线 性方程组的求解。
《非线性方程组解法》PPT课件
• 非线性方程组概述 • 非线性方程组的解法 • 非线性方程组的应用 • 非线性方程组的求解软件 • 非线性方程组解法的挑战与展望
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义
总结词
非线性方程组是由多个非线性方程组成的数学模型。
详细描述
非线性方程组是指包含多个非线性方程的数学模型，这些方程通常包含未知数和未知数的非线性函数 。
第六章 非线性方程(组)的求解
* * 又当 n 充 分 大[ 以 a ,b 后 ] ， (x ,x ), 于是 m 为偶数 n n 时， x [ a ,b ],f (x ) 0 ,不 变 号 了 ！ n n
2）二分法线性收敛，收敛因子为1/2。
* x x n 1 1 * 1 * x x ( x a ) ( x x ), . n n 1 n 1 n 1 * 2 2 x x2 n 1
f (x) m(x x*)m1h(x) h(x) g(x) 1 (x x*)g(x),h(x*) 0, m f (x) (x) x x 1 (x-x* )g(x) / h(x), f (x) m (x*) 1 1 , (x*) 1 1 1 , m m 牛顿迭代线性收敛，且 随 m的增加收敛性越来越差 。 重根时的改进：
或
定理一的条件太强，不便于实际应用。下面给出一个局部 收敛定理。
由迭代（ 6 -1 -1 ） 产产生的 x 均收 数 敛收敛 n * 1 x x x x n n n 1 1 L n L * 或 x x x x n 1 L1 0
* * * 定理二 :如果 (x ) 连续 (x ， ) L 1, 则 x N (x ， 0 δ )
关于初值的问题： 一般来说采用试探法，但对于一些实际问题初值的选择并 不困难，它是明确的。
关于重根的问题：
* 设 x 是 f( x ) 的 m 重零 m 点 1) , 此 （时 * m * f( x ) ( x x ) g ( x ), g ( x ) 0 , 1 * m 1 * f ( x ) m ( x x ) [ g ( x ) ( x x ) g ( x )], m
称算法（6-1-1）为牛顿迭代法。 f (x) 证明：令 (x) x ,则 xN (x*), f (x) 0 x (x) f (x) (x) f *) 0 (x) 1 f ( x ), ( x ,牛顿迭代收敛 2 [ f (x)] () * * 又 xn1 x (xn) (x ) (xn x*)2; 2 xn1 x* () c,至少二阶收敛。 2 2 (x x*)
非线性方程组数值解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
解非线性方程组的牛顿法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
第2章 非线性方程(组)求解
1）Newton迭代法的几何意义
求f(x)=0的解，即求曲线f(x)与横坐标的交点a
过 ( x n , f ( x n ) ) 作 切线 ， 其斜率为 f ' ( xn )
C=(a+b)/2
左半区间 右半区间
(2) a (3) a a
b b b
No 4：判断是否达到精确度ε：若达到，则得到零点近似值是(a,b)区 间内的一点；否则重复2～4步骤。
4 牛顿迭代法
对方程f(x)=0可构造多种迭代格式，牛顿 迭代法是借助于对函数f(x)=0的泰勒展开而得到 的一种迭代格式。
补充1：Matlab函数创建
Matlab中创建函数有几种方法 • 最常用的是由function命令创建，可以 通过程序、函数或命令窗口来访问 • 第二种创建匿名函数 • 第三种形式是子函数
匿名函数（anonymous function）
• 匿名函数用于在命令行、 script文件或函数文 件中创建简单形式的函数，避免另外定义新的 函数。 • 匿名函数的定义形式: f=@(arglist)expression • Matlab允许定义多重匿名函数，例如，对于表 达式 1 可以通过以下的匿名函数进行计算 g (c) = ∫ ( x 2 + cx + 1)dx 0 g=@(c) quad(@(x) x.^2+c*x+1,0,1) 此处quad为数值积分函数。
注： fzero函数调用一次，只能求一个初值附近的 一个根,且只能是实根； fsolve函数可用于求解非线性方程组。
1 =0 cos( 0.68 x ) • % m-function, f_2.m • function y=f_2(x) % 定义 f_2.m 函数 • y=4-5.25.*x-1./cos(squr(0.68.*x));
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法
非线性方程组的解法包括：
（1）近似法。
近似法是根据所给非线性方程组，使用一定的数值方法，建立非线性方程组结果的拟合曲线，以此求解非线性方程组的常用方法，目前有贝塔、拉格朗日近似法和微分近似法等。
（2）多元分割法。
多元分割法根据非线性方程组的参数和变量空间，
将整个运算范围分割成多余小区间，利用各区间中只含有一个未知变
量的简单方程组，将非线性方程组转换成多个一元方程组，再用一次法、弦截法和二分法等算法求解，最终得出整个非线性方程组的解。
（3）迭代映射法。
迭代映射法是通过给定一个初始值，然后利用迭代，反复运算，最终达到收敛点的一种方法，主要包括牛顿法、收敛法、
弦截法、松弛法和隐函数法等。
（4）最小二乘法。
最小二乘法是将非线性方程组表示为残差函数，然
后求解残差函数最小值，获得未知变量的最优解，常用于数值分析中。
（5）特征法。
特征法是采用将非线性方程组表示为线性方程组特征值
和它们关于某一特征量的关系式，利用梯度下降法，最小化残差函数，求解非线性方程组的方法。
以上是非线性方程组的解法的简单综述，它们在一定程度上增加了解决非线性方程组的效率，但并非所有情况都能使用以上求解方法。
正确使用相应的求解方法就可以有效的求解非线性方程组，以便更好的解决实际问题。
非线性方程(组)的解法
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
第三章 非线性方程(组)的数值解法
第三章 非线性方程(组)的数值解法一．取步长1h =，试用搜索法确立3()25f x x x =--含正根的区间，然后用二分法求这个正根，使误差小于310-。
【详解】由于是要寻找正根，因此，可选含根区间的左端点为0。
(0)5f =-，(1)5f =-，(2)1f =-，(3)16f =，因此，(2,3)中有一个正根。
这就确立了含根区间。
接下来，我们用二分法求这个正根，使误差小于310-，计算结果如下表 迭代次数k a k b k x0 2 3 2.5 1 2 2.5000 2.250 0 2 2 2.2500 2.125 0 3 2 2.1250 2.062 5 4 2.0625 2.1250 2.093 8 5 2.0938 2.1250 2.109 4 6 2.0938 2.1094 2.101 6 7 2.0938 2.1016 2.097 7 8 2.0938 2.0977 2.095 7 9 2.09382.09572.094 7二．对方程2()2sin 20f x x x =--=，用二分法求其在区间[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01。
【详解】用二分法求解方程在[]1.5,2内的根，要求误差小于0.01，计算结果如下表： 迭代次数k ak bk x0 1.5 2 1.75 1 1.7500 2.0000 1.875 0 2 1.8750 2.0000 1.937 5 3 1.9375 2.0000 1.968 8 4 1.9375 1.9688 1.953 1 51.95311.96881.960 9三．用不动点迭代法，建立适当的迭代格式，求方程3()10f x x x =--=在0 1.5x =附近的根，要求误差小于610-。
【详解】310x x --=，等价于x =。
这样，可以建立不动点迭代格式1k x +=当0x ≥时，总有23110(1)133x -'<=+≤<，因此，迭代格式对于任意初始值00x ≥总是收敛的。
非线性方程组的解法
第四章 非线性方程组的解法4.1 非线性方程组的一般形式从上面两章中，我们研究了离散化结构中任一单元在t t t ∆+→的时间增量步内，由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的，（如第三章得出的增量平衡方程p q k t ∆=∆ (7) （假定t 时刻的状态已知）），由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的P q K T ∆=∆，这就为求解整个的非线性过程准备了条件。
即只要确定每一步的切线刚度，通过求解一系列的线性方程组，累加起来就得到了解的全过程。
结构总的平衡方程是非线性的：P q q K =)( (1)i.e P K q 1-=。
令q q K R )(=0)()1(=-=→q R P F (1)’分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术，但作为具体的解法还有许多种，主要的有：1、增量法―纯增量法2、迭代法―直接迭代法（刚线刚度法）、Newton-Raphson 迭代法（切线刚度法）3、.混合法―增量/迭代型方法4.2 载荷增量法（纯增量法）1、基本思想将一个非线性的全过程分成若干段，每一段用一个线性问题去近似。
如将一段取得足够小，总可以逼近真实的非线性过程。
方法：若将外载荷分成N 个增量步，而每个增量载荷为0P P i i λ∆=∆， i λ∆为载荷系数（或称载荷因子）， 则总载荷 0P P λ=；其中：∑=∆=Ni i 1λλ0P 为基准载荷.上面的结构平衡方程为0)()(=-=q R P q F (1)´i.e 0)()(0=-=q R P q F λ (2)λ1Δλ1P 0Δλ2P 0 λP 0λ2 λ3q 1 q 2q 3上式两边对λ微分得00F R P λλ∂∂=-=∂∂ (3)i.e 0)(0=-λd dqq K P T (4)如比例加载（力的大小和方向不变），有0P d dP λ=，代入(4)得1110()()..()T TT d q K qd P K q d P ie qK q P λ---==∆=∆ (5)将(5)式写成增量形式便有以下求解格式1101[()]i T i ii i i i iq K q P P P q q q λ---⎧∆=∆∆=∆⎨=+∆⎩ (6)2、求解步骤1）将载荷分成若干个增量步 01P P Ni i ∑=∆=λ ，准备位移量累加器[Q]并置零.2）施加第1个载荷增量 011P P λ∆=∆，计算qRq k t ∂∂=)(0线性 求解 1101)]([P q K q T ∆=∆-11q q ∆= 并送入位移量累加器[Q]3）施加第2个增量步 022P P λ∆=∆用1q ，求)(1q K T 即在1q 处的切线刚度矩阵 求解 2112)]([P q K q T ∆=∆-212q q q ∆+= 在位移量累加器[Q]中完成累加.4）重复3）直至(N )个载荷施加完毕, 在位移量累加器[Q]中得到总位移 ∑=∆=Ni i q q 13. 几何意义及讨论优缺点：优点：了解加载过程，当→∆P 足够小，总能收敛到真实解缺点：实际不可能无限小，因此累积误差，且无法估计，造成极大偏离而失真P 2 ΔλP 1 λP 0P 3 Δλ4.3 迭代法 1 直接迭代法1) 基本思想：将载荷一次加上，并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解；将其再代入方程组求解，得出第二次近似解，反复迭代逐次修正解，直至满足方程组（类似于对过渡单元加权平均ep D 中m 的迭代）。
非线性方程(组)的求解
切线法
牛顿下山法 ——Newton’s Method 局部微调：
原理：若由 xk 得到的 xk+1 不能使 | f | 减小，则在 xk 和 xk+1 之间找一个更好的点 xk 1 ，使得 f ( xk 1 ) f ( xk ) 。
xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
试位法
为了加快二分法根的收敛速度，这里再介绍一种方法——试位法，试位法的 一般执行过程见下面动画。
(b, f (b))
a
x*
b
(a+b)/2
x a f (a ) b a f (b) f (a )
(a, f (a))
test_bit.m
4.2 简单迭代法
f (x) = 0 f (x) 的根
等价变换
x = g (x) g (x) 的不动点
从一个初值 x0 出发，计算 x1 = g(x0), x2 = g(x1), …, x 思 xk+1 = g(xk), … 若 k k 0 收敛，即存在 x* 使得 路 lim x k x *，且 g 连续，则由 lim x k 1 lim g x k 可 k k k 知 x* = g(x* )，即x* 是 g 的不动点，也就是f 的根。 逐次逼近： 将隐式方程归结为显式计 算
a
x a1
x*
x2 b b
bisect.m
误差 分析：
对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数 k ：
ba ε k 2 k
ba |x x*| 第1步产生的 有误差 1 2 ba |x x*| 第 k 步产生的 xk 有误差 k 2k
非线性方程组求解
xk 1
xk
f
xk
f
xk
f
xk
1
xk
xk1
2019年7月18日星期四
21
弦截法示意图
Y
xk 1
xk
f xk f 'xk
2019年7月18日星期四
32
2.2.1 内联函数（inline function）
[说明]
'CE'是字符串；CE表达式不能包含赋值号＝
第1种调用格式将自动地对CE进行辨识，把CE中由 字母/数字组成的连续字符认做变量，除预定义变量 名和常用函数名（如sin）外的有字母/数字组成的 连续字符将被认做变量。但注意如果连续字符后紧 接左圆括号，则不被当作输入变量。
第2种方法创建内联函数最稳妥、可靠的方法。
第3种方法最简练，但是对输入变量的字符有严格 限制。输入变量字符只能是x,P1,P2,…,Pn等，注意 P必须为大写字母。
2019年7月18日星期四
33
2.2.1 内联函数（inline function）
涉及内联函数性质的指令
class(inline_fun)给出内联函数类型 char(inline_fun)给出内联函数计算公式 argnames(inline_fun)给出内联函数的输入变量 vectorize(inline_fun)使内联函数适用数组运算规则
这是称为有界的Wegstein法 注：当S=1时，取S=0进行计算。
非线性方程组的求解
非线性方程组的求解摘要：非线性方程组求解是数学教学中，数值分析课程的一个重要组成部分，作为一门学科，其研究对象是非线性方程组。
求解非线性方程组主要有两种方法：一种是传统的数学方法，如牛顿法、梯度法、共轭方向法、混沌法、BFGS 法、单纯形法等。
传统数值方法的优点是计算精度高，缺点是对初始迭代值具有敏感性，同时传统数值方法还会遇到计算函数的导数和矩阵求逆的问题，对于某些导数不存在或是导数难求的方程，传统数值方法具有一定局限性。
另一种方法是进化算法，如遗传算法、粒子群算法、人工鱼群算法、差分进化算法等。
进化算法的优点是对函数本身没有要求，不需求导，计算速度快，但是精度不高。
关键字：非线性方程组、牛顿法、BFGS 法、记忆梯度法、Memetic 算法1： 三种牛顿法：Newton 法、简化Newton 法、修改的Newton 法【1-3】 求解非线性方程组的Newton 法是一个最基本而且十分重要的方法, 目前使用的很多有效的迭代法都是以Newton 法为基础, 或由它派生而来。
n 个变量n 个方程的非线性方程组, 其一般形式如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===0),...,(...0),...,(0),...,(21212211n n n n x x x f x x x f x x x f （1）式(1)中,),...,(21n i x x x f ( i=1, ⋯, n) 是定义在n 维Euclid 空间Rn 中开域 D 上 的实值函数。
若用向量记号，令：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x ...X 21,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)(...)()(0),...,(...0),..,(0)...,()(2121212,211X f X f X f x x x f x x x f x x x f X F nn n n n则方程组（1）也可表示为：0)(=X F（2） 其中：X ∈R n ,F ∶R n →R 0, F(X) ∈R n , R n 为赋值空间。
第4章非线性方程(组)的求解
fixpt.m
y p1 p0
y=x y=g(x)
y p0
y=x
x0 y x1 x* y=x x x0 y y=g(x) p0 x* y=g(x)
p1 y=g(x) x1 y=x x
p0 p1 x1 x0 x*
x x0 x*
p1
x
x1
4.3 Newton法
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 取 x0 x*，将 f (x)在 x0 做一阶Taylor展开: f ( ) 2 f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) ， 在 x0 和 x 之间. 0 0 0 0 2 ! 将 (x* x0)2 看成高阶小量，则有：
割线
切线
收敛比Newton’s Method 慢， 且对初值要求同样高。
x1 x0
切线斜率
割线斜率
f ( x ) f ( x ) k k 1 f( x ) k x x k k 1
f( x )( x x ) k k k 1 x x k 1 k f( x ) f( x ) k k 1
非线性方程组可以看作非线性方程的推广，而非线性方程就是非线性方程组的特 例。非线性方程组的一般数学描述为：
f1 ( x1 , x 2 , f (x , x , 2 1 2 f n ( x1 , x 2 , , xn ) 0 , xn ) 0 , xn ) 0
f(x 0) 0 f ( x *) f ( x ) f ( x )( x * x ) x *x 0 0x k) x k 1 x k f (x 线性 /* linear */ k)
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代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17 ( I) 2 x 4 y 48
(-2)*(i) +(ii) , 得
(i) (ii)
高斯消 去法
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
x y 17 (II) (4 2) y 48 - 17 2 48 17 2 y 7 只小兔 42
科学计算解题过程
建立数学模型 选取计算方法
编写上机程序
计算得出结果
一、计算数学的产生和早期发展 计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅
是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是
计算问题。 二、二十世纪计算数学的发展 数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
整的解题步骤，称为算法。 描述算法可以有不同的方式。例如，可 以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以 借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，
也可以用框图直观地显示算法的全貌。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，
要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿， 应该有
则 R4
计算 0 e -x
1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区 看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操 场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼 堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出 现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的 现象将在那里出现。
数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、非线性方程 组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程 数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法、有限体积法
§2
一、算法的概念
算 法
定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完
例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 8 1 1
x2
0
e x dx
2
x x x ... ) dx 0 4! 12 ! 2 3! x 1 1 1 1 1 1 1 1 e dx 1 /e 1 ... 0 3 2! 5 3! 7 4! 9 (1 x 2
算法的研究和应用正是本课程的主题 ！
没有软件的支持，超级计算机只是一堆 废铁而已； 软件的核心就是算法。算法犹 如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬 件如同CD唱机。
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究
科 学 实 验
科 学 计 算
计算数学
21世纪信息社会的两个主要特征：
“计算机无处不在”
“数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
•
提问：计算方法是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
l n x,
Ax b , ......
a
b
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
计算机
§1
数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 ， 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思 维智能； 计算机的发展和应用，已不仅仅 是一种科学技术现象，而且成了一 种政治、军事、经济和社会现象；
二、算法的优劣
计算量小
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？ 存贮量少 逻辑结构简单 n=100?
§3 误差的背景介绍
3.1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 机器字长有限 —— 舍入误差
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战 服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命 令每隔76年才会出现一次。
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上 去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的 陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起 0 .005 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0.333 0. 1 0.024 0.747 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 则初始误差 E0 I 0 I 0 0 .5 10
3.2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日 丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题 关于本身是病态的 问题，我们还是留给数学家去头痛吧！
1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一： I n 1 n I n1