一元二次方程的根与系数的关系教案
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关》教案、教学设计
根据学生的个体差异，布置不同难度的课后作业，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，针对学生在课堂上的表现，进行有针对性的辅导，解决他们在学习过程中遇到的问题。
7.教学评价，持续改进
通过课堂提问、作业批改、测验等方式，了解学生的学习效果，对教学方法和策略进行调整，以提高教学质量。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的求解方法有初步的了解。在此基础上，他们对一元二次方程的根与系数之间的关系有一定的探究欲望，但可能对根的判别式和韦达定理的理解还不够深入。因此，在教学过程中，教师应充分调动学生的积极性，引导他们通过观察、思考、总结，逐步理解并掌握一元二次方程的根与系数之间的关系。
1.培养学生对待数学问题的认真态度，严谨治学，克服困难，勇于探索。
2.培养学生用数学的眼光观察世界，认识世界，增强学生的数学应用意识。
3.培养学生的创新精神，激发学生的学习兴趣，使学生在学习过程中体验成功，树立自信心。
在教学过程中，要注意关注学生的个体差异，因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。同时，注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，为学生的终身发展奠定基础。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
在课堂的开始，我将通过一个贴近学生生活的实际问题来导入新课：“同学们，假设我们班要举行一次篮球比赛，已知比赛场地上有两个篮筐，分别距离地面一定高度。现在我们需要计算出篮球从地面抛起，到达篮筐高度时的速度。这个问题可以通过一元二次方程来求解，那么如何找到这个方程的根呢？”这个问题既能够引起学生的兴趣，又能让学生感受到数学与生活的紧密联系。
此外，学生在解决实际问题时可能会遇到一定的困难，需要教师耐心指导，帮助学生建立数学模型，提高学生的数学应用能力。同时，学生的个体差异较大，教师应关注每个学生的学习进度，针对性地进行教学辅导，使他们在原有基础上得到提高。
《一元二次方程根与系数的关系》教案
一元二次方程根与系数的关系教学目标：1、掌握一元二次方程根与系数的关系。
2、会利用定理求解一元二次方程两根之和与两根之积。
3、通过学生自己探索，发现根与系数关系，增强学生信心，激发学生对于数学的学习兴趣和探究欲望。
教学重点1、根与系数关系及运用 教学难点1、如何通过求根公式发现韦达定理。
2、如何运用韦达定理解决一些一元二次方程的求解问题。
过程一、复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式。
ax 2+bx+c=0 (a ≠0) x= (b 2-4ac ≥0)(2)求一个一元二次方程，使它两根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 二、新课讲解如果方程x 2+px+q=0有两个根是x 1,x 2 那么有x 1+ x 2=-p, x 1 •x 2=q猜想：2x 2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？设x 1 、x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则两根之和与两根之积与各项系数之间有什么样的关系？ x 1+x 2= x 1·x 2=三、巩固练习a acb b 242-±-a b-ac口答下列方程的两根之和和与两根之积。
1）x 2-3x+1=0 2) x 2-2x=2 3) 2x 2-3x=0 4) 3x 2=1 判断对错，如果错了，说明理由。
1) 2x 2-11x+4=0两根之和11,两根之积4。
2） x 2+2=0两根之和0，两根之积2。
3） x 2+x+1=0两根之和-1，两根之积1。
四、能力提高例题1 已知方程x 2+kx+k+2=0的两个实数根是x 1,x 2且x 12+x 22=4求k 的值 解：（略）引申:（1、若ax 2+bx +c =0 (a ≠0 且 ∆≥0) （1）若两根互为相反数,则b =0; （2）若两根互为倒数,则a =c;（3）若一根为0,则c =0 ; （4）若一根为1,则a +b +c =0 ;（5）若一根为-1,则a -b +c =0; （6）若a 、c 异号,方程一定有两个实数根例题2 方程mx 2-2mx+m-1=0(m ≠0 ) 有一个正根，一个负根，求m 的取值范围。
2.5一元二次方程的根与系数关系(教案)
（2）通过实际例子，学会运用韦达定理解决实际问题，如已知一根求解另一根及方程的系数等。
举例：对于方程2x^2 - 5x + 3 = 0，学生需能迅速得出两根之和为5/2，两根之积为3/2。
2.教学难点
本节课的教学难点在于：
（1）理解韦达定理的推导过程，使学生明白根与系数之间的内在联系。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个关系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在教学过程中，教师应针对以上难点进行详细讲解，通过实例演示、引导学生思考和小组讨论等方式，帮助学生突破难点，确保学生对一元二次方程的根与系数关系理解透彻。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一元二次方程的问题？”（如：计算物体的抛物线运动轨迹等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数关系的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程根与系数关系在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
根与系数的关系教案
根与系数的关系教案一、教学目标1.了解一元二次方程的根的概念和求解方法；2.掌握一元二次方程根与系数之间的关系；3.能够通过一元二次方程的根和系数互相推导。
二、教学重点1.一元二次方程的根的概念和求解方法；2.一元二次方程根与系数之间的关系。
三、教学难点1.一元二次方程根与系数之间的关系的理解和应用。
四、教学内容1. 一元二次方程的根的概念和求解方法一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，其中a,b,c是已知数，x是未知数。
方程的解即为方程的根，一元二次方程的根有两个，分别为x1和x2。
求解一元二次方程的根的方法有两种：配方法和公式法。
配方法配方法是指通过变形将一元二次方程转化为(mx+n)2=p的形式，然后求解出mx+n的值，最后求出x的值。
具体步骤如下：1.将一元二次方程ax2+bx+c=0移项，得到ax2+bx=−c；2.将ax2+bx用a的平方根来配方，即(√ax+2√a )2=b24a−c；3.化简得到(√ax+2√a )2=b2−4ac4a；4.开方得到√ax+2√a =±√b2−4ac4a；5.移项得到√ax=2√a ±√b2−4ac4a；6.化简得到x=−b±√b2−4ac2a。
公式法公式法是指通过求解一元二次方程的根公式来求解方程的根。
一元二次方程的根公式为：x=−b±√b2−4ac2a其中，a,b,c分别为一元二次方程ax2+bx+c=0的系数。
2. 一元二次方程根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间有以下关系：1.一元二次方程的两个根之和等于−ba ，即x1+x2=−ba；2.一元二次方程的两个根之积等于ca ，即x1x2=ca。
五、教学方法本课程采用讲授、演示和练习相结合的教学方法。
1.讲授：通过讲解一元二次方程的根的概念、求解方法和根与系数之间的关系，让学生掌握相关知识点；2.演示：通过实际例子演示一元二次方程的求解过程，让学生更好地理解和掌握求解方法；3.练习：通过练习题让学生巩固所学知识，提高解题能力。
根与系数关系教案
根与系数关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）学会运用根与系数的关系解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过探究一元二次方程的根与系数的关系，培养学生的观察、分析、归纳能力；（2）运用根与系数的关系解决实际问题，提高学生的解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和自信心；（2）培养学生勇于探究、合作学习的良好品质。
二、教学内容1. 教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 教学难点：运用根与系数的关系解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课：（1）复习一元二次方程的定义及解法；（2）引导学生思考：一元二次方程的根与系数之间有什么关系？2. 探究活动：（1）让学生分组探讨，总结出一元二次方程的根与系数之间的关系；（2）教师引导学生归纳总结，得出结论。
3. 知识应用：（1）让学生运用根与系数的关系解决实际问题；（2）教师引导学生总结解题方法，巩固知识。
四、作业布置1. 请学生总结一元二次方程的根与系数之间的关系；2. 运用根与系数的关系解决实际问题。
五、教学反思1. 教师对本节课的教学效果进行自我评价；2. 学生对本节课的学习效果进行自我评价；3. 针对教学过程中的不足，提出改进措施。
六、教学评价1. 评价目标：（1）学生能理解并运用一元二次方程的根与系数关系；（2）学生能解决实际问题，展示数学应用能力；（3）学生能积极参与探究活动，表现合作学习能力。
2. 评价方法：（1）课堂提问，观察学生对概念的理解程度；（2）作业批改，检查学生运用知识解决问题的能力；（3）小组讨论，评估学生在探究活动中的表现。
七、教学拓展1. 课题研究：探究其他类型的方程（如二次三项式方程）的根与系数关系；2. 数学竞赛：组织学生参加有关一元二次方程的数学竞赛，提高解题技巧；3. 数学日记：鼓励学生记录在学习本节课过程中的心得体会，培养反思习惯。
一元二次方程根与系数的关系教学设计
一元二次方程根与系数的关系教学设计一元二次方程的根与系数的关系【教材分析】一元二次方程根与系数的关系是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。
它深化了两根与系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。
一元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式出现，考查的频率较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点。
【学情分析】针对九年级的学生从认知状况来说，学生在此之前已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式的内容，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于一元二次方程的根的理解和应用，仍然是部分学生所存在的困惑，所以在教学过程中通过让学生自主探索研究，解决问题，能够使学生更加深入的理解一元二次方程根与系数的关系。
【教法学法分析】1、教法分析：.根据学生的年龄特点和心理规律，在教学过程中我主要采用“探究──发现──应用”的教学过程，以问题引发学生的求知欲，以小组为单位合作交流，并给学生留出足够的思考时间和空间，鼓励学生动脑、动口、动手参与教学活动，感悟知识的形成过程，充分调动学生学习的积极性、主动性。
学生通过对所提问题的求解，在观察、归纳中发现一元二次方程的根与系数间的关系，较大程度地调动学生学习数学的欲望。
2、学法分析：.针对教法，通过探究活动组织好学生与学生之间、老师与学生之间的合作交流，充分展示学生的思维过程。
学生在探索过程中，不但增强了同学之间的合作精神，也能够初步理解对于一般的问题可以考虑先将其化为特殊情况，再从特殊总结到一般的解题思路和想法，并运用到今后的学习中。
【教学目标】1.知识目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，并能简单应用。
2.能力目标：经历观察、归纳、猜想与验证一元二次方程根与系数的关系的过程，提高观察，猜想，归纳的能力。
3.情感目标：(1)在探究中得出结论，获取成功的体验，激发学习热情，建立自信心。
九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
1.通过引导学生在自主探究、合作交流的过程中发现一元二次方程的根与系数的关系，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
2.利用具体的实例，让学生在实际操作中掌握一元二次方程的根与系数的关系，提高学生的实际操作能力和应用能力。
3.通过对一元二次方程根与系数关系的探究，培养学生数形结合的思想，让学生学会从多角度分析问题，形成严密的逻辑思维。
5.拓展延伸，提高思维：
-通过拓展延伸性问题的设置，引导学生运用一元二次方程根与系数关系解决更复杂的问题，提高学生的思维能力和创新能力。
6.总结反馈，反思提升：
-在课堂结束前，引导学生总结所学内容，进行自我反馈，发现不足，及时改进。
-教师对课堂教学进行反思，了解学生的学习情况，调整教学策略，提高教学质量。
-根据实际问题，列出一元二次方程，并运用根与系数关系求解。
3.拓展题：
-探究一元二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）的根与系数之间的关系，并给出证明。
-通过阅读教材或其他资料，了解一元二次方程根与系数关系在其他数学分支中的应用。
4.实践题：
-调查生活中的一元二次方程问题，例如：物品的定价与折扣、投资收益等，并运用所学知识解决实际问题。
（三）学生小组讨论
1.教学活动设计：
-将学生分成若干小组，针对本节课所学的一元二次方程根与系数关系，讨论以下问题：
a.一元二次方程根与系数关系在实际问题中的应用；
b.如何运用根与系数关系解决具体问题；
c.根的判别式和韦达定理在解题过程中的作用。
2.教学方法：
-采用小组合作学习法，促进学生之间的交流与讨论。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案
数学《一元二次方程根与系数的关系》教案教学目标：1. 知道一元二次方程的定义和一般形式；2. 能够求解一元二次方程的根；3. 知道一元二次方程根与系数的关系，掌握这种关系的应用。
教学重点：1. 一元二次方程的根与系数的关系；2. 解一元二次方程。
教学难点：1. 如何确定一元二次方程的解；2. 如何掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学方法：1. 经验教学法；2. 归纳法；3. 演示法；4. 课堂讨论。
教学资源：1. 教材；2. ppt。
教学过程：Step 1. 引入新知识介绍今天的教学内容，告诉学生今天会讲一元二次方程的根与系数的关系。
Step 2. 一元二次方程的定义及一般形式教师简单介绍一下一元二次方程的定义，然后让学生看下面的一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0解释一下式子中的各个符号的含义，a，b，c分别代表什么。
Step 3. 如何求解一元二次方程的根让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+6x+5=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 将a，b，c的值代入公式，求出x的值。
x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times1\times5}}{2\times1}=-1或-5解释这个结果是什么意思，根是如何求得的。
Step 4. 一元二次方程根与系数的关系让学生看下面这个一元二次方程的实例：x^2+mx+n=0请问这个一元二次方程的根是多少？教师引导学生使用求根公式：x=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-4n}}{2}然后让学生思考，如果我们知道了这个方程的根，是否可以求出m和n呢？引导学生进行讨论，发现可以求出m和n。
Step 5. 应用案例分析提供一些应用案例，让学生掌握一元二次方程根与系数的关系的应用。
例如：1. 设一元二次方程的两个根分别是3和4，求方程的一般形式。
《根与系数的关系》教案
《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。
二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。
3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。
(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。
(3) 若没有实数根，则方程无实数解。
三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。
2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。
2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。
五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。
2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。
3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。
2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。
3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。
4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。
5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。
七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。
2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。
3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。
八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。
八年级数学下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：一元二次方程的根与系数的关系，求根公式的推导与应用，以及在实际问题中的运用。
2.难点：
-理解判别式的概念及其在一元二次方程根的性质判断中的应用。
-对求根公式的记忆和熟练运用，尤其是公式中各个符号的含义和它们之间的关系。
-将实际问题抽象成一元二次方程模型，运用数学知识解决实际问题。
-借助几何图形或动画，形象地展示求根公式的推导过程。
-通过实际例题，指导学生如何运用求根公式解题。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
-一元二次方程的根与系数之间存在哪些关系？
-如何利用判别式判断方程的根的情况？
-求根公式在解题过程中的作用是什么？
2.各小组汇报讨论成果，老师进行点评和补充。
4.教学策略与方法：
-采用差异化教学，针对不同学生的学习风格和能力水平，提供个性化的指导和帮助。
-利用信息技术，如数学软件、在线平台等，为学生提供丰富的学习资源和工具，提高学习效率。
-定期进行学习反馈，通过作业、小测验等形式，及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
5.情感态度与价值观的培养：
-在教学过程中，注重鼓励学生，增强他们的自信心，培养面对困难的勇气和解决问题的毅力。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了一元一次方程的解法及其应用，对于一元二次方程也有初步的认识。在此基础上，学生对于本章节《一元二次方程的根与系数的关系》的学习，既有知识储备上的优势，也存在一定难度。大部分学生能够理解根与系数的关系，但可能在运用求根公式解题时，对公式的记忆和运用上存在困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将问题抽象成一元二次方程模型。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
一元二次方程的根与系数的关系教案
一元二次方程的根与系数的关系教案一、教学目标1、知识与技能目标：掌握一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数关系求出两根之和、两根之积2、过程与方法经历一元二次方程根与系数关系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，解决问题的能力，渗透整体的数学思想、求简思想.3、情感态度价值观通过探索一元二次方程的根与系数的关系，激发发现规律的积极性，鼓励勇于探索的精神。
二、教学重难点1、教学重点：根与系数的关系及运用.三、教学难点：探究一元二次方程根与系数的关系的过程，运用一元一次方程的根与系数的关系解决问题四、教学过程1、导入新课（1）直接导入教师活动：回顾方程的求根公式，不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值，而且反应了根与系数的关系。
提问：那么一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？顺势引出课题：一元二次方程根与系数的关系（2）情景导入教师复习一元二次方程，当时，；当时，方程有两个相等的实数根，为时，方程没有实数根小明同学在做课外习题时遇到这样一个问题∶已知方程2x²-4x-1=0，不解方程，求出方程的两根之和与两根之积。
解方程一向熟练的小明纳闷了，不解方程怎么求两根之和与两根之积呢?同学们，你们愿意帮助他吗?当你学完今天的内容就可以帮助他了。
今天我们来探讨一元二次方程的根与系数的关系。
2、讲授新课环节一：二次项系数为1的一元二次方程教师活动：教师通过多媒体展示思考问题提问：从因式分解法可知，方程（x-x1）(x-x2)=0(x1,x2为已知数)的两根为x1和x2,将方程化为x²+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系么？组织学生根据目标问题四人一组进行讨论或同桌之间交流，教师进行巡视指导，交流结束后，找学生回答，教师进行评价学生活动：根据问题探究出结论，将（x-x1）(x-x2)=0展开成x²-（x1+x2）x+x1x2=0得出x1+x2=-p,x1x2=q教师总结：关于x的方程x²+px+q=0（p,q为常数，p2-4q≥0）的两个根x1,x2与系数p,q的关系是环节二、二次项系数为a（a≠0）的一元二次方程教师活动：借助多媒体呈现课本思考题提问：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程，如果b2-4ac≥0，两根为x1，x2，引导学生利用上面的结论猜想x1，x2与各项系数a、b、c之间有何关系。
九年级数学《一元二次方程的根与系数的关系》教案
C．x2＋7x－12＝0D．x2－7x－12＝
解：另一根为 ，k＝3.
共育
课堂小结
．一元二次方程根与系数的关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
课堂评价
本节课在学生已有的公式法知识基础上遵循循序渐进的原则
自育
例2(教材补充例题)已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．
【思路点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数的关系解答．
【跟踪训练1】已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是(A)
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；
(3)5x－1＝4x2.
解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.
(2)x1＋x2＝－ ，x1x2＝－3.
(3)x1＋x2＝ ，x1x2＝ .
【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2－4ac≥0，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝
②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝－ ，x1x2＝ .
自育
共育
3．利用求根公式推导根与系数的关系：
ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝ ，x2＝ ．
则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ．
共育
类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积
例1(教材P16例4)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积
一元二次方程根与系数的关系-初高中衔接数学教学设计
作业：布置一些有关一元二次方程根与系数关系的练习题，让学生巩固所学知识。
解答：解答学生提出的问题，给予及时反馈。
总用时：45分钟
教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣。同时，要注重师生互动，让学生在实践中掌握知识，提高解决问题的能力。
二、核心素养目标分析
本节课的核心素养目标主要包括逻辑推理、数学建模和数学抽象。通过学习一元二次方程的根与系数的关系，学生能够锻炼自己的逻辑推理能力，从而更好地理解和掌握一元二次方程的解法；同时，通过建立数学模型，学生能够将理论知识应用到实际问题中，提高数学建模能力；此外，通过对一元二次方程根与系数的关系进行抽象和总结，学生能够提高自己的数学抽象能力。
3. 已知一元二次方程的两个根分别为 x1 和 x2，请写出该方程的系数与根之间的关系式。
4. 请举例说明如何运用一元二次方程根与系数的关系解决实际问题。
5. 请总结本节课的学习内容，并谈谈自己对一元二次方程根与系数关系的理解和体会。
当堂检测的目的是让学生及时巩固所学知识，发现和解决自己在学习过程中存在的问题。教师应及时批改学生的检测试卷，给予反馈和指导，帮助学生提高解题能力和数学思维能力。同时，教师应根据学生的检测结果，调整教学方法和策略，以满足学生的学习需求。
四、教学方法与策略
1. 选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：本节课的教学方法主要包括讲授法和案例研究法。讲授法主要用于向学生传授一元二次方程根与系数的关系的理论知识，而案例研究法则用于让学生通过具体的案例深入理解和掌握这一关系。
2. 设计具体的教学活动：为了促进学生的参与和互动，可以设计一些小组讨论活动。例如，让学生分组讨论一元二次方程的根的判别式，以及如何根据判别式求解方程的根。此外，还可以设计一些数学游戏，让学生在游戏中运用和巩固所学知识。
《根与系数的关系》教案
一、教学目标1. 让学生理解根与系数的关系,掌握一元二次方程的求根公式。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学学科的兴趣和自信心。
二、教学内容1. 根与系数的关系。
2. 一元二次方程的求根公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点:根与系数的关系,一元二次方程的求根公式。
2. 教学难点:根与系数的关系在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法,引导学生通过探索和发现来掌握知识。
2. 利用多媒体课件,生动形象地展示根与系数的关系。
3. 创设情境,让学生在解决实际问题中运用所学知识。
五、教学过程1. 导入新课:通过展示一些实际问题,引导学生思考根与系数的关系。
2. 讲解新课:讲解根与系数的关系,让学生掌握一元二次方程的求根公式。
3. 课堂练习:让学生通过练习,巩固所学知识。
4. 情境创设:让学生运用所学知识解决实际问题。
5. 总结反思:让学生总结本节课所学内容,反思自己的学习过程。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及小组合作表现，评估学生的学习兴趣和积极性。
2. 练习完成情况评价：检查学生课堂练习和课后作业的完成质量，评估学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决评价：评估学生在情境创设环节中解决问题的能力，以及对根与系数关系在实际问题中的应用。
七、教学资源1. 多媒体课件：通过生动形象的方式展示根与系数的关系，帮助学生更好地理解概念。
2. 实际问题案例：提供一些与生活实际相关的问题，让学生能够将所学知识应用于解决实际问题。
3. 练习题库：准备一系列练习题，帮助学生巩固知识，并提供及时反馈。
八、教学进度安排1. 课时安排：本节课计划安排2课时，每课时40分钟。
2. 教学环节时间分配：导入新课（10分钟），讲解新课（15分钟），课堂练习（10分钟），情境创设（5分钟），总结反思（5分钟）。
九、教学拓展1. 深入了解一元二次方程的求根公式的推导过程，进一步探究根与系数之间的关系。
一元二次方程的根与系数的关系教学设计
【教学目标】
1．掌握一元二次方程根与系数的关系。
2．能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
【教学重点】
掌握一元二次方程根与系数的关系。
【教学难点】
能运用根与系数的关系求：已知方程的一个根，求方程的另一个根及待定系数；根据方程求代数式的值。
【教学过程】
一、导入新课。
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），
二、讲授新课。
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2－4ac≥0，试推导它的两个根为x1+x2和x1x2的值。
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax2+bx=－c，
二次项系数化为1，得 ，
配方，得： ，
即 ，
∵b2－4ac0且4a2＞0，
∴ ，
直接开平方，得： ，
即 ，
∴ ， ，
∴x1+x2=－ ，x1x2= 。
归纳总结：如果方程x2+px+q=0的两根是x1，x2，那么x1+x2=－p， 。
三、重难点精讲。
1．不解方程，求方程两根的和与两根的积。
（1） 。
（2） 。
解：（1） ， 。
（2）原方程可化为： 。
， ，
2．已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
解：原方程可化为： ，
设方程的另一根是x1，那么2x1= ，∴x1= ，
又∵（ ）+2= ，∴k=－5[( )+2]=－7，
一元二次方程根与系数的关系教案华东师大版
4.应用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题，如：面积问题、距离问题等。
教学重点：一元二次方程的解法、根与系数的关系及其应用。
三、学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经学习了初中数学的前置知识，对一元一次方程、函数等概念有了一定的了解。在学习本节课之前，他们已经掌握了代数式的基本运算、因式分解等知识，这为一元二次方程的学习奠定了基础。
1.知识层次分析：学生在学习一元二次方程时，需要掌握方程的一般形式、解法、根与系数的关系等知识点。根据华东师大版教材的安排，这些知识点分布在多个章节中，学生需要将这些知识点贯穿起来，形成系统的一元二次方程知识结构。
2.教学手段
（1）多媒体设备：教师利用多媒体课件，生动形象地展示一元二次方程的解法、根与系数关系等知识点，提高学生的学习兴趣和理解程度。
（2）教学软件：教师运用教学软件，进行实时讲解、解题演示等，使学生更直观地理解一元二次方程的解法和应用。
（3）网络资源：教师引导学生利用网络资源，查找与一元二次方程相关的实际问题，培养学生的自主学习能力和数据分析能力。
内容逻辑关系
本节课的教学内容来自华东师大版八年级上册数学教材，章节为“二次方程的解法与应用”。具体内容包括：
1.理解一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0；
2.掌握一元二次方程的解法（求根公式）：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)；
3.探究一元二次方程根与系数的关系，即：若一元二次方程ax^2 + bx + c = 0的两根分别为x1、x2，则有x1 + x2 = -b/a，x1 * x2 = c/a；
一元二次方程根与系数的关系教案(完美版)
一元二次方程根与系数的关系一、教学目标（一）知识与技能掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．（二）过程与方法培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．（三）情感、态度与价值观1．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律；2．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．二、教学重点、难点、疑点及解决方法1．教学重点：根与系数的关系及其推导．2．教学难点：正确理解根与系数的关系．3．教学疑点：一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和，两根的积与系数的关系．三、教学过程（一）明确目标一元二次方程x2-5x+6=0的两个根是x1=2，x2=3，可以发现x1＋x2=5恰是方程一次项系数-5的相反数，x1x2＝6恰是方程的常数项．其它的一元二次方程的两根也有这样的规律吗？这就是本节课所研究的问题，利用一元二次方程的一般式和求根公式去推导两根和及两根积与方程系数的关系——一元二次方程根与系数的关系．（二）整体感知一元二次方程的求根公式是由系数表达的，研究一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程的两根的和，两根的积与系数的关系．它是以一元二次方程的求根公式为基础．学了这部分内容，在处理有关一元二次方程的问题时，就会多一些思想和方法，同时，也为今后进一步学习方程理论打下基础．本节先由发现数字系数的一元二次方程的两根和与两根积与方程系数的关系，到引导学生去推导论证一元二次方程两根和与两根积与系数的关系及其应用．向学生渗透认识事物的规律是由特殊到一般，再由一般到特殊，培养学生勇于探索、积极思维的精神．（三）重点、难点的学习及目标完成过程1．复习提问（1）写出一元二次方程的一般式和求根公式．（2）解方程①x2-5x＋6＝0，②2x2＋x-3＝0．观察、思考两根和、两根积与系数的关系．在教师的引导和点拨下，由学生得出结论，教师提问：所有的一元二次方程的两个根都有这样的规律吗？2．推导一元二次方程两根和与两根积和系数的关系．在线分享文档设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根．以上一名学生在板书，其它学生在练习本上推导．由此得出，一元二次方程的根与系数的关系．（一元二次方程两根和与两根积与系数的关系）结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1我们就可把它写成x 2+px+q=0．结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ． 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． 练习1．（口答）下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ （1）x 2-2x ＋1＝0；（2）x 2-9x ＋10＝0； （3）2x 2-9x ＋5＝0；（4）4x 2-7x ＋1＝0；（5）2x 2-5x ＝0；（6）x 2-1＝0此组练习的目的是更加熟练掌握根与系数的关系． 3．一元二次方程根与系数关系的应用．（1）验根．（口答）判定下列各方程后面的两个数是不是它的两个根．在线分享文档验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：（1）要先把一元二次方程化成标准型，（2）不要漏除二次项系数，（3）还要注意-b/a的负号。
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通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
学生通过计算、猜想、交流、总结出根与系数的关系：
， .
可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：
∵
∴
∴ ， .
从理论上加以验证，让学生经历从特殊到一般的科学探究过程。
学生独立思考，师生梳理本课的知识点及方法
1．如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=____，x1x2=____．
2．如果方程x2+px+q=0（p、q为已知常数，p2－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；
学生对于利用根与系数的关系来解决一些有关一元二次方程的问题还不够熟练，思路不清， 两根和、两根积有小部分同学有些混淆.
总之，在整个教学设计中，充分发挥了教师主导、学生主体的作用，通过学生自身体验过程、探究发现，激发学生获得求知的欲望；通过发现、猜想、证明的过程，使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想.
观察上面的表格，你能得到什么结论
若x1、x2为方程关于x的方程 的两个根，结合上表，说明x1+x2与x1·x2与p，q有何关系请你写出关系式
【探究2】
关于x的方程 的两根x1+x2与x1·x2与系数a，b，c之间又有何关系呢你能证明你的猜想吗
引导学生利用求根公式给出证明。
证明： 当△＞0时，由求根根式得： ，
教师布置作业，并提出要求.
学生课下独立完成，延续课堂.
考察学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性.
三、【板书设计】
一元二次方程的根与系数的关系
1、对于 的方程，若 ，两根为 ， .
那么 ， .
2、根与系数关系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即 .
一元二次方程的根与系数的关系
沂南三中 张继学联系电话:
一、【教材分析】
教
学
目
标
知识
目标
1.理解根系关系的推导过程.
2.掌握一元二次方程的根和系数的关系.
能力
目标
1.能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积 .
2.能灵活运用一元二次方程的根和系数的关系解决一些简单的问题.
情感
目标
体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
尝
试
应
用
1.利用所学知识解决情景问题
2.不解方程，求下列方程的两根和与两根积.
（1）x2–3x +1=0
（2）3x2–2x -2=0
（3）2x2–3x =0
（4）3x2=1
3.已知方程 的一个根是－3，求另一根及k的值
直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标.
学生先独立求解，再让小组交流，然后学生代表展示.比较不同解法，引导学生谈谈有什么启示
补
偿
提
高
若一元二次方程 -4 x+2=0的两根是 、 ，求下列各式的值：
（1） +
（2） +
进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用.
对内容的升华理解认识
小
结
1、这节课我们学习了什么知识有何作用
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法运用了哪些数学思想
（2）方程为一般形式。即形如： .
（3）判别式大于等于零，即 .
四、【教后反思】
本节课通过情景对话，调动学生学习兴趣，激发起学生的好奇心和求知欲，在此推动下，引领学生展开探究活动，并将探究根与系数的关系时分两个层次（即将二次项系数为1和非1的一元二次方程分两次出现）.
收获：
1. 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础.
以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）.
注意：根与系数的关系使用的前提条件____________________.
作
业
必做：
1.教科书课后练习.
2.教科书习题第7题.
选作：
1.已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数
2.若一元二次方程 +ax+2=0的两根满足： + =12，求a的值.
董：咳，你难不住我，我不用求根就已经知道答案了，而且我还告诉你，张老师的年龄啊还是方程x2-35x -200=0的两根的和呢.
师：同学们，你们想知道董沐青不解方程，是怎么求出张老师年龄的吗
老师创设一段情景对话，调动学生学习兴趣.
引导学生完成下面探究.
自
主
探
究
【探究1】
解下列方程，并填写表格：
的关系的推导、运用．
教学
难点
正确归纳、理解、运用根与系数的关系．
二、【教学流程】
教学环节
教学问题设计
师生活动
二次备课
情
景
创
设
前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话，内容如下：
郑：我说董沐青，我有一个秘密，你想听吗
董：什么秘密
郑：你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗
董：哦
郑：呵呵，这绝对是个秘密，我不能直接告诉你，我这么说吧：她的年龄啊是方程x2– 12x +35 =0的两根的积，回去你把两根求出来就知道了.
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力.
3.使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验.
不足：