邓畏平-第七章方差分析
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验统计量F；
2. 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为
k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ：
MSA F ~ F (k 1, n k ) MSE
F分布与拒绝域
SSA F K 1 SSE nk
P{F (n1 , n2 ) F (n1 , n2 )}
拒绝H0
（1）全部观察值x ij与总平均值x的离差 平方和； （2）反映全部观察值的离散状况； （3）SST包括系统误差和随机误差； （4）计算公式为：
SST xij x
i 1 j 1
k
ni
2
组间平方和 SSA
（1）各组平均值x1与总平均值x的离差平方和； （2）反映了不同水平作用产生的差异大小； （3）该平方和包括随机误差和系统误差； （4）计算公式如下：
不能拒绝H0
F
如果因素A的各水平 对总体的影响显著， 0 那么SSA相对较大， 因而F 也较大。
F(k-1,n-k)
F 分布
Βιβλιοθήκη Baidu
统计决策
根据给定的显著性水平，P值< , 拒绝原假设，即颜色对饮料的销售 量有显著性影响。
单因素方差分析表
(基本结构)
方差 来源 组间 组内 总和 平方 自由 均方 和SS 度df MS P值 F临界值 (P-Value) (Fcrit)
分析步骤
一、建立假设
二、构造检验F统计量 （水平均值、总均值、离差平方和、均方） 三、判断与结论
1、计算4个水平均值和总平均值
26.5 28.7 27.2 x1 27.32 5 x1 j x1 1 j x2 29.56 x2 j x2 2 j x3 26.44 x3 j x3 3 j x4 31.46 x4 j x4 4 j
SSA x i x
i 1 j 1 k ni
n x x
2 k i 1 i i
2
组内平方和 SSE
(1) 每个水平或组的各样本数据与其组平均值 的离差平方和； (2) 反映的是水平内部数据的离散状况 , 实质上 是随机因素带来的影响 ,又称为误差平方和 ； (3)该平方和反映的是随机误差的大小； (4)计算公式为
总均值
26.5 28.7 31.7 32.8 x 20 x1 x 2 x 3 x4 4 27.32 29.56 26.44 31.46 28.69 4 x i x i x ij x i ij
2、计算三个离差平方和之总离差平方和
F值
SSA SSE SS
k-1 n-k n-1
MSA MSE
MSA
MSE
【例题2】、某次方差分析所得到的一张不完全的方 差分析表如下，据此回答问题：
差异源 组间 组内 总合 SS A 0.000192 0.001245 df 2 B 14 MS C 0.000016 F D P-Value 1.34E-05
单因素方差分析的基本假定
1、各个水平的数据是从相互独立的总体 中抽取的（独立性）； 2、各个水平下的因变量服从正态分布（ 正态性）； 3、各水平下的总体具有相同的方差（ 方差齐性）。
方差齐性检验（Levene检验）
2 2 2 H 0： 12 2 3 4
H 1： ， ， ， 不全相等
水平
超市 单 元 无色 粉色 橘黄色 绿色
1 2 3 4 5
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
因素
因素是指所要研究的变量，它可能对因 变量产生影响。在本例中，要分析不同颜色 对销售量是否有影响，所以，销售量是因变 量，而颜色是可能影响销售量的因素。
如果方差分析只针对一个因素进行，称 为单因素方差分析。如果同时针对多个因素 进行，称为多因素方差分析。
水平
水平指因素的具体表现，如四种 颜色就是因素的不同取值。有时水平 是人为划分的，比如质量被评定为好、 中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销售方式
一下有五种不同的销售业绩，就是五个单元。
方差分析要求的方差齐性就是指的各个单元
①、求A,B,C,D的值。 ②、说明此方差分析的原假设和备择假设。 ③、在显著水平为α=0.10时，说明方差分析的结果 是什么。
多重比较
多重比较方法有十几种，Fisher提出的 最小显著差异方法（Least Significant Difference， 简写为LSD）使用最多，该方法可用于判断到 底哪些均值之间有差异。LSD方法是对检 验两个总体均值是否相等的t检验方法，它 来源于第六章公式：
第 七 章 方 差 分 析
某饮料生产企业研制出一种新型 案例分析 饮料。饮料的颜色共有四种，分别 为橘黄色、粉色、绿色和无色透明 。这四种饮料的营养含量、味道、 价格、包装等可能影响销售量的因 素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上随 机收集了前一时期该饮料的销售情 况，见下表。试分析饮料的颜色是 否对销售量产生影响。
3、计算两个均方差 MS
(1)SSA的均方也称组间方差,记为MSA,计算公式为
组 间 平 方 和 SSA MSA 自由度 k1
（2）SSE的均方也称组内方差,记为MSE,计算公
式为
组 内 平 方 和 SSE MSE 自由度 nk
4、构造统计量 F
1. 将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检
2 1 2 2 2 3 2 4
对于正态性而言，只要不是严重的偏态，
在样本量较大的情况下结果都很稳定；
对方差齐性问题，只要所有组中 的最 大、最小方差之比小于3，那么检验结
果也是非常稳定的。
基本思想
方差分析的基本思想就是从不同角度 计算出有关的均值与方差，然后通过组内 方差与组间方差的对比，在一定统计理论 指导下分析条件误差与随机误差，进而分 解或判断出实验观察数据中必然因素和偶 然因素（随机）的影响大小（统计意义上 的显著性）。
间的方差齐性。
要辨别随机误差和包装方式这两个因素中哪一 个是造成销售量有显著差异的主要原因，这一 问题可归结于判断三个总体是否具有相同分布 的问题，从而有以下三种情况： 假设1：四组数据来自来自具有相同均值的正态 总体（假设方差相等）； 假设2：四组数据来自具有相同均值与方差的正 态总体； 假设3：四组数据来自具有相同方差的总体。 实践中，人们通常只对假设1、假设2进行统计 检验，特别是假设1的检验，即人们通常所说的 “单因素方差分析”。
ni
SSE xij x i
i 1 j 1
k
2
三个平方和的关系
x
k i 1 j 1
ni
ij
x
n x x x
2 k 2 k i 1 i i i 1 j 1
ni
ij
xi
2
SST = SSA+ SSE
自由度(df ): n-1=(k-1)+(n-k)
t sp xy 1 1 n1 n2
补充作业题
某次方差分析所得到的一张不完全的方差分析表如下， 据此回答问题：
回答下列问题： 1、求A,B,C,D的值。 2、说明此方差分析的原假设和备择假设。 3、满足方差齐性的要求吗？ 4、在显著水平为α=0.05时，说明方差分 析的结果是什么。 5、哪些行业之间的服务质量存在显著性差异？
2. 当H0为真时，二者的比值服从分子自由度为
k-1、分母自由度为 n-k 的 F 分布，即 ：
MSA F ~ F (k 1, n k ) MSE
F分布与拒绝域
SSA F K 1 SSE nk
P{F (n1 , n2 ) F (n1 , n2 )}
拒绝H0
（1）全部观察值x ij与总平均值x的离差 平方和； （2）反映全部观察值的离散状况； （3）SST包括系统误差和随机误差； （4）计算公式为：
SST xij x
i 1 j 1
k
ni
2
组间平方和 SSA
（1）各组平均值x1与总平均值x的离差平方和； （2）反映了不同水平作用产生的差异大小； （3）该平方和包括随机误差和系统误差； （4）计算公式如下：
不能拒绝H0
F
如果因素A的各水平 对总体的影响显著， 0 那么SSA相对较大， 因而F 也较大。
F(k-1,n-k)
F 分布
Βιβλιοθήκη Baidu
统计决策
根据给定的显著性水平，P值< , 拒绝原假设，即颜色对饮料的销售 量有显著性影响。
单因素方差分析表
(基本结构)
方差 来源 组间 组内 总和 平方 自由 均方 和SS 度df MS P值 F临界值 (P-Value) (Fcrit)
分析步骤
一、建立假设
二、构造检验F统计量 （水平均值、总均值、离差平方和、均方） 三、判断与结论
1、计算4个水平均值和总平均值
26.5 28.7 27.2 x1 27.32 5 x1 j x1 1 j x2 29.56 x2 j x2 2 j x3 26.44 x3 j x3 3 j x4 31.46 x4 j x4 4 j
SSA x i x
i 1 j 1 k ni
n x x
2 k i 1 i i
2
组内平方和 SSE
(1) 每个水平或组的各样本数据与其组平均值 的离差平方和； (2) 反映的是水平内部数据的离散状况 , 实质上 是随机因素带来的影响 ,又称为误差平方和 ； (3)该平方和反映的是随机误差的大小； (4)计算公式为
总均值
26.5 28.7 31.7 32.8 x 20 x1 x 2 x 3 x4 4 27.32 29.56 26.44 31.46 28.69 4 x i x i x ij x i ij
2、计算三个离差平方和之总离差平方和
F值
SSA SSE SS
k-1 n-k n-1
MSA MSE
MSA
MSE
【例题2】、某次方差分析所得到的一张不完全的方 差分析表如下，据此回答问题：
差异源 组间 组内 总合 SS A 0.000192 0.001245 df 2 B 14 MS C 0.000016 F D P-Value 1.34E-05
单因素方差分析的基本假定
1、各个水平的数据是从相互独立的总体 中抽取的（独立性）； 2、各个水平下的因变量服从正态分布（ 正态性）； 3、各水平下的总体具有相同的方差（ 方差齐性）。
方差齐性检验（Levene检验）
2 2 2 H 0： 12 2 3 4
H 1： ， ， ， 不全相等
水平
超市 单 元 无色 粉色 橘黄色 绿色
1 2 3 4 5
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
因素
因素是指所要研究的变量，它可能对因 变量产生影响。在本例中，要分析不同颜色 对销售量是否有影响，所以，销售量是因变 量，而颜色是可能影响销售量的因素。
如果方差分析只针对一个因素进行，称 为单因素方差分析。如果同时针对多个因素 进行，称为多因素方差分析。
水平
水平指因素的具体表现，如四种 颜色就是因素的不同取值。有时水平 是人为划分的，比如质量被评定为好、 中、差。
单元
单元指因素水平之间的组合。如销售方式
一下有五种不同的销售业绩，就是五个单元。
方差分析要求的方差齐性就是指的各个单元
①、求A,B,C,D的值。 ②、说明此方差分析的原假设和备择假设。 ③、在显著水平为α=0.10时，说明方差分析的结果 是什么。
多重比较
多重比较方法有十几种，Fisher提出的 最小显著差异方法（Least Significant Difference， 简写为LSD）使用最多，该方法可用于判断到 底哪些均值之间有差异。LSD方法是对检 验两个总体均值是否相等的t检验方法，它 来源于第六章公式：
第 七 章 方 差 分 析
某饮料生产企业研制出一种新型 案例分析 饮料。饮料的颜色共有四种，分别 为橘黄色、粉色、绿色和无色透明 。这四种饮料的营养含量、味道、 价格、包装等可能影响销售量的因 素全部相同。现从地理位置相似、 经营规模相仿的五家超级市场上随 机收集了前一时期该饮料的销售情 况，见下表。试分析饮料的颜色是 否对销售量产生影响。
3、计算两个均方差 MS
(1)SSA的均方也称组间方差,记为MSA,计算公式为
组 间 平 方 和 SSA MSA 自由度 k1
（2）SSE的均方也称组内方差,记为MSE,计算公
式为
组 内 平 方 和 SSE MSE 自由度 nk
4、构造统计量 F
1. 将MSA和MSE进行对比，即得到所需要的检
2 1 2 2 2 3 2 4
对于正态性而言，只要不是严重的偏态，
在样本量较大的情况下结果都很稳定；
对方差齐性问题，只要所有组中 的最 大、最小方差之比小于3，那么检验结
果也是非常稳定的。
基本思想
方差分析的基本思想就是从不同角度 计算出有关的均值与方差，然后通过组内 方差与组间方差的对比，在一定统计理论 指导下分析条件误差与随机误差，进而分 解或判断出实验观察数据中必然因素和偶 然因素（随机）的影响大小（统计意义上 的显著性）。
间的方差齐性。
要辨别随机误差和包装方式这两个因素中哪一 个是造成销售量有显著差异的主要原因，这一 问题可归结于判断三个总体是否具有相同分布 的问题，从而有以下三种情况： 假设1：四组数据来自来自具有相同均值的正态 总体（假设方差相等）； 假设2：四组数据来自具有相同均值与方差的正 态总体； 假设3：四组数据来自具有相同方差的总体。 实践中，人们通常只对假设1、假设2进行统计 检验，特别是假设1的检验，即人们通常所说的 “单因素方差分析”。
ni
SSE xij x i
i 1 j 1
k
2
三个平方和的关系
x
k i 1 j 1
ni
ij
x
n x x x
2 k 2 k i 1 i i i 1 j 1
ni
ij
xi
2
SST = SSA+ SSE
自由度(df ): n-1=(k-1)+(n-k)
t sp xy 1 1 n1 n2
补充作业题
某次方差分析所得到的一张不完全的方差分析表如下， 据此回答问题：
回答下列问题： 1、求A,B,C,D的值。 2、说明此方差分析的原假设和备择假设。 3、满足方差齐性的要求吗？ 4、在显著水平为α=0.05时，说明方差分 析的结果是什么。 5、哪些行业之间的服务质量存在显著性差异？