第17讲 导数的概念及其运算(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
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考点三、与切线有关的参数问题 例 3、(2019 常州期末） 若直线 kx－y－k＝0 与曲线 y＝ex(e 是自然对数的底数)相切，则实数 k＝________．
变式 1、（2017 苏州一调）若直线 y 2x b 为曲线 y ex x 的一条切线，则实数 b 的值是
．
变式 2、(2016 苏州暑假测试） 已知函数 f(x)＝x－1＋e1x，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)相切，则实数 k ＝________.
二、基础知识回顾
1. 导数的概念 设 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 上 有 定 义 ， 且 x0 ∈ (a ， b) ， 若 Δx 无 限 趋 近 于 0 时 ， 比 值 Δy ＝
Δx f（x0＋Δx）－f（x0）无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0
项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x
D．f(x)＝tan x
7、已知曲线 f(x)＝xsinx＋1 在点(π，f(π))处的切线与直线 ax－y＋1＝0 互相垂直，那么实数 a 的值为____． 22
8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速
．
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求 出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1
续表
基本初等函数
导函数
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0) f(x)＝lnx
f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex
f′(x)＝axlna f′(x)＝1 x
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
3、(2019·全国Ⅰ卷)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0，0)处的切线方程为________.
4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y＝ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(－e， －1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是________.
度 v＝________ m/s，加速度 a＝________ m/s2.
9、(2019 南通、泰州一调） 若曲线 y＝xlnx 在 x＝1 与 x＝t 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为________．
10、(2019 常州期末） 已知函数 f(x)＝bx＋lnx，其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相切，
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
4. 导数的运算法则
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝ 1 xlna
若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1x＋3 垂直，求切点坐标与切线方程．
4
方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． (3)曲线 y＝f(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切 线是指点 P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝f(x)过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过点 P，点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
5、(2019 苏锡常镇调研（二））已知点 P 在曲线 C： y 1 x2 上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与 2
直线 l 垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OP⊥OQ，则点 P 的纵坐标为
．
6、(2019 年江苏卷).在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x
则 k－b 的值为________．
11、(2019 苏州期末） 曲线 y＝x＋2ex 在 x＝0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
四、例题选讲 考点一、基本函数的导数 例 1、求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1；
x (3)y＝coesx x.
M
处切线倾斜角的取值范围为
3π，π 4
，则点
M
横坐标的取值范围为(D )
A. [－1，＋∞)
－∞，－3
B.
4
－1，－3
－1，－3
C.
4 D.
4
4、.设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝0，则 x0 等于(A )
A. 1
B. e
C. e2 D. 1
e
5、(多选)下列求导数运算正确的有( )
2/7
B.x－2y＋2＝0
C.2x－y－1＝0
D.x＋2y－2＝0
2、 函数 f(x)＝2x＋cosx 在点(π，f(π))处的切线方程为( ) 22
A. 3x－y－π＝0 B. x－y＋π＝0
2
2
C. 3x－y－3π＝0 D. x－y－π＝0
2
2
3、
设
M
为曲线
C：y＝2x2＋3x＋3
上的点，且曲线
C
在点
变式、求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋x；
ex
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 (2)f(x)＝x3＋2x－x2ln x－1；
x2 2x＋π 2x＋π (3)y＝xsin 2 cos 2 .
变式 2、已知 f(x)＝ln 2x－1，则 f′(x)＝________. 2x＋1
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求 导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内 逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程 例 2、(1)已知曲线 S：y＝－2x3＋x2＋4x 及点 P(0，0)，那么过点 P 的曲线 S 的切线方程为____．
五、优化提升与真题演练 1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线 y＝2sinx＋cosx 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0 C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0
2、(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
3 (2)已知函数 f(x)＝xlnx，过点 A(－e12，0)作函数 y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
变式 1、已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)若直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；
x+y=0 的距离的最小值是_____.
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 7、(2018 南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 y＝ m (m＞0)在 x＝1 处的切
x＋1 线为 l，则点(2，－1) 到直线 l 的距离的最大值为________．
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
A．(sin x)′＝cos x
1
B.
x
′＝ 1 x2
C．(log3x)′＝3l1n x
D．(ln x)′＝1 x
6．(多选)已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0 使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0 是 f(x)的一个“巧值点”．下列选
Δx 处的导数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x)． 2. 导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点 P 的切线 方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3. 基本初等函数的导数公式
变式 3、(2018 常州期末） 已知函数 f(x)＝bx＋lnx，其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相 切，则 k－b 的值为________．
变式 4、若函数 f (x) x3 ax2 bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为 y 3x 4 2 ，则 b 的值为
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y 对 x 的导数等于 y
对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
三、自主热身、归纳总结
1、知函数 f(x)＝ x ，则函数在 x＝－1 处的切线方程是( ) x＋2
A.2x－y＋1＝0
2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习
第 17 讲：导数的概念及其运算
一、课程标准
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1的导数．
x 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
f（x） (3) g（x） ＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
g2（x）
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为
函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))．
变式 1、（2017 苏州一调）若直线 y 2x b 为曲线 y ex x 的一条切线，则实数 b 的值是
．
变式 2、(2016 苏州暑假测试） 已知函数 f(x)＝x－1＋e1x，若直线 l：y＝kx－1 与曲线 y＝f(x)相切，则实数 k ＝________.
二、基础知识回顾
1. 导数的概念 设 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 (a ， b) 上 有 定 义 ， 且 x0 ∈ (a ， b) ， 若 Δx 无 限 趋 近 于 0 时 ， 比 值 Δy ＝
Δx f（x0＋Δx）－f（x0）无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0 处可导，并称该常数 A 为函数 f(x)在 x＝x0
项中有“巧值点”的函数是( )
A．f(x)＝x2
B．f(x)＝e－x
C．f(x)＝ln x
D．f(x)＝tan x
7、已知曲线 f(x)＝xsinx＋1 在点(π，f(π))处的切线与直线 ax－y＋1＝0 互相垂直，那么实数 a 的值为____． 22
8、在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是 h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速
．
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方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求 出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．
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基本初等函数
导函数
f(x)＝C(C 为常数) f(x)＝xα
f′(x)＝0 f′(x)＝αxα－1
续表
基本初等函数
导函数
f(x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f(x)＝cosx f(x)＝ex
f(x)＝ax(a>0) f(x)＝lnx
f′(x)＝－sinx f′(x)＝ex
f′(x)＝axlna f′(x)＝1 x
A．a＝e，b＝－1
B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1
D．a＝e－1，b＝－1
3、(2019·全国Ⅰ卷)曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0，0)处的切线方程为________.
4、(2019·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y＝ln x 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点(－e， －1)(e 为自然对数的底数)，则点 A 的坐标是________.
度 v＝________ m/s，加速度 a＝________ m/s2.
9、(2019 南通、泰州一调） 若曲线 y＝xlnx 在 x＝1 与 x＝t 处的切线互相垂直，则正数 t 的值为________．
10、(2019 常州期末） 已知函数 f(x)＝bx＋lnx，其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相切，
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4. 导数的运算法则
f(x)＝logax(a>0，且 a≠1)
f′(x)＝ 1 xlna
若 f′(x)，g′(x)存在，则有：
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－1x＋3 垂直，求切点坐标与切线方程．
4
方法总结：利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点： (1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点． (3)曲线 y＝f(x)“在”点 P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切 线是指点 P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为 k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线 y＝f(x)过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过点 P，点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．
5、(2019 苏锡常镇调研（二））已知点 P 在曲线 C： y 1 x2 上，曲线 C 在点 P 处的切线为 l，过点 P 且与 2
直线 l 垂直的直线与曲线 C 的另一交点为 Q，O 为坐标原点，若 OP⊥OQ，则点 P 的纵坐标为
．
6、(2019 年江苏卷).在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y x 4 (x 0) 上的一个动点，则点 P 到直线 x
则 k－b 的值为________．
11、(2019 苏州期末） 曲线 y＝x＋2ex 在 x＝0 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为________．
四、例题选讲 考点一、基本函数的导数 例 1、求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； (2)y＝ln x＋1；
x (3)y＝coesx x.
M
处切线倾斜角的取值范围为
3π，π 4
，则点
M
横坐标的取值范围为(D )
A. [－1，＋∞)
－∞，－3
B.
4
－1，－3
－1，－3
C.
4 D.
4
4、.设 f(x)＝xln x，若 f′(x0)＝0，则 x0 等于(A )
A. 1
B. e
C. e2 D. 1
e
5、(多选)下列求导数运算正确的有( )
2/7
B.x－2y＋2＝0
C.2x－y－1＝0
D.x＋2y－2＝0
2、 函数 f(x)＝2x＋cosx 在点(π，f(π))处的切线方程为( ) 22
A. 3x－y－π＝0 B. x－y＋π＝0
2
2
C. 3x－y－3π＝0 D. x－y－π＝0
2
2
3、
设
M
为曲线
C：y＝2x2＋3x＋3
上的点，且曲线
C
在点
变式、求下列函数的导数： (1)f(x)＝x2＋x；
ex
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2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 (2)f(x)＝x3＋2x－x2ln x－1；
x2 2x＋π 2x＋π (3)y＝xsin 2 cos 2 .
变式 2、已知 f(x)＝ln 2x－1，则 f′(x)＝________. 2x＋1
方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点： 连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求 导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内 逐层求导，必要时可换元 考点二 求导数的切线方程 例 2、(1)已知曲线 S：y＝－2x3＋x2＋4x 及点 P(0，0)，那么过点 P 的曲线 S 的切线方程为____．
五、优化提升与真题演练 1、（2019·全国Ⅱ高考(文)）曲线 y＝2sinx＋cosx 在点(π，－1)处的切线方程为(C ) A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0 C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0
2、(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线 y＝aex＋xln x 在点(1，ae)处的切线方程为 y＝2x＋b，则( )
3 (2)已知函数 f(x)＝xlnx，过点 A(－e12，0)作函数 y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
变式 1、已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)若直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标；
x+y=0 的距离的最小值是_____.
6/7
2021 届新课改地区高三数学一轮专题复习 7、(2018 南京、盐城、连云港二模） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 y＝ m (m＞0)在 x＝1 处的切
x＋1 线为 l，则点(2，－1) 到直线 l 的距离的最大值为________．
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A．(sin x)′＝cos x
1
B.
x
′＝ 1 x2
C．(log3x)′＝3l1n x
D．(ln x)′＝1 x
6．(多选)已知函数 f(x)及其导函数 f′(x)，若存在 x0 使得 f(x0)＝f′(x0)，则称 x0 是 f(x)的一个“巧值点”．下列选
Δx 处的导数，记作 f′(x0)． 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着 x 的变化而变化，因而是自变量 x 的函数，该函数称作 f(x)的导函数，记作 f′(x)． 2. 导数的几何意义 函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点 P 的切线 方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 3. 基本初等函数的导数公式
变式 3、(2018 常州期末） 已知函数 f(x)＝bx＋lnx，其中 b∈R.若过原点且斜率为 k 的直线与曲线 y＝f(x)相 切，则 k－b 的值为________．
变式 4、若函数 f (x) x3 ax2 bx 为奇函数，其图象的一条切线方程为 y 3x 4 2 ，则 b 的值为
(2)复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 y′x＝y′u·u′x，即 y 对 x 的导数等于 y
对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．
三、自主热身、归纳总结
1、知函数 f(x)＝ x ，则函数在 x＝－1 处的切线方程是( ) x＋2
A.2x－y＋1＝0
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第 17 讲：导数的概念及其运算
一、课程标准
1.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．
2.通过函数图象直观地理解导数的几何意义． 3.能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1的导数．
x 4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
f（x） (3) g（x） ＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
g2（x）
5. 复合函数的求导法则
(1)一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为
函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x))．