求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)

求解函数定义域、值域、解析式

【课堂笔记】

知识点一 定义域、值域的定义

在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。

（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。

（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。

（4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。

（5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。

（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有

意义的公共部分的集合。

（8）复合函数的定义域问题：

①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出；

②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。

【例1】求下列函数的定义域

（1）1+=

x y （2）x y -=

21

（3）0)1(21-+-=

x x

y

【例2】 求下列函数的定义域

（1）x

y ++

=

11

11； （2）1

42

--=

x x y ；

（3）2

3

2

-75

1

x x y +-=； （4）1

110

32---+=

x x x y

【当堂检测】 1. 函数x

x x y 4

32+--=

的定义域为（ ）

A. [-4,1]

B. [)0,4-

C. (]1,0

D. [)(]1,00,4⋃- 2．函数x x x y +-=

)1(的定义域为（ ）

A. }0{≥x x

B. }1{≥x x

C. {0}}1{Y ≥x x

D. }10{≤≤x x 3.求下列函数的定义域 （1）23)(+=x x f （2）x x x f -+

+=211)( （3）x

x x f ++-=511)(

知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域

1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。

2. 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)(）（x g f 的定义域是指满足不等式b x g a ≤≤)(的x 的取值集合。一般地，函数)(）（x g f 的定义域为],[b a ，指的是],[b a x ∈，要求)(x f 的定义域，就是求],[b a x ∈时)(x g 的值域。

【例1】已知)(x f y =的定义域为]2,0[，求 ①)(2

x f ；②)12(-x f ；③)2(-x f 的定义域。

【例2】已知函数)1(2

-x f 的定义域为]1,0[，求)(x f 的定义域。

【例3】已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域。

【当堂检测】

1、已知)(x f 的定义域为]2,0[，求)1(+=x f y 的定义域。

2、已知)1(+=x f y 的定义域为]2,0[，求)(x f 的定义域。

3、已知函数)1(+x f 的定义域为[-2,3），求)21

(+x

f 的定义域。

知识点三 函数解析式求法

1.待定系数法

当已知函数)(x f 的类型时，要求函数)(x f 的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方

程（组）求解。如已知)(x f 为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设b kx x f +=)(（0≠b ），

将已知点的坐标代入得⎩⎨

⎧=+=01b k b ，解得此方程组得⎩⎨⎧=-=1

1

b k ，故1)(+-=x x f 。

【例1】 设1613)13()2(2

-+=++x x x f x f ，求)(x f 。

【例2】已知函数2

)(x x f =，)(x g 为一次函数，且一次项系数大于0，若25204)]([2

+-=x x x g f ，

求)(x g 的解析式。

【当堂检测】

1、若2627)))(((+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式。

2、若)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。

2.配凑法

已知)]([x g f 的解析式，要求)(x f 时，可从)]([x g f 的解析式中拼凑出“)(x g ”作为整体来表示，再将解析式两边的)(x g 都用x 代替即可。如已知1)1(2

++=+x x x f （此解析式中的)(x g = 1+x ），求)(x f 时，

可整理2

2

)1(1)1(+=++=+x x x x f ，用x 代替等号两边的1+x ，得2

)(x x f =。