求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)
求函数的定义域、解析式、值域的方法
第一部分函数与导数（一）函数概念函数的三要素求定义域具体函数的定义域（1）分式中的分母不为零；（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于零；（3）指数式的底数大于零且不等于一；（4）对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零；（5）正切函数x y tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且； 复合函数的定义域1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． ．2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 3若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。
运算型的抽象函数例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 逆向型1已知函数862++-=m mx mx y 的定义域为R 求实数m 的取值范围。
2 已知函数347)(2+++=kx kx kx x f 的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
（注意：应用题写明解析式后一定注明定义域）求函 数 解 析 式一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。
但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。
已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。
与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。
求解函数定义域、值域、解析式讲义(精华版)
3. 已知函数 f（ x 1） x 2 x ，求函数 f (x) 的解析式。
4. 方程组法
当关系式中同时含有 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1) 时，常将原式中的 x 用 x （或 1 ）代替，
x
x
从而得到另一个同时含 f ( x) 与 f ( x) 或 f ( x) 与 f ( 1 ) 的关系式， 将这两个关系式联立， 解方程组解出 f ( x) 。 x
出参数的范围。
【例 1】 （ 1）若函数 f ( x)
(a 2 1) x2 ( a 1) x 2 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。 a1
（2）判断 k 为何值时，函数 y
2kx 8 kx2 2kx
关于 x 的定义域为 1
R。
2. 函数值域的逆向应用
【例 2】 求使函数 y
x2 x2
ax x
2 的值域为 ( 1
【例 1】 求下列函数的定义域
（ 1） y x 1
（ 2） y
1
2x
（ 3） y
1
( x 1)0
2x
【例 2】 求下列函数的定义域
（1） y
1； 11
1x
（ 2） y
4 x2 ； x1
））））））
））））））））
（ 3） y
1
3 x2 5
7 - x2 ；
（4） y
x2 3x 10 x11
【当堂检测】
（ 3）若函数 f ( x) 是整式型函数，则定义域为全体实数。
（ 4）若函数 f ( x) 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。
（ 5）若函数 f (x ) 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （ 6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （ 7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结函数的定义域和值域是函数解析式中的两个重要概念。
定义域指的是函数的自变量可能取值的范围，值域则是函数的因变量可能取值的范围。
在解析式中，定义域和值域可以通过不同的方法进行求解。
下面是常见的函数解析式定义域和值域求解方法总结。
一、定义域的求法：1.开方函数的定义域：对于形如y = √(ax + b)的开方函数，考虑开方中的被除数，即ax + b的取值范围，对ax + b >= 0进行求解，得到定义域。
2.分式函数的定义域：对于形如y=f(x)/g(x)的分式函数，需要满足分母不等于0的条件，因此需要解g(x)≠0，将g(x)=0进行求解，得到定义域。
3.对数函数的定义域：对于形如y = logₐ(x)的对数函数，需要满足x > 0的条件，因此定义域为x > 0。
4.指数函数的定义域：对于形如y=aˣ的指数函数，没有特殊定义域的限制，因此定义域为全体实数。
5.三角函数的定义域：对于常见的正弦函数、余弦函数、正切函数等三角函数，它们的定义域为全体实数。
6.反三角函数的定义域：对于反正弦、反余弦、反正切等反三角函数，它们的定义域要满足对应的正弦、余弦、正切函数取值范围的要求。
7.复合函数的定义域：当函数为两个函数的复合函数时，需要满足两个函数的定义域的交集作为复合函数的定义域。
二、值域的求法：1.函数的图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的取值范围，得到值域的估计。
2.函数的导数法：对函数求导，并观察导数的符号及极限情况，来推断函数的值域。
例如，当导数恒大于0时，函数为增函数，值域为整个实数轴。
3.函数的区间法：对于已知闭区间上连续的函数，可以通过求出函数的最大值和最小值，及极限情况，来确定值域的范围。
4.反函数的值域：如果函数存在反函数，那么反函数的值域即为原函数的定义域。
5.一次函数的值域：对于一次函数y = kx + b，k为斜率，通过观察斜率的正负和直线与坐标轴的交点可以得到值域的范围。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
求函数解析式、定义域与值域的常用方法
求函数解析式、定义域与值域的常用方法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。
例1. 已知2211()x x x f x x +++=，试求()f x 。
解：设1x t x +=，则11x t =-，代入条件式可得：2()1f t t t =-+，t ≠1。
故得：2()1,1f x x x x =-+≠。
说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。
2、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联立求解。
例2. （1）已知21()2()345f x f x x x +=++，试求()f x ；（2）已知2()2()345f x f x x x +-=++，试求()f x ； 解：（1）由条件式，以1x 代x ，则得2111()2()345f f x x x x +=++，与条件式联立，消去1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，则得：()222845333x f x x x x =+--+。
（2）由条件式，以－x 代x 则得：2()2()345f x f x x x -+=-+，与条件式联立，消去()f x -，则得：()2543f x x x =-+。
说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。
例3. 求下列函数的解析式：（1）已知)(x f 是二次函数，且1)()1(,2)0(-=-+=x x f x f f ，求)(x f ；（2）已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f ，)1(+x f ，)(2x f ；（3）已知x xx x x f 11)1(22++=+，求)(x f ； （4）已知3)(2)(3+=-+x x f x f ，求)(x f 。
【思路分析】【题意分析】（1）由已知)(x f 是二次函数，所以可设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，设法求出c b a ,,即可。
第一章 函数的概念以及定义域值域解析式的求解方法
主题一函数第一章函数的概念复习结构图Ⅰ函数的定义及理解1、函数的定义①传统定义（用变量的观点来描述函数）:在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定了一个x，相应的就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
②近代定义（用集合的观点来描述函数）：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的y与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y∈f(=),Axx其中x叫做自变量，自变量x的取值范围（数集A）叫做这个函数的定义域。
所有函数值构成的集合yy=f=B∈{A),}x(|x叫做这个函数的值域。
2、对定义的理解① A 、B 都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。
② 对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可，其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已确定，则值域也就确定了。
③函数符号的含义：)(x f 是表示一个整体，一个函数，而记号“f ”可以看作是对“x ”施加的某种法则（或运算），如果32)(2+-=x x x f ，当2=x 时，可以看作是对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3。
④函数的定义域永远都是x 的取值范围。
3、如何判定一个函数只要检验：①定义域和对应法则是否给出；②根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。
4、同一函数的判定一般的，考察、判断几个函数是否相同，离不开函数的三要素，但值域由定义域和对应法则所确定，因此在实际的解题过程中，往往只要判断函数的定义域、对应法则两个方面即可。
两个函数当且仅当定义域与对应关系分别相等时，才是同一函数，这说明： ⑴定义域不同，两个函数也就不同； ⑵对应关系不同。
两个函数也是不同的；⑶即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，他们也不一定是同一个函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系。
高一数学讲义-函数的解析式、定义域和值域
技巧提示：配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题．
本题可以直接配方，得 y 2 x 2 4x ＝ 2 4 (x 2)2 ，
然后经分析得所求函数的值域为 y 0, 2 ，因此，有时直接分析也能得到函数的值域．
技巧提示：函数 y f (x) 的定义域为 0,2，意思是 f 只能对 0,2中的数作用，也就是对 0,2中的数
f 才有意义．函数 f (ln x) 要有意义，必须 f 对 ln x 能作用，所以必须 0 ln x 2 ．
又例:已知函数 f (x) mx 2 mx 1 的定义域是全体实数，则 m 的取值范围是（ ）
三、典型例题精讲
1
【例 1】如果 f (x 1) x2 5x 4 ，那么 f (x) ＝
.
解析：方法一（配凑法）∵ f (x 1) x2 5x 4 ＝ (x 1 1)2 5(x 1 1) 4 ，
∴ f (x) ＝ (x 1)2 5(x 1) 4 ＝ x 2 7 x 10 ．
方法二（换元法） 设 x 1 t ，则 x t 1，于是 f (t) (t 1)2 5(t 1) 4 ＝ t 2 7t 10 ，
即 f (x) ＝ x 2 7 x 10 ． 技巧提示：（1）凑配法：若已知 f (g(x)) 的表达式，需求 f (x) 的表达式，可把 g ( x) 看成一个整体， 把右边变为由 g (x) 组成的式子，再将 g (x) 统一换为 x ，求出 f (x) 的表达式．
∴ f (x) ＝ x2 x 1.
方法二：令 x ＝0，得 f ( y) f (0) y( y 1) 1 y 2 y ( y)2 ( y) 1，
函数定义域、值域的求法及其解析式的变换讲义
函数的定义域和值域讲义 课 题函数定义域、值域的求法及其解析式的变换 教学目标 （1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；重点、难点 （1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；（2）掌握复合函数定义域的求法；考点及考试要求1、求函数的解析式2、会求一些简单函数的定义域与值域。
3、复合函数定义域的求法。
教学内容知识框架【基础知识回顾】：1、函数()y f x =，其中x 叫做 ，x 的的取值集合叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的 。
2、根据函数的解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为 ；②偶次方根的被开方数不得小于 ；③对数函数的真数必须大于 ；④指数函数和对数函数的底数必须 ；3、实际问题或几何问题给出的函数的定义域；这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使 有 意义。
4、已知函数()f x 的定义域是[],a b ， [()]f g x 的定义域是指满足 的x 的取值集合；已知[()]f g x 的定义域是[],a b ，求函数()f x 的定义域，是指在x ∈ 的条件下， 求()g x 的值域。
5、如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有 的实数集合。
6、确定函数值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中的 取值集合。
②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影对应的 取值集合。
③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的 及其 唯一确定。
④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定。
8、设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：（1）对 的x I ∈，都有()f x M ，存在0x I ∈，使得0()f x M =，则称M 是函数()y f x =的最大值（2）如果存在常数N ，满足对任意的x ∈ ，都有()f x N ≥。
函数定义域、值域,解析式求法总结
函数定义域、值域，解析式求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。
求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。
（3）对数中的真数部分大于0。
（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。
( 6 )0x 中x 0≠二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。
常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法（4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元） （6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
三、典例解析 1、定义域问题例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21-x 无意义，而2≠x 时，分式21-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .②∵3x+2<0，即x<-32时，根式23+x 无意义，而023≥+x ，即32-≥x 时，根式23+x 才有意义，∴这个函数的定义域是{x |32-≥x }.③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x-21同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒⎩⎨⎧≠-≥21x x 例2 求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f③=)(x f x11111++④xx x x f -+=0)1()(⑤373132+++-=x x y解：①要使函数有意义，必须：142≥-x 即： 33≤≤-x∴函数14)(2--=x x f 的定义域为： [3,3-]②要使函数有意义，必须：⎩⎨⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--13140210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--<x x x 或或}③要使函数有意义，必须： 011110110≠++≠+≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧xx x ⇒2110-≠-≠≠⎪⎩⎪⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}21,1,0|{--≠∈x R x x 且④要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01x x∴定义域为：{}011|<<--<x x x 或⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩⎪⎨⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}37|{-≠x x例3 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，012≥+-aax ax ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域 解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-4343|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
函数的概念与性质(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
第1讲函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值5分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一：()=x f 奇函数+常数模型（()()常数⨯=+-2x f x f ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题，()()()中f x f x f 2min max =+，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例1】（2021·奉新县第一中学高一月考）函数()f x =的定义域为（）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4答案：C解析：对于函数()f x =，有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 1f x -=的定义域为()1,4.故选：C.【例2】函数()21log (3)f x x =-的定义域为【答案】()()3,44,⋃+∞【详解】由题意知()230log 30x x ->⎧⎨-≠⎩，得()223log 3log 1x x >⎧⎨-≠⎩，所以331x x >⎧⎨-≠⎩，所以()()3,44,x ∈⋃+∞．【例3】(2020·集宁期中)已知函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，则函数)21(x f -的定义域（）A ．]12[，-B ．]21[，C ．]32[，-D ．]31[，-【答案】C【详解】因为函数)32(-x f 的定义域是]41[，-，所以41≤≤-x ，所以5325≤-≤-x ，函数)(x f 的定义域为]55[，-，令5215≤-≤-x ，解得32≤≤-x 【例4】若函数()12log 22++=x ax y 的定义域为R ，则a 的范围为__________。
高一数学函数的定义域与值域(讲义)(精)
高一数学函数的定义域与值域一、知识归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x 中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。
函数值的集合{f(x│x∈A}叫做函数的值域。
（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0；③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x]的定义域为x∈（a,b ）求f(x 的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。
②已知f(x 的定义域为x∈（a,b ）求f[g(x]的定义域,方法是：由a 求得x 的范围，即为 f[g(x] 的定义域。
3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。
（三）确定函数的值域的原则1、当数y=f(x 用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
2、当函数y=f(x 图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。
3、当函数y=f(x 用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。
常见函数的值域：函数y=kx +b y=ax2+b x+cy=ax y=logax值域 R a>0a<0{y|y ∈R{y|y>R0}且y≠0}4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
（四）求函数值域的方法：1、观察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1）（2）(3y=lg(a x-kb x (a,b>0且a,b≠1，k∈R[解析]（1）依题有∴函数的定义域为(2依题意有∴函数的定义域为（3）要使函数有意义，则a x-kb x>0，即①当k≤0时，定义域为R②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则定义域为{x|}(Ⅱ若0 ，则，定义域为 {x| }(Ⅲ若a=b>0，则当0 时定义域为 R ；当k ≥ 1 时，定义域为空集[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。
函数专题之定义域、值域、解析式
函数专题之定义域、值域、解析式一、定义域：使函数有意义的自变量的集合（注意定义域一定是集合或区间）（1）基础类型：面对分式形式，则分母不为零面对偶次根式形式，则根号内的式子大于或等于零面对零次幂形式，则底数不为零（2）抽象函数的定义域：已知)(x f 定义域求其它函数定义域；已知其它函数定义域求)(x f 定义域1．求下列函数的定义域（1）2143)(2-+--=x x x x f ；（2）()21)(20++--=x x x x f ；（3）3212+=x y ；（4）x x y 322+-=2．函数x x x f 1)(+=的定义域为________ 3．函数x x x x f +-=)1()(的定义域为________4．函数1214)(2-++-=x x x f 的定义域为________ 5．（1）已知函数)(x f 的定义域为[]2,1-，求函数)32(-x f 的定义域（2）已知函数)32(-x f 的定义域为[]2,1-，求函数)(x f 的定义域（3）已知函数)1(+x f 的定义域为[]2,1-，求函数)32(-x f 的定义域6．已知)(x f 的定义域为(]3,1-，则)12()2(-++x f x f 的定义域为________二、值域：全体函数值所构成的集合（注意值域一定是集合或区间）（1）函数值域的解法：图像法（核心）；增减性法（核心）；换元法；配方法等（2）对勾函数：形如)0()(>+=k xk x x f ，其图像形如双勾 （3）恒成立问题：m x f D x ≤∈∀)(,恒成立⇒m x f ≤max )( m x f D x ≥∈∀)(,恒成立⇒m x f ≥min )(1．求下列函数的值域（1）)31(32)(≤<--=x x x f （2）x x y 12-=，)121(，∈x（3）212x y x -=+(12)x -≤< （4）)21(22<<--=x x x y（5）)31(4<<+=x x x y （6）x x y 21-+=（7）x x y 14+=，)410(，∈x （8）x x x f -+-=21)(2．已知函数2361y x x =-+，分别求它在下列区间上的值域：（1）[4,0]x ∈-；（2）[2,5]x ∈；（3）[1,2]x ∈-3．函数{}3,2,0,1,12)(-∈+=x x x f 的值域是4．函数12)(--=x x x f 的值域是5．函数13)(+--=x x x f 的值域是6．函数11)(22+-=x x x f 的值域是 7．若,,3212x y R x y +∈+=，则xy 的最大值是 8．函数(][)()⎩⎨⎧-∈++∞-∞-∈++-=2,1,1,21,,32)(2x x x x x x f 的最大值是9．已知6)(+-=x x f ，642)(2++-=x x x g ，⎩⎨⎧≥<=)()(),()()(),()(x g x f x g x g x f x f x h ，那么)(x h 的最大值 为 ____10．已知函数22)(x x f -=，x x g =)(，若{})(),(m in )(*)(x g x f x g x f =，则)(*)(x g x f 的最大 值是_______11．是否存在实数a ，使函数a ax x x f +-=2)(2的定义域为[]1,1-，值域为[]2,2-？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由12．若函数1)(2++=ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,2-B ．()()+∞-∞-,22,C ．(][)+∞-∞-,22,D ．[]2,2-13．若函数aax ax x f 1)(2+-=的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 14．若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为R ，则实数a 的取值范围是 15．若对任意正数，均有，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．16．如果对于任意的正实数x ，不等式1≥+xa x 恒成立，则a 的取值范围是 17．已知函数22()1(,)f x x axb b a b R =-++-+∈，对任意实数x 都有(1)(1)f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立，则b 的取值范围是（ ）A ．10b -<<B ．2b >C ．1b <-或2b >D ．不能确定 18．已知函数),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f （1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值；（2）若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围三、解析式（1）基础题型：已知)(x f 解析式求其它函数解析式；已知其它函数析式求)(x f 解析式（2）已知函数类型的待定系数法求解析式（3）配凑法、消元法求函数解析式1．已知1)(2-=x x f ，1)(+=x x g ，求)]([x g f 、)]([x f g 、)]([x f f 、)]([x g g2．设()11x f x x+=-，记()()x f x f =1，()()[]x f f x f 12=，()()[]x f f x f 23=， ，则()=x f 2014（ ） A ．11x x +- B ．11x x -+ C ．x D ．1x- x 21a x <+a []1,1-(1,1)-⎡⎣(3．已知32)1(2-+=+x x x f ，求)(x f4．已知x x x f 2)1(+=+，求)(x f5．已知x x x f =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11，那么()=x f ________ 6．如果2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，那么()=x f ________ 7．已知)(x f 是一次函数，且14)]([-=x x f f ，求)(x f8．已知函数)(x f 是二次函数，且满足1)0=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f9．已知)(x f 是二次函数，且满足1)0(=f ，)2()2(x f x f -=+，且0)(=x f 的两根平方之和为10， 求)(x f10．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求)(x f 的解析式11．已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(，且方程06)(=+a x f 有两个相等的根，求)(x f 的解析式12．求下列函数的解析式（1）若)(x f 满足x xf x f 3)1()(2=+，求)(x f ；（2）若)(x f 满足x x f x f 3)()(2=-+，求)(x f附注：函数表示之图像例：求作下列函数的图像（1）312)(-+=x x f ；（2）32)(2--=x x x f ；（3）x x x f 2)(2-=。
高三数学一轮复习 2.2《函数的定义域、值域和解析式》课件
1．求函数的定义域 (1)由函数的解析式能够求出定义域，求出的定义域应该用集合或区间 表示． (2)求实际问题的函数定义域时，除了使解析式有意义，还要考虑实际 问题对函数自变量的制约． (3)在函数的三要素中，定义域是基本要素，当对应法则和定义域确定 之后，其值域相应被确定，研究函数性质必须从定义域出发．特别要重 视函数定义域在解决方程、不等式等问题和在研究函数最值、奇偶性、 周期性、单调性等问题中所起的作用．
答案： A [阅后报告] 本题考查了对数函数和指数函数的值域，试题难度较低．
试求f(x)＝loga(ax＋1)的值域．
解析： 答案： A
解析： 答案： C
3．(2009·陕西卷)若不等式x2－x≤0的解集为M，函数f(x)＝ln(1 －|x|)的定义域为N，则M∩N为( )
A．[0,1) B．(0,1) C．[0,1] D．(－1,0] 解析： 不等式x2－x≤0的解集是{x|0≤x≤1}，而函数f(x)＝ ln(1－|x|)的定义域为{x|－1<x<1}，所以M∩N是[0,1)，故选A. 答案： A
3．求函数解析式的常用方法 (1)定义法(配凑法)：对f(g(x))的解析式进行配凑变形，使它能用g(x) 表示出来，再用x代替两边的所有“g(x)”即可； (2)换元法：设t＝g(x)，解出x，代入f(g(x))，得f(t)的解析式即可； (3)待定系数法：若已知f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式，根 据特殊值，确定相关的系数即可； (4)解方程组法：利用已给定的关系式，构造出一个新的关系式，通过 解关于f(x)的方程组求f(x)．
[变式训练] 2.(1)已知f(1－cos x)＝sin2x，求f(x)； (2)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试 求f(x)的表达式． 解析： (1)∵f(1－cos x)＝sin2x＝1－cos2x， 令1－cos x＝t，则cos x＝1－t. ∵－1≤cos x≤1，∴0≤1－cos x≤2，∴0≤t≤2， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t(0≤t≤2)， 故f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)． (2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝0知c＝0，f(x)＝ax2＋bx. 又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1， 得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1， 即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
(精华)函数定义域与值域经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
（2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。
(形如：2()x f x x=) 练习1、求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-2.抽象函数（没有解析式的函数） 解题的方法精髓是“换元法”，根据换元的思想，我们进行将括号为整体的换元思路解题，所以关键在于求括号整体的取值范围。
总结为： （1）给出了定义域就是给出了所给式子中x 的取值范围； （2）在同一个题中x 不是同一个x ；（3）只要对应关系f 不变，括号的取值范围不变。
（4）求抽象函数的定义域个关键在于求f(x)的取值范围，及括号的取值范围。
例1：已知f(x+1)的定义域为[-1,1]，求f （2x-1）的定义域。
练习2、设函数()f x 的定义域为[01]，，则函数2()f x 的定义域为__________；函数2)f 的定义域为_________；3、若函数(1)f x +的定义域为[23]-，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 。
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求解函数定义域、值域、解析式【课堂笔记】知识点一 定义域、值域的定义在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。
下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。
（1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。
（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。
注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。
（2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。
（3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。
（4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。
（5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。
（6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。
（7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有意义的公共部分的集合。
（8）复合函数的定义域问题：①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出；②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。
【例1】求下列函数的定义域（1）1+=x y （2）x y -=21（3）0)1(21-+-=x xy【例2】 求下列函数的定义域（1）xy ++=1111； （2）142--=x x y ；（3）232-751x x y +-=； （4）111032---+=x x x y【当堂检测】 1. 函数xx x y 432+--=的定义域为（ ）A. [-4,1]B. [)0,4-C. (]1,0D. [)(]1,00,4⋃- 2．函数x x x y +-=)1(的定义域为（ ）A. }0{≥x xB. }1{≥x xC. {0}}1{Y ≥x xD. }10{≤≤x x 3.求下列函数的定义域 （1）23)(+=x x f （2）x x x f -++=211)( （3）xx x f ++-=511)(知识点二 抽象函数（复合函数）的定义域1. 抽象函数求定义域问题的关键是注意对应关系，在同一对应关系作用下，不管接受对应关系的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。
2. 已知函数)(x f 的定义域为],[b a ，则函数)(）（x g f 的定义域是指满足不等式b x g a ≤≤)(的x 的取值集合。
一般地，函数)(）（x g f 的定义域为],[b a ，指的是],[b a x ∈，要求)(x f 的定义域，就是求],[b a x ∈时)(x g 的值域。
【例1】已知)(x f y =的定义域为]2,0[，求 ①)(2x f ；②)12(-x f ；③)2(-x f 的定义域。
【例2】已知函数)1(2-x f 的定义域为]1,0[，求)(x f 的定义域。
【例3】已知函数)(x f 的定义域为]1,0[，求)0)(()()(>-++=m m x f m x f x g 的定义域。
【当堂检测】1、已知)(x f 的定义域为]2,0[，求)1(+=x f y 的定义域。
2、已知)1(+=x f y 的定义域为]2,0[，求)(x f 的定义域。
3、已知函数)1(+x f 的定义域为[-2,3），求)21(+xf 的定义域。
知识点三 函数解析式求法1.待定系数法当已知函数)(x f 的类型时，要求函数)(x f 的解析式，可先由其类型设出解析式，然后根据已知条件列方程（组）求解。
如已知)(x f 为一次函数，且其图像经过点（0,1）和（1,0），可设b kx x f +=)(（0≠b ），将已知点的坐标代入得⎩⎨⎧=+=01b k b ，解得此方程组得⎩⎨⎧=-=11b k ，故1)(+-=x x f 。
【例1】 设1613)13()2(2-+=++x x x f x f ，求)(x f 。
【例2】已知函数2)(x x f =，)(x g 为一次函数，且一次项系数大于0，若25204)]([2+-=x x x g f ，求)(x g 的解析式。
【当堂检测】1、若2627)))(((+=x x f f f ，求一次函数)(x f 的解析式。
2、若)(x f 是二次函数，且满足,2)()1(,1)0(x x f x f f =-+=求)(x f 。
2.配凑法已知)]([x g f 的解析式，要求)(x f 时，可从)]([x g f 的解析式中拼凑出“)(x g ”作为整体来表示，再将解析式两边的)(x g 都用x 代替即可。
如已知1)1(2++=+x x x f （此解析式中的)(x g = 1+x ），求)(x f 时，可整理22)1(1)1(+=++=+x x x x f ，用x 代替等号两边的1+x ，得2)(x x f =。
【例3】 已知23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；【当堂检测】1. 已知xx x x x f 11)1(22++=+，求)(x f2. 已知2)1()1(xx x x f +=-，求函数)(x f 的解析式；3.换元法令)(x g t =，等价变换为用t 表示x 的解析式。
然后求出)(t f 的解析式，最后用x 代替等式两边所有的t 即可。
如已知1)1(2++=+x x x f ，令1+=x t ，则1-=t x ，所以221)1(2)1()(t t t t f =+-+-=，故2)(x x f =。
【例4】 若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。
【当堂检测】1. 已知2)1(2++=+x x x f ，求)3(),()3(+x f x f f 及2. 已知),0(5)1(2≠+=x x x xf 求)(x f 的解析式。
3.已知函数x x x f 21+=+）（，求函数)(x f 的解析式。
4.方程组法当关系式中同时含有)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1(x f 时，常将原式中的x 用x -（或x1）代替， 从而得到另一个同时含)(x f 与)(x f -或)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，解方程组解出)(x f 。
如已知)0()1()(2≠-=+x x x f x f ，求)(x f 的解析式时，可将原式中的x 用x1代替，可得)0(1)()1(2≠-=+x x x f x f ，解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+x x f x f x xf x f 1)()1(2)1()(2得x x x f 3132)(+-=。
【例5】 设x xf x f 4)1(2)(3=+，求)(x f 的解析式。
【当堂检测】1.若,,4)43()34(22b a x x bf x af ≠=-+-求)(x f 的解析式。
2. 已知)1,0(1)1()(≠+=-+x xxx f x f ，求)(x f 的解析式。
5.特殊值法所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，求出未知的函数。
至于取什么特殊值，根据题目特征而定。
【例6】设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对任意实数y x ,有)12()()(+--=-y x y x f y x f ，求)(x f 的解析式。
知识点四 函数值域的求法【重点、难点】1. 观察法通过对函数解析式进行变形，利用熟悉的基本函数的值域，求函数的值域。
如求函数112+=x y 的值域，由02≥x 得112≥+x ，再求倒数得11102≤+<x ，故其值域为]1,0(。
【例1】 求下列函数的值域：（1）}5,4,3,2,1{,12∈+=x x y ； （2）1+=x y2. 配方法对二次函数型的解析式可先进行配方，在自变量的取值范围内，求出二次函数的值域的方法，这就是配方法。
【例2】求函数245x x y -+=的值域。
3. 换元法通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数划归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域。
【例3】 求函数12-+=x x y 的值域。
4. 分离常量法将形如)0(ad bc ac bax dcx y ≠≠++=且的函数分离常数，变形过程为b ax a bc d a c b ax a bc d b ax a c b ax d cx +-+=+-++=++)(，再结合x 的取值范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域。
【例4】 求函数2415+-=x x y 的值域。
5. 判别式法将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些可化为关于自变量的二次方程的函数，使用此法要特别注意自变量的取值范围。
【例5】 求函数122+--=x x xx y 的值域。
【当堂检测】求下列函数的值域：（1）52+=x y （2）)5,1[,642∈+-=x x x y （3）R x x x y ∈++-=,4124（4）12--=x x y （5）5312++=x x y 。
知识点五 函数定义域、值域的逆向应用 1. 函数定义域的逆向应用定义域的逆向问题在思考时要调整思维方向，在定义域已知的情况下，根据函数类型列出相应关系式，求出参数的范围。
【例1】 （1）若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
（2）判断k 为何值时，函数12822++-=kx kx kx y 关于x 的定义域为R 。
2. 函数值域的逆向应用【例2】求使函数1222+--+=x x ax x y 的值域为)2,(-∞的a 的取值范围。
知识点六 数学思想方法 方法一 分类讨论思想【例1】 已知函数862++-=m mx mx y 的定义域是R ，求实数m 的取值范围。
方法二 函数与方程思想【例2】 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。
方法三 转化思想【例3】 求函数x x y 21--=的值域。
第11页 共12页 第二部分：【小试牛刀】1. (全国考高Ⅰ)函数x x y +-=1的定义域（ ）A. }1{≤x xB. }0{≥x xC. }01{≤≥x x x 或D. }10{≤≤x x2. (全国高考)函数x x x +-=)1(y 的定义域（ ） A. }0{≥x x B. }1{≥x x C. {0}}1{Y ≥x x D. }10{≤≤x x3.（上海高考）函数16)(2-++-=x x x x f 的定义域____________.4. (江西高考)函数x x x x f 43)(2+--=的定义域______________.5.求下列函数的定义域：（1）2322---=x x xy （2）x x y -⋅-=11；（3）x y --=113（4）2253x x y -+-=6. 复合函数求定义域（1）已知函数)(x f 的定义域为]23,21[-，求)0)(()()(>+=a a xf ax f x F 的定义域。