线性代数习题2

线性代数测试题（二）

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将

其字母代号写在该题【】内。答案错选或未选者，该题不得分。每小

题3分，共15分。）

1.已知是同阶方阵，下列等式中正确的是 【】

A．； B. ；

C.；

D..

2.线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩的关系是 【】

A．； B. ；

C.；

D. 或.

3.设是矩阵，则下列命题正确的是 【】

A.的行向量组线性无关；

B.的行向量组线性相关；

C.的列向量组线性无关；

D.的列向量组线性相关.

4.是正交矩阵，则下列命题正确的是 【】

A.的行向量组是正交单位向量组；

B.的行列式为1；

C.的特征值为1或-1；

D..

5.设阶方阵与相似，则下列命题不正确的是 【】

A． B.

C.与有相同的特征值

D.与有相同的特征向量

二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题3分，共15分。）

1.中的系数是 .

2.已知，当t为 时，线性相关；

3.设A为3阶方阵，A的特征值为-1，1，2，则= .

4.设是三元线性方程组的三个解，且，，，则的通解为 .

5.设二次型正定，则t的取值范围是.

三、（本题10分）

已知，矩阵满足，求矩阵.

四、（本题10分）求下列向量组的秩和一个最大无关组：

.

五、（本题14分）已知线性方程组

(1)(8分)为何值时，方程组有惟一解? 无解？无穷多解？

(2)(6分)在有无穷多解的情况下求出其通解.

六、（本题10分）已知三阶方阵的特征值为1，2，-1.设.

(1)(5分)求的行列式及的秩;

(2)(5分)求矩阵的特征值及其相似对角矩阵.

七、（本题14分）求一个正交变换将下列二次型：

化为标准形.

八、证明题（本大题2小题，每小题6分，共12分）………………………………… 装 ……………………………… 订 ……………………………… 线

…………………………………

1、 向量组线性无关，试证向量组，线性无关.

2. 设都是阶对称阵，试证：也是对称矩阵的充要条件是与可交换.