历届福州市中考数学压轴题

历届福州市中考数学压轴题

1.例：（2001年福州）如图，已知：正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在

y 轴上，点B 在函数)0,0(>>=x k x k y 的图象上，点),(n m P 是函数)0,0(>>=x k x

k y 的图象上

的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F 并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1）求B 点坐标和k 的值；

（2）当2

9

=

S 时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式。

y

C B F O A E x

S

P （m,n ）

解：（1）依题意，设B 点坐标(,)x y 00

∴==S x y OABC 正方形009

∴==x y B 00333,(,)即 x y k k 009=∴=,

x （a ）

（2）<1> P m n (,)在

y x =

9

上（如图a ）

∴==∴=S mn S n

OEP F OAGF 矩形矩形19

3

由已知可得，

S n =-=

9392

∴=

=∴n m P 3

2663

21,(,)

<2>如图a 同理可得P 23

26(,)

（3）<1>如图b ，当03<

∴=S m

OEGC 矩形3

∴=-∴=-<

矩形矩形9303()

y

F P S

C B

O E A x （b ）

G

<2>如图c ，当m ≥3时， 点P 坐标为（m ，n ）

∴=S n

OACF 矩形3

mn n m =∴=

99,

∴=-=-

S n m 93927

即

S m m =-

≥927

3()

y

C B F P

O A E x （c ）

G S

注：<1>、<2>都有做，但m =3遗漏，则扣1分。

2.例：（2001年福州）如图，已知：∆ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB ，P 点在AC 上（与点A 、C 不重合），Q 点在BC 上。

（1）当PQC ∆的面积与四边形PABQ 的面积相等时，求CP 的长； （2）当PQC ∆的周长与四边形PABQ 的周长相等时，求CP 的长；

（3）试问：在AB 上是否存在点M ，使得PQM ∆为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存

在，请求出PQ 的长。

C

P Q

A B

解：（1） S S PQC PABQ

∆='四边形

∴=S S PQC ABC ∆∆：：12

PQ AB // ∴∆∆PQC ABC ~

∴==∴=⨯

∴=S S PC AC PC PC PQC ABC ∆∆：：：()2221241

2

22

（2） ∆PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等，

∴+=++=

=PC CQ PA AB QB

ABC 1

26()∆的周长

PQ AB

CP CA CQ CB CP CP

//,∴

==-463

解得，

CP =

24

7

（3）<1>据题意：如图a ，当∠=︒MPQ 90，PM=PQ 时， 由勾股定理逆定理，得∠=︒C 90，

∴∆ABC 的AB 上的高为12

5。

设PM=PQ=x

PQ AB CPQ CAB //,~∴∆∆

∴=-x

x

5

125

125 ∴解得，

x =

6037，即PC =

60

37

当∠'=︒M QP 90，QP QM ='时，同理可得PC =

37

60

注：未讨论'M 者扣1分。

A M

B （a ） （b ）

<2>据题意，如图b ，当∠=︒PMQ 90，MP MQ =时，由等腰直角三角形得，M 到PQ 距离为12PQ

。

设PQ x =

PQ AB CPQ CAB x x

//,~∴∴=

-∆∆5

1251

2125

解得，

x =

12049，即PQ =

120

49。

3.例：（2002年福州）如图：已知△ABC 中，AB ＝4，D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合)，DE ∥BC 交AC 于E ，连结CD ．设

S △ABC ＝S ，S △DEC ＝S 1

（1）当D 为AB 中点时，求S l ：S 的值；

（2）若AD ＝x ，S

S 1

=y ，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围， （3）是否存在点D ，使得S l >4

1

S 成立?若存在，求出D 点位置；若不存在，请说明理由．

解（1）∵ DC ∥BC ，D 为AB 的中点 ∴ △ADE ∽△ABC ，

2

1＝＝AC AE AB AD （1分） ∴ 41

2

＝＝⎪⎭⎫ ⎝⎛∆AB AD S S ADE （2分）

∵ 12

1＝

＝⎪⎭

⎫

⎝⎛∆EC AE S S ADE ∴

4

1

1＝S S （3分） 解（2）∵ AD ＝x ，

y S

S ＝1