历届福州市中考数学压轴题

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历届福州市中考数学压轴题

1.例:(2001年福州)如图,已知:正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在

y 轴上,点B 在函数)0,0(>>=x k x k y 的图象上,点),(n m P 是函数)0,0(>>=x k x

k y 的图象上

的任意一点,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F 并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 (1)求B 点坐标和k 的值;

(2)当2

9

=

S 时,求点P 的坐标; (3)写出S 关于m 的函数关系式。

y

C B F O A E x

S

P (m,n )

解:(1)依题意,设B 点坐标(,)x y 00

∴==S x y OABC 正方形009

∴==x y B 00333,(,)即 x y k k 009=∴=,

x (a )

(2)<1> P m n (,)在

y x =

9

上(如图a )

∴==∴=S mn S n

OEP F OAGF 矩形矩形19

3

由已知可得,

S n =-=

9392

∴=

=∴n m P 3

2663

21,(,)

<2>如图a 同理可得P 23

26(,)

(3)<1>如图b ,当03<

∴=S m

OEGC 矩形3

∴=-∴=-<

矩形矩形9303()

y

F P S

C B

O E A x (b )

G

<2>如图c ,当m ≥3时, 点P 坐标为(m ,n )

∴=S n

OACF 矩形3

mn n m =∴=

99,

∴=-=-

S n m 93927

S m m =-

≥927

3()

y

C B F P

O A E x (c )

G S

注:<1>、<2>都有做,但m =3遗漏,则扣1分。

2.例:(2001年福州)如图,已知:∆ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB ,P 点在AC 上(与点A 、C 不重合),Q 点在BC 上。

(1)当PQC ∆的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长; (2)当PQC ∆的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长;

(3)试问:在AB 上是否存在点M ,使得PQM ∆为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存

在,请求出PQ 的长。

C

P Q

A B

解:(1) S S PQC PABQ

∆='四边形

∴=S S PQC ABC ∆∆::12

PQ AB // ∴∆∆PQC ABC ~

∴==∴=⨯

∴=S S PC AC PC PC PQC ABC ∆∆:::()2221241

2

22

(2) ∆PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等,

∴+=++=

=PC CQ PA AB QB

ABC 1

26()∆的周长

PQ AB

CP CA CQ CB CP CP

//,∴

==-463

解得,

CP =

24

7

(3)<1>据题意:如图a ,当∠=︒MPQ 90,PM=PQ 时, 由勾股定理逆定理,得∠=︒C 90,

∴∆ABC 的AB 上的高为12

5。

设PM=PQ=x

PQ AB CPQ CAB //,~∴∆∆

∴=-x

x

5

125

125 ∴解得,

x =

6037,即PC =

60

37

当∠'=︒M QP 90,QP QM ='时,同理可得PC =

37

60

注:未讨论'M 者扣1分。

A M

B (a ) (b )

<2>据题意,如图b ,当∠=︒PMQ 90,MP MQ =时,由等腰直角三角形得,M 到PQ 距离为12PQ

设PQ x =

PQ AB CPQ CAB x x

//,~∴∴=

-∆∆5

1251

2125

解得,

x =

12049,即PQ =

120

49。

3.例:(2002年福州)如图:已知△ABC 中,AB =4,D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合),DE ∥BC 交AC 于E ,连结CD .设

S △ABC =S ,S △DEC =S 1

(1)当D 为AB 中点时,求S l :S 的值;

(2)若AD =x ,S

S 1

=y ,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, (3)是否存在点D ,使得S l >4

1

S 成立?若存在,求出D 点位置;若不存在,请说明理由.

解(1)∵ DC ∥BC ,D 为AB 的中点 ∴ △ADE ∽△ABC ,

2

1==AC AE AB AD (1分) ∴ 41

2

==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆AB AD S S ADE (2分)

∵ 12

1=

=⎪⎭

⎝⎛∆EC AE S S ADE ∴

4

1

1=S S (3分) 解(2)∵ AD =x ,

y S

S =1