历届福州市中考数学压轴题
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历届福州市中考数学压轴题
1.例:(2001年福州)如图,已知:正方形OABC 的面积为9,点O 为坐标原点,点A 在x 轴上,点C 在
y 轴上,点B 在函数)0,0(>>=x k x k y 的图象上,点),(n m P 是函数)0,0(>>=x k x
k y 的图象上
的任意一点,过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F 并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 (1)求B 点坐标和k 的值;
(2)当2
9
=
S 时,求点P 的坐标; (3)写出S 关于m 的函数关系式。
y
C B F O A E x
S
P (m,n )
解:(1)依题意,设B 点坐标(,)x y 00
∴==S x y OABC 正方形009
∴==x y B 00333,(,)即 x y k k 009=∴=,
x (a )
(2)<1> P m n (,)在
y x =
9
上(如图a )
∴==∴=S mn S n
OEP F OAGF 矩形矩形19
3
由已知可得,
S n =-=
9392
∴=
=∴n m P 3
2663
21,(,)
<2>如图a 同理可得P 23
26(,)
(3)<1>如图b ,当03< ∴=S m OEGC 矩形3 ∴=-∴=-< 矩形矩形9303() y F P S C B O E A x (b ) G <2>如图c ,当m ≥3时, 点P 坐标为(m ,n ) ∴=S n OACF 矩形3 mn n m =∴= 99, ∴=-=- S n m 93927 即 S m m =- ≥927 3() y C B F P O A E x (c ) G S 注:<1>、<2>都有做,但m =3遗漏,则扣1分。 2.例:(2001年福州)如图,已知:∆ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ//AB ,P 点在AC 上(与点A 、C 不重合),Q 点在BC 上。 (1)当PQC ∆的面积与四边形PABQ 的面积相等时,求CP 的长; (2)当PQC ∆的周长与四边形PABQ 的周长相等时,求CP 的长; (3)试问:在AB 上是否存在点M ,使得PQM ∆为等腰直角三角形?若不存在,请简要说明理由;若存 在,请求出PQ 的长。 C P Q A B 解:(1) S S PQC PABQ ∆='四边形 ∴=S S PQC ABC ∆∆::12 PQ AB // ∴∆∆PQC ABC ~ ∴==∴=⨯ ∴=S S PC AC PC PC PQC ABC ∆∆:::()2221241 2 22 (2) ∆PQC 的周长与四边形PABQ 的周长相等, ∴+=++= =PC CQ PA AB QB ABC 1 26()∆的周长 PQ AB CP CA CQ CB CP CP //,∴ ==-463 解得, CP = 24 7 (3)<1>据题意:如图a ,当∠=︒MPQ 90,PM=PQ 时, 由勾股定理逆定理,得∠=︒C 90, ∴∆ABC 的AB 上的高为12 5。 设PM=PQ=x PQ AB CPQ CAB //,~∴∆∆ ∴=-x x 5 125 125 ∴解得, x = 6037,即PC = 60 37 当∠'=︒M QP 90,QP QM ='时,同理可得PC = 37 60 注:未讨论'M 者扣1分。 A M B (a ) (b ) <2>据题意,如图b ,当∠=︒PMQ 90,MP MQ =时,由等腰直角三角形得,M 到PQ 距离为12PQ 。 设PQ x = PQ AB CPQ CAB x x //,~∴∴= -∆∆5 1251 2125 解得, x = 12049,即PQ = 120 49。 3.例:(2002年福州)如图:已知△ABC 中,AB =4,D 在AB 边上移动(不与A 、B 重合),DE ∥BC 交AC 于E ,连结CD .设 S △ABC =S ,S △DEC =S 1 (1)当D 为AB 中点时,求S l :S 的值; (2)若AD =x ,S S 1 =y ,求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围, (3)是否存在点D ,使得S l >4 1 S 成立?若存在,求出D 点位置;若不存在,请说明理由. 解(1)∵ DC ∥BC ,D 为AB 的中点 ∴ △ADE ∽△ABC , 2 1==AC AE AB AD (1分) ∴ 41 2 ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∆AB AD S S ADE (2分) ∵ 12 1= =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛∆EC AE S S ADE ∴ 4 1 1=S S (3分) 解(2)∵ AD =x , y S S =1