中南大学算法分析与设计复习课件
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算法分析与设计课件
}
An Example: Insertion Sort
10 30 40 20 1234
i = 3 j = 0 key = 10 A[j] = A[j+1] = 10
InsertionSort(A, n) { for i = 2 to n { key = A[i] j = i - 1; while (j > 0) and (A[j] > key) { A[j+1] = A[j] j=j-1 } A[j+1] = key }
▪ Compare the running time of insert sort and merge sort.
Why study algorithms and performance?
• Algorithms help us to understand scalability. • Performance often draws the line between
generalize to other computing resources. • Speed is fun!
2 Getting Started
Analysis of Algorithms Insertion Sort Merge Sort
The problem of sorting
Input: sequence <a1, a2, …, an> of numbers. Output: permutation <a‘1, a‘2, …, a‘n> such that a' 1 ≤ a' 2 ≤ … ≤ a' n . Example: Input: 8 2 4 9 3 6 Output: 2 3 4 6 8 9
An Example: Insertion Sort
10 30 40 20 1234
i = 3 j = 0 key = 10 A[j] = A[j+1] = 10
InsertionSort(A, n) { for i = 2 to n { key = A[i] j = i - 1; while (j > 0) and (A[j] > key) { A[j+1] = A[j] j=j-1 } A[j+1] = key }
▪ Compare the running time of insert sort and merge sort.
Why study algorithms and performance?
• Algorithms help us to understand scalability. • Performance often draws the line between
generalize to other computing resources. • Speed is fun!
2 Getting Started
Analysis of Algorithms Insertion Sort Merge Sort
The problem of sorting
Input: sequence <a1, a2, …, an> of numbers. Output: permutation <a‘1, a‘2, …, a‘n> such that a' 1 ≤ a' 2 ≤ … ≤ a' n . Example: Input: 8 2 4 9 3 6 Output: 2 3 4 6 8 9
中南大学算法设计与分析
25
算法问题求解基础
• 证明算法的正确性
– 证明对于每一个合法的输入，该算法都会在有 限的时间内输出一个满足要求的结果。
– 一般方法：数学归纳法 – 证明算法的正确性与不正确哪一个更容易？
• 分析算法
– 算法有两种效率：时间效率和空间效率 – 算法的另外两个特性：简单性和一般性
26
算法问题求解基础
• 为算法写代码
– 用计算机程序实现算法 – 在把算法转变为程序的过程中，可能会发生错误或者效
率非常低 作为一种规律，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果
• 算法是一个最优性问题：对于给定的问题需要 花费多少力气（资源）？
• 是不是每个问题都能够用算法的方法来解决？
发明或者发现算法是一个非常有创造性和非常值得付出的过程！
• 程序=数据结构+算法
10
算法可以解决哪些问题?
• 找出人类DNA中所有100000中基因，确定构成人 类DNA的30亿种化学基对的各种序列。
• 快速地访问和检索互联网数据 • 电子商务活动中各种信息的加密及签名 • 制造业中各种资源的有效分配 • 确定地图中两地之间的最短路径 • 各种数学、几何计算（矩阵、方程、集合）
6
例4：八后问题: 在8*8的棋盘上，每行放置 一个皇后，要求它们不能在同一列， 同一斜线上。
由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年 提出
高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象 棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解， 后来有人用图论的方法解出92种结果。
7
第一章 绪论
• 算法是计算机的核心
27
重要的问题类型
• 排序(Sorting) • 查找(Search) • 串处理(String)
算法问题求解基础
• 证明算法的正确性
– 证明对于每一个合法的输入，该算法都会在有 限的时间内输出一个满足要求的结果。
– 一般方法：数学归纳法 – 证明算法的正确性与不正确哪一个更容易？
• 分析算法
– 算法有两种效率：时间效率和空间效率 – 算法的另外两个特性：简单性和一般性
26
算法问题求解基础
• 为算法写代码
– 用计算机程序实现算法 – 在把算法转变为程序的过程中，可能会发生错误或者效
率非常低 作为一种规律，一个好的算法是反复努力和重新修正的结果
• 算法是一个最优性问题：对于给定的问题需要 花费多少力气（资源）？
• 是不是每个问题都能够用算法的方法来解决？
发明或者发现算法是一个非常有创造性和非常值得付出的过程！
• 程序=数据结构+算法
10
算法可以解决哪些问题?
• 找出人类DNA中所有100000中基因，确定构成人 类DNA的30亿种化学基对的各种序列。
• 快速地访问和检索互联网数据 • 电子商务活动中各种信息的加密及签名 • 制造业中各种资源的有效分配 • 确定地图中两地之间的最短路径 • 各种数学、几何计算（矩阵、方程、集合）
6
例4：八后问题: 在8*8的棋盘上，每行放置 一个皇后，要求它们不能在同一列， 同一斜线上。
由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年 提出
高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象 棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解， 后来有人用图论的方法解出92种结果。
7
第一章 绪论
• 算法是计算机的核心
27
重要的问题类型
• 排序(Sorting) • 查找(Search) • 串处理(String)
算法设计与分析复习课件(1-3)
(3)确定性：组成算法的每条指令是清晰，无歧义的。
(4)有限性：算法中每条指令的执行次数是有限的，执 行每条指令的时间也是有限的。
算法复杂性分析
算法复杂性 = 算法所需要的计算机资源
算法的时间复杂性T (n)； 算法的空间复杂性S (n)。
算法对大小为n的所有 实例所需时间的最大 者
其中 n 是问题的规模（输入大小）。
例3.4 合并排序
基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分 别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所 要求的排好序的集合。 void MergeSort(Type a[], int left, int right) { if (left<right) {//至少有2个元素 i=(left+right)/2; //取中点 mergeSort(a, left, i); mergeSort(a, i+1, right); merge(a, b, left, i, right); //合并到数组b copy(a, b, left, right); //复制回数组a } }
这只是无数个可选方式之一，因为任何大于7的实数c，
以及任何大于或等于1的整数n0都会满足条件。
渐近上界记号O 例1-2 20n3+10nlogn+5是O(n3) 。 证明：对于n 1， 20n3+10nlogn+5 35n3。 实际上， aknk+ak-1nk-1+a0总是O(nk)的。
渐近上界记号O 例1-3 3logn+loglogn是O(logn) 。 证明：对于n 2， 3logn+loglogn 4logn。
算法设计与分析-第2章-算法分析基础PPT课件
2k
1 5(
n 2k 1
)2
L 2×5´( 2n)2
5n2
T (n)
7n
k 1 5
i0
n 2i
2
7n
5n2 (2
2
1
k 1
)
10 n2 3n 10 n2 O (n2 )
• 例: Merge-sort排序算法的复杂性递归方程为
T(n)=(1)
if n=1
T(n)=2T(n/2)+(n) if n>1
T(n) = ？
.
27
2.5 递归算法的分析
三、递推关系式的求解-- 扩展递归技术
步骤： 循环地展开递推关系式， 把递推关系式转化为求和表达式， 然后可使用求和技术解之。
能解决输入规模为多大的问题？
设在新机器上用 t 秒时间能解决输入规模为 N 的问题，则
由于此时
f (N)
N，2 新机器的运行速度/每语句为： t新
t0 , 64
代入关系式
f (N ) *t新 t ，得
N2
*
t0 64
t
n2
* t0
解，得
N 8n
思考：以上说明了什么问题？
.
14
2.2 算法的渐进分析
.
28
2.5 递归算法的分析
求以下递推式的时间复杂性
7
T (n)
2T (n
2)
5n2
解：设 n=2k
T (n) 2T (n 2) 5n2
n1 n>1
2(2T (n 4)( n 4)2 ) 5(n 2)2 ) 5n2
2k T (1)
间就一个常因子范围内而言是相同的。
《算法设计与分析》课件
常见的贪心算法包括最小生成树算法 、Prim算法、Dijkstra算法和拓扑排 序等。
贪心算法的时间复杂度和空间复杂度 通常都比较优秀，但在某些情况下可 能需要额外的空间来保存状态。
动态规划
常见的动态规划算法包括斐波那契数列、背包 问题、最长公共子序列和矩阵链乘法等。
动态规划的时间复杂度和空间复杂度通常较高，但通 过优化状态转移方程和状态空间可以显著提高效率。
动态规划算法的时间和空间复杂度分析
动态规划算法的时间复杂度通常为O(n^2)，空间复杂度为O(n)。
04 经典问题与算法实现
排序问题
冒泡排序
通过重复地遍历待排序序列，比较相邻元素的大小，交换 位置，使得较大的元素逐渐往后移动，最终达到排序的目 的。
快速排序
采用分治策略，选取一个基准元素，将比基准元素小的元 素移到其左边，比基准元素大的元素移到其右边，然后对 左右两边的子序列递归进行此操作。
动态规划是一种通过将原问题分解为若干个子 问题，并从子问题的最优解推导出原问题的最 优解的算法设计方法。
动态规划的关键在于状态转移方程的建立和状态 空间的优化，以减少不必要的重复计算。
回溯算法
01
回溯算法是一种通过穷举所有可能情况来求解问题的算法设计方法。
02
常见的回溯算法包括排列组合、八皇后问题和图的着色问题等。
空间换时间 分治策略 贪心算法 动态规划
通过增加存储空间来减少计算时间，例如使用哈希表解决查找 问题。
将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，最终合并子 问题的解以得到原问题的解。
在每一步选择中都采取当前状态下最好或最优（即最有利）的 选择，从而希望导致结果是最好或最优的。
通过将问题分解为相互重叠的子问题，并保存子问题的解，避 免重复计算，提高算法效率。
算法设计与分析总复习
算法设计与分析1、什么是算法？算法有哪些基本特征？请指出算法同程序的相同点与不同点。
答：算法是解决问题的方法或过程，是满足以下四个性质的指令序列1）输入：有0个以上的输入2）输出：至少有1个输出3）确定性：指令清晰、无歧义4）有限性：指令执行次数有限，时间有限算法和程序的相同点：两者都具有输入、输出和确定性的特征不同点：程序是算法用某种程序语言的具体实现，程序不满足算法具有的有限性性质2、请描述算法设计的一般过程。
答：算法设计的一般过程是1）提出问题2）确定数学模型3）明确目的、条件和约束关系4）设计求解步骤5）结果评估与分析如果在第5步的分析中对算法时间、空间复杂度或结果不满意，可以返回第1步或第4步进一步迭代，直至找到满意的算法。
3、什么是算法复杂性？它主要有哪两个方面构成？答：算法复杂性是算法运行时所需要的计算机资源的量，它包括两个方面：时间复杂性（需要时间资源的量）和空间复杂性（需要空间资源的量）。
4、时间复杂性分析主要分哪三种情况，哪种情况的可操作性最好，最具有实际价值？答：时间复杂性分为3种情况，最好情况、平均情况、最坏情况，可操作性最好，最具有实际价值的是最坏情况下的时间复杂性5、如果算法A由三个步骤组成，其中第一步的时间复杂性为O(n2)，第二步的时间复杂性为O(nlogn)，第三步的时间复杂性为O(n)，请问算法A的时间复杂性是多少？答：O(n2)6、请问二分搜索算法、快速排序算法、线性时间选择算法和最近点对问题的时间复杂性各为多少？答：二分搜索算法：最坏情况O(logn)、快速排序算法:最坏情况O(n2)，最好情况和平均情况均为O(nlogn)线性时间选择算法:最坏情况O(n)最近点对问题:时间复杂性O(nlogn)7、分治算法和动态规划算法都是通过对问题进行分解，通过对子问题的求解然后进行解重构，从而实现对原问题的求解。
请指出这两种算法在对问题进行分解时各自所遵循的原则。
答：分治算法对问题进行分解时所遵循的原则是将待求解问题分解为若干个规模较小、相互独立且与原问题相同的子问题（不包含公共的子问题）。
精品课件-算法设计与分析PPT课件
19
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
16
为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
Bland提出避免循环的一个简单易行的方法。Bland提出在单纯形算法迭代中,按照下面的2个简单规则就可以避免循环。规则1:设 ,取xe为入基变量。规则2:设 取xk为离基变量。算法leave(col)已经按照规则2选取离基变量。选取入基变量的算法enter(objrow) 中只要加一个break语句即可。
4
这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,3.5,4.5,1);最优值为16。
5
8.1.2 线性规划基本定理
约束条件(8.2)-(8.5)中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。若n>m,则基本可行解中至少有n-m个分量为0,也就是说,基本可行解中最多有m个分量非零。线性规划基本定理:如果线性规划问题有最优解,则必有一基本可行最优解。上述定理的重要意义在于,它把一个最优化问题转化为一个组合问题,即在(8.2) -(8.5)式的m+n个约束条件中,确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。由此可知,只要对各种不同的组合进行测试,并比较每种情况下的目标函数值,直到找到最优解。Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。单纯形算法的特点是:1)只对约束条件的若干组合进行测试,测试的每一步都使目标函数的值增加;2)一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
16
为了进一步构造标准型约束,还需要引入m个人工变量,记为zi。至此,原问题已经变换为等价的约束标准型线性规划问题。对极小化线性规划问题,只要将目标函数乘以-1即可化为等价的极大化线性规划问题。
17
8.1.5 一般线性规划问题的2阶段单纯形算法
引入人工变量后的线性规划问题与原问题并不等价,除非所有zi都是0 。为了解决这个问题,在求解时必须分2个阶段进行。第一阶段用一个辅助目标函数 替代原来的目标函数。这个线性规划问题称为原线性规划问题所相应的辅助线性规划问题。对辅助线性规划问题用单纯形算法求解。如果原线性规划问题有可行解,则辅助线性规划问题就有最优解,且其最优值为0,即所有zi都为0。在辅助线性规划问题最后的单纯形表中,所有zi均为非基本变量。划掉所有zi相应的列,剩下的就是只含xi和yi的约束标准型线性规划问题了。单纯形算法第一阶段的任务就是构造一个初始基本可行解。单纯形算法第二阶段的目标是求解由第一阶段导出的问题。此时要用原来的目标函数进行求解。如果在辅助线性规划问题最后的单纯形表中, zi不全为0,则原线性规划问题没有可行解,从而原线性规划问题无解。
《算法设计与分析》课件第4章
由此可得，如果我们将活动的完成时间排成升序，那么
子问题空间就是从Sij中选择最大相互相容活动子集，0≤i，j ≤n+1，其他的Sij为空。为了搞清楚活动选择问题的子结构， 考虑某些非空子集Sij(有时称做子集，有时称做子问题，读 者可从上下文看出)。假定Sij的一个解包括活动ak，则有 fi≤sk<fk≤sj。活动ak产生两个子问题Sik和Skj。Sik表示活动ai完 成之后，活动ak开始之前的那些活动集。Skj表示活动ak
的相容活动集合。假定集合S={a1, a2,…, an}中含有n个希望 使用某一资源的活动，这样的资源有教室、某一设备等，它
们一次只能由一个活动使用。每个活动ai有开始时间(start time)si和完成时间(finish time)fi，其中，0≤si<fi<∞。如果某 个活动ai被选中使用资源，则该活动在半开区间(si，fi］这 段时间占据资源。如果活动ai和aj在时间区间(si，fi］和(sj， fj］上不重叠，则称它们是相容的(compatible)，即如果si≥fj 或者sj≥fi，活动ai和aj是相容的。活动选择问题是选择最大的 相容活动集合。
i 1
述假设，可以推得yk<xk。以下首先证明这一点，分三种情
况讨论：
(1) 若k<j，则xk=1。又yk≠xk，从而yk<xk。
(2) 若k=j，对于1≤i<nj，有xi=yi=1；而对于nj<i≤n，有xi=0。
若yk>xk，显然有
wi y，i 因W为
wi y与i y是W可
行解矛盾。若yk=xk，与假i1设yk≠xk矛盾，因此，i1yk<xk。
所选活动的完成时间随着时间严格递增。我们只需按照完成
子问题空间就是从Sij中选择最大相互相容活动子集，0≤i，j ≤n+1，其他的Sij为空。为了搞清楚活动选择问题的子结构， 考虑某些非空子集Sij(有时称做子集，有时称做子问题，读 者可从上下文看出)。假定Sij的一个解包括活动ak，则有 fi≤sk<fk≤sj。活动ak产生两个子问题Sik和Skj。Sik表示活动ai完 成之后，活动ak开始之前的那些活动集。Skj表示活动ak
的相容活动集合。假定集合S={a1, a2,…, an}中含有n个希望 使用某一资源的活动，这样的资源有教室、某一设备等，它
们一次只能由一个活动使用。每个活动ai有开始时间(start time)si和完成时间(finish time)fi，其中，0≤si<fi<∞。如果某 个活动ai被选中使用资源，则该活动在半开区间(si，fi］这 段时间占据资源。如果活动ai和aj在时间区间(si，fi］和(sj， fj］上不重叠，则称它们是相容的(compatible)，即如果si≥fj 或者sj≥fi，活动ai和aj是相容的。活动选择问题是选择最大的 相容活动集合。
i 1
述假设，可以推得yk<xk。以下首先证明这一点，分三种情
况讨论：
(1) 若k<j，则xk=1。又yk≠xk，从而yk<xk。
(2) 若k=j，对于1≤i<nj，有xi=yi=1；而对于nj<i≤n，有xi=0。
若yk>xk，显然有
wi y，i 因W为
wi y与i y是W可
行解矛盾。若yk=xk，与假i1设yk≠xk矛盾，因此，i1yk<xk。
所选活动的完成时间随着时间严格递增。我们只需按照完成
算法分析与设计第四章2分治法归并分类PPT课件
{
item=a[j];i=j-1;
while(i>=1&&item<a[i])
{
a[i+1]=a[i];i=i-1;
}
a[i+1]=item;
}
}
2008-09-01
i指示的是j之前的一位， 即当前已排序子表的 最末一个元素的下标
4
性能分析
输入数据按非增次序排列,每次内层while循 环执行j次（j=1,2,…, n-1)。
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 6 7 8 9 2 3 4 5 0 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1
步骤4：length=8
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a[i] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
16
public static void MergeSort(int n,int DataLength) { //n为待合并数据个数
int i,t; //循环计数变量 i=1; //还有两段长度为DataLength的list可合并 while(i<=(n-2*DataLength+1)) {
Merge(i, i+DataLength-1, i+2*DataLength-1); i=i+2*DataLength; } if(i+DataLength<n) {//合并两段list，一段长度为DataLength，另一段长度不足DataLength Merge(i, i+DataLength-1, n); } else {//将剩下一段长度不足DataLength的list中的值不变 } }
算法分析与设计基本知识点复习省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
2、影响程序运营时间旳主要原因 ： （1）程序旳输入。 （2）由编译系统所产生旳代码程序旳质量。 （3）执行程序旳计算机机器指令旳性能与速度。 （4）程序所根据旳算法旳时间复杂度。 3、算法旳复杂性测度主要有两个方面： (1) 空间复杂度 (2) 时间复杂度
最坏情况和平均情况分析(P6)
算法最坏情况下旳运营时间，即对于规模n旳任何 输入，算法运营最长旳时间。
贪心法并不总是产生问题旳全局最优解，但许多
问题利用贪心法求解得到全局件为：
可行解即满足约束条件旳解 用贪心策略求解背包问题时，首先要选出度量旳
原则。取目旳函数作为度量原则，即每放入一件物品 使背包取得最大可能旳效益值增量。
按物品权重旳非降顺序把物品放入背包。 用每单位容量所带来价值之比作为贪心旳策略， 能够得到问题旳最优解。
算法设计和分析旳环节可概括: （1）问题旳陈说。 （2）模型旳选择。 （3）算法旳设计。 （4）算法旳程序实现。 （5）算法分析。
算法具有下列五大特征
（1）拟定性。一种算法中给出旳每一种计算环 节，必须是精确旳定义、无二义性旳。
（2）有穷性。一种算法在执行有穷个计算环节 后必须停止。
（3）可行性。算法中要执行旳每一种计算环节 都是能够在有限时间内做完旳。可行性、有穷性和 拟定性是相容旳。
循环不变式：A[j]是A[j..Length[A]]中旳最小元素。 循环不变式：在1～4行外层for循环旳每次迭代开始， 子数组A[1..i-1]中旳元素有序。
算法分析(p4) 算法分析是指对一种算法所需旳计算资源进行预测。 考虑算法旳好坏主要有下列几点： （1）执行算法所花费旳时间。 （2）执行算法所花费旳存储空间，其中主要考虑辅助 存储空间。 （3）算法应易于了解，易于编码，易于调试等。 最主要旳计算资源是时间和空间资源(存储器) 输入规模是输入元素旳个数、用二进制表达旳输入旳 总位数、和用图中顶点数和边数表达输入。 一种算法旳运营时间是指在某个输入时，算法执行基 本操作旳次数或者步数。
《算法设计与分析》课件第7章
使用哪一种表示法，取决于顶点集|V|中顶点之间的关系、 图中的顶点数以及边数|E|。|E|的规模可与|V|相当或与|V|2相 当(所有边可能相连)。如果是前者，则称该图是稀疏的，否 则称该图是稠密的。我们将在后续的章节中看到，|E|与|V|之 间的这个关系将会成为我们选择合适图算法的主要因素。
7.2 广度优先搜索
证明：使用反正法。设 p 是从顶点 v1 到顶点 vk 的最
短路径。将路径
p
分为：v1
p1i
~>
vi
pij
~>
vj
pjk
~>
vk
，则有
w(p)
= w(p1i) + w(pi j) + w(pjk)。现在，假设存在从 vi 到 vj 且满
足
w(p’i j) < w(pij)的路径为 p’i j。
则
p1i v1 ~>
图的另一种表示方法是邻接表表示法。这种方法只需要 与边数成正比的空间，由|V|个链表组成，每个顶点都有一个 链表。顶点u的链表存放由u出发所指向的顶点，也就是说， 存放(u，v)∈E的那些顶点v。因此，如果图为有向图，则每 条边只在一个链表中出现； 如果图为无向图，则每条边在 两个链表中出现。无论是哪种情况，数据结构的总规模为 O(|E|)。在这种情况下，检查某条边(u，v)不再为常量时间， 因为这个过程需要查找u的邻接表。但通过一个顶点的所有 近邻还是可以比较容易地完成这个过程。我们很快就可知， 这个过程证明是图算法中的一个很有用的操作。对于无向图， 这种表示是对称的，当且仅当u在v的邻接表中，v在u的邻接 表中。
Eπ={(π［v］, v)∈E：v∈Vπ－{s}}
算法所产生的π值具有如下性质：在算法终止时，Gπ就 是最短路径树。这棵树以源点s为根，包含了由s可达的每个 顶点的一条最短路径。因此，以s为根的最短路径树是有向 子图G′=(V′, E′)，其中V′V，E′ E，满足：
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I=24
11
a,b,d,e,c,a
I=16
9
Notes
Finding a good bounding is not a simple task. On the one hand. We want this function to be easy to
compute. On the other hand, it cann’t be too simplistic.—otherwise,
The value of the best solution seen so far.
4
The main idea
Set up a bounding function, which is used to compute a bound (for the value of the objective function) at a node on a state-space tree and determine if it is promising Promising (if the bound is better than the value of the best solution so far: expand beyond the node. Nonpromising (if the bound is no better than the value of the best solution so far--:not smaller for a
minimization problem and not larger for a
maxmization problem ): not expand beyond the node (pruning the state-space tree).
5
0
Start Ib=10
1
a￫1
Ib=17
5
b￫1
Ib=13
8
Traveling salesman
0
a
Ib=14
5
a,b,c
Ib=16
1
a,b
Ib=14
6
a,b,e Ib=19
2
a,c
7
a,b,d Ib=16
3
a,d
Ib=16
4
a,e
Ib=19
b is not before c
8
a,b,c,d,e,a
l=24
9
a,b,c,e,d,a
l=19
10
a,b,d,c,e,a
which nodes to explore
Combine depth-first search and breadth-first search. Selecting the node with the best estimated cost among all nodes.
3
Branch and Bound8来自c￫3Ib=13
9
c￫4
Ib=20
10
d￫4
Cost=13
2
a￫2
Ib=10
6
b￫3
Ib=14
3
a￫3
Ib=20
7
b￫4
Ib=17
4
a￫4
Ib=18
边界（下界）的选择：
初始节点边界：包括最优解在内，任 何解的成本都不会小于矩阵每行中的 最小元素的和。
节点其它边界：实际产生的成本+还 要付出的最小成本（估计）
Branch-and-bound
1
Branch and Bound
An enhancement of backtracking Similarity A state space tree is used to solve a problem Difference used only for optimization problems. The backtracking requires the using of DFS traversal and is used for nonoptimization problems. Branch and bound: does not limit us to any particular way of traversing the tree (Best-first)
It is NP-complete.
7
Traveling Salesman Problem—Bounding Function
边界（下界）函数的选择：
初如节点边界：对于每一个城市，求出该城市 到距离其最近的另外两个城市的距离之和，并 把所有城市的该距离和除以2取整。
其它节点边界：实际产生的成本+还要付出的最 小成本（估计）
it would fail in its principal task to prune as many branches of a state-space tree as soon as possible.
Compared to backtracking ,branch-and-bound requires two additional items.
A way to provide, for every node of a state-space-tree ,a bound on the best value of the objective function on any solution that can be obtained by adding further omponents to the partial solution represented by the node.
2
Branch and bound (cont.)
Branching strategy: how to partition solution space
Node selection strategy:
sequence of exploring nodes:
depth first (tries to obtain a solution fast) breadth/best bound first (tries to find the best solution)
6
The traveling salesperson optimization problem
Given a set of points and their pairwise distances, the task is to find a shortest tour that visits each point exactly once.
11
a,b,d,e,c,a
I=16
9
Notes
Finding a good bounding is not a simple task. On the one hand. We want this function to be easy to
compute. On the other hand, it cann’t be too simplistic.—otherwise,
The value of the best solution seen so far.
4
The main idea
Set up a bounding function, which is used to compute a bound (for the value of the objective function) at a node on a state-space tree and determine if it is promising Promising (if the bound is better than the value of the best solution so far: expand beyond the node. Nonpromising (if the bound is no better than the value of the best solution so far--:not smaller for a
minimization problem and not larger for a
maxmization problem ): not expand beyond the node (pruning the state-space tree).
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0
Start Ib=10
1
a￫1
Ib=17
5
b￫1
Ib=13
8
Traveling salesman
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a
Ib=14
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a,b,c
Ib=16
1
a,b
Ib=14
6
a,b,e Ib=19
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a,c
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a,b,d Ib=16
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a,d
Ib=16
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a,e
Ib=19
b is not before c
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a,b,c,d,e,a
l=24
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a,b,c,e,d,a
l=19
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a,b,d,c,e,a
which nodes to explore
Combine depth-first search and breadth-first search. Selecting the node with the best estimated cost among all nodes.
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Branch and Bound8来自c￫3Ib=13
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c￫4
Ib=20
10
d￫4
Cost=13
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a￫2
Ib=10
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b￫3
Ib=14
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a￫3
Ib=20
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b￫4
Ib=17
4
a￫4
Ib=18
边界（下界）的选择：
初始节点边界：包括最优解在内，任 何解的成本都不会小于矩阵每行中的 最小元素的和。
节点其它边界：实际产生的成本+还 要付出的最小成本（估计）
Branch-and-bound
1
Branch and Bound
An enhancement of backtracking Similarity A state space tree is used to solve a problem Difference used only for optimization problems. The backtracking requires the using of DFS traversal and is used for nonoptimization problems. Branch and bound: does not limit us to any particular way of traversing the tree (Best-first)
It is NP-complete.
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Traveling Salesman Problem—Bounding Function
边界（下界）函数的选择：
初如节点边界：对于每一个城市，求出该城市 到距离其最近的另外两个城市的距离之和，并 把所有城市的该距离和除以2取整。
其它节点边界：实际产生的成本+还要付出的最 小成本（估计）
it would fail in its principal task to prune as many branches of a state-space tree as soon as possible.
Compared to backtracking ,branch-and-bound requires two additional items.
A way to provide, for every node of a state-space-tree ,a bound on the best value of the objective function on any solution that can be obtained by adding further omponents to the partial solution represented by the node.
2
Branch and bound (cont.)
Branching strategy: how to partition solution space
Node selection strategy:
sequence of exploring nodes:
depth first (tries to obtain a solution fast) breadth/best bound first (tries to find the best solution)
6
The traveling salesperson optimization problem
Given a set of points and their pairwise distances, the task is to find a shortest tour that visits each point exactly once.