力学第三章答案

3.5.1质量为2kg 的质点的运动学方程为

r 二(6t 2 -1)i? - (3t 2 3t 1)?(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方向 大小。

解：•/ a =d 2r/dt 2 =12? • 6?, F =ma =24i?T 2?为一与时间无关的恒矢量， 质点受恒力而运动。

2 2 1/2

F=(24 +12 ) =12

5 N ，力与x 轴之间夹角为:

:-=arctgF y / F x = arctg 0.5 二 26 34'

3.5.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： r = acos ■ t ? bsi ・t ?, a,b,w 为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。

证明：••• a = d 2r / dt 2 - - 2(acos ，t? bsin ‘ t?) = - 2r

-

2 -

F = ma =-m ，■ r , •'•作用于质点的合力总指向原点。

3.5.3在脱粒机中往往装有振动鱼鳞筛， 一方面由筛孔漏出谷粒， 一方面逐出秸杆，筛

面微微倾斜，是为了从较低的一边将秸杆逐出，因角度很小， 可近似看作水平，筛面与谷粒 发生相对运动才可能将谷粒筛出，若谷粒与筛面静摩擦系数为 0.4,问筛沿水平方向的加速

度至少多大才能使谷物和筛面发生相对运动？

解：以地为参考系，设谷物的质量为 m ,所受到的最大静摩擦力为

f -o m

g ，谷

物能获得的最大加速度为

a = f /m = % g = 0.4 9.8 =3.92 m/s 2 •筛面水平方向的加速度至少等于

3.92米/秒2,

才能使谷物与筛面发生相对运动。

3.5.4桌面上叠放着两块木板，质量各为 m 1 ,m 2,如图所示，m 2和桌面间的摩擦系数为

it 2, m 1和m 2间的摩擦系数为 卩1,问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

解：以地为参考系，隔离 m 1、m 2，其受力与运动情况如图所示，

t 1 t 2

m 1

--------- *

F

m 2

3.5.4题图

f 2 f 1'

N 2 F

N 1'

a 2

m 2g

N 1

a 1

一 * ------- f 1

、

I

m 1g

其中，N i '=N i ,f i '=f i =卩i N i ,f 2=2N 2,选图示坐标系o-xy ，对m i ,m 2分别应用牛顿二定律， 有

a i 二"i

g a 2

二 F - " mg - 卩 2me - 卩 2m 2g y m 2

要把木板从下面抽出来，必须满足 a 2 ■ a 1，即

F -亠i m i g -丄2m i g -亠 2m ?g m^1 i g . F

2

m i m 2 g

3.5.5质量为m 2的斜面可在光滑的水平面上滑动，斜面倾角为 a ，质量为m i 的运动员

与斜面之间亦无摩擦，求运动员相对于斜面的加速度及其对斜面的压力。

以相对地面向右作加速直线运动的斜面为参考系（非惯性系，设斜面相对地的加速度 为a ?）,取m i 为研究对象，其受力及运动情况如左图所示，其中

N i 为斜面对人的支撑力，

f *为惯性力，a'即人对斜面的加速度，方向显然沿斜面向下，选如图所示的坐标系 o'-x'y',应

用牛顿第二定律建立方程:

N -mpco 倂 + ga ? sina=0 …（i ） ■:

iggsina + ga 2 co 沪=ga'…

（2）

再以地为参考系，取 m 2为研究对象，其受力及运动情况如右图所示，选图示坐标 o-xy,

应用牛顿第二定律建立方程：

N i si = m2a 2

(3)

“

/八

（i ）、（ 2 ）、（ 3）联立，即可求得：

N z —m z g —Nco^hO-'S ）

3.5.6在图示的装置中两物体的质量各为 m i ,m 2,物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都

为卩，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，

绳不可伸长。

1 （N 什m 2g ）= i （m 什m 2）g.在水平方向对两个质点应用牛二定律:

」N = m 1a 1

F 「.二j

」2 N 2 二 m 2a 2 汕 _ gg = 0

N 2「m 2g = 0

解方程组，得

m i m 2 cos 。 N i

= m 2 m i sin 2： g

(m i m 2)sin : a

、m 2 mgn 2： g

解：以地为参考系， N 1

隔离 m i ,m 2，受力及运动 T ° 情况如图示，其中： f i =

m i g a ------

卩 N i =m i g , f 2=N 2=

f 2 4

f i

N 2

“ N i 』2g

y

m 2g

a 2

F

所以，天平右端的总重量应该等于 T ,天平才能保持平衡。 3.5.11棒球质量为O.14kg ,用棒击棒球的力随时间的变化 如图所示，设棒球被击前后速度增量大小为 70m/s ，求力的最大值，打击时，不计重力。

T _」qg = m 1a ① F _ m 1^ ■'(m 1 • m 2)g _T = m 2a ②

①+②可求得：a 二F

mi | +m 2

将a 代入①中，可求得： T 二m i (F _25g)

mn + m 2

3.5.7在图示的装置中，物体A,B,C 的质量各为 m i ,m 2,m 3, 且两两不相等.若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为 卩，求三 个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴 承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离A,B,C ,受力及运动情况如图示， 其中：f i =N i = u m i g , f 2=卩 N 2=m 2g , T'=2T ，由于 A 的 位移加B 的位移除2等于C 的位移，所以（a i +a 2）/2=a 3.

对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：

T - ' m i ^ m i a i ① T -、m 2g =m 2a 2 ② m 3g -2T = m 3 ⑻

a 2）/2 ③

①，②,③联立，可求得:

a i

2口2口3(1+») (mi| m 2)m 3 4m]m 2 a 2 2m i m 3(1+A)

=| ------------------------------

(m m 2)m 3 4m i m 2 a 3

(m 「m 2)m 3(1」)

g m 2)m 3 4m 1m 2

3.5.8天平左端挂一定滑轮，一轻绳跨过定滑轮，绳的两端分别系上质量为 体（m i 工m 2）,天平右端的托盘上放有砝码 •问天平托盘和砝码共重若 干，天平才能保持平衡？不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦， 绳不伸长。

解：隔离m 1,m 2及定滑轮，受力及运动情况如图示，应用牛顿第

二定律：

m i ,m 2的物

T^m 1 g = m 1a ① m 2g _T' = m 2a ② T = 2T'

由①②可求

得:

I m i 11 m 2

m i g

m 2g

T' T'

m 1 +m 2

一2^

m 1 m 2

N 2

N i

o 1

a 3

i m 3g

m 2g

a 2