第十四章 几何光学

n1 n2 n2 − n1 + = u1 v1 r 1
1 1.5 1.5 −1 + = 40 v1 10
解得
v1=60cm
u1
v1
第二球面成像：u2= -(v1-2r )= -40cm， n1 = 1.5， n2 = 1，r 2= -10cm
代入公式
得
n1 n2 n2 − n1 + = u2 v2 r2
1 1 n − n0 1 1 + = ( − ) u v n0 r r2 1
2)透镜两侧为真空时，n1=n2=1
(14 − 7a)
1 1 1 1 + = (n −1)( − ) u v r r2 1 1 1 焦度： Φ = (n −1)( − ) r r2 1
(14 − 7b)
1 1 焦距： f = f = f = (n −1) − 1 2 r r 1 2
C2 C1 C3 C4 n1 n2 n3 n4 n5
【例14-2】
玻璃球(n=1.5)半径为r =10cm，一点光源放在球前 40cm处，求近轴光线通过玻璃球后所成的像。
n =1 n =1.5 r =10cm
40cm
解：第一球面成像：u1=40cm，r 1=10cm，n1=1，n2 =1.5
代入公式
v2= -100cm
2．三对基点
引入基点(焦点、主点、节点)的概念，可用于进行 几何作图成像，类似于中学学过的薄透镜的几何作图 成像。 F1 1)两焦点F1、F2 将点光源放于主光轴上 F2 某点F1，若发出的光线经 图14-7a 两焦点 厚透镜后成为平行于主光 轴的平行光线，则F1称为厚透镜的第一焦点。 若平行于主光轴的光线，经厚透镜后交于主光轴 上某点F2，则F2点称为厚透镜的第二焦点。
v2=11.4cm
2．像与物的关系 用逐个球面成像法求解共轴系统成像问题时，关键 要弄清楚上一个球面的像是下一球面的实物还是虚物。 当成像是从左到右依次进行时，如果上一个球面 所成像(虚、实)的位置在下一个球面的左边，对下 一个球面来说，该像是实物，u>0；反之，如果上一 u>0 个球面所成像(实)的位置在下一个球面的右边，对 下一个球面来说，该像是虚物，u<0。 就是说，若上一球面成一虚像，则对下一球面来说， 它一定是实物。若上一球面所成的像为实像，则要根 据此像的像距与上、下两球面之间的距离进行比较， 判断是实物还是虚物。
3、物和像的虚实 、
1)实物：发散的入射光束的顶点为实物(不论是否有 实际光线通过该点) 球面 O
顶点没有实 际光线通过
球面
O 球面
2)虚物：会聚的入射光束的 顶点为虚物(永远没有实际 光线通过该点)
O
3)实像：会聚的折射光束 的顶点为实像。
球面 I
4)虚像：发散的折射光束 的顶点为虚像。 I
球面
二、共轴球面系统
两个或两个以上 的折射球面的曲率 中心在一条直线上， 组成共轴球面系统。 各曲率中心所在直线称为共轴球面系统的主光轴。 1．逐个球面成像法 前一个球面出射的光束对后一个球面来说是入射 光束。所以前一个球面所成的像就是后一个球面的物， 依次应用单球面折射公式，逐个对各球面成像。最终 求出通过整个系统所成的像。
1、单球面 折射式(141)
n1 n2 n2 − n1 + = u v r
(14 −1)
上式称为单球面折射公式，它描述了单球面折 射在近轴光线条件下物距与像距的关系。 注 意
公式中n1 为入射光线所在介质的 折射率，n2 为折射光线所在介质的折 射率。
2、符号规则 、
式14-1虽然是在n2>n1、凸球面对着入射光线的条件 下推导出来的，但它适应于一切凸凹球面。只是它 必须遵守如下符号规则： 1)物距u： 实物取正号，虚物取负号。 2)像距v： 实像取正号，虚像取负号。 3)曲率半径r： 凸球面对着入射光线时取正号； 凹球面对着入射光线时取负号； 平面的曲率半径 r =∞。
第二节 透镜 透镜(lens)
把玻璃等透明物质磨成薄片，其表面都为球面或 有一面为平面，即组成透镜，如下图所示。 中间部分比 边缘部分厚的 透镜叫凸透镜。 中间部分比 边缘部分薄的 透镜叫凹透镜。
+r −r2 r = ∞ −r2 1 1
双凸 平凸
−r −r2 1
弯凸
−r +r2 1
双凹
−r r2 = ∞ −r −r2 1 1
【补充例题】
一条鱼在水面下1米处，水的折射率n=1.33，若在 鱼的正上方观察，其像的位置在哪里？ 解：u =1m，n1 = 1.33，n2 = 1，r =∞
n1 n2 n2 − n1 代入公式 + = u v r
1.33 1 + =0 1 v
解得 v =－0.752m
得
像为虚像，位置水面下0.752米处。
4、焦度(光焦度)
n2 − n1 式（ -1 14 ）右端 仅与折射率和半径有关， r 与物距、像距无关。它表征球面的光学性质，称
为光焦度，用Φ表示。
n2 − n1 Φ= r
(14 − 2)
单位：屈光度，用D表示，１D = 1m-1
5、焦点与焦距 、
1)第一焦点和第一焦距 将一物点置于主光轴上某一点F1时，若发出的光线 经折射后成为平行于主光轴的光线，F1称为第一焦点。 F1到球面顶点的距离称为第一焦距，用f1表示。 将 u= f1 ，v =∞代入14-1式，有
u 对于透镜组成像问题，可采用逐个透镜成像法
第一透镜成像：u1=u，应用高斯公式得
1 1 1 + = u v1 f1
第二透镜成像：u2= -v1，v2= v
1 1 1 + = − v1 v f2
两式相加，得
1 1 1 1 + = + u v f1 f2
设透镜组的焦距为f，则
1 1 1 = + f f1 f2
Q
1 1 1 Φ = ，Φ1 = ，Φ2 = f f1 f2
∴
Φ = Φ1 + Φ2
可见，透镜组的焦度等于各透镜的焦度之和，这 一关系常用于近视眼配镜时确定所需镜片的度数。
【例14-3】
凸透镜L1和凹透镜L2的焦距分别为20cm和40cm， L2 在L1 右侧40cm处。在L1 左边30cm处放置某物体， 求经过透镜组后所成的像。 解：L1成像：u1=30cm，f1=20cm 由高斯公式，得
n=1.5 R=10cm
10cm
解：1)平面折射成像：u1=10cm，n1=1，n2=1.5， r1=∞
代入公式
得
n1 n2 n2 − n1 + = u1 v1 r 1
v1= -15cm
2)球面折射成像：u2=R-v1=25cm，n1=1.5，n2=1， r2= -10cm
代入公式
得
n1 n2 n2 − n1 + = u2 v2 r2
n1
F1 P
n2
n1 n2 n2 − n1 + = f1 ∞ r n1 f1 = r n2 − n1
f1
(14 − 3)
2) 第二焦点和第二焦距 平行于主光轴的光线经球面折射后成像于主光轴上 一点F２ ，则F２ 称为第二焦点。F２ 到球面顶点的距离 称为第二焦距，用f２表示。 将u =∞， v = f2代入14-1式，有
第十四章 几何光学
以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称 为几何光学。 一、几何光学的基本定律： 几何光学的基本定律： 1、光在均匀介质中的直线传播定律。 2、光通过两种介质分界面时的反射定律和折射定律。 折射定律：n1 sin i1= n2 sin i2 3、光的独立传播定律和光路可逆原理。
第一节 球面折射
由折射定律，有 n1 sin i1= n2 sin i2 在近轴光线条 件 下 ， i1 、 i2 都 很小，故 sin i1≈i1，sin i2≈i2 由图14-1可见 i1=α+θ i2 =θ−β
M
n1
α
i1
A
h
θ
n2 i2 C
β
O
P δ
I
r u
N
v
图14-1 单球面折射
h h α ≈ tanα = ≈ δ +u u h h θ ≈ tanθ = ≈ r −δ r h h β ≈ tanβ = ≈ v −δ v
u
第一球面成像：u1= u
n1 n n − n1 + = u v1 r 1
第二球面成像：u2=-v1，v2=v
n n2 n2 − n + = − v1 v r2
两式相加得
n1 n2 n − n1 n − n2 + = − u v r r2 1
(14 − 7)
上式为薄透镜成像公式
2．符号规则 公式(14-7)适应于所有形状的凸、凹薄透镜，符 号规则与单球面折射公式相同。 3．焦度 4．焦距
n1 n2 n2 − n1 代入公式 + = u v r
1.0 1.5 1.5 −1.0 + = 8 v 2 v=12cm
得
解得
2) 置于水中时：u =8cm ，n1=1.33，n2 =1.5，r =2cm 代入公式得
1.33 1.5 1.5 −1.33 + = 8 v 2
解得 v=－18.5cm
(14 − 5)
∵ n 1≠n2 ∴ f 1≠f2 单球面折射的两个焦距不相等。
5)焦度与焦距的关系
n2 − n1 Q Φ= r n1 n2 又Q f1 = r , f2 = r n2 − n1 n2 − n1
n1 n2 ∴ Φ= = f1 f2
(14 − 6)
【例14-1】
圆柱形玻璃棒(n =1.5)的一端是半径为2cm的凸球 面。1)求棒置于空气中时，在棒的轴线上距离棒外端 8cm的物点所成像的位置。2)若将此棒放入水(n = 1.33)中时，物距不变，像距应是多少？(设棒足够长) 解：1) 置于空气中: u=8cm，n1=1.0，n2=1.5，r=2cm 1) u=8cm n =1.0 n =1.5 r=2cm
如果用v1表示上一个球面像距，u2表示下一个球面 的物距，d 表示上下两球面之间的距离，则 u2=d-v1 上式适用于所有的情况，其中，u2、v1都带符号。 例如，求得上一球面像距v1= -5cm(成一虚像)，上下 两球面之间的距离d=10cm，则 u2=d-v1=10-(-5)=15cm (实物) --
n1
P
Leabharlann Baidu
n2
F2
n1 n2 n2 − n1 + = ∞ f2 r
f2
n2 f2 = r n2 − n1
(14 − 4)
3)实焦点与虚焦点 当f1、 f2为正值时，F1、 F2为实焦点； 当f1、 f2为负值时，F1、 F2为虚焦点。 4)单球面的两焦点不对称 由式14-3和14-4可知：
f1 n1 = f2 n2
一、单球面折射 研究当两种透明介质的分界面为球面时的折射成 像问题。单球面折射成像规律是研究各种透镜和多球 面光学系统成像规律的基础。 1、单球面折射公式 、 如图14-1所示，MPN为折射率为n1、n2 (n2>n1)的两 种介质的球面分界面，C为球面的曲率中心，曲率半 径 r 。P为球面顶点，PC延长线为球面的主光轴。光 线由主光轴上一物点 (Object) O发出，经球面A点 折射与主光轴交与I， I为像点(Image)。
高斯公式： 1 + 1 = 1
−1
(14 −8)
u v
f
(14 −9)
空气中的薄透镜焦度与焦距的关系：
1 Φ= f
单位：1屈光度=1米-1=100度
二、薄透镜组合 两个或两个以上的薄透镜组成的共轴球面系统， 称为薄透镜组合，简称透镜组。下面研究透镜组成 像问题。 设两个薄透镜紧密贴合在一起，两透镜的焦距 分别为f1和f2 L1 L2
平凹 弯凹
一、薄透镜成像公式
透镜的厚度(组成透镜的两个球面顶点之间的距离) 与球面的曲率半径相比可以忽略，则称为薄透镜。 1．薄透镜成像公式 设薄透镜两个球面的曲率半径为r1 、r2 ，折射率为 n，透镜两侧的折射率分别为n1、n2 。主光轴上有一 物点O，物距为u。 r1 r2 n2 n1 n
O
L1 f1=20 30 40 L2 f2=-40
1 1 1 + = 30 v1 20
解得 v1=60cm
L2成像：u2=40cm - v1= -20cm，f2= -40cm 由高斯公式，得
1 1 1 + = − 20 v2 − 40
解得
v2=40cm
三、厚透镜(thick lens)
若透镜的厚度(组成透镜的两个球面的顶点之间的 距离)较大，研究其成像规律就不能象薄透镜那样忽 略了。解决厚透镜的成像问题，可采用逐个球面成 像法。 1．利用逐个球面成像法 用 【例题】如图所示，一个半球 形状的玻璃(n=1.5)厚透镜置于 空气中，球面的曲率半径 R=10cm，主光轴上有一物点距 离半球10cm。试求所成像。
n − n1 n − n2 Φ= − r r2 1
1 n − n1 n − n2 f1 = r − r n1 1 2
1 n − n1 n − n2 f2 = r − r n2 1 2
−1
−1
5．几个特例 1)透镜两侧介质相同，n1=n2=n0