离散数学图论第一讲

定义5-9.1： 设<A,★,*>是一个代数系统，如果满足： 1.<A,★>是阿贝尔群。 2.<A,*>是半群。 3.运算*对于运算★是可分配的。 则称<A,★,*>是环。 根据定义可以清楚地看到，整数集合、有理数集合、 偶数集合、复数集合以及定义在这些集合上的普通 加法和乘法运算都是可构成环的例子。
a,bA , a≠ , b≠ , 必有a ·b≠。 3. 运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, ·>是整环。
例5 Z5= { 0, 1, 2, 3, 4 }, , 分别为模 5 加法与乘法
0 1 2 3 4
0 01234 1 12340 2 23401 3 34012 4 40123
01234
0 00000 1 01234 2 02413 3 03142 4 04321
定理5-9.2：在整环<A ,+, ·>中的无零因子条件等价于 乘法消去律，即对于c≠和c ·a=c ·b，必有a=b。
证明： “”若无零因子并设c≠和c ·a=c ·b， 则有 c ·a - c ·b = c ·(a-b)= 所以，必有a=b。 “” 反之，若消去律成立， 设a≠ ，a ·b= 则a ·b= a · 消去a 即得b= 。
定理5-9.1：设<A,+, ·>是一个环，则对于任 意的a,b,cA，有
1. a · = ·a = 2. a·(-b) =(-a) ·b = -(a·b) 3. (-a) ·(-b) = a·b 4. a·(b-c) = a·b - a·c 5. (b-c) ·a =b·a -c·a
e5
图G的最大度和最小度
d e4
Δ(G)＝max{deg(v)｜v∈V(G)}，
a
δ(G)＝min{deg(v)｜v∈V(G)},
e1 e3
e
b e2
c
有向图结点的入度，结点的出度，结点的度数： 在有向图中,射入一个结点的边数称为该结点的入度, 由一个结点射出的边数称为该结点的出度。结点的 出度和入度之和就是该结点的度数。
vV 2
[定理7-1.3] 在任意有向图中，所有结点入
度之和等于所有结点出度之和，都等于边
数。
n

deg+
vi

n

deg-

vi


E
i 1
i 1
例：下列能构成无向简单图的是： (1)2,2,2,2,2 (2)1,1,2,3,3 (3)0,1,3,3,3 (4)1,1,2,2,2 (5)1,2,4,4,5 (6)4,4,4,4,4 (7)1,2,3,3,4
相对于完全图的补图: 给定一个图G,由G中所有结点和所有能使G成 为完全图的添加边组成的图,称为G的相对于 完全图的补图,或简称为G的补图,记作G。
子图:
设图G=<V,E>，如果有图 G ' = < V' , E' >,若有 V' V ， E' E，则称图G '是图G的子图。
生成子图:
如果图G的子图G包含G的所有结点,则称该图 G' 为G
e1
a
e4
e2
d
e3 e6
b
e7
e5
c
平行边：连接于同一对结点间的多条边称为平行边。 多重图：含有平行边的任何一个图称为多重图。 简单图：不含有平行边和环的图称为简单图。
思考：简单图的Δ(G)?（结点数为n)
完全图：
简单图G＝〈V,E〉中若每一对结点间都有边相连,
则称该图为完全图。
有n个结点的无向完全图记作Kn。
定义5-9.4：设<A ,+, ·> 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。 2．<A-{} , ·>是阿贝尔群。 3．运算 ·对于运算 + 是可分配的。 则称<A ,+, ·>是域。
例如，<Q ,+, ·>，<R ,+, ·>，<I ,+, ·>，
定理5-9.：域一定是整环。 定理5-9.4：有限整环必定是域。
其中，是加法幺元，- a是a的加法逆元，并将 a+(-b)记为a-b。
定义5-9.2：设<A ,+, ·>是环。如果<A , ·>是可交换的， 则称<A ,+,·>是交换环。如果<A , ·>含有幺元，则称 <A ,+, ·>是含幺环。
定义5-9.3：设<A ,+, ·> 是一个代数系统，如果满足： 1．<A,+>是阿贝尔群。 2. <A, ·>是可交换独异点，且无零因子，即对任意的
定义7-1.1 图
图 是 一 个 三 元 组 〈V (G) ， E(G) ， G〉 ， 其 中 V (G)是一个非空的结点集合，E(G)是边的集合，G
为边集E到结点无序偶（有序偶）集合上的函数。
d e4
a
e1 e3
e
b
e2
c
V(G)={a,b,c,d,e}
E(G)={e1,e2,e3,e4}
的生成子图。
a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
e1 b
e2
f e6
e3
e5 e
e7
f
e6
e5
e
e7
a
e1
f
b
e3
e5
e
e7
c e4 d
d
c
d
(1)
(2)
(3)
设VV且V, 以V为顶点集, 以两端点都在V中的
所有边为边集的G的子图称作V的导出子图, 记作
G[V]
设EE且E, 以E为边集, 以E中边关联的所有顶
点为顶点集的G的子图称作E的导出子图, 记作G[E]
a
a
e1 b
e2
f e6
f
e1
f
e6
b
e3
e5 e e5
e
e3
e5
e
e7
e7
e7
c e4 d
d
c
d
(1)
(2)
(3)
相对于图G的补图: 设图G'＝〈V',E'〉是图G＝〈V,E〉的子图,
若给定另外一个图G"＝〈V",E"〉使得E"＝ E-E',且V"中仅包含E"的边所关联的结点。 则称G"是子图G'的相对于图G的补图。
例：试画出K1，K2，K3，K4，K5 思考：完全图边数?（结点数为n)
K3
K5
3阶有向完全图
握手定理 ： 任意一个图结点度数的总和等于边数的两倍。
d
e4
a e1 e3
e
b
e2
c
[定理7-1.2] 在任意图中,度数为奇数的结 点,必定是偶数个。
degv degv 2E
vV 1
G(e1)=(a,c),G(e2)=(b,c),G(e3)=(d,c),G(e4)=(d,e)
定义：邻接点、邻接边、孤立点、零图、
平凡图、自回路或环、无向图、有向图、 混合图
e5
d e4
a e1 e3
e
b e2
c
结点的度数：
在图G＝〈V，E〉中，与结点v(v∈V)关联的边数称
为该结点的度数，记作deg(v)。 注意：每一个环在其对应的结点上的度数增加2。