7 范数与条件数
范数
常用的算子范数： n
j 1 n
可证（例6）。 || A || m ax | aij | （行和范数） 1 i n
i 1
|| A ||1 m ax | aij | （列和范数） 1 j n
|| A ||2
max ( AT A) （谱范数 ( spectral norm ) ）
( Error Analysis for Linear system of Equations )
思考:求解 A x b 时, A 和 b 的误差对解 x 有何影响？ 设 A 精确，b 有误差 b ，得到的解为 x x ，即
A( x x) b b
1
绝对误差放大因子
常用向量范数：
|| x || 1
(1) || x || 0 ; || x || 0 x 0
Rn空间的向量范数
n || · ,对任意 x , y R 满足下列条件 ||
i1
n
| xi |
|| x ||
2
i1
n
| x |
i
2
|| x || max | x i |
|| 2
相容性
（1）矩阵范数与矩阵范数的相 容:‖AB‖≤‖A‖‖B‖ （2）矩阵范数与向量范数 设A∈M，‖A‖是矩阵范数,x∈Rn，‖x‖是 向量范数.如果满足不等式:
‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
|| A || 1
② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
矩阵的范数和条件数
① A0,& A ,0 A0
② A A,R
③ A B A B, A ,B R n n ④ A B A B, A ,B R n n
⑤ Ax Ax, xRn
上海理工大学 理学院
University of Shanghai for Science and Technology
2 2 x x 1 1 6 .0 0 0 0 6 1 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 1 与 2 2 x x 1 1 5 .9 9 9 9 6 9 x x 2 2 8 8 .0 0 0 0 2
其解分别为：x
x1 x2
College of SciA的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件:
(1)非负性: ‖A‖0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖A‖=| |‖A‖, R; (3)三角不等式:‖A+B‖‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖‖A‖‖B‖. 则称‖A‖为矩阵A的范数.
x
b
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College of Science
注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。
行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。
A1
很小
A
A
A
A
条件数表示了对误差的放大率
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数值计算方法-范数
0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2
Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n
x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数，矩阵的条件数一 、 向量、矩阵范数为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性，需要在)(nn nRR ⨯或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。
为此，这就需要对量空间n R (或n n R ⨯矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。
(一)向量范数：向量范数是3R 中向量长度概念的推广。
},{1为复数i n nx x x x x C ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡== 称为n 维复向量空间。
},)({为复数ij n n ij n n a a A A C ⨯⨯==称为n n ⨯复矩阵空间。
(2)设nn nCA C x ⨯∈∈,,称T n Hx x x x=≡),,(1 为x 的共轭转置，T H A A =称为A 共轭转置矩阵。
在许多应用中，对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足正定条件，齐次条件和三角不等式，下面给出向量范数的抽象定义。
nR x ∈(或nC x ∈)的某个实值非负函数x x N ≡)(，如果满足下述条件(1)正定性 00,0=⇒⇐=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α)(3)三角不等式 )(,,nn C R y x y x y x ∈∈∀+≤+或，称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。
设)(),,(1nn T n C x R x x x ∈∈=或(1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞∞=≡1max )((2)向量的“1”范数 ∑==≡ni i x xx N 111)((3)向量的“2”范数 2/1122/122)(),()(∑===≡ni i x x x xx N(4)向量的能量范数 设n n R A ⨯∈为对称正定阵2/1),()(x Ax xx N R x AA n =≡→∈∀称为向量的能量范数。
第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)讲解学习
第五专题矩阵的数值特征(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)一、行列式已知A p x q, B q x p,则|l p+AB| = |l q + BA|证明一：参照课本194 页，例4.3.证明二：利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质；从而l p+AB ，l q+BA 中不等于1 的特征值的数目相同，大小相同；其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积，因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积，所以二者相等。
二、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然而，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应用，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
nn定义：tr(A) a ii i ，etrA=exp(trA)i 1 i 1性质：1. tr( A B) tr(A) tr(B) ，线性性质；2. tr(A T ) tr(A) ；3. tr(AB) tr(BA) ；14. tr(P 1AP) tr(A) ；5. tr(x H Ax) tr(Axx H),x 为向量；nn6. tr(A) i ,tr(A k) i k;i 1 i 1从Schur 定理(或Jordan 标准形) 和(4)证明；7. A 0,则tr(A) 0 ,且等号成立的充要条件是A=0；8. A B(即A B 0),则tr(A) tr(B)，且等号成立的充要条件是A=B( A B i(A) i(B) )；9. 对于n阶方阵A，若存在正整数k,使得A k=0, 则tr(A)=0 (从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式对于两个m x n复矩阵A和B, tr(A H B)是m x n 维酉空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利用Cauchy-schwarz 不等式2[x,y] w [x,x]. [y,y]得定理：对任意两个m x n 复矩阵A 和B|tr(A H B)|2w tr(冲A) • tr(B H B)这里等号成立的充要条件是A=cB,c为一常数。
第五专题矩阵的数值特征（行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）
第五专题矩阵的数值特征（⾏列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根）第五专题矩阵的数值特征（⾏列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数）⼀、⾏列式已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明⼀：参照课本194页，例4.3.证明⼆：利⽤AB 和BA 有相同的⾮零特征值的性质；从⽽I p +AB ，I q +BA 中不等于1的特征值的数⽬相同，⼤⼩相同；其余特征值都等于1。
⾏列式是特征值的乘积，因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值（不等于1）的乘积，所以⼆者相等。
⼆、矩阵的迹矩阵的迹相对其它数值特征简单些，然⽽，它在许多领域，如数值计算，逼近论，以及统计估计等都有相当多的应⽤，许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。
下⾯讨论有关迹的⼀些性质和不等式。
定义：nnii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑，etrA=exp(trA)性质：1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+µ=λ+µ，线性性质；2. Ttr(A )tr(A)=；3. tr(AB)tr(BA)=；4.1tr(P AP)tr(A)-=； 5. H Htr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量；6. nnkki i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;9. 对于n 阶⽅阵A ，若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0（从Schur 定理或Jordan 标准形证明）。
若⼲基本不等式对于两个m ×n 复矩阵A 和B ，tr(A H B)是m ×n 维⾣空间上的内积，也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积，利⽤Cauchy-schwarz 不等式[x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]得定理：对任意两个m×n复矩阵A和B|tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)这⾥等号成⽴的充要条件是A=cB,c为⼀常数。
范数的三个条件
范数的三个条件1.引言1.1 概述概述部分的内容：范数是数学中一种度量向量的大小的方式。
它是向量空间中的一种函数，将向量映射为非负实数。
在实际应用中，范数经常被用来衡量向量的长度、大小或距离。
范数的概念在数学、物理、计算机科学等领域有着广泛的应用和重要的作用。
本文将介绍范数的三个条件。
在讨论这三个条件之前，我们将先对范数进行定义和讨论其基本性质。
然后，我们将详细讲解范数的三个条件，这些条件对于确定一个函数是否能称为范数至关重要。
最后，我们将总结范数的三个条件，并探讨应用范数的意义和价值。
通过学习本文，读者将能够对范数有更深入的理解，并能够应用范数解决实际问题。
无论是在数学研究中还是在工程应用中，范数都是一个十分重要的工具，对于理解和描述向量空间中的各种性质和关系具有重要意义。
接下来，我们将详细介绍范数的定义和基本性质。
1.2 文章结构论文结构的目的是使读者能够清晰地理解和掌握论文的主要内容和论证过程。
文章结构一般包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分是论文的开篇，用来引入论文的主题并说明研究的背景、意义和目的。
在本文中，引言部分的目的是介绍范数及其基本性质，并指出本文将重点讨论范数的三个条件。
正文部分是论文的核心内容，用来详细阐述和论证研究问题。
在本文中，正文部分将重点讨论范数的三个条件。
首先，将介绍范数的定义和基本性质，为读者建立起相关的基础知识。
然后，将详细分析并讨论范数的三个条件，分别从数学定义和性质的角度进行阐述和论证。
结论部分是论文的总结和回顾，用来归纳研究结果、总结讨论及提出展望。
在本文中，结论部分将对范数的三个条件进行总结，并强调范数在实践中的意义和价值。
同时，也可以对范数的应用领域进行展望，指出可能的研究方向和未来可探索的问题。
通过以上结构安排，读者可以从文章的标题、目录和各部分的内容中清晰地了解到本文的主要内容和论证结构，有助于读者理解和把握文章的逻辑性和连贯性。
1.3 目的本文的主要目的是探讨范数的三个条件。
数值分析期末考试题之经典例题
题型一:有效数字1,确定113的首位数字x 1,要使113的近似值x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.2，要使112的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答：4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故，2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010) 4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i -1 0 2 3 f(x i )-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008) 8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007） 9,已知f(x)的如下函数值表x i 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x i )1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0 sinx i0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x); (2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)； (3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]fx fx x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x -2 -1 0 1 2 y121用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答：法一：线性拟合的法方程组为：即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：（x)=1（x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：2,求21()1f x x=+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：x i 0 1 2 3 y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析：4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式：010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---====(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x)(2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答：21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i i g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差：5,以正交多项式为基，求函数21()1f x x=+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答：法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则：平方逼近误差：6,通过实验获得以下数据：u i 0 1 9 16 v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如011v c c u=+的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)011:c c u v=+解答转化题型四：代数精确度1,确定参数α，使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答：令显然成立令得又时：时：（故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3hhhf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010) 3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)231212113112211224112211335112211212000010001,23025031,53()1(,)0,()(,)x A A x dx A x A x x dx A x A x x dx A x A x x dx x A A g x xg g g x x xg g ααα----+==+==+==+===-=-======-=⎰⎰⎰⎰解答：法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x 得解上述方程组得：x 法二：构造二次正交多项式11110110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()53()0,511,33133()[()()]355xg g g g g g g g g x x g x g x x g x x x x x x A x dx A x dx x x x x x f x dx f f βαβρ---=====--=-==-=---=⋅==⋅=--≈-+⎰⎰⎰令得高斯点： x 故高斯型求积公式为：方法三：设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:3250()()(),(g x x ax b b x g x dx b a x xg x dx a g x x A A A x A x A x A x A x A x x x x x x x c x c x ϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x ,首项系数为1的二次正交多项式为则有：即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5x A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A c c A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x c c x x ϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hhf x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005)8,已知h>0，建立高斯型求积公式：21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分32x e dx -⎰，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点2,设定积分13x edx -⎰，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？（2009-2010）(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分2cos2xdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14x edx -⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分21Inxdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答：复化辛普森公式截断误差公式：则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2137故至少需要取个节点.7，用积分6213dx In x=⎰计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005） 8,对于定积分1()If x dx =⎰，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六：Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011) 212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答：A=2,求矩阵114103241⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010) 3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1234123410001013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答：由得：(y 由得：(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)432110205102051020*******101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答：增广矩阵回代求解：x 7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七：条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.（2010-2011）1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求cond ∞(A).（2009-2010） 3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)222max max max 111-122-12max max max 1222||||()()()3||||(())()=()=1()|||||||| 3.T T A A A A A A A A A A cond A A A λλλλλλ----========解答：（）则：4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005) 6,设1231032475A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006)5332ρ+解答：最大特征值：（A)=题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：雅可比迭代公式为：x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛2，设有方程组：132********2112212x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()002110211||0,=0=-=-12J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组：123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2),取(0)(0,0,0)T x =，用雅可比迭代法进行求解，要求(1)()5||||10k k xx +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答：(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)(0,0,0)T x=，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中t<0，问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故9,1),设线性方程组：121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；2),设线性方程组：123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组：1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k kx x -+-<时，求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 4134tan 5k k k k k k k Ak k k kkk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答：12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005)()01lim 10K k A→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答： 题型九：非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)6661556'5"4"*600066601050517017001701170[5]66()170,()60,()300170()()0,.1170170170(5)17061170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><-=+-=+-解答：转化为方程的正根.由牛顿迭代法得迭代公式：当时，故此时收敛到当0<时，设66'6666611*60170,(0,170)1850()(5)0,(0,170),()(170)0,6:1700,170,(0,170),.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=->>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时，x k+1=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于5；又c 为何值时收敛最快？(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<1110,=50;51.25k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<-<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又，则当(x )=0,即c=-时，收敛最快5,设2()(3)x x c x ϕ=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x k ϕ+==具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,123c =-计算()x ϕ的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)3,()(3)()|133|12|1,11,3,-0,,0.333(2),()0+0,636(3),k k k x x x x c x x x x c x x cx cx x c or c x x ϕϕϕϕ++==+-=±=+-<+<-<<=±<<<<==±±解答：(1),令x 收敛于则故要局部收敛，即|又得根据收敛阶定理，当时，迭代至少二阶收敛，即12cx 得c=故c=时，迭代收敛最快.迭代公式为：2012346*431(3)2321.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k k x x x x x x x x x x -=--=====-<=又因为|故6,方程x 3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2009-2010)3'3223132(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]11()|||0.33,(13) 5.5xx x x x x ϕϕϕϕϕ+===∈∈=≤<+解答：(x)=取的邻域[1.5,2.5]当时，又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x =-+=有一个两重根02x =,请以初值x 0=1.5,用m 重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求51||10k k x x -+-<.(2008-2009B)(P204例7.7）8,(1),已知方程240xex +-=在0.6附近有一根x ，迭代法214,0,1,2kx k x ek +=-=是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x 5. (3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答：故该迭代公式不是局部收敛的.构造：理由：取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式xk+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根，问当c 为何值时，迭代法收敛？又当c 为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答：当|即时，线性收敛当，即c=-时收敛最快.10,给定方程230x xe -=，[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）； (2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答：故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时，牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e+-=--迭代法：收敛，且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答：取的邻域[1.3,1.6]故当时，又故迭代公式：在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020x e x +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5； (3),用牛顿法求3234的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答：显然故该迭代公式不是局部收敛的构造：因为取[0,0.12]邻域考察故当时，又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式：在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式：进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时，迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由. 3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x 0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答：证明：故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式：'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1）21x x +-，x 很大；（2）311x +-，|x|很小.(2010-2011)223331(1):1111=.1+1x x x x x x x +-=+++-+解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：；2,为了提高计算精度，当正数x 很大时，计算1x x +-时应转化成什么形式.（2005-2006）3,给出计算积分1,(0,1,2,10)10nnx I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011) 1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：I 该算法不稳定，变形得：I 因为（取初值I （（4,设计一种求1x n nI e x dx =⎰（n 为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，初值的确定；当初值201221e I =⋅时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明：12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明：设函数对任意的建立差分表：g(n)(n+1)22n+3 2 g(n+1) (n+2)2 2n+5 2 g(n+2) (n+3)2 2n+7 g(n+3) (n+4)2 g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数，故g(n)是n 的三次多项式：3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式，则2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nbi ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明：截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组，函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥，证明：f(x)≡x.（2009-2010）00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明：故：4,证明：0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--，其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明：由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得： 5,证明：关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n n n n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明：令对在上进行拉格朗日插值，有因故故：6,证明求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差：3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中：（a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明：插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵，证明A -1仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明：过（（（的拉格朗日插值多项式为：L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故：。
范数理论(第二章)
4，构造新的范数：设A ，设 是Cm上的一种范数，对任意x Cn，规定 ，则 是Cn中的范数。
5，等价：设 是Cn上的两种范数，如果存在正数α、β使对任意x Cn都有 ≤ 则称范数 等价。
6，Cn上所有向量范数等价。
【易得常见范数的等价： ≤ ≤n ； 】
2，6种常见范数：
（1）m1范数： = ，（2）m∞范数： =nmaxi，j
（3）1范数： ，（4）∞范数：
（5）2范数： ，其中，λi为AHA的最大特征值。
（6）F范数： =
【*所有丨丨都是模长。例如：丨i丨=1。】
【m1范数和m∞范数同向量1范数和向量∞定义一致。】
其中，2范数、F范数的酉不变性：设A ，则对任意n阶酉矩阵U和V恒有 ；2范数的另一性质： = 。
3，矩阵范数与向量范数的相容性：设Cn×n上的矩阵范数 ，Cm上的向量范数 ，如果对任意A 和x 都有： ≤ 则称矩阵范数 与向量范数 相容。
4，设 是Cn×n上的某种矩阵范数，则在Cn上必存在与之相容的向量范数。
5，从属范数：已知Cn上的向量范数 对任意A ，规定 = （或写作： ），则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，且 .称之为由向量范数 导出的矩阵范数或从属于向量范数 的矩阵范数，简称导出范数或从属范数。即构造了一种范数使 .
【范数等价证明：任意范数 与无穷范数 等价：】
证明存在 ＞0，使得 对一切x Cn等价， ≥0，记s= ，s为一个有界封闭集， 在s上连续故 在s上存在最大值和最小值x‘和x’‘。令 =α， =β，设x≠0，故有 ， ， ，即 。
2
1，方阵的范数：若对于任意A ，都有一个实数 与之对应，且满足：（1）非负性（2）齐次性（3）三角不等式（4）相容性（A，B ，有 ≤ ）则称 为Cn×n上矩阵A的向量范数，简称矩阵范数。
范数的三个条件 -回复
范数的三个条件-回复
范数的三个条件主要是指向量空间中的一种度量方式，常用来描述向量的大小或长度。
范数定义了一个函数，将向量映射到实数值上，通常记作∥x ∥。
与范数相关的三个条件分别是：非负性、正定性和三角不等式。
首先，非负性是指对于向量中的每个元素，它的范数必须大于等于零，即∥x∥≥0。
范数的非负性符合我们对向量长度的直观认识，长度不可能为负数。
其次，正定性是指只有当该向量的所有元素都为零时，它的范数才能等于零，即只有在x=0时，∥x∥=0。
这意味着只有当向量中的所有元素都为零时，向量的长度才是零。
否则，只要向量中存在非零的元素，它的范数就不可能等于零。
最后，三角不等式是指对于任意两个向量x和y，它们的范数之和不会小于它们向量之间的范数差，即∥x+y∥≤∥x∥+ ∥y∥。
这个条件表示，两个向量的和的长度不会比它们的长度之和更长。
范数的三角不等式在很多实际问题中是非常重要的，它保证了我们可以将向量拆解成多个部分并计算它们的长度之和，而不会丢失信息。
范数的三个条件使之成为向量空间中一种有效的度量方式。
在实际应用中，范数不仅可以表示向量的大小和长度，还广泛应用于机器学习、数据挖掘、最优化问题等领域。
范数的非负性、正定性和三角不等式都是基于向量空间的代数结构和度量空间的性质而推导出的。
通过这些条件，范数在向量空间中成为了一个有序集，并且满足了一些重要的性质，如Cauchy-Schwarz不等式和三角形不等式等。
这些性质为范数的应用提供了强大的数学工具和理论基础。
矩阵的范数和条件数课件
02
条件数
定义与性质
定义
条件数是衡量矩阵数值稳定性的一个 重要指标，定义为矩阵A的谱范数与 Frobenius范数的比值，记为cond(A) 。
性质
条件数具有对称性，即cond(A) = cond(A^T)，且对于任意常数c，有 cond(cA) = |c| * cond(A)。
条件数的计算方法
考虑计算效率和精度
在选择范数和条件数时，需要权衡计算效率和精度。如果计算效率更重要，可以选择较小 的范数和条件数；如果精度更重要，可以选择较大的范数和条件数。
使用预处理技术改善计算的稳定性和精度
当矩阵的条件数较大时，可以考虑使用预处理技术来改善计算的稳定性和精度。例如，在 求解线性方程组时，可以使用不完全分解（Incomplete LU Factorization）或共轭梯度 法（Conjugate Gradient Method）等预处理技术来降低条件数的影响。
条件数对计算稳定性的影响
矩阵的条件数越大，计算过程中数值不稳定的程度越高，计 算结果可能偏离真实值。因此，在求解线性方程组时，如果 系数矩阵的条件数较大，则需要采取适当的预处理技术来改 善计算的稳定性。
如何选择合适的范数和条件数
根据问题需求选择合适的范数
在某些应用中，可能需要选择特定的范数来衡量矩阵的大小或稳定性。例如，在图像处理 中，可能需要使用Frobenius范数来衡量矩阵的大小。
THANKS
在数值分析中的应用
矩阵的范数可以用于求解线性方程组的迭代法和直接法中，以确定收敛性和误差控制。
条件数可以用于分析数值方法的稳定性和误差传播。
05
总结与展望
矩阵的范数和条件数的重要性和意义
矩阵的范数在数学、物理、工程等领域中有着广泛的应用，如线性方程组的解、控制系统稳定性分析 、图像处理等。
范数的计算公式范文
范数的计算公式范文范数（Norm）是衡量向量或矩阵大小的一种数值度量方式。
在数学和工程领域中，范数有着广泛的应用，例如在线性代数、函数分析、优化算法等领域。
本文将介绍范数的定义、常见的范数计算公式，并对范数的性质和应用进行讨论。
一、范数的定义在数学中，范数是定义在线性空间上的函数，通常满足以下几个性质：1.非负性：对于任意向量x，其范数的值始终大于等于0，即∥x∥≥0，并且当且仅当x等于零向量时，范数的值为0。
2.齐次性：对于任意标量α和向量x，范数的值满足∥αx∥=，α，∥x∥。
3.三角不等式：对于任意向量x和y，范数的值满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
常见的范数计算公式有L1范数、L2范数、无穷范数等。
二、L1范数L1范数，也称为曼哈顿范数（Manhattan norm），用于衡量向量元素的绝对值之和。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L1范数的计算公式为：∥x∥1=，x1，+，x2，+...+，xn三、L2范数L2范数，也称为欧几里德范数（Euclidean norm），用于衡量向量的长度。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，L2范数的计算公式为：∥x∥2=√(x1^2+x2^2+...+xn^2)四、无穷范数无穷范数，也称为最大范数（Maximum norm），用于衡量向量元素绝对值的最大值。
对于n维向量x=(x1,x2,...,xn)，无穷范数的计算公式为：∥x∥∞=max(，x1，,，x2，,...,，xn，)五、其他范数除了L1范数、L2范数和无穷范数外，还存在其他范数，如p范数和F范数等。
p范数是Lp范数的一般化，定义为：∥x∥p=(，x1，^p+，x2，^p+...+，xn，^p)^(1/p)F范数是针对矩阵的范数，也称为Frobenius范数。
对于m×n矩阵A，F范数的计算公式为：∥A∥F=√(∑(i=1 to m)∑(j=1 to n)，a_ij，^2)六、范数的性质范数具有一些重要的性质，如：1.三角不等式：对于任意向量x和y，范数满足∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。
np计算矩阵的条件树
np计算矩阵的条件树在线性代数中，矩阵的条件数（Condition Number）是一种度量矩阵的稳定性的指标。
它描述了矩阵在因变量发生微小变化时，解的变化程度。
条件数较大表示矩阵的稳定性较差，解的变化较大；条件数较小表示矩阵的稳定性较好，解的变化较小。
计算矩阵的条件数涉及到矩阵的范数（Norm）以及求逆矩阵（Inverse Matrix）。
常见的矩阵的范数有1-范数、2-范数和无穷范数等。
以2-范数为例，矩阵的条件数定义为矩阵范数与其逆矩阵范数的乘积。
设A为一个n×n的矩阵，A的2-范数定义如下：A，2 = max[ (xTAx)/(xTx) ]^1/2其中x是一个n维非零向量。
A的逆矩阵为A-1，A-1的2-范数定义如下：A-1，2 = max[ (yTA-1y)/(yTy) ]^1/2其中y是一个n维非零向量。
矩阵条件数的定义为：k(A)=，A，2×，A-1，2为了计算矩阵的条件数，首先需要计算矩阵A及其逆矩阵A-1的2-范数。
具体计算步骤如下：1.计算矩阵A的2-范数：选择一个非零向量x，计算(xTAx)/(xTx)，找到使值最大的x。
这个值的平方根就是矩阵A的2-范数。
2.计算矩阵A-1的2-范数：选择一个非零向量y，计算(yTA-1y)/(yTy)，找到使值最大的y。
这个值的平方根就是矩阵A-1的2-范数。
3.计算矩阵的条件数：将矩阵A的2-范数与逆矩阵A-1的2-范数相乘，即可得到矩阵的条件数。
根据矩阵的条件数可以判断矩阵的稳定性。
当条件数较大时，矩阵的相对误差会较大，解的变化幅度也较大，解的精确性较差，即矩阵的稳定性较差。
当条件数较小时，矩阵的相对误差较小，解的变化幅度也较小，解的精确性较高，即矩阵的稳定性较好。
值得注意的是，矩阵的条件数受到矩阵本身性质的影响，例如矩阵的奇异值分解结果。
当矩阵的奇异值较接近时，条件数会变得较大，矩阵的稳定性较差。
在实际应用中，计算矩阵的条件数可以为解决线性方程组、最小二乘问题等提供指导。
条件数cond -回复
条件数cond -回复什么是条件数？条件数（Condition Number）是用来在数值分析领域衡量矩阵的稳定性和可逆性的一个重要指标。
它在很多数值计算问题中都有着重要的应用，如线性方程组求解、最小二乘问题、特征值求解等。
条件数的大小能够告诉我们矩阵的特定问题是否易于求解，以及数值计算算法的稳定性。
在本文中，我们将深入探讨条件数的概念、计算方法以及其在数值计算中的应用。
一、条件数的定义和计算方法条件数是一个给定线性问题的输入条件和输出结果之间的敏感度度量。
简单来说，就是描述在输入条件发生微小扰动时，输出结果相对于输入条件的扰动的放大情况。
在线性问题中，条件数用于衡量矩阵的扰动对解的影响程度。
条件数的计算方法有多种，其中最常见的是矩阵的谱范数条件数和矩阵的奇异值条件数。
（一）矩阵的谱范数条件数示意公式为：\[cond(A) = A \cdot A^{-1} \]其中，\( A \)表示矩阵A的谱范数，定义为矩阵A的所有特征值的绝对值的最大值；\( A^{-1} \)表示矩阵A的逆矩阵的谱范数。
（二）矩阵的奇异值条件数示意公式为：\[cond(A) = \frac{\sigma_{\text{max}}}{\sigma_{\text{min}}}\]其中，\(\sigma_{\text{max}}\)表示矩阵A的最大奇异值，\(\sigma_{\text{min}}\)表示矩阵A的最小奇异值。
奇异值是矩阵A的特征值与奇异向量的乘积。
通过计算上述条件数的公式，我们可以得到矩阵的条件数。
条件数越大，矩阵的稳定性越差，数值计算问题的解也越不可靠。
因此，条件数的大小是衡量数值计算问题的一个关键指标。
二、条件数的意义和应用条件数对于数值计算问题具有重要意义。
首先，条件数能够告诉我们数值计算问题是否易于求解。
当条件数较大时，意味着输入条件的微小变动会导致输出结果的巨大扰动，因此问题很难稳定地求解。
相反，当条件数较小时，输入条件的微小变动对输出结果的影响较小，问题能够较为稳定地求解。
范数及其应用
范数及其应⽤范数的⼀般化定义：设p ≥1的实数，p-norm 定义为：||x ||p :=(n∑i =1x ip )1p||x ||0:=n∑i =0x 0i严格来讲，L0不属于范数，上⾯的公式让⼈难以理解。
在实际应⽤中，⼈们往往采⽤以下定义：||x ||0=#(i )with x i ≠0其表⽰向量中所有⾮零元素的个数。
||x ||1:=n∑i =1x i也称为曼哈顿距离。
L0范数是指向量中⾮0的元素的个数。
如果我们⽤L0范数来规则化⼀个参数矩阵W 的话，就是希望W 的⼤部分元素都是0。
换句话说，让参数W 是稀疏的。
看到了“稀疏”⼆字，⼤家都应该从当下风风⽕⽕的“压缩感知”和“稀疏编码”中醒悟过来，原来⽤的漫⼭遍野的“稀疏”就是通过这玩意来实现的。
但你⼜开始怀疑了，是这样吗？看到的papers 世界中，稀疏不是都通过L1范数来实现吗？脑海⾥是不是到处都是||W||1影⼦呀！L1范数和L0范数可以实现稀疏，L1因具有⽐L0更好的优化求解特性⽽被⼴泛应⽤。
范数中最常见，也最著名的⾮L2范数莫属。
||x ||2:=n∑i =1x 2i从学习理论的⾓度来说，L2范数可以防⽌过拟合，提升模型的泛化能⼒。
从优化或者数值计算的⾓度来说，L2范数有助于处理不好的情况下矩阵求逆很困难的问题。
L1和L2的差别，为什么⼀个让绝对值最⼩，⼀个让平⽅最⼩，会有那么⼤的差别呢？下降速度：L1就是按绝对值函数的“坡”下降的，⽽L2是按⼆次函数的“坡”下降。
模型空间的限制：对于L1和L2规则化的代价函数来说，我们写成⼀下形式：Lasso :minw||y−Xw ||2,s .t . ||w ||1≤CRidge :minw||y −Xw ||2,s .t . ||w ||2≤C考虑⼆维的情况，等⾼线与norm ball 相交的地⽅就是最优解。
L1-ball 的最优点⼤都出现在"⾓点"处，这便⼤概率产⽣了稀疏性；L2-ball 却不范数||L0范数√L1范数||L2范数√L2范数的优点可以，它只是⼀种规则化⼿段。
范数
向量的1－范数的最大值称为矩阵的行范数。
14
§6 误差分析
一个实际问题化为数学问题，初始数据往往会 有误差(观测误差和舍入误差)，即有扰动，从 而使计算结果产生误差。 向量的误差可用向量范数表示：设x 是x的近似 矩阵， x x 、x x / x 分别称为x 的关于
* * * * *
范数 的绝对误差与相对误差。
16
方程组的状态与条件数
x1 x2 2 x1 2 例：方程组 . x1 1.00001x2 2 x2 0 x1 x2 2 x1 1 而方程组 . x1 1.00001x2 2.00001 x2 1 比较这两个方程组可以看出，他们只是右端项有微小的差 1 别，最大相对误差为 105 , 但它们的解却大不相同，解分量 2 1 的相对误差至少为 。 2
x A1 A( x x ) A1 A ( x x ) x（ 1 A1 A ） A1 A x x
x A
1 1
如果 A充分小，使得 A1 A 1, 则由上式得
A A
A A
1
A
A
1 A
1 A A
1
A
A
上式表明，当系数矩阵有扰动时，解的扰动仍与 A A1 有关。一般地， A A1 越大，解的扰动也越大。
15
矩阵的误差可用矩阵算子范数表示：设A 是A的 近似矩阵，A A 、A A / A 分别称为A 的关
* * * *
*
于范数 的绝对误差与相对误差。 由于范数等价，用何种向量范数都是合理 的。关键是容易计算。 理论分析，谱范数是非常有效的。但在计算 上行范数和列范数更方便。 比较：向量1-范数--列范数， 向量-范数--行范数。
向量与矩阵范数矩阵条件数
定理：设 || ꞏ || 是 Rn 上的任一向量范数，其对应的算子范数 也记为 || ꞏ || ，则有
Ax A x
证明：直接由算子范数定义可得。
该性质就是矩阵范数与向量范数的相容性
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，若 ||B||<1 ，则 I±B 非奇异，
且
IB
1
1
1
B
向量与矩阵范数 矩阵条件数
1
向量内积，向量范数 常见向量范数：1、2、p、 范数的性质（连续性、等价性） Cauchy-Schwarz 不等式 向量序列的收敛性
3
常见向量范数
Rn 空间上常见的向量范数
1-范数： 2-范数： p-范数：
n
x 1 xi = |x1 | | x2 |
算子范数
常见的算子范数
① 1-范数（列范数） ② 2-范数（谱范数） ③ -范数（行范数）
矩阵范数性质
9
n
A
1
max
1 jn
i1
aij
A 2 ( AT A)
n
ABiblioteka max1 i n
j 1
aij
证明：③ ② 板书，① 为作业
11
(1) 连续性：设 f 是 Rnn 上的任一矩阵范数，则 f 关于 A 的
注：教材上的定义不太严谨 A max Ax
x 0 x
算子范数举例
证明：板书
10
例：设
A
1 3
解：板书
2 4 计算
A 1,
A 2,
A,
A F
12
算子范数性质
定理：设 || ꞏ || 是任一算子范数，则 ( A) A
范数及条件数
反之，若 A 0
x 1
Ax 0 Ax A 0.
2， A max Ax max Ax
x 1
max Ax A .
x 1
3,对任意两个n阶方阵A和B， A B max ( A B ) x max Ax Bx
x 1 x 1
矩阵的谱半径
定义：设A R 的特征值为
nnቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
( A) max i
1i n
i
(i 1, 2,
, n) 称
为A的谱半径。
定理： ( A) A ,
( Ax x
A 为 A 的任意矩阵范数
x , Ax A x
x A x A ( A) A )
|| x || max | xi |
1i n
不难验证，上述三种范数都满足定义的条件。 注：上述形式的统一：
|| x || p (i 1 | xi | p )1/ p
n
1 p
例 设x=(1, 0, -1, 2)T, 计算
x
解:
1
, x
, x
2
x
1
=1+0+|-1|+2=4
对称矩阵范数
证明：由AT A知
T 2 2 || A ||2 ( A A ) ( A ) | ( A ) | 2 max max max
所以有
|| A ||2 | max ( A) |
又因为A非奇异，则 ( A) 0,由 ( A1 ) -1 ( A)得
设系数矩阵有微小的扰 动 0.0001 0 A 0 0 1.0001 0.99 x1 1.99 0.99 0.98 x 1.97 2
条件数的定义
条件数的定义
条件数的定义是指在计算一个矩阵的逆矩阵时，矩阵本身与其微小扰
动后的矩阵所形成的两个矩阵之间的相对误差之比。
该定义反映了矩
阵求逆运算的数值稳定性，即矩阵微小变化引起逆矩阵结果的变化大小。
条件数越大，求逆的结果越不可信，说明矩阵的数值稳定性越差。
条件数的定义可以用公式表示，设矩阵A为n*n方阵，其条件数定义为：
cond(A) = ||A|| * ||A^-1||
其中||.||表示矩阵或向量的谱范数或二范数，即矩阵或向量的模长。
该
公式直观地说明了条件数的概念，即矩阵模长与逆矩阵模长的乘积。
通过条件数的定义，我们可以对矩阵求逆运算的结果进行数值稳定性
的评估。
当矩阵的条件数较小时，计算结果相对准确，算法具有较好
的数值稳定性；反之，当矩阵的条件数较大时，计算结果相对不可靠，算法的数值稳定性很差。
矩阵条件数的大小与矩阵的奇异值有关。
当矩阵的奇异值分布不均衡时，矩阵的条件数会增大，数值稳定性会降低。
因此，在实际应用中，
我们需要通过一些技巧来降低矩阵的条件数，如奇异值截断、控制舍入误差等。
总之，条件数是矩阵求逆运算数值稳定性的重要概念，可以有效评估算法的精度和可靠性。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择适当的求逆算法和调整参数，以保证计算结果的准确性和可靠性。
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矩阵范数 性质5 误差很小 情况下。
矩阵范数的性质
上页证明中用到了如下性质： 1 1 性质： I B 1 || B || 证明： I ( I B)( I B) 1 ( I B) 1 B( I B) 1
( I B) 1 I B( I B) 1 || ( I B) 1 || 1 || B || || ( I B) 1 || || ( I B) 1 || (1 || B ||) 1 1 1 I B 1 || B ||
14
矩阵范数与谱半径的关系
定义：矩阵A的谱半径记为 (A) = max | i | ，其中i 为 1 i n A 的特征根。 性质3：对于任意算子范数有： ( A) || A || 证明： 由算子范数相容性可得： || Ax || || A || || x ||
将任意特征值对应的特征向量u带入得： | | || u || || u || || Au || || A || || u || A 由于为任意特征值，则 ( A) max | i | || A ||
1i n
15
矩阵范数与谱半径的关系
性质4：若A对称矩阵，则有：|| A ||2 ( A) 证明：若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。 若 ( A) | 0 | （最大特征根），则02 必是 A2 的 最大特征根。
|| A ||2 max ( A2 ) 02 0 ( A)
给定向量序列 {x 0 ,x1 ,...,x k ,...}, lim x k x
k
ξ-δ语言描述：
0, K , 使得∀ k > K时，满足： x k x
8
向量范数的等价性定理
c1 x
x 2 c2 x
向量范数的等价性定理：
设 x s 和 x t 是R n上的任意两种向量范数，则存在常数c1 , c2 0，使得： c1 x s x t c2 x
正定性 齐次性 三角不等性
3
向量范数
• 例：判断下面那些是向量范数，那些不是，不满足那些性质。
x1
x
i 1
n
i
x
2
n 2 x i i 1
1/ p
1/ 2
x
max xi
i
lp范数： x
x
p
n p x i i 1
最常用的范数
0
i 1
– 病态问题 – 分析迭代算法的收敛性
1.
2. 3. 4.
A 0
A 0 A0 aA a A A B A B
正定性 齐次性 三角不等性
• 矩阵范数：
– Frobenius 范数：
|| A ||F
| a
i 1 j 1
n
n
ij
|2
— 向量|| · ||2的直接推广
• 任意矩阵范数等价
22
线性方程组的病态问题
问题三，A，b都存在扰动： – 给定方程组Ax=b，其解为x*， – 另给定包含误差方程组（A+E）x=b+e，其解为x’，分析误差。
|| x || || x ||
e E e E 1 ( ) || A |||| A || ( ) A || b || || A || || b || || A || 1 1 || A |||| A || || A ||
|| A1 |||| A ||
A1 A 为该方程对应于该（相容）矩阵范数的条件数
23
条件数的性质
条件数与所取的矩阵范数有关。 常用的条件数有： （1 ） cond ( A，) A
A 1
T ( A A) 1 max （2） cond ( A， 2) A 2 A 2 min ( AT A) 1. 对任何非奇异矩阵A, cond ( A) 1
16
范数概念结构
n
多元单值函数
mn
底层概念继 承了顶层概 念的性质。
范数
性质 1~4
矩阵范数
不 相 容 矩 阵 范 数
相容矩阵பைடு நூலகம்数
AB A B
向量范数
算子范数
Frobenius 范数
1
， 2 ，...,
1
， 2 ，...,
|| A ||F
| a
i 1 j 1
n
n
ij
|2
AB A B
则矩阵范数‖‖为相容矩阵范数。
13
矩阵范数的性质
性质1：算子范数与其对应的向量范数相容，即：
Ax 1,2, A 1,2, x 1,2,
A max Ax Ax A x x
性质2：算子范数是相容范数：
AB A B
ABx Bx AB max A max A B x x
17
常用范数。
病态问题
• “良态”问题和“病态”问题
若原始数据有很小的变化δx，对应的输出变化δy也很小，则称该数
学问题是良态问题； 若δy很大，则称为病态问题
病态问题中，结果对于数据的变化率都很大（很敏感），因此数据
微小变化必将导致参数模型精确解的很大变化 数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数 值方法求解之前就存在，与数值方法无关。
2. 对非奇异矩阵A和常数c 0, 有cond (cA) cond ( A) 3. 对正交矩阵A ，2 -范数对应的条件数cond ( A， 2) 1
当条件数很大时,方程组 Ax = b是病态问题； 当条件数较小时,方程组 Ax = b是良态问题。
24
条件数的性质
注意：条件数是矩阵的特征，与算法无关。
第三章 线性方程组求解的数值方法
第二节 范数与条件数
1
为了研究线性方程组近似解的误差 估计和迭代法的收敛性，引进向量 （矩阵）的范数的概念。
2
向量范数（Vector norm）
• 公理化定义：向量范数：满足如下性质的函数：
f (x) :
n
1.
2. 3. 4.
x 0
x 0x0 ax a x xy x y
列 和 所以，行和范数 A 为24，列和范数 A 1 为16 A 2 max ( AT A) 16.7197
12
矩阵范数的性质
• 相容性：设‖‖a是向量范数， ‖‖m是矩阵范数
Ax a A m x
a
则矩阵范数‖‖m为与向量范数‖‖a 相容的矩阵范数。
• 矩阵范数相容性：设‖‖矩阵范数，满足：
( A E) x Ex x ( A E)1 Ex (I A1E)1 A1Ex
|| x || || A1 |||| E || 1 1 1 (I A E) A E || x || 1 || A1E || E E || A || || A1 |||| A || E || A || 1 || A1 |||| A || || A || || A1 |||| A ||
i 1
) max | aij |
1i n
n
j 1
行和范数
|| A ||2 max(
x 0
2
) max ( AT A)
谱范数
11
矩阵的算子范数
• 例：已知矩阵A，求算子1范数和算子∞范数。
1 A 6 7 14 2 3 6 行 5 4 15 和 8 9 24 15 16
s
推论：向量序列在某范数下收敛，则在任意范数下收敛。
推论证明： xn 在
s
收敛 :
s
lim xn x
n
0 lim c1 xn x lim c2 xn x 0
n s n s
由向量范数等价定理，可得： c1 xn x xn x c2 xn x
p
x1 x2
p
p
1
x1 x2
p
p
1
x1 sin 2 / p (t ), x2 cos 2 / p (t )
6
向量范数应用
•
应用：判断向量的大小
x1 x2 ×
向量不能比大小
x1 x2
√
向量通过定义范数 比大小
7
向量范数应用
• 最重要的用途之一：分析向量收敛性，定义向量的极限：
s t s
夹逼定理： 已知 g k f k hk，如果 lim g k lim hk A, 则lim f k A
k k k
所以： lim xn x =0
9
n t
收敛到同一值。
矩阵范数（Matrix norm）
• 满足性质1~4的
mn
的函数
• 矩阵范数应用：
条件数与所选择的范数有关，不同范数计算的条件数不同。 1、一个问题的病态性与算法有关。× 2、无论问题好坏，好的算法都可得到其近似解。 ×
3、提高计算精度，可改变系统病态性。 ×
4、假设A的条件数为1，下面那些矩阵条件数也是1？ （1）cA （2）QA,Q为正交矩阵
（3）DA，D为对角矩阵
（5）BA，B为非奇异矩阵
（4）A的逆矩阵
（6）A的转置矩阵
注：A与A的转置具有相同的特征值。
25
Hilbert 矩阵
典型的病态矩阵-Hilbert 矩阵：
1 1 Hn 2 1 n 1 n 1 ... n 1 1 1 1 ... n 1 n 2 2n 1 1 2 1 3 1 3 1 4 ...