材料力学第五版扭转切应力.ppt

d
dx
(c)
得: T G d 2dA
dx A
令:
IP
2dA
A
得: d T
dx GIP
极惯性矩
T
dA

O
四、圆轴扭转切应力计算公式


G
d
dx
(c)
Me
d T
dx GIP
由上述两个方程最终解得
圆轴扭转时横截面上的 切应力计算公式为:
T

D4 d 4 32
D
I p

πD4
1 α4 32
d
O
式中: d
D
D
圆轴扭转最大切应力
max

|R

TR IP
令:
Wp

IP R
抗扭截面系数
圆轴扭转最大切应力为:
max

T Wp
实心圆轴的抗扭截面系数为:
D3 Wp 16
空心圆轴的抗扭截面系数为:
Wp
mC 14 kNm
要求：计算轴的强度
mA 22 kNm
A
mB 36 kNm d 2
mC 14 kNm
mA
T (kN m)
解：作轴的扭矩图
对AB段和BC段的 强度要分别计算
B
mB
22
C
d1 mC
14
AB段：
TAB 22 kNm
A
d2
mA
T (kN m)
Wp
得：
pq
da
Me
cb
pq
pq
d’ a’
Me
c’
b’
pq
切应力互等定理
切应力互等定理


d
a
d
a
c
b
c
b
在相互垂直的两个截面上，切应力 必然成对出现，且大小相等，方向为共 同指向或共同背离两个截面的交线。
二、剪切胡克定律
d
a
Me
c
b
d’
γ
a’
pq
da
Me
cb
pq wk.baidu.comq
BC
d32 16

1003 109 16
B
mB
22
C
d1 mC
14
196.3106 m3
(max )BC
TB C Wp BC

14 103 196.3 10 6
71.3MPa

轴的强度符合要求
例题
已知：P＝7.5kW,n = 100r/min,许用切应力＝
§3-3 薄壁圆筒的扭转,纯剪切
一、薄壁圆筒的扭转应力
变形观察：
Me
圆周线不变（大小、 间距都不变）
纵向线倾斜， 倾斜角相同
表面矩形变成 平行四边形
Me
pq
d
a
Me
c
b
pq
pq
d’
a’
Me
c’
b’
pq
横截面上扭转应力分布 规律的分析：
1、横截面上仅有切应力 M e
没有正应力，切应力方 向与圆周线相切。
Mx 0
T A (dA)r

dA
T
d
T 2 rdr 0

r

得到：



T
2r 2

T
2 A0

圆筒壁厚
A0
圆筒平均直径所围圆周的面积
二、切应力互等定理
考虑圆筒中的微元体abcd
Me
dx


d
a dy
c
b
Me
Mz 0
(dy )dx ( dx )dy
40MPa,空心圆轴的内外径之比 = 0.8。
IP
dA

O
圆轴的极惯性矩 I P
IP
2dA
A
代入: dA d d
IP
3dd
A

2
d
R 3d
0
0
R4 D4


2
32
dA

O
实心圆轴的极惯性矩 I P
D 4
I P 32
O
空心圆轴的极惯性矩 I P
IP

D3 1 4 16
五、圆轴扭转时的强度条件
圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
max
Tmax Wp


例题
A
d2 mA
B
mB
C
d1 mC
已知：阶梯轴尺寸如图
mA 22 kNm, mB 36 kNm, d1 120 mm, d2 100mm
80 MPa
AB

d32 16

1203 109 16
B
mB
22
C
d1 mC
14
339.3106m3
(max )AB

TAB
WP AB

22 103 339.3 10 6
64.8MPa
BC段：
TBC 14 kNm
A
d2
mA
T (kN m)
Wp

E
拉压弹性模量

泊松比
G
剪切弹性模量
三个弹性常量之间有如下关系:
G

E
21

对于钢材:
G

200
21 0.25

80GPa
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察：
pq
圆周线不变（大小、
间距都不变）
Me
纵向线倾斜， 倾斜角相同
d
a
Me
c
b
pq
表面矩形变成 平行四边形
(b)
由剪切胡克定律
G
圆轴内部到圆心的距离为ρ 的任意一点的切应力为:
圆轴内部任意一点的切应力
与该点到圆心的距离ρ成正比


G
d
dx
(c)
0
0
R

max
GR d
dx
三、静力关系
Me
T A ( dA)
代入:

G
c’
Me
d’ a’
c’
b’
Me
b’
pq
切应变 γ :直角的改变量
φ 圆筒两端面的相对扭转角
r
l
对于线弹性材料,
或者对于
p 时,有
剪切胡克定律
G
G – 材料的剪切弹性模量 钢材的 G = 80GPa
pq
d’ a’
c’
b’
φ
pq
d’
γ
τ
a’
c’
τ
b’
到目前为止,已经学到三个材料的弹性常量: E, , G
ad dx
dx
R d (a)
dx
pq
d’
a’
c’
b’
Me
φ
pq
p
q
R
d
a
ρ
c
a b
b
p
q
现研究圆轴内部的切应变
圆轴内部的切应变
R
d
ae
ρ
e
c
a e’ b
e’
b



d
dx
(b)
圆轴内部任意一点的切应变
与该点到圆心的距离ρ成正比
二、物理关系
Me



d
dx
pq
薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。
Me
d’
a’
c’
b’
Me
圆轴无此结论
必须对内部变形作进一步分析
pq
2、平面假设
变形前的横截面，变形后仍为平面，且 形状、大小不变，原先的半径仍为半径。
φ 圆轴两端面的
相对扭转角
Me
qq平面相对于pp的相对扭转角
为： d
圆轴表面的切应变γ 为：
aa Rd R d
pq
d’
a’
Me
c’
b’
pq
因为各圆周线大小、形状、间距都不变
2、沿同一圆周线上的切应力
大小相等
Me
因为各纵向线倾斜角相同
T
3、沿壁厚方向切应力 大小相等
因为薄壁圆筒
Me T

T

薄壁圆筒的扭转时

横截面上扭转应 力分布规律为：

在整个横截面均匀分布，方向 沿圆周线的切线，与T的转向相同。
扭转应力的大小：