流体力学-第二章 流体静力学

流体静力学
是研究流体平衡(静止)的力学规律，即研究流体静止时的压强、质 量力等的分布规律，解决工程技术中存在的流体与固体壁面之间的作用 力问题。
流体平衡（静止）包括两种情况：
1）流体对地球（惯性坐标系）无相对运动，称为重力场中的流体平衡 2）流体对运动容器（非惯性坐标系）无相对运动，称为流体的相对平衡
f x 2r cos 2 x f y 2r sin 2 y
fz g
代入压强差公式： dp f x dx f y dy f z dz
dp 2xdx 2 ydy gdz 积分之
p
2x2 2
2 y2
2
gz
C
2r 2
2
gz C
§5 流体的相对平衡（5）
p
2x 2
2x2 2 y2 gz C
2
2
2r2 gz C
2
2r 2
2
gzs
0
zs
2r 2
2g
p
p0
g
2r 2
2
z
p p0 gzs z p0 gh
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 静止流场中的质量力条件 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
3) 流体平衡微分方程在推导时对质量力和流体密度没有限制，故该组方程适用 于不可压缩和可压缩流体的静止和相对静止状态，也适用于粘性流体和无粘 性流体，它是流体静力学最基本的方程组。
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 重力场中静止流体内的压强分布 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
将单位质量力的分力 f x a f y 0 fz g
代入上式，得：
adx gdz 0 积分之，得： ax gz C
等压面倾斜角： arct a
g
等压面与质量力的合力是相互垂直的
根据边界条件： x 0, z 0 C 0
得自由液面方程： ax gzs 0
zs
a g
x
代入静压强分布公式 p p0 ax gz
点2处： pe2 pe1 3 gh1
点3处： pe3 pe2 2 gh2
点4处： pe4 pe3 3gh3
peB pe4 pe3 3 gh3
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 静止流场中的质量力条件 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
pV m RT M
p RT / M
M是摩尔数
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 重力场中静止流体内的压强分布 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
§4 压强的度量单位和表示方式
§2 流体平衡微分方程式
二、流体平衡微分方程式的意义：
1) 静止的流体中，当微元六面体以 a 点为极限时，作用在该点单位质量流体 上的质量力与静压强的合力相平衡。
2) 平衡流体受哪个方向的质量分力，则流体静压强沿该方向必然发生变化；反 之，如果哪个方向没有质量分力，则流体静压强在该方向上必然保持不变。
强（真空度）表示： pv pa p
p22水银气压计测量大气压
§4 压强的度量单位和表示方式
二、液柱式测压计
1）测压管 （单管式测压计）
表压强测量（左图）： pm gh
优点：简单、准确 缺点：（1）只能测液体，不能测气体；
（2）PA>Pa； （3）PA要相对较小。
真空度测量（右图）： pv gh
作用下的压强分布规律是相同的。
p2 p1 gh
2）在水平方向上的压强分布 沿加速度方向两点间的压强关系为，后面点的压强等于前面点的压强加上两点
之间惯性力，即水平方向长度上单位截面的流体柱之质量力。
p2 p3 al
§5 流体的相对平衡（3）
2）等压面方程
等压面方程
fxdx f ydy fzdz 0
2
2 y2
2
gz C
2r 2
2
gz C
根据边界条件： r 0, z z0 p pa 得 C pa gz0
p
pa
g
2r 2
2
z
z0
上式为等角速旋转容器液体的静压强分布公式。在同一高度上，液体的 静压强与流体质点所在半径的平方成正比。
§5 流体的相对平衡（6）
对压强分布式进行讨论：
假设一正六面体微元体，其中心的压强为p，将微 元体表面上的压强（x方向）对中心作泰勒级数展开， 并求其合力， 则，x方向微元体所受压力的合力为：
p p x yz p p x yz
x 2
x 2
p xyz
x
同理，y,z方向的合力分别为：
图中dx应为 x δx
p xyz
y
p xyz
1）在铅锤方向上的压强分布规律
p
2r 2
2
gz C
r为常数时，铅锤方向上压强分布为：
p gz C
铅锤方向上，任意相距两点的 压强关系为：
p2 p1 gh
§5 流体的相对平衡（6）
2）水平方向上的压强分布规律 z为常数时，水平方向上压强分布为：
p r 2 2 C
2
水平方向上两点的压强关系
一）压强的计量
压强由于计量基准不同而区分为:
绝对压强和计示压强
绝对压强1
1）绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
p pa gh
2）计示压强：以当地大气压强为基准计量的压强
(表压强) pm p pa gh
真空压强
计示压强1（＋） 大气压强
计示压强2（－） 绝对压强2 绝对真空
绝对压强总是正的，而计示压强则可正，可负。这取决于流体中某点处的 绝对压强是大于还是小于当地大气压强。当计示压强为负时往往用真空压
同济大学 Tongji University
汽车学院
流体力学
第二章 流体静力学
上海地面交通工具风洞中心 Shanghai Automotive Wind Tunnel Center
第二章 流体静力学
第二章流体静力学作业： 2-1，2-2，2-3， 2-5，2-7，2-12， 2-19，2-20，2-21 第六周交第二章作业
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 流体平衡微分方程式 §3 重力场中静止流体内的压强分布 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
§2 流体平衡微分方程式
一、欧拉平衡微分方程式
流体力学的一个重要任务就是确定压强在静止流体 中从一点到另一点的变化规律。
§6 静止流体作用于平面壁上的合力（1）
一、作用在水平平面上的液体总压力
p pa gh
Fp prA ghA
仅由液体产生的作用在水平平面上的总压力只与液体的密度、平面面积
和液深有关。即在相同液体、液深和相同的自由液面上的大气压强下，
液体作用在底面积相同的水平平面上的总压力必然相等，而与容器的形
目录
绪论 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
流体及其主要物理性质 流体静力学 流体运动学基础
流体在外力作用下静止 或相对静止时的状态及 其力学特性
流体动力学基础
相似原理和量纲分析
理想流体的无旋流动和有旋流动
粘性流体力学
定常一元可压缩气流
实验流体力学
第二章 流体静力学
§5 流体的相对平衡（1）
一、等加速水平运动容器中液体的相对平衡
1）流体静压强分布规律
a、分析液体在非惯性坐标系中相对平衡时所受的力
b、作用在液体某质点上的质量力有重力和与加速度方向相反的惯性力。
fx a
fy 0 fz g
代入（两相邻点的压强差）
dp f xdx f y dy f z dz
第二章 流体静力学
流体的粘性在流体处于静止或相对静止时无从显示，即作用在流体上
的切向应力等于零.
流体静力学一切原理即适用于理想流体也适用于实际流体，
是流体力学中独立完整而又严密符合实际的一部分内容。分析与实验结 果是完全一致，这里的理论不需要实验修正。
第二章 流体静力学
§1 流体静压强及其特性 §2 静止流体平衡微分方程式 §3 重力场中静止流体内的压强分布 §4 压强的度量单位和表示方式 §5 流体的相对平衡 §6 静止流体作用于平面壁上的合力 §7 静止流体作用于曲面壁上的合力
例：P20 巴斯葛原理
§3 重力场中静止流体内的压强分布
二、可压缩流体
对于可压缩流体，密度是变化的。如对于高度变化范
围较大的气体
dp g
dz
dp gp dz RT
（课本）气体状态方程
p RT
利用分离变量方法，并进行积分：
标准的气体状态方程：
p2
p1
exp
gz2
RT0
z1
假设温度保持常数
§4 压强的度量单位和表示方式
2）U形管测压计 可以克服单管式测压计的缺点。 压强的计算方法遵循两条准则：p23
表压强测量（左图）：
p(m) 2 gh2 1gh1
真空度测量（右图）：
pv p pa 2 gh2 1gh1
§4 压强的度量单位和表示方式
3）差压计
等压面
p1 p2
p1 pA 1gh1
z
§2 流体平衡微分方程式
i
p x
xyz
j
p y
xyz
k
p z
xyz
i
p x
j
p y
k
p z
xyz
gradp
p
i
p x
j
p y
k
p z
i
x
j
y
k
z
p
gxyz pxyz axyz 0
g a 1 p 0
上式为相对静止流体中，单位质量流体所受的质量力(包括重力和惯性力） 与表面力相平衡的流体静力学微分方程
得： dp adx gdz
积分上式，得： p ax gz C
边界条件：x 0, z z0 时 p pa
得： C pa gz0
p pa ax gz z0
§5 流体的相对平衡（2）
p ax gz C
对压强分布式进行讨论：
1）在铅锤方向上的压强分布 铅锤方向上任意两点间的压强关系与只有在重力
p1
z1
z
p2 p1 gz2 z1
h
z2
p2 P1
p1 p2 gh
z1
若z2与自由面等高度，有：
y
p pa gh
上式是在重力作用下自由表面的均质不可压缩静止流体中的压强计算公式。
上式表明，静止流体中任一点的静压强有两部分组成：
h 1）自由表面上的压强 pa 2）深度为 、密度为 的流体产生的压强
得： p p0 gzs z p0 gh
§5 流体的相对平衡（4）
二、等加速旋转容器中液体的相对平衡
1）流体静压强分布规律 a、分析液体在非惯性坐标系中相对平衡时所
受的力
b、作用在液体某质点上的质量力有重力和与 向心加速度方向相反的离心惯性力
§5 流体的相对平衡（4）
作用在单位质量液体上的质量力：
p2 pB 1gh2 2 gh pA 1gh1 pB 1gh2 2 gh
p pA pB 2gh 1gh2 1gh1
2 1gh
被测流体为气体时 p pA pB 2 gh
§4 压强的度量单位和表示方式（5）
例题：
求容器B 中气体的计示压强
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点1处：
pe1 pr 1g(h h1)
p
2r 2
2
gz C
p3 p2 2rd
r r2 r3 2
d r3 r2
§5 流体的相对平衡（7）
2）等压面方程
将单位质量力的分力 f x 2r cos 2 x f y 2r sin 2 y
fz g 代入等压面方程 fxdx f ydy fzdz 0
2xdx 2 ydy gdz 0
§1 流体静压强及其特性
流体静压强的两个重要特性：
1） 流体静压强的方向沿作用面的内法线 方向。流体处于静止或相对静止状态 时，不存在剪切力的作用（无切向应 力），也不存在拉力作用（无拉伸应 力），唯一的作用便是沿作用面内法 线方向的静压强作用。
2）静止流体中任一点流体静压强的大小与其作用面在空间的方位无关，只 是该点坐标的函数。即静止流体中任一点上不论来自何方的静压强均相 等，所以在静止流体中流体静压强是空间坐标的连续函数。
§3 重力场中静止流体内的压强分布
对于只有重力的重力场，静止流体的质点加速度为0，
a＝0，z坐标垂直向上，则：
g a 1 p 0
gk 1 p 0
p 0 x
p 0 y
p g
z
dp g
dz
§3 重力场中静止流体内的压强分布
一、不可压缩流体
自由面压强＝pa
dp g
dz
p2 dp g z2 dz