第九章微分方程模型有解答
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
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例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
微分方程(模型)
dx 2 或 x 0.03 dt 100 t 这是一阶线性非齐次方程，且有初值条件 x(0) 10,；利用8.3节的公式（5），可得此 C 方程的通解：x (t ) 0.01(100 t ) (100 t ) 2 有初值条件可得C 9 10 4，所以容器内含盐 量x随时间t的变化规律为 9 10 4 x 0.01(100 t ) 2 (100 t )
微分方程模型
重庆邮电大学
数理学院
引言
微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间（空 间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它 的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立 对象的动态模型。
在研究某些实际问题时，经常无法直接得 到各变量之间的联系，问题的特性往往会给出关 于变化率的一些关系。利用这些关系，我们可以 建立相应的微分方程模型。在自然界以及工程技 术领域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至 可以渗透到人口问题以及商业预测等领域中去， 其影响是广泛的。
四. 悬链线方程问题
将一均匀柔软的绳索两端固定，使之仅受重力的作 用而下垂，求该绳索在平衡状态下的曲线方程（铁塔 之间悬挂的高压电缆的形状就是这样的曲线）。 解 以绳索所在的平面为xoy 平面，设绳索最低点 为y轴上的P点，如图8－1所示。考察绳索上从点p到 l 另一点Q(x,y)的一段弧 PQ ，该段弧长为 ，绳索线密 度为 l ,则这段绳索所受重力为gl 。由于绳索是软 的，
y x 2 2.
微分方程的几个应用实例
许多实际问题的解决归结为寻找变量间的函数关 系。但在很多情况下，函数关系不能直接找到，而只 能间接的得到这些量及其导数之间的关系，从而使得 微分方程在众多领域都有非常重要的应用。本节只举 几个实例来说明微分方程的应用。进一步的介绍见第 十章。 一. 嫌疑犯问题
微分方程模型——数学建模真题解析 ppt课件
微分方程的稳定性理论： 对微分方程组
dx f ( x) dt
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
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7
如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
f1
x1
Df Dx
D( f1, f2 ,L D(x1, x2 ,L
, fn) , xn )
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请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮 酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾 车就会违反上述标准，在以下情况下回答： 酒是在很短时间内喝的； 酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？ 5. 根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文， 给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。
第二种：机理分析方法： 实际上，对这一类问题，有成熟的机理分析方法： 房室模型。
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我们可以把喝酒后酒精的变化过程描述为 喝酒酒精进入肠胃消化后进入血液排出。 这里，血液循环系统可以看作中心室，肠胃可以看 作吸收室。M1克酒精在很短时间进入吸收室，从吸 收室逐渐进入中心室，最后逐渐排出。
如果遇到我们不熟悉的问题时，应该怎么办？ 答案：不要回避，到网上查一下相关的概念你就会 发现：这个不熟悉的问题可能是比较简单的!
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11
分析：上网查一下热传导，我们可以了解到：热的 传导从温度高的地方向温度低的地方传导，单位时 间传送的热量与温差T成正比，与两个热源的距 离成反比。即
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
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1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
第九章 偏微分方程差分方法
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
常微分方程的数值解法
主要内容
§1、引言 §2、初值问题的数值解法--单步法 §3、龙格-库塔方法 §4、收敛性与稳定性 §5、初值问题的数值解法―多步法 §6、方程组和刚性方程 §7、习题和总结
§1、 引 言 主要内容 ➢研究的问题 ➢数值解法的意义
1.什么是微分方程 ? 现实世界中大多数事物
使得对任意的x [a,b]及y1, y2都成立
则称 f (x,y) 对y 满足李普希兹条件，L 称为 Lipschitz常数.
就可保证方程解的存在唯一性
若 f (x,y) 在区域 G连续，关于y
满足李普希兹 条件
一阶常微分方程的初值问题的解存在且唯一. 我们以下的讨论，都在满足上述条件下进行.
一阶常微分方程组常表述为：
y(x0
)
y0
(1.2)
种 数 值 解
法
其中f (x,y)是已知函数，(1.2)是定解条件也称为 初值条件。
常微分方程的理论指出：
当 f (x,y) 定义在区域 G=(a≤x≤b,｜y｜＜∞)
若存在正的常数 L 使：
(Lipschitz)条件
| f (x, y1) f (x, y2) | L | y1 y2 | (1.3)
节点 xi a ihi,一般取hi h( (b a) / n)即等距
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点
a x0 x1 xn b
处的近似值 yi y(xi )
y f (x, y)
y
(
x0
)
y0
a xb
(1.1) (1.2)
对微分方程(1.1)两端从 xn到xn1 进行积分
内部联系非常复杂
其状态随着 时间、地点、条件 的不同而不同
微分方程模型
解
1、翻译或转化：
2、配备物理单位：
3、建立表达式： 4、确定条件：
1、‚每天‛：体重的变化＝输入一输出 其中输入指扣除了基本新陈代谢之后的净重量 吸收；输出是进行健身训练时的消耗．
2、上述陈述更好的表示结构式： 取天为计时单位，记W(t)为t天时体重(kg)，则： 每天的净吸收量＝2500 – 1200 ＝1300（cal) 每天的净输出量＝16(cal)×W＝16W(cal) 转换成脂肪量＝1300 – 16W（cal）
有一艘走私船正以匀速度a沿直线向北行驶，缉
私舰立即以最大的速度b追赶，若用雷达进行跟
踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，试 求缉私舰追逐路线和追上的时间。
图2 走私船与缉私舰的位置关系
走私船
R(0,at)
缉私艇 D(x,y)
O
(c,0)
x
几何关系
dy y at tg dx x dy 即 x y at dx
模型的解：
k k dy 1 x c p dx 2 c x
y (c ) 0
解的进一步讨论
（1）若a<b，从而k<1，由积分式得
c 1 x y 2 1 k c
y 当x=0时，
W (t ) 81.25 C3e
C3 23.9968
则
0.0016t
初始条件为： W (4) 57.40625，代入解出
W (t ) 81.25 23.9968e
0.0016t
最后得到不同阶段的微分方程是：
81.25 24.0974e , 0t 3 0.0016t W (t ) 143.75 86.8981e , 3t 4 81.25 23.9968e0.0016t , t 4
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
微分方程模型(全)
例5 作战模型
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
例4 黄灯时间
对于这个刹车距离问题，显然与“速度” 有关，速度要从 v0 变到 0，从而用到导数.
涉及的量为： “距离”（米），“时间”（秒）， “速度”， “加速度”，摩擦力等；
有（待定）函数关系的两个量定为： 距离 x， 时间 t；
涉及的原则或物理定律： 力学定律 F=ma.
例4 黄灯时间
设汽车重量为 W，摩擦系数为 f. 根据定义， 对汽车的制动力为 fW，其方向与汽车行进方 向相反（见图4-2）.
y ce .
kt
(2)
y( 24) 400.
初始值:
y(0) 100,
代入（2）求得: 因此:
c 100, k (ln 4) / 24.
t ln 4 / 24
y 100e
.
我们要求的是:
y(12) 100e
(12 / 24) ln 4
200(个细菌).
#
例3 溶液浓度
例3 溶液浓度
所以确定浓度的“变化率”与“酸性浓度”， “清水的量”的关系是解决问题的关键。
涉及的量为： “清水的总量”，“酸性浓度”（用纯量单位 :1）. “酸性浓度变化率”，体积（常数），其中 都使用题目中的纯量单位; 有（待定）函数关系的两个量定为： 酸性浓度 S，清水的总量 x； 涉及的原则或物理定律： 导数＝变化率，溶液保持均匀，体积 V 不变.
第九章微分程模型有解答
嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。
让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。
一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。
我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。
下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。
又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。
由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==。
§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。
与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。
以容器漏水问题为例。
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
药代动力学12 第九章 药代动力学与药效学动力学结合模型
药代动力学12 第九章药代动力学与药效学动力学结合模型第九章药代动力学与药效动力学结合模型第一节概述药代动力学(Pharmacokinetics, PK)和药效动力学(Pharmacodynamics,PD) 是按时间同步进行着的两个密切相关的动力学过程,前者着重阐明机体对药物的作用,即药物在体内的吸收、分布、代谢和排泄及其经时过程;后者描述药物对机体的作用,即效应随着时间和浓度而变化的动力学过程,后者更具有临床实际意义。
传统的药效动力学主要在离体的水平进行,此时药物的浓度和效应呈现出一一对应的关系,根据药物的量效关系可以求得其相应的药效动力学参数,如亲和力和内在活性等。
但药物的作用在体内受到诸多因素的影响,因而其在体内的动力学过程较为复杂。
以往对于药动学和药效学的研究是分别进行的,但实际上药动学和药效学是两个密切相关的动力学过程,两者之间存在着必然的内在联系。
早期的临床药动学研究通过对治疗药物的血药浓度的监测(TherapeuticDrug Monitoring, TDM)来监测药物效应变化情况,其理论基础是药物的浓度和效应呈现出一一对应的关系,这一关系是建立在体外研究的基础之上的,这里所说的浓度实际上是作用部位的浓度,但在临床研究中我们不可能直接测得作用部位的药物浓度,因而常常用血药浓度来代替作用部位的浓度。
随着药代动力学和药效动力学研究的不断深入人们逐渐发现药物在体内的效应动力学过程极为复杂,其血药浓度和效应之间并非简单的一一对应关系,出现了许多按传统理论无法解释的现象,如效应的峰值明显滞后于血药浓度峰值,药物效应的持续时间明显长于其在血浆中的滞留时间,有时血药浓度和效应的曲线并非像在体外药效动力学研究中观察到的 S形曲线,而是呈现出一个逆时针滞后环。
进一步研究发现血药浓度的变化并不一定平行于作用部位药物浓度的变化,因而出现了上述的一些现象,所以在体内不能用血药浓度简单地代替作用部位的浓度来反映药物效应的变化情况。
微积分 第3版 第9章 微分方程与差分方程
y(0) 64
常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.
在n 阶微分方程中形如
a n ( x ) y (n ) a n1 ( x ) y (n1) a 1 ( x ) y a 0 ( x ) y b ( x )
的微分方程称为线性微分方程; 其中
d 2Q
dQ Q
( 5) 2 R
0;
dt
dt C
d
( 6)
sin2 .
d
解 (1), (4), (6)为一阶微分方程;
(2), (5)为二阶微分方程;
(3)为三阶微分方程;
其中 (2), (3), (5), (6)是线性微分方程;
(1), (4)是非线性微分方程.
9.2 一阶微分方程
故, x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
例3 验证 y sin(x C ), (C 是任意常数) 是微分
2
2
y
y
1 的通解.
方程
解 将 y sin(x C ), y cos( x C )
代入方程, 得恒等式
sin2 ( x C ) cos 2 ( x C ) 1
9.2.1 可分离变量的微分方程
1. 定义 可化为形如
或
dy
( x ) ( y ) (9 1)
dx
M 1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0 (9 1')
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
其中 ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是描述自然界各种变化规律的一种数学工具。
其具有广泛的应用背景，尤其在物理、化学和工程等学科领域。
很多实际问题正是因为缺乏有效的数学工具，使其难以进行深入的研究。
因此，微分方程成为科学研究中重要的数学工具。
一、微分方程的建立微分方程是对一组连续物理量之间的关系进行描述的方程，其本身并不具有明显的物理意义。
在实际问题中，我们经常需要根据实际情况建立微分方程模型，以便对问题进行数学分析和求解。
对于一些简单的实际问题，我们可以通过观察实验数据或者计算获取一些变化规律，以此来形成微分方程模型。
例如，当我们掷出一枚硬币时，硬币的旋转角速度会随着时间的推移而逐渐减小。
此时，我们可以根据旋转角速度随时间变化的条件建立微分方程模型。
在实际情况中，很多问题可能存在多种不同的影响因素，因此会涉及到多组变量之间的变化关系。
对于这类问题，我们需要建立高阶微分方程模型。
例如，在考虑空气阻力、重力等因素时，对于自由落体的运动问题，我们需要建立二阶微分方程模型。
二、微分方程的求解为了求解微分方程，我们需要先了解微分方程的类型和特点。
微分方程按照阶数和类型可以分为很多种类，包括常微分方程、偏微分方程、线性微分方程、非线性微分方程等。
对于一些简单的微分方程，我们可以通过手工计算或者使用微积分公式求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$我们可以通过变形后使用求解公式：$$y=e^{-\int{p(x)dx}}(\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx+C})$$来得到其通解。
对于复杂的微分方程，我们则需要使用更加精确的数值求解方法。
这些方法主要有欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以使用计算机程序求解微分方程模型，并得到问题的数值解。
三、微分方程模型在实际应用中的意义微分方程模型在实际应用中具有广泛的意义。
例如，在物理学领域中，我们可以通过建立微分方程模型来描述一些基本规律，如经典力学、电磁理论等。
微分方程模型详解
范. 梅格伦（Van Meegren）伪造名画案
第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜 捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren 曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖 给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。
所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保 持常数，它应当与人口数量有关。
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有：
其中，
故
注：设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K 看成常数），N表示当前的种群数量，K-N为环境还能 供养的种群数量，则(K-N )/K为还能供养比例。
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
，时间从 到
马尔萨斯（Malthus）模型
等式两边同时除以 t ，有
再运用极限的思想，令
有
由初始条件ห้องสมุดไป่ตู้
，即为初始
时刻的人口数，故解方程得
马尔萨斯（Malthus）模型
典型微分方程 • Malthus人口方程： • 虎克定律
典型微分方程 • 牛顿万有引力方程
• 波动方程
• 热传导方程
典型微分方程
• 势方程或 Laplace 方程
人口增长模型
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嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼此解脱。
让我们都能幸福着，在各自的路程快乐第五章 微分方程模型建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。
一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。
我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。
下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。
又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。
由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由xyt V y --=10'得 y y x t V +-='0)1(，又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即t V dx y x002'51=+⎰所以 dx y y y x x ⎰+=+-02''151)1(， 整理得 2'''151)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0('=y ，解得245)1(125)1(855654+-+--=x x y当x=1时，254=y 即当乙舰行到⎪⎭⎫⎝⎛254,1处被击中，00245V V y t ==。
§5.2 微元法建模微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。
与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。
以容器漏水问题为例。
有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出。
小孔横截面为1cm 2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h （水面与小孔中心距离）随时间t 变化的规律。
解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算：gh S dtdvQ 262.0==， 其中0.62为流量系数，S 为孔口横截面积。
现S=1cm 2.故 gh dtdv262.0=另一方面，现在［t,t+t ∆］内，水面高度由h 降至0)dh(dh h <+，则dh r dv 2π-=其中r 是时刻t 的水面半径。
因为222200)100(100h h h r -=--=，所以dh h h dv )200(2--=π，于是dh h h dt gh )200(262.02--=π，由此得)200(262.02423h h gdh dt -=π， 满足100|0=t h .解得)310107(265.4252335h h gt +-⨯=π此即容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系式。
P.S matlab 程序 clearsyms r; %定义符号变量 ry=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解§5.3 模拟近似法建模在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。
这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。
然后再把解得的结果同实际情况作对比。
以交通管理问题为例。
在交通十字路口，都会设置红绿灯。
为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。
对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。
那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、解：各段时间应该满足以下关系：黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间。
设v 0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度。
则通过路口的时间为v LI +，（车尾通过路口）。
下面计算刹车距离。
设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=μw ，汽车在停车过程中，行驶距离x 与时间t的关系可由下面微分方程求得w dtxd g w μ-=22（F=ma ). 满足：00'0|,0|v x x t t ====，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得t v gt x 0221+-=μ 。
令x ’=0，所以刹车时所用时间g v t μ00=，刹车距离gv t x μ2)(200=由上面得黄灯状态时间为t V LI g v T v L I t x A +++=+++=0002)(μ，其中T 是驾驶员反应时间，A,v 0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）。
假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v0=45，60，80km/h时，黄灯时间如下表示。
v0 (km/h) A(s) 经验法的值（s）45 5.27 360 6.06 480 7.28 5经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。
这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口。
§5.4 微分方程模型实例例1.最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×10 11/（1.22×10 11+n）.渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。
比例系数不妨称捕捞强度系数。
通常使用13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。
渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组。
鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式。
该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。
问题分析要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略。
1.鱼的情况具体数据如下表：i m i(g) r(1/年) u i (个/条)1 2 5.0711.550.80.83 4 17.86 22.99 0.8 0.8其中，i 表示i 龄鱼，m i 表示龄鱼的质量，r 表示龄鱼的自然死亡率，u i 表示平均每条i 龄鱼的产卵量。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i 成正比，比例系数之比为i k 使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个捕捞强度系数之比为k 3:k 4=0.42:1,k 1=k 2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
2.基本假设假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行。
假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼。
这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.3.应解决的问题1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。
已知承包时各年龄组。
鱼群的数量分别为x 1,x 2,x 3,x 4, 如果仍用固定努力量的捕捞方式。
该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。
记号和约定)(t x i：i 龄鱼在t 时刻的数量（t 以年为单位，i=1,2,3,4)；ip ：i 龄鱼的捕捞量（i=3,4)； M ：捕捞总质量：Q ：每年的产卵中能孵化成l 龄鱼的数量； N ：每年的产卵量； 模型的建立由于鱼的数量随时间变化，可视为)(t x i 为连续函数，它的变化与时间t ，自然死亡率r ，单位时间捕捞量i k ，卵的成活率有关。
模型1定义单位死亡率8.0,=-=r rx dtdx i i单位时间捕捞量0,1:42.0:,2143====k k k k x k dtdp i i i则捕捞时满足i i ix k r dtdx )(+-= 对各龄鱼存在以下方程（令4k k =，则k k42.03=） 118.0)(x dt t dx -=，t ∈[]1,0 228.0)(x dtt dx -=，t ∈[]1,0()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,42.08.03333t x dt dx t x k dt dx ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+-=1,128,8.0128,0,8.04444t x dtdxt x k dt dx由此可解得)0()8.0exp()1(11x x -=， )0()8.0exp()1(22x x -=， )0()32)42.08.0(exp()128(33x k x ⨯+-=， )0()32)8.0(exp()128(44x k x ⨯+-=， )0())28.08.0(exp()1(33x k x +-=， )0())328.0(exp()1(44x kx +-= 收获量为⎰⎰==128012804433)(,)(42.0dt t kx p dt t kx p 。