高二数学导数在研究函数零点问题中的应用导数与零点个数公开课优质课件
导数在研究函数中的应用优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
2、若函数y=a(x3-x)递减区间为( 3 , 3)，
则a取值范围为( )
33
(A) a>0 (B) –1<a<1 (C) a>1 (D) 0<a<1
3、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A) 单调递增函数 (B) 单调递减函数 (C) (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
第19页
=0,可求得x2
=
2a 1-a2
,所以有f
0 =f
2a 1-a2
,显然1-2aa2
0,
0<a<1时,f x在[0, )上,不是单调函数.
第18页
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
1 x)
0,得x<-1或x>1.
注意到函数定义域是(-1,+∞),故f(x)递增区间是 (1,+∞);
由f ( x) 0 解得-1<x<1,故f(x)递减区间是(-1,1).
说明:函数单调区间必定是它定义域子区间,故
求函数单调区间一定首先要确定函数定义 域, 在求出使导数值为正或负x范围时,要与
定义域求二者交集.
第7页
例2如图，水以常速注入下面四种底面积相同容器中， 请分别找出与各容器对应水高度h与时间t函数关系图像
。
A
B
C
D
第8页
练习3：
试画出导函数图像大致形状。
y
y=f(x)
2025届高中数学一轮复习课件《利用导数研究函数的零点》ppt
高考一轮总复习•数学
第14页
所以 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． 综上，当 a≤0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当 a ＞0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)． (2)由(1)知 f′(x)＝ex－a. 当 a≤1 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增且 f′(x)＞0 恒成立，从而 f(x)单调递增． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 a≥e 时，函数 f(x)在区间(0,1)上单调递减且 f′(x)＝ex－a＜0，从而 f(x)单调递减． f(0)＝0，所以函数 f(x)在区间(0,1)上不存在零点． 当 1＜a＜e 时，函数 f(x)在区间(0，ln a)上单调递减，在(ln a,1)上单调递增，
第23页
高考一轮总复习•数学
第24页
∴存在 m∈12，1，使得 f′(m)＝0，得 em＝m1 ，故 m＝－ln m，当 x∈(0，m)时，f′(x)<0， f(x)单调递减，
当 x∈(m，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增， ∴f(x)min＝f(m)＝em－ln m＋2sin α＝m1 ＋m＋2sin α＞2＋2sin α≥0， ∴函数 f(x)无零点．
高考一轮总复习•数学
第12页
又 hπ2＝π2＞0，hπ4＝
22·π4－
22·eπ4
＝
22π4－eπ4
＜0，
由零点存在定理及 h(x)的单调性，得 h(x)在π4，π2上存在一个零点．
综上，h(x)在－π2，0∪0，π2内的零点个数为 2，即 F(x)在－π2，0∪0，π2内的零点
第二课时利用导数研究函数的零点课件
当1＜x≤e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减， 故当x＝1时，函数g(x)取得极大值g(1)＝m－1，
又 g1e＝m－2－e12，g(e)＝m＋2－e2， 且 g1e＞g(e)， ∴g(x)＝f(x)－ax＋m 在1e，e上有两个零点需满足条件gg（ 1e1＝）m＝－m2－－1e12＞≤00，， 解得 1＜m≤2＋e12. 故实数 m 的取值范围是1，2＋e12.
2 a.
证明 由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0， 当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).
由于 2e2x0－xa0＝0，
故 f(x)在(－∞，3－2 3)，(3＋2 3，＋∞)单调递增，在(3－2 3，3＋2 3) 单调递减.
(2)证明：f(x)只有一个零点.
证明 由于 x2＋x＋1>0，所以 f(x)＝0 等价于x2＋xx3＋1－3a＝0. 设 g(x)＝x2＋xx3＋1－3a，则 g′(x)＝x（2（xx2＋2＋x2＋x＋1）3）2 ≥0， 仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增. 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点. 又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－13 ＝－6a－612－61<0， f(3a＋1)＝31>0，故 f(x)有一个零点. 综上，f(x)只有一个零点.
转化为证明 f(x0)≥2a＋aln
2 a.
训练 3 (2020·全国Ⅲ卷)设函数 f(x)＝x3＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点12，f21处的切 线与 y 轴垂直. (1)求 b； 解 f′(x)＝3x2＋b.
(完整版)导数与函数的零点.ppt
当lnk<x<2时, g'( x) 0 ,函数g(x)单调递增
所以函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1-lnk).
由函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,得
g(0) 0
g(ln
k
)
0
，解得
ek
e2
,故k的取值范围为(e, e2 )
g(2) 0
2
2
(2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)无极值点 当k>0时,设函数 g( x) e x kx, x (0,2) y=f(x)在(0,2)上有两个极值点等价于g(x)在(0,2)上有两个零点
mm
1
所以k=2a=1，得 a
故a的取值范围为(0,
1
2 )
2
变式训练1:设函数f
(x)
ex x2
k(
2 x
ln
x)
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为 (0, )
ex
2
f (x)
x2
k( x
4.求函数的最值的方法及步骤：
导数的应用(2)
1.已知函数 f ( x) x(ln x ax)有两个极值点,则实数a的取值范围()
1
A)( ,0)
B) (0, ) 2
C)(0,1) D)(0, )
变x2
k(
2 x
ln
x)
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间.
导数的应用(2)
变式训练2.已知函数 f ( x) x3 ax 1 ,g(x)=-lnx 4
第3章 导数的应用 第5课时导数与函数的零点(1)——函数零点的存在性与零点个数的探究课件
所以 g(a)在区间(e，＋∞)上单调递增， 所以 g(a)>g(e)＝e－2>0，所以 f(a)>0. 又 f( a)<0，且 f(x)的图象不间断， 所以 f(x)在区间( a，＋∞)上有且仅有一个零点， 所以当 a>e 时，函数 f(x)存在两个零点． 综上，当 0≤a<e 时，函数 f(x)的零点个数为 0；当 a<0 或 a＝e 时， 函数 f(x)的零点个数为 1；当 a>e 时，函数 f(x)的零点个数为 2.
1 lnx≤x－1<x；lnx≤1ex.
2 ex≥x＋1>x；ex≥ex.
3 当x>0时，①ex>x2；②ex>x2＋1.
内容索引
内容索引
活动一 基础训练
1. (2023 全国高三专题练习)已知函数 f(x)＝lxn＋x，1，x>0x，≤0， g(x)＝ f(x)＋f(－x)，则函数 g(x)的零点个数为( )
内容索引
因为f′(1)＝－1<0，f′(2)＝ln2－＝>0，
所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)＝0， 所以当x<x0时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>x0时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)存在唯一的极值点．
内容索引
(2) 由(1)知 f(x0)<f(1)＝－2. 又 f(e2)＝e2－3>0， 所以存在唯一的 α∈(x0，＋∞)，使得 f(α)＝0. 由 α>x0>1，得α1<1<x0. 又 fα1＝α1－1lnα1－α1－1＝fαα＝0， 故 x＝α1是 f(x)＝0 在区间(0，x0)上的唯一根． 综上，f(x)＝0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．
2024届新高考一轮复习人教B版 主题二 第三章 第6节 利用导数研究函数零点 课件(32张)
x
x
解:(2)由题意,函数 f(x)=(x-2)e -ax+aln x=(x-2)e -a(x-ln x),x>0,
-
设 m(x)=x-ln x,x>0,则 m′(x)=1- =
,
当 x∈(0,1)时,m′(x)<0,m(x)单调递减;
当 x∈(1,+∞)时,m′(x)>0,m(x)单调递增,
第6节
利用导数研究函数零点
判断、证明零点的个数
[例1] (2022·山东日照三模)已知函数f(x)=(x-2)ex-ax+aln x(a∈R).
(1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
x
解:(1)当 a=-1 时,f(x)=(x-2)e +x-ln x,
x
则 f′(x)=(x-1)(e + ),
所以 f(x)max=f(1)=a-1<0,所以 f(x)不存在零点;
当 a>0 时,f′(x)=
(- )(-)
,若 a=1,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为 f(1)=a-1=0,所以函数 f(x)恰有一个零点,所以 a=1 满足条件,
若 a>1,f(x)在(0, ),(1,+∞)上单调递增,
又 H(0)=0,H( )>0,所以存在λ∈(t, ),使得 H(λ)=0,即 0<x<λ时,H(x)<0,
h′(x)<0,h(x)单调递减;λ<x< 时,H(x)>0,h′(x)>0,h(x)单调递增.
《导数与零点》专题精讲
判断选项即可.
学而优 · 教有方
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例1 (2020广东二模)已知函数() =
有唯一零点,则的取值范围为(
+ − ( ∈ ),若函数()
故函数的单调递增区间(, +∞),单调递减区间(−∞,),
学而优 · 教有方
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例2 ((2020陕西西安二模)已知函数() = − − (、为实数,为
自然对数的底数, ≈ . ).
(1)求函数()的单调区间;
典型例题
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
典例1 (2020广东二模)已知函数() =
有唯一零点,则的取值范围为(
+ − ( ∈ ),若函数()
)
A.(−∞, )
B.(−∞, ) ∪ [, +∞)
C.(−∞, ) ∪ [, +∞)
D.(−∞, ) ∪ [, +∞)
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
人教B版同步教材名师课件
导数与零点
---专题精讲
学而优 · 教有方
导数与零点
高中数学
GAOZHONGSHUXUE
1.根据参数确定函数的零点个数的两种解决方法
(1)利用单调性与零点存在性定理求解.
(2)化原函数为两个函数,利用两个函数图象的交点来求解.
2.利用函数零点求参数范围的方法
(2)当 = , = 时,判断函数()零点的个数并证明.
【数学】利用导数研究函数的零点问题讲评课件
答案见解析
【分析】将函数 的零点转个数化为 =
−
与
=
图像交点个
数，利用导数求得 的单调性和极值，进而求得函数 的零点个
数.
【详解】令 = ，得 = − ，
当 = 时， = − 无解，∴ 无零点，
当 ≠
时，
第10讲 利用导数研究函数零点问题
知识点一 讨论函数的零点问题
知识点二 根据函数的零点求参数的取值
知识点一 讨论函数的零点问题
例1
已知函数f x = ex + 2f ′ 0 x − cosx.
(1)求f x 的解析式；
【答案】 = − −
【分析】对函数求导后令 = 可得 ′ = −，即可求得
2e
a =______
【分析】常数分离得
=
= 有唯一的解，求出 的单调性与
极值，由 有且仅有一个零点可得 = .
【详解】当 = 时， = ≥ 恒成立， 在[, ]上无零点.
当 ≠ 时，即有 = = 在[, ]上有且仅有一个解.
即 ′ 在 , +∞ 上单调递增.
又 ′ = −＜， ′ = + − ＞，
根据零点存在定理可知∃ ∈ , ，使得 ′ = .
当��＜＜ 时， ′ ＜，所以 在 , 上单调递减；
当＞ 时， ′ ＞，所以 在 , +∞ 上单调递增.
上的图象有两个交点，
设两个交点的横坐标分别为 、 ，且 ＜ ，
−
由图可知，当 ＜＜ 或 ＜＜时，＞ ，此时，
高二数学(选修-人教A版)-利用导数研究函数的零点问题-2ppt
复习回顾
函数 y f x的零点就是方程 f x 0的实数解， 也就是函数 y f x的图象与 x轴交点的横坐标.
函数 y f x有零点
复习回顾
函数 y f x的零点就是方程 f x 0的实数解， 也就是函数 y f x的图象与 x轴交点的横坐标.
函数 y f x有零点 方程 f x 0有实数解 函数 y f x的图象与 x轴有公共点
方法1：函数零点转化为方程的解，进而转化为曲线交点.
（1）判断函数h(x) ex sin x 1在0, 上零点个数.
h(x) ex sin x 1 ex sin x 1 0
sin x 1 ex
y sin x, y (1)x e
方法2：研究函数图象与 x 轴公共点的个数.
解 因为h(x) g(x)t(x) 1 ex sin x 1, 所以h(x) (cos x sin x)ex , 令h(x) 0,则 x 3 .
因为h(x) ex ln(x 2)，则h(x) ex 1 .
x2
令 m( x)
ex
1 ，则m(x)
x2
ex
1 (x 2)2
0.
所以函数m(x)在2, 上单调递增，
又因为m(1) 1 1 0，m(0) 1 0，
e
2
所以x0 1, 0，使m(x0 ) 0,
所以x0 1, 0，使m(x0 ) 0，
题后反思
1.正确求导是解决问题的关键. 2.决定导数符号有正负变化的是导数的零点. 3.适时构造新函数. 4.零点存在定理的应用.
回顾反思
1.本节课我们主要研究了什么样的问题？ 2.解决此类问题的方法是什么？有什么样的体会？ 3.在解决问题过程中，运用了哪些数学思想和方法？
高中数学《导数在研究函数中的应用教学》公开课优秀课件
重点
探索和发现导数与函数的单
调性的关系.
难点
目 录 CONTENTS
教学理念 与追求
2
教材分析
Teaching Design
教学过程
Teaching Process
4
教学反思
Teaching Refletion
1
3
创设情境、初步探究 合作学习、实例验证 回归定义，揭示本质 尝试演练、强化应用 课堂小结，完善知识
2
f ( x) 2 xπ
x
O
π 2
f ( x ) sin x
y
3π 2
2π
x
O
π 2
4. 尝试演练、强化应用 例1 确定函数 在哪个区间 上是增函数，在哪个区间上是减函数.
设计 意图
(1)规范书写，总结步骤；
(2)研究方法，拓展提升.
4. 尝试演练、强化应用
1.3导数在研究函数中的应用
目 录 CONTENTS
Teaching Analysis
教学理念 和追求
2
教材分析
Teaching Design
教学过程
Teaching Process
4
教学反思
Teaching Refletion
1
3
目 录 CONTENTS
教学理念 和追求
2
教学设计
Teaching Design
教学理念 与追求
2
教材分析
Teaching Design
教学过程
Teaching Process
4
教学反思
Teaching Refletion
1
3
反思 改进
2-11-4 导数与函数的零点问题 课件
令 k(x)＝x－lnx，则 k′(x)＝1－1x＝x－x 1，所以当 x∈1e，1时， k′(x)<0，所以 k(x)在1e，1上递减；
当 x∈(1，e]时，k′(x)>0，所以 k(x)在(1，e]上递增， 故 k(x)min＝k(1)＝1，又 k1e＝1e＋1，k(e)＝e－1. 因为 k1e－k(e)＝2－e＋1e<0， 所以 k1e<k(e)，所以 k(1)<t≤k1e，即 t∈1，1＋1e.
令 φ(x)＝lnxx，则 φ′(x)＝1－x2lnx，
所以 φ(x)＝lnxx在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 所以当 x＝e 时，φ(x)＝lnxx取得最大值1e， 由 φ(1)＝0，得当 x∈(0,1)时，φ(x)<0；当 x∈(1，＋∞)，φ(x)>0， φ(x)的大致图象如图所示，
1涉及函数的零点方程的根问题，主要利用导数确定函数 的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间 的极值以及区间端点的函数值与 0 的关系，从而求得参数的取值 范围.
2解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点 相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法.
已知函数 f(x)＝x2－lnx. (1)求曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)设 g(x)＝x2－x＋t，若函数 h(x)＝f(x)－g(x)在1e，e上(这里 e≈2.718)恰有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围．
温馨 提 示
请 做：课时作业 17
（点击进入）
温馨 提 示
请 做：第一、二章阶段测试题
（点击进入）
考点二 构造法研究函数的零点问题 【例 2】 设函数 f(x)＝12x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 m≥1 时，讨论函数 f(x)与 g(x)图象的交点个数．
第二节第5课时利用导数研究函数零点问题课件
而 g(0)＝0，故当 x≥0 时，g(x)≤0，即 f(x)≥1. (4 分) (2) 解：设函数 h(x)＝1－ax2e－x. f(x)在(0，＋∞)只有一个零点等价于 h(x)在(0，＋∞)上只 有一个零点． (6 分)
关键 1：构造函数 h(x)，将 f(x)的零点情况转化为 h(x) 的零点情况. (ⅰ)当 a≤0 时，h(x)>0，h(x)没有零点．
当 x∈(－1，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 又 f(－1)＝－1e<0，所以函数 f(x)在(－∞，＋∞)上至多 有一个零点，故不符合题意． 综上，实数 a 的取值范围是(－∞，0)． 法二 (数形结合法) 令 f(x)＝0，即 xex－12a(x＋1)2＝0， 得 xex＝12a(x＋1)2. 当 x＝－1 时，方程为－e－1＝12a×0，显然不成立，
x (－∞，－1)
－1
(－1，10
－
0
＋
f(x)
↗
极大值－1e
↘ 极小值－e
↗
所以当 x＝－1 时，f(x)取得极大值－1e；当 x＝1 时，
f(x)取得极小值－e.
(2)法一 (分类讨论法)
f′(x)＝(x＋1)ex－a(x＋1)＝(x＋1)(ex－a)，
若 a＝0，易知函数 f(x)在(－∞，＋∞)上只有一个零
真题示例 (2018·全国卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝ex－ax2. (1)若 a＝1，证明：当 x≥0 时，f(x)≥1； (2)若 f(x)在(0，＋∞)只有一个零点，求 a.
关键步骤与规范解答 (1)证明：当 a＝1 时，f(x)≥1 等价于(x2＋1)e－x－1≤0. (1 分) 设函数 g(x)＝(x2＋1)e－x－1，则 g′(x)＝－(x2－2x＋1)e－x＝ －(x－1)2e－x. (2 分) 当 x≠1 时，g′(x)<0，所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递减(3 分)
第2部分 专题6 第6讲 利用导数解决函数零点或方程根问题 课件(共40张PPT)
当x＞0时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增． 因为f(ln 2a)＝(ln 2a－1)·2a－aln2(2a)＋b≤(ln 2a－1)·2a－ aln2(2a)＋2a＝a(2－ln 2a)ln 2a＜0， 所以f(x)在(－∞，0)没有零点， 设g(x)＝ex－x－1(x＞1)，则g′(x)＝ex－1＞0， 所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数，g(x)＞g(1)＝e－2＞0，
①若 a≤1，即0<a≤1时，f(x)在(1，e)上单调递增， f(1)＝12，f(x)在区间(1，e)上无零点． ②若1< a<e，即1<a<e2时， f(x)在(1， a)上单调递减，在( a，e)上单调递增， f(x)min＝f( a)＝12a(1－ln a)．
∵f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，
(2)①当a>e－1时，即a＋1>e时，
当x∈(1，e)时，h′(x)<0，故h(x)在(1，e)上单调递减．
h(1)＝2＋a>0，h(e)＝e＋a＋e 1－a＝a1e－1＋e＋1e.
当h
(e)
>0，即a
1e－1
＋e＋
1 e
>0，即a<
e2＋1 e－1
时，h
(x)
>0在
1，e
上
恒成立，
所以e－1<a<ee2－＋11时，h(x)在1，e上无零点．
所以f(x)在(0，α)上恰有一个零点， 又因为f(π)＝ln π－π<2－π<0， 所以f(x)在(α，π)上也恰有一个零点．
②当x∈[π，2π)时，sin x≤0，f(x)≤ln x－x， 设h(x)＝ln x－x， 则h′(x)＝1x－1<0， 所以h(x)在[π，2π)上单调递减，所以h(x)≤h(π)<0， 所以当x∈[π，2π)时，f(x)≤h(x)≤h(π)<0恒成立， 所以f(x)在[π，2π)上没有零点．
导数及其应用讲导数与函数的零点课件pptx
当函数存在多重根时，导数可能不存在，需要采用特殊的方法进行求解。
导数在多学科的交叉应用
物理应用
经济应用
计算机科学
导数在物理学中有广泛的应用，如速 度、加速度、电磁场等物理量的计算 都涉及到导数的概念。
导数在经济分析中也有重要应用，如 边际分析、弹性分析等都需要用到导 数的概念。
导数在计算机图形学、机器学习等领 域也有广泛的应用，如梯度下降算法 等涉及到导数的计算。
导数的未来发展趋势与挑战
高维导数
随着高维数据的不断增加，高维导数的计算成为了一 个重要的研究方向，需要研究有效的算法和软件实现 。
人工智能与导数
人工智能的发展也为导数的发展提供了新的机遇和挑 战，如采用神经网络等方法进行导数的计算等。
06
复习与思考题
导数的定义与性质方面的题目
01
02
总结词：掌握导数的定 义和性质
详细描述
03
04
05
1. 导数的定义：导数是 函数在某一点的变化率 ，反映了函数在这一点 附近的局部变化趋势。
2. 导数的性质：导数具 有一些重要性质，如单 调性、奇偶性、周期性 等，这些性质在研究函 数的性质和优化问题中 具有重要作用。
3. 导数的几何意义：导 数在几何上可以表示函 数曲线在某一点的切线 斜率，切线斜率的变化 趋势反映了曲线在该点 的变化趋势。
导数在寻找函数零点中的应用
导数在寻找单调递增区间内的零点中的应用
利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。
导数在寻找单调递减区间内的零点中的应用
同样利用导数判断函数的单调性，从而确定零点所在的区间，再通过求导数来确定零点的具体位置。
利用导数研究函数的零点 高中数学课件 3-7
第三章 一元函数的导数及其应用§3.7 利用导数研究函数的零点考试要求函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围.高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现.例1 已知函数f(x)＝x sin x－1.(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；因为函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝－x sin(－x)－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，(2)证明：函数y＝f(x)在[0，π]上有两个零点.则g′(x)＝2cos x－x sin x，当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上单调递减，所以f(x)在(m，π]上有且只有一个零点，综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有2个零点.思维升华利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件.跟踪训练1 (2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－1)ln x＋－2，a∈R.(1)讨论f(x)的单调性；①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围.结合函数的单调性可知，f(x)有唯一零点.所以要使得函数有唯一零点，解得a＝1或a＝e.综上，a≤0或a＝1或a＝e.例2 (2023·郑州质检)已知函数f(x)＝e x－ax＋2a，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；f(x)＝e x－ax＋2a，定义域为R，且f′(x)＝e x－a，当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，当x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增.综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增.(2)求函数f(x)的零点个数.令f(x)＝0，得e x＝a(x－2)，当a＝0时，e x＝a(x－2)无解，∴f(x)无零点，当x∈(－∞，3)时，φ′(x)>0；当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，又x→＋∞时，φ(x)→0，x→－∞时，φ(x)→－∞，∴φ(x)的图象如图所示.综上所述，当a∈[0，e3)时，f(x)无零点；当a∈(－∞，0)∪{e3}时，f(x)有一个零点；当a∈(e3，＋∞)时，f(x)有两个零点.思维升华含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数.跟踪训练2 (2023·长沙模拟)已知函数f(x)＝a ln x－ .(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程；又f(1)＝－2，f′(1)＝1，因此，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.(2)若函数f(x)在(0,16]上有两个零点，求a的取值范围.则f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不符合题意；令g′(x)＝0，可得x＝e2<16，列表如下，x(0，e2)e2(e2，16] g′(x)＋0－g(x)↗极大值↘即f(x)在(0,16]上有两个零点，(1)求a； [切入点：求f(x)，g(x)的最小值](2)证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. [关键点：利用函数的性质与图象判断e x－x＝b，x－ln x＝b的解的个数及解的关系]思维升华涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围.跟踪训练3 (2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝ (x>0).(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围.曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，当0<x<e时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞).1.(2023·济南质检)已知函数f(x)＝，a∈R.(1)若a＝0，求f(x)的最大值；由f′(x)＝0，得x＝e，∴当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，(2)若0<a<1，求证：f(x)有且只有一个零点.由(1)知，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∵0<a<1，故f(x)在(e，＋∞)上无零点；且f(x)在(0，e)上单调递增，∴f(x)在(0，e)上有且只有一个零点，综上，f(x)有且只有一个零点.2.函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝1处取得极值.(1)求f(x)的单调区间；f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ln x＋1，由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.则f(x)＝－x＋x ln x，∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1).(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象在(0，＋∞)内有两个不同的交点.由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，f(e)＝0，作出f(x)图象如图.由图可知，当－1<m＋1<0，即－2<m<－1时，y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点.因此实数m的取值范围是(－2，－1).(1)若函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求a的取值范围；则f′(x)＝x(e x－ax).∵函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)＝x(e x－ax)≥0在[0，＋∞)上恒成立，则e x－ax≥0，x≥0.当x＝0时，则1≥0，即a∈R；令g′(x)>0，则x>1，令g′(x)<0，则0<x<1，∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g(x)≥g(1)＝e，∴a≤e，综上所述，a≤e.(2)当a≤e时，讨论函数f(x)零点的个数.令f(x)＝0，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
分享作业
题1 题2
设 m 为实数，函数 f (x) x3 x2 x m
（1）求 f(x)的极值点 （2）如果曲线 y=f(x)与 x 轴仅有一个交点，
求实数 m 的取值范围
2、已知函数 f (x) ln x a x
若函数 f（x）的图像与函数 g（x）=1 的图像在区间 0, e2
上有公共点，求实数 a 的取值范围
4
例题探讨
16年江苏卷19题
f (x) a x bx (a 0, b 0, a 0, b 0) 若0 a 1,b 1 函数g(x) f (x) 2有且只有一个零点，求 ab的值
y ax过点（0,1），y -bx 2过点（0,1） 所以，两条曲线相切，设公切线为l，切点为（0,1） 由y a x，得y' a x ln a，由y -bx 2，得y' -bxlnb 切线的斜率 k |x0 a0 ln a b0 ln b
即lna ln b 0,ln ab 0 ab 1
高二理科 北师大2003课标版选修2-2第三章复习题3
导数在研究函数零点问题中 的应用——导数与零点个数
目录
复习 概念
分享 作业
例题 探讨
归纳 方法
巩固 提高
2
复习概念
零点的概念
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=(x)的零点。
三个转化
方程f(x)=0有实根 <=>函数y=f(x)的图像与x轴有交点 <=>函数y=f(x)有零点
素养
10
作业
完成课后练习“已知零点个数，求参数”
感谢您的关注！
零 点
ax bx 2 0
方程 的根
ax -bx 2
图像 交点
y ax与y -bx 2
5
例题探讨
f (x) ax bx (a 0,b 0, a 0,b 0) 若0 a 1,b 1，函数g(x) f (x) 2有且只有一个零点，求ab的值
解：g(x) f (x) 2只有一个零点 a x -bx 2有且只有一个根 函数y a x与y -bx 2的图像有且只有一个交 点
交点个数
8
巩固提高
方程x3 − 3x − m = 0 在[0，1]上有实数根，则 m 的最大值是（ ）
1
A．0 B．-2 C．-3 D．1
若函数 f(x) = xex − a 有两个零点，则实数 a 的取值范围为
()
2
A．− e < a < 0lt; 0
e
D．0 < a < e
已知函数 f(x) = ax3 − 2x2 + 1 ，若 f(x) 存在唯一的零点x0，且x0 < 0 ，
3 则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 2, + ∞
B．
0,
6 9
C．
− ∞, −
46 9
D． 496 ,+ ∞
9
本课收获
知识
函数零点 导数
这节课我学到了什么
方法
思想
利用导数画函数图像 处理函数零点个数 参变分离，构造函数
6
归纳方法
参数范围
导数
零点个数
7
归纳方法
数形结合，是此类问 题解决的基本思路
借助导数，得到 函数的单调性， 极值，从而可以 画出函数图像
一个交点的问题可 以转化为两个函数 相切，再转化为公 切线问题
思路
直接求函数的图像讨 论与x轴的交点个数
参变全分离，转 化为函数与直线 y=a的交点个数
参变半分离，转化 为两个函数图像的