长沙市雅礼中学数学整式的乘法与因式分解专题练习(解析版)
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B．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2
C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
【解析】
【分析】
通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【详解】
通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
考点：因式分解.
9．下列从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是 .其他不是因式分解:A,C右边不是积的形式，B左边不是多项式.
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.
【详解】
∵第一个图形的面积是a2-b2，
第二个图形的面积是 （b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：
a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为a2-b2=(a+b)(a-b).
20．若 ，则 的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵ ，
∴ ；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
=（a1+a2+…+a2006）a2007﹣a2007（a2+a3+…+a2006）
=a1a2007＞0
∴M＞N
【点评】本题主要考查了整式的混合运算．
12．在边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的小正方形 ，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．
【详解】
平移后，如图，
易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).
故选B.
【点睛】
本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．已知a1•a2•a3•…•a2007是彼此互不相等的负数，且M=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2007），N=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2006），那么M与N的大小关系是MN．
B．原式＝a6，故B错误；
C． ，正确；
D．原式＝a2，故D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
6．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）
A．0B．2aC．2bD．2ab
故答案为100.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.
14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
【答案】ab
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
1Байду номын сангаас．小淇用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（）
A．a1b3B．a3b1C．a1b4D．a4b1
【答案】B
【解析】
【分析】
通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.
19．若2x+5y﹣3=0，则4x•32y的值为________．
【答案】8
【解析】∵2x+5y﹣3=0，
∴2x+5y=3，
∴4x•32y=（22）x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便．
【解析】
【分析】
【详解】
设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（ ）2-4×（ ）2=ab．
故答案为ab.
15．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6=．
【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
故选A.
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
选项A， 选项B， ，错误；选项C， ，错误；选项D， ，错误.故选A.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．
【详解】
A．原式＝a5，故A错误；
故选C．
8．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是()
A．a2-1
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【解析】
试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
17．若（2x﹣3）x+5=1，则x的值为________．
【答案】2或1或-5
【解析】
(1)当2x−3=1时,x=2,此时 =1，等式成立；
(2)当2x−3=−1时,x=1,此时 =1，等式成立；
(3)当x+5=0时,x=−5,此时 =1，等式成立．
综上所述，x的值为：2，1或−5.
故答案为2，1或−5.
【点睛】
本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
13．已知 ，则 ＝_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.
【详解】
由已知可得2x-3y=2，
所以 =102x÷103y=102x-3y=102=100.
长沙市雅礼中学数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1B．-1C．2D．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
3．已知x2+4y2=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x>y，能较为简单地解决这个问题的图形是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ ，
∴若用边长分别为 和 的两种正方形组成一个图形来解决（其中 ），则这个图形应选A，其中图形A中，中间的正方形的边长是 ，四个角上的小正方形边长是 ，四周带虚线的每个矩形的面积是 .
【答案】M＞N
【解析】
解：M﹣N=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2007）﹣（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2006）
=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2006）+（a1+a2+…+a2006）a2007﹣（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2006）﹣a2007（a2+a3+…+a2006）
18．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．
【答案】4
【解析】
【分析】
分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．
【详解】
解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．
故答案为：4.
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵a*b=ab+a+b
∴a*（﹣b）+a*b
=a（﹣b）+a -b+ab+a+b
=﹣ab+a -b+ab+a+b
=2a
故选B．
考点：整式的混合运算．
7．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
A．a2+2ab+b2=（a+b）2
所以（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
16．分解因式：2x2﹣8=_____________
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
2．当 时，多项式 .那么当 时，它的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据 时，多项式 ，找到a、b之间的关系，再代入 求值即可.
【详解】
当 时，
当 时，原式=
故选A.
【点睛】
本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b之间的关系.
C．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
【详解】
∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
【解析】
【分析】
通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
【详解】
通过观察可以看出（a+b）6的展开式为6次7项式，a的次数按降幂排列，b的次数按升幂排列，各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1．
考点：因式分解.
9．下列从左到右的变形，是因式分解的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
【详解】
根据因式分解的定义得：从左边到右边的变形，是因式分解的是 .其他不是因式分解:A,C右边不是积的形式，B左边不是多项式.
【答案】a2-b2=(a+b)(a-b)
【解析】
【分析】
根据正方形的面积公式和梯形的面积公式，即可求出答案.
【详解】
∵第一个图形的面积是a2-b2，
第二个图形的面积是 （b＋b＋a＋a）（a－b）＝（a＋b）（a－b），
∴根据两个图形的阴影部分的面积相等得：
a2-b2=(a+b)(a-b).
故答案为a2-b2=(a+b)(a-b).
20．若 ，则 的值为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
【详解】
∵ ，
∴ ；
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用；把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
=（a1+a2+…+a2006）a2007﹣a2007（a2+a3+…+a2006）
=a1a2007＞0
∴M＞N
【点评】本题主要考查了整式的混合运算．
12．在边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的小正方形 ，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②．根据这两个图形的面积关系，用等式表示是____________．
【详解】
平移后，如图，
易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).
故选B.
【点睛】
本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.
二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）
11．已知a1•a2•a3•…•a2007是彼此互不相等的负数，且M=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2007），N=（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2006），那么M与N的大小关系是MN．
B．原式＝a6，故B错误；
C． ，正确；
D．原式＝a2，故D错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
6．规定一种运算：a*b=ab+a+b，则a*（﹣b）+a*b的计算结果为（）
A．0B．2aC．2bD．2ab
故答案为100.
【点睛】
此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.
14．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．
【答案】ab
故选D.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
1Байду номын сангаас．小淇用大小不同的9个长方形拼成一个大的长方形ABCD，则图中阴影部分的面积是（）
A．a1b3B．a3b1C．a1b4D．a4b1
【答案】B
【解析】
【分析】
通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.
19．若2x+5y﹣3=0，则4x•32y的值为________．
【答案】8
【解析】∵2x+5y﹣3=0，
∴2x+5y=3，
∴4x•32y=（22）x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8，
故答案为：8.
【点睛】本题主要考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法，转化为以2为底数的幂是解题的关键，整体思想的运用使求解更加简便．
【解析】
【分析】
【详解】
设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，
解得，
②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（ ）2-4×（ ）2=ab．
故答案为ab.
15．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：
根据前面各式的规律，则（a+b）6=．
【答案】a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
故选A.
4．下列运算正确的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
选项A， 选项B， ，错误；选项C， ，错误；选项D， ，错误.故选A.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法、幂的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则即可求出答案．
【详解】
A．原式＝a5，故A错误；
故选C．
8．将下列多项式因式分解,结果中不含有因式(a+1)的是()
A．a2-1
B．a2+a
C．a2+a-2
D．(a+2)2-2(a+2)+1
【答案】C
【解析】
试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C；故答案选C．
17．若（2x﹣3）x+5=1，则x的值为________．
【答案】2或1或-5
【解析】
(1)当2x−3=1时,x=2,此时 =1，等式成立；
(2)当2x−3=−1时,x=1,此时 =1，等式成立；
(3)当x+5=0时,x=−5,此时 =1，等式成立．
综上所述，x的值为：2，1或−5.
故答案为2，1或−5.
【点睛】
本题考查了平方差公式得几何背景，熟练掌握平方差公式的定义是本题解题的关键.
13．已知 ，则 ＝_______．
【答案】100
【解析】
【分析】
根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.
【详解】
由已知可得2x-3y=2，
所以 =102x÷103y=102x-3y=102=100.
长沙市雅礼中学数学整式的乘法与因式分解专题练习（解析版）
一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
1．若 的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．1B．-1C．2D．-2．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据多项式相乘展开可计算出结果.
【详解】
=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.
3．已知x2+4y2=13，xy=3，求x+2y的值，这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决，其中x>y，能较为简单地解决这个问题的图形是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
∵ ，
∴若用边长分别为 和 的两种正方形组成一个图形来解决（其中 ），则这个图形应选A，其中图形A中，中间的正方形的边长是 ，四个角上的小正方形边长是 ，四周带虚线的每个矩形的面积是 .
【答案】M＞N
【解析】
解：M﹣N=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2007）﹣（a1+a2+…+a2007）（a2+a3+…+a2006）
=（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2006）+（a1+a2+…+a2006）a2007﹣（a1+a2+…+a2006）（a2+a3+…+a2006）﹣a2007（a2+a3+…+a2006）
18．若a+b=4，ab=1，则a2b+ab2=________．
【答案】4
【解析】
【分析】
分析式子的特点，分解成含已知式的形式，再整体代入．
【详解】
解：a2b+ab2=ab(a+b)=1×4=4．
故答案为：4.
【点睛】
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵a*b=ab+a+b
∴a*（﹣b）+a*b
=a（﹣b）+a -b+ab+a+b
=﹣ab+a -b+ab+a+b
=2a
故选B．
考点：整式的混合运算．
7．如图将4个长、宽分别均为a，b的长方形，摆成了一个大的正方形，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
A．a2+2ab+b2=（a+b）2
所以（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6．
16．分解因式：2x2﹣8=_____________
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】
先提公因式，再运用平方差公式.
【详解】
2x2﹣8，
=2（x2﹣4），
=2（x+2）（x﹣2）．
【点睛】
考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键.
【点睛】
本题考查多项式相乘展开系数问题.
2．当 时，多项式 .那么当 时，它的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据 时，多项式 ，找到a、b之间的关系，再代入 求值即可.
【详解】
当 时，
当 时，原式=
故选A.
【点睛】
本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a、b之间的关系.