二次根式的基本概念

二次根式知识点的相关概念及对应的公式

二次根式知识点的相关概念及对应的公式一、引言二次根式作为数学中的重要概念，它涉及到了数学运算、代数式简化等方面，对于学习数学的人来说是一个基础而又重要的概念。

在学习二次根式的过程中，我们需要了解相关的概念和对应的公式，并且能够灵活运用于实际问题中。

本文将会从深度和广度的角度，全面评估二次根式的相关概念及对应的公式，并给出一个有价值的文章。

二、二次根式的概念1. 二次根式的定义二次根式是形如$\sqrt{a}$（其中$a\geq 0$）的式子，其中$a$称为被开方数。

我们称$\sqrt{a}$为二次根式，通常可以将$\sqrt{a}$理解为一个数，这个数的平方等于$a$。

$\sqrt{4}$就是一个二次根式，它的值为2，因为$2^2=4$。

2. 二次根式的简化在进行数学运算时，我们经常需要对二次根式进行简化。

当被开方数$a$为某个整数的平方时，二次根式$\sqrt{a}$可以进行化简，即$\sqrt{a}=\pm\sqrt{b}$，其中$b$为$a$的正平方根。

$\sqrt{25}=5$。

3. 二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算，其中需要特别注意的是，二次根式在进行加减运算时，要求根指数相同才能进行运算。

在进行乘法和除法运算时，我们可以利用二次根式的性质进行化简。

三、二次根式的公式1. 二次根式的乘法公式当两个二次根式相乘时，可以利用乘法分配律进行化简，即$(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}) = \sqrt{ab}$。

这个公式在化简乘法运算时非常有用。

2. 二次根式的除法公式当两个二次根式相除时，可以通过有理化的方法，将分母有理化为整数，从而进行化简。

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\frac{\sqrt{ b}}{\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{ab}}{b}$。

3. 二次根式的加法和减法公式二次根式的加法和减法需要根指数相同才能进行运算。

2次根式的概念

2次根式的概念
二次根式是数学中用来表示一个多元方程的一种形式，即这个多
元方程含有2次项。

特别的是，这个多元方程的根的形式都是类似的，即一个多项式的根可以写成a±b的形式，其中a和b都是实数。

一般来说，二次根式有3种不同的形式，分别是一元二次根式、
两元二次根式以及三元二次根式。

一元二次根式通常只含有一个未知数，且只含有一个2次项，这种形式的2次式的根式可以用一元二次
方程或二次多项式来表示。

两元二次根式含有2种不同未知数，且只
含有一个2次项，这种形式的2次式的根式用二元二次方程或2x2阶
方程来表示。

三元二次根式含有3种不同未知数，且只含有一个2次项，这种形式的2次式的根式用三元二次方程或3x3阶方程来表示。

二次根式的计算方法也不尽相同，具体取决于其表示形式以及其
中包含的项的数量。

因此，要想求解二次根式的解，需要根据其表示
形式及其中的项的数量来考虑使用什么方法。

目前应用最广泛的2次根式解法是二次型的特征方程解法。

特征
方程的解就是一个2次式的根式，可以将涉及的多项式降阶成2次项
来求解比较方便。

通常，特征方程解法会给出两个实数解，即方程真根的解。

不管你采用什么样的方法来求解二次根式，最重要的是要把握好各个项在公式中的位置，把握好公式里面的左右式子，以及了解常见的公式的处理方法，只有这样，才能够正确地求解二次根式。

二次根式总结归纳

二次根式总结一、引言二次根式是数学中的一个重要概念，也是初等代数中一个基础的内容。

它在解方程、求根、化简表达式等问题中起着重要作用。

本文将对二次根式进行全面、深入的总结，包括重要观点、关键发现和进一步思考。

二、基本概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

当a为正实数时，√a有两个实数解；当a为零时，√0=0；当a为负实数时，√a没有实数解。

2. 二次根式的性质•非负实数的平方根仍为非负实数；•平方根具有唯一性，即对于任意非负实数a，√a唯一确定。

3. 二次根式的运算•加减法：对于两个二次根式√a和√b，如果它们的被开方数相同，则可以直接相加或相减；如果被开方数不同，则需要化简后再运算。

•乘法：对于两个二次根式√a和√b，它们的乘积可以化简为√ab。

•除法：对于两个二次根式√a和√b，它们的商可以化简为√a√b =√ab，其中b不能为零。

三、重要观点1. 二次根式的化简化简二次根式是解题中常见的操作。

可以利用平方根的性质，将二次根式化简为最简形式。

√8=√4⋅√2=2√2。

2. 二次根式的应用二次根式在解方程、求根、化简表达式等问题中经常出现。

在解关于x的方程时，可能会遇到形如x2=5的方程，需要求得x=±√5。

3. 二次根式与无理数二次根式通常是无理数。

无理数是指不能表示为两个整数的比值的实数。

π和e都是无理数。

而对于正实数a来说，如果其平方不是有理数，则其平方根一定是无理数。

四、关键发现1. 二次根式的图像二次根式的图像是一个开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

图像关于x轴对称。

2. 二次根式的大小比较对于两个非负实数a和b，如果a<b，则√a<√b。

但当a<0时，√a没有实数解。

3. 二次根式的近似值可以使用计算器或牛顿迭代法等方法求得二次根式的近似值。

可以利用牛顿迭代法逼近√2的值。

初中二次根式的知识点归纳

初中二次根式的知识点归纳一、定义1、二次根式：又称二次多项式，指的是二次项不为零的多项式，即具有ax^2 + bx + c 的多项式，其中a≠o。

二、概念1、二次项：又称“平方项”，形式为 ax^2，指的是以被平方的变量为指数的多项式，一般用系数a来表示，a可以是实数或复数。

2、一般式：指具有ax^2 + bx + c 的二次多项式，其中 a、b、c可以是实数或复数，此式也叫二次根式。

3、系数：指二次根式 ax^2 + bx + c 中的 a、b、c，称为它的系数。

三、展开1、运用乘积平方公式，可把二次根式拆分展开：ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2)/(4a) + c2、如果二次根式没有复数系数，可以使用完全平方公式，将二次根式展开为两项，形式为：ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1。

四、解决方式1、平方根法：指将平方根和立方根准确到小数点后两位加减法，称之为平方根法。

2、完全平方公式：将ax^2 + bx + c = (x + a1)^2 + c1 方法，此方法可将一般式Ax^2+bx+c转换为(x+a1)^2+c1的形式，采用此方法可以直接求出根式的解。

3、因式分解法：此方法适用的几何平均数，多次乘方求和，解析求根，其中包含了一些基本算术技巧，比如乘法交换律，变乘法公式等。

五、配套计算器的使用1、计算机的完成二次根式的算子运算，是根据一般式 ax^2 + bx + c = 0 这种二次根式，采用特定的算子运算，得到根式的解及解的类别。

2、计算机在进行算子运算时，根据具体情况采用不同的算子算法，从而得出不同的解，如采用二次公式，可以得出根式的解及解的类别。

3、计算机给出的结果即为根式的解，如配套的计算器能够得到，ax^2+bx+c=0的两个实数根，或有2个复根的情况。

六、实际应用1、二次根式的实际运用比较广泛，它可以用来准确表达物理现象，例如平抛运动中的受力，圆锥曲面等物理现象等。

二次根式的基本定义

知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的，必须含有二次根号。

根指数省略不写。

不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。

2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子。

但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的。

、4、形如b(a的式子也是二次根式，b与是相乘关系，当b是分数时，写成假分数。

5、式子(a表示的是非负数。

6、+b(a和形式是含有二次根式的式子，不能叫二次根式。

二次根式定义：【例1】下列各式，其中是二次根式的是_________（填序号）．变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A D2中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．4、式子：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦⑧中是二次根式的代号为（）A．①②④⑥B．②④⑧C．②③⑦⑧D．①②⑦⑧【例2】若是正整数，最小的整数n是（）A．6 B．3 C．48 D．2变式练习：1、已知：是整数，则满足条件的最小正整数n的值是（）A．0 B．1 C．2 D．52、二次根式是一个整数，那么正整数a最小值是．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。

(a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数，分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0.【例3】式子有意义的x 的取值范围是变式练习： 1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3 B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：12()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．32、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式1取值最小，并求出这个最小值。

二次根式知识点

二次根式知识点二次根式在数学中是一个十分重要的概念，涉及到数学中的代数、方程、函数等多个知识领域。

本文将介绍二次根式的定义、性质、运算法则以及实际问题中的应用，并且通过实例帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的定义在数学中，二次根式是指形如$\\sqrt{a}$的表达式，其中a是一个实数且$a\\geq0$。

该表达式表示的是一个非负实数，使得它的平方等于a，即$(\\sqrt{a})^2 = a$。

二、二次根式的性质1.二次根式的值一定是非负实数，即$\\sqrt{a} \\geq 0$。

2.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} \\cdot \\sqrt{b} =\\sqrt{ab}$。

3.如果$a \\geq 0$且$b \\geq 0$，则$\\sqrt{a} + \\sqrt{b}$不一定等于$\\sqrt{a+b}$。

三、二次根式的运算法则1.加减法：二次根式只有在被加减数相同时才能相加或相减，即$\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{a} = 2\\sqrt{a}$。

2.乘法：二次根式的乘法可按照分配律进行展开，即$(\\sqrt{a} \\pm\\sqrt{b})(\\sqrt{a} \\pm \\sqrt{b}) = a + 2\\sqrt{ab} + b$。

3.除法：二次根式的除法需要进行有理化处理，即将分母中的二次根式消去。

四、二次根式的应用二次根式常常在实际问题中得到应用，比如在几何中计算斜边长、梯形面积等问题中经常会出现。

下面通过一个实际问题来展示二次根式的应用：例题：一个正方形的对角线长为$\\sqrt{2}$米，求正方形的边长。

解答：设正方形的边长为x米，则根据勾股定理可得：x2+x2=2。

化简得到2x2=2，解方程得x=1。

因此，正方形的边长为1米。

结语通过本文的介绍，相信读者对二次根式有了更深入的了解。

二次根式作为数学中的一个基础知识点，在代数、几何、概率等各个领域都有着重要的应用价值。

二次根式概念

二次根式概念一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

即：若，则叫做a的平方根，记作x= 。

其中a叫被开方数。

其中正的平方根被称为算术平方根。

注意事项：被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

[1]最简二次根式最简二次根式条件：被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

二次根式化简一般步骤：把带分数或小数化成假分数；把开方数分解成质因数或分解因式；把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；化去根号内的分母，或化去分母中的根号；约分。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

[1]二次根式的应用主要体现在两个方面：利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题；利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。

这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

[1]性质编辑播报任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。

零的平方根是零，即；负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是。

有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结王亚平1. 二次根式的概念二次根式的定义：形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式

.
3、二次根式的双重非负性
例7 已知实数 x、y、a 满足：
x y 8 8 x y 3x y a x 2 y a 3
x、y、a .问：
以为三边长的线段能否组成一个三角形？如果能，请求出三角形的周长；如果不能，请说明理由.
3、二次根式的双重非负性
1 x 2 x
的图像上，
变式：如果代数式 m
有意义，那么在平面直角坐
象限.
x2 6 x m
标系中，点 P m, n 的位置在第例4 无论x取任何实数，代数式取值范围为 .
都有意义，则m的
2、二次根式有意义的条件
例5 设 a 8 x , b 3x 4, c x .2 a、b、c 都有意义？（1）当x取什么实数时，（2）若a、b、c 为Rt△ABC的三边长，求x的值.
a a a 0, b 0 b b
n
3、二次根式的加减：先化简，再求值 4、根式运算法则： a b ab ,
n n n
a na n b b
最简二次根式：
0.2 x ,
12 x 12 y ,
x2 y2 ,
5ab 2
同类二次根式：
在
ab b 1 b , , , 3 中，与 a3b是同类二次根式的是 2 a ab a
a、b、c ，且 a、b、c 例8 已知△ABC的三边长分别为满足a 2 6a 9 a b 1 c 2 5 0 .试判断△ABC的形状.
几个非负数的和为0，则每个非负数都为0. 初中常见的三大非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）算术平方根.
变式1：若 a b+1 与 a 2b 4 互为相反数

二次根式知识点总结

知识点总结1. 二次根式的概念二次根式的定义：形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义．2. 二次根式的性质1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．3. 最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式4. 二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用a a a =⋅来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；5. 二次根式计算——二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。

)0,0(≥≥⋅=b a b a ab2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

二次根式知识点总结

二次根式【知识点回顾】一、概念：1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

“”叫二次根号，根指数为2，a叫被开方数。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含小数或分数线； ⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

问:同类二次根式被开方数一定相同吗？二、二次根式的性质：（1）双重非负性 a ≥0，a ≥0（2）（a ）2=a （a ≥0）；（3）==a a 2三、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面。

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，找同类二次根式，合并同类a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）二次根式。

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式。

ab =a ·b （a≥0，b≥0）；b ba a=（b≥0，a>0）．二次根式的乘法公式和除法公式返过来可以对二次根式进行化简。

（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+，其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）42-x （2）m1 （3）421-x （4）21-+x x （5）21++x x（6）x x --+21例3、在根式1)222;2);3);4)275xa b x xy abc +-，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。

二次根式的概念

二次根式的概念二次根式是数学中的一个重要概念，通常与平方根有关。

在本文中，我们将深入探讨二次根式的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、二次根式的定义二次根式是指具有如下形式的数学表达式：√a，其中a代表一个非负实数。

√a称为二次根号或平方根，表示满足b²=a的非负实数b。

二次根式可以进一步扩展到包含多个项的复合根式，例如：√(a+b)或√(a-b)。

这些复合根式可以通过符合基本二次根式定义的方法来求解。

二、二次根式的性质1. 非负性质：二次根式的值不会是负数。

因为二次根式的定义要求被开方数是非负实数，所以二次根式的结果也是非负的。

2. 运算性质：二次根式具有一些特殊的运算性质，例如：a) 二次根式的乘法：√a * √b = √(a*b)。

这意味着，二次根式的乘积等于这两个数的乘积的平方根。

b) 二次根式的除法：√a / √b = √(a/b)。

这表示，二次根式的商等于这两个数的商的平方根。

c) 二次根式的化简：对于某些特殊情况，我们可以将一个二次根式化简为更简单的形式，例如√(a²)等于|a|，其中|a|表示a的绝对值。

3. 比较性质：我们可以通过比较两个二次根式的大小。

例如，如果a>b，那么√a>√b。

三、二次根式的应用二次根式在数学中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：二次根式经常出现在几何学的计算中。

例如，计算一个矩形的对角线长度时，我们可以利用二次根式来表示。

2. 物理学：物理学中的许多公式和方程涉及二次根式。

例如，求解自由落体运动中的时间或求解抛物线的轨迹等。

3. 金融学：金融学中的一些复利计算和利率计算也会涉及到二次根式。

例如，计算复利投资的未来价值或计算贷款的月均还款额等。

四、总结二次根式在数学中扮演着重要的角色，其定义、性质和应用都是我们学习数学的基础。

通过本文的介绍，我们希望读者对二次根式有更深入的理解，并能够将其运用到实际问题中。

二次根式

二次根式一、定义1.二次根式：形如式子a （a ≥0）叫做二次根式。

说明：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“ ”，“ ”的根指数是2，一般把根指数2省略。

（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，又可以是一个带有字母的式子，但必须注意a ≥0是a 为二次根式的前提；（3）形如b （a ≥0）的式子也是二次根式b 与a 是相乘的关系，要注意当b 是分数时，不能写成带分数的形式。

二、性质1.二次根式的性质：（1）a （a ≥0）即一个非负数的算术平方根是一个非负数。

（2）（a ）2=a （a ≥0）；即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。

（3）==a a 2 即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值。

2、典型例题例1、如果是二次根式，那么m,n 应满足的条件是（）例2、求下列二次根式中字母的取值范围例3、 - ； =例4、如果a+ =1，那么a 的取值范围是（）。

例5、若化简|1-x|- 的结果是2x-5，则x 的取值范围是（）例6、要使式子有意义，则M 的取值范围是( )a （a ＞0）a -（a ＜0）0 （a =0）；例7、已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）例8、已知a,b为两个连续的整数，且a>则a+b=( )例9、 + =( )例10、=·成立的条件是（）+|x+y-2|=0,则x-y=（）例11、如果=成立，那么（）A. m≥3B. m﹥3C.0≤m≤3D. m≥0例12、已知数a，b=b－a，则 ( )A. a>bB. a<bC. a≥bD. a≤b例13、x为何值时，在实数范围内有意义（）A. x>1B. x<0C. x≥1D. x≤0例14、 =3-a,则3与a的大小关系是( )A. 3>aB. 3<aC. 3≥aD. 3≤a例15、如果x<-4，那么|2- |的值是( )A. 4+xB. -xC. -4-xD. x例16、若有意义，则m能取的最小整数值是（）A. m=0B. m=1C. m=2D. m=3三、化简、运算1、二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（a ≥0，b ≥0）；此法可推广到多个二次根式相乘的情况即 · ·= （a ≥0，b ≥0，c ≥0）b ≥0，a>0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

二次根式的有关概念及性质

二次根式的有关概念及性质概念1.二次根式：式子a (a ≥0) 叫做二次根式。

2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式（即不含分数线）；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

如3a 根号下不是整式，8不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，再如b a 2也不是。

3. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

如2、8、18就是同类二次根式，因为8=22，18=23。

性质 1.a (a ≥0)是一个非负数, 即a ≥0;2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2a =a(a ≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=2a a =⎩⎨⎧<-≥)0(,)0(,a a a a ； 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即b a ab •=（a ≥0,b ≥0）； 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即ba b a =（a ≥0,b>0）。

练习一、当x 的值为何范围时，下列各式才有意义？（1） 66-+-x x （2） 21-+x x （3）12+x （4）12-x x 以第4小题为例解析：首先看该式子含有分母，则01≠-x ，即1≠x 且0≥x ，再看分子则02≥x ，即0≥x ；综上，0≥x 且1≠x 。

前三小题留给同学们自己试试吧！答案：（1）6=x ；（2）2>x ；（3）x 取全体实数二、计算：（1） ()29.0- （2）212 （3）()221- （4）2331⎪⎭⎫ ⎝⎛- 以第4小题为例解析：首先负号在平方的括号内，所以可以直接去掉化简为2331⎪⎭⎫ ⎝⎛，又因为()222b a ab ⋅= 所以上式()2391⋅⎪⎭⎫⎝⎛=31391=⨯=。

前三小题留给同学们自己试试吧！答案：（1）0.9 （2）2（3）12-。

二次根式主要知识点

二次根式主要知识点知识点一：二次根式的概念二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．知识点二：二次根式的性质1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．（2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．（3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的．知识点三：最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。

知识点四：二次根式计算——分母有理化1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：a =来确定，b a -与b a -等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a 与a3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

二次根式的有关概念及性质

二次根式的有关概念及性质二次根式的概念及性质一、二次根式的概念：1.二次根式：形如$\sqrt{a}$（$a\geq 0$）的式子。

2.最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

例如，$\sqrt{4}$含有可开得尽方的因数4，不是最简二次根式；而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最简二次根式。

3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就是同类二次根式。

例如，$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同类二次根式。

4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

例如，$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。

二、二次根式的性质：1.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：$(\sqrt{a})^2=a$（$a\geq 0$）。

2.非负数的算术平方根是非负数，即$\sqrt{a}\geq0$（$a\geq 0$）。

3.某数的平方的算术平方根等于该数的绝对值，即$\sqrt{a^2}=|a|$。

4.非负数的积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积，即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$（$a\geq 0,b\geq 0$）。

5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq 0,b>0$）。

三、例题：例1.求$x$的取值范围，使得以下各式有意义：1) $\frac{1}{\sqrt{6-x}}$；(2) $\sqrt{x^2+3}$；(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$；(4) $\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$；(5) $\sqrt{4-x^2}$；(6) $\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。

二次根式的概念与计算

二次根式的概念与计算二次根式，也称为平方根，是数学中的基本概念之一。

它指的是一个数的平方根，即找到一个数，使得这个数的平方等于给定的数。

在本文中，我们将介绍二次根式的定义、性质以及如何进行计算。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。

读作“根号a”，表示求一个非负实数x，使得x的平方等于a。

例如，√25表示求一个数x，使得x的平方等于25，显然x=5，所以√25=5。

二、二次根式的性质1. 非负实数的二次根式是唯一的。

例如，√16=4，而不会有其他的非负实数满足x^2=16。

2. 若a≥0，则有√a≥0。

即二次根式的值不会是负数。

3. 二次根式可以进行加减运算。

例如，√9+√16=3+4=7。

4. 二次根式可以进行乘法运算。

例如，√9*√16=3*4=12。

5. 二次根式可以进行除法运算。

例如，√16/√4=4/2=2。

6. 若a>b≥0，则有√a>√b。

即较大的数的二次根式值更大。

三、二次根式的计算方法1. 化简二次根式：如果二次根式中的被开方数存在平方因子，可以将其化简。

例如，√36=√(6^2)=6。

2. 合并同类项：对于同根号下的数可以进行合并。

例如，√2+√8=√2+√(4*2)=√2+2√2=3√2。

3. 有理化分母：将分母为二次根式的分式转化为分母为有理数的分式。

例如，1/√3=√3/3。

4. 进行四则运算：对于二次根式的加减乘除运算，可以根据性质进行计算。

例如，(√5+√3)^2=5+2√15+3=8+2√15。

总结：二次根式是数学中的重要概念之一，它表示一个数的平方根。

在计算中，我们可以根据二次根式的性质进行化简、合并、有理化分母以及进行四则运算。

通过掌握二次根式的概念和计算方法，我们可以更加灵活地运用它们解决实际问题。