对数函数导学案
对数函数导学案
必修一 第三章第二节 对数函数赵宇课前预习学案一、预习目标理解对数函数的概念，正确画出对数函数图像，掌握对数函数的性质。
二、预习内容1. 对数函数的定义2. 画出x y 2log =和x y 21log =的图像3. 画出x y 3log =和x y 31log =的图像4. 总结归纳对数函数的图像与性质课堂探究学案一、学习目标1、理解对数函数的概念，正确画出对数函数图像，掌握对数函数的性质。
2、培养学生处理图像和应用函数解决实际问题的能力。
学习重点：对数函数的定义，图像和性质学习难点：对数函数图像和性质的理解二、知识反馈：三、知识回顾：四、学习过程【新课探究】回顾对数式与指数式的互化，将指数函数式转化成对数函数式，得到对数函数。
探究并完成下面的填空题。
1. 对数函数的定义：形如_______的函数称为对数函数。
它的定义域是_____,值域是_____。
注：①x a log 前面的系数为1,自变量在真数的位置,底数a 必须满足______。
②以10为底的对数为x y lg =，以e 为底的对数为______。
2. 画出x y 2log =和x y 1log =的图像3. 画出x y 3log =和x y 31log =的图像1.小组讨论探究对数函数的图像和性质 ()1,0log ≠>=a a x y a2.总结规律多个图象像支花，（1,0）过点把它扎，上升递增下降减，底互倒时横轴夹，函数值为任意数，数轴右边图象查，若要比较底数值，令y 为1看大小。
【课堂检测】1. 比较大小⑴ 3log 2和.53log 2 ⑵ 3log 21和.53log 21 ⑶ 3log a 和.53log a总结：底数相同，用对数函数单调性比较大小 ⑷ 3log 21和 4331log ⑸ 3log 4和 4log 3总结：底数不同时，寻求中间值作媒介进行比较2. 求定义域⑴)1,0)(-4(log ≠>=a a x y a⑵)x -2(log 22x y = ⑶)-2(log 21x y = 【学后总结与反思】1、学完本节课，你都有那些收获？2、学完本节课，你还存在哪些问题，该如何去解决？【课后作业】1、求下列函数定义域()5log 1y x =- 21l o g y x = 71l o g 13y x =-y =2、比较大小（1）10log 6与10log 8；（2）0.5log 6与0.5log 4（3）30.4，0.43，0.4log 33、求下列函数图像经过的定点坐标l o g a y x =____________________log (3)a y x =+____________________ log 1a y x =-__________________log (21)2a y x =-+________________ 形如log ()a y x m n =++的图像过定点__________________________4、已知函数[]3()2log ,1,9f x x x =+∈，求函数[]22()()y f x f x =+的最大值及y 取最大值是x 的值。
4.4.2对数函数的图象和性质导学案
4.4.2对数函数的图象和性质导学案学习目标：1、通过画图，归纳出对数函数的性质，培养直观想象和逻辑推理的素养.2、掌握对数函数的图象及性质，初步会用对数函数的性质解决简单问题.3、理解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数的关系. 学习重点：对数函数的图像与性质.学习难点：利用指数函数与对数函数的关系研究对数函数的图像与性质，体会类比、转化的思想.学习过程： 一、课前准备复习指数函数图象及性质；对数函数的定义 二、新课导学 1、温故知新(1) 对数函数的概念：_______________________________________________ (2) 对数的由来：_______________________________________________ (3) 学习指数函数的图象与性质时的研究方法和过程：_________________________________ 2、学习探究(1) 用列表、描点、连线的方法在同一坐标系中画出x y 2log =和x y 21log =函数图象思考：这两个函数的图象有什么关系呢？(2) 在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象)log log log log log log (413121432x y x y x y x y x y x y ======、、、、、三、合作探究（一）根据图象，类比研究指数函数性质的方法，归纳对数函数的图象特征和性质，完成下列四、合作探究（二）小组探究讨论P135《探究与发现》五、典例解析例1、比较对数值的大小：6log 7log )3(;2log 2log )2(;34log 43log )1(76513155与与与例2、对数函数的图象问题，比较a 、b 、c 、d 、1的大小。
例3、函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是( )A B C D变式、画出函数y=|log 2(x+1)|的大致图象，并写出函数的值域和单调区间例4、解对数不等式)10)(14(log )72(log )3(;2)2(log )2();4(log log )1(37171≠>->+<+->a a x x x x x a a ，且六、总结提升 七、课后作业1、课本P135的1~3题，P160的2题，P161的11题2、选做题),1()1,0.()1,21.()21,0.()1,0(.)(02log )1(log 2+∞<<+ D C B A a a a a a 的取值范围是，则若x y 0 1y =log a x y =log b x y =log c xy =log d x。
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2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。
对数函数导学案
学习内容 2.2 对数函数及其性质【学习目标】①理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.②掌握对数函数的图像和性质.二、学习重、难点1、重点：对数函数及其基本性质；2、难点：.对数函数图像及其应用【课前预习案】-------自主学习1．一般地，我们把函数___________________（10≠>aa且）称为对数函数.2.1>a时，函数xyalog=的定义域为___________________，值域为___________________，单调___________________区间___________________，)1,0(∈x时，y___________________0，),1(+∞∈x时，y___________________0.3.10<<a时，函数xyalog=的定义域为___________________，值域为___________________，单调___________________区间___________________，)1,0(∈x时，y___________________0，),1(+∞∈x时，y___________________0.4.xy10log==___________________叫做常用对数，xyelog==___________________叫做自然对数.【具体要求】阅读课本70--73页解决课前预习中的问题【学法指导】自主探究、合作交流【课堂探究】阅读课本第70页到72页的内容，尝试回答下面的问题探究1、元旦晚会前，同学们剪彩带备用。
现有一根彩带，将其对折后，沿折痕剪开，可将所得的两段放在一起，对折再剪段。
设所得的彩带的根数为x ，剪的次数为y ，试用x 表示y .新知：对数函数的概念试一试：以下函数是对数函数的是（ ）A.2log (32)y x =- B. (1)log x y x-= C. 213log y x = D. ln y x = E. 23log 5y x =+探究2、探究2：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 作图：在同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =； 0.5log y x =.新知：对数函数的图象和性质：1a >01a <<图 象定义域 值域 过定点 单调性【展示点评】----------我自信 具体要求：（1）书写、格式规范。
对数函数的图像和性质导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.4.2 对数函数的图像和性质一、学习目标1. 掌握对数函数的图象与性质2. 能利用对数函数的图象与性质比较大小解决与单调性、定点相关问题 二、知识梳理（复习导入）对数函数的概念：一般地，函数 (ɑ>0，且ɑ≠1)叫做对数函数. （新授探究）指数函数的图像及性质探究1：画出y =log 2x ，y =log 12x 的图象，探究两个函数的图象有什么区别和联系？探究2：此关系是否也适用于函数y =log a x (01)且>≠a a 与y =log 1ax (ɑ>0，且ɑ≠1的图象？探究3：能否用数学方法证明上述结论的成立？对数函数的图像及性质：xy =log 2x y =log 12xy =log 3x y =log 13xy =log 4x y =log 14x函数y =log a x （10<<a ）y =log 1ax （1>a ）图 象定义域 值 域 性定 点探究4：对数函数与指数函数的联系1、对数函数y =log _a x （a >0，且a ≠1）和指数函数y =a ^x "（" a >0"，且" a ≠1"）"互为 2、反函数的特点：（典例剖析） 1、比较大小2．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y ＝log a 1x ，y ＝log a 2x ，y ＝log a 3x ，y ＝log a 4x 的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？3．求的值域. （课堂小结）◆ 对数函数的性质：定义域、值域、定值、单调性、奇偶性 ◆ 反函数的概念三、课后作业：P135页练习1、2、321y=log x x ,82⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，质 单调性奇偶性y =log a x 与 y =log 1ax 的图象关于________________。
3.2 对数函数 导学案优秀教案精讲例题教案
3.2 对数函数3.2.1 对数课标知识与能力目标1.掌握对数的概念和运算性质，理解对数运算与指数运算互为逆运算．2.能运用对数的概念及其与指数的关系推导几个常见的公式和运算性质，并能熟练运用．3.掌握换底公式，了解用换底公式可以讲给对数式转换成自然对数或常用对数．知识点1 对数1.对数的概念：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b 次幂等于N ，即N a b =，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2.常用对数：通常以10为底的对数称为常用对数，为了方便起见，对数N 10log ，简记为N lg .3.自然对数：以e 为底的对数称为自然对数．其中e ＝2.718 28…是一个无理数，正数N 的自然对数N e log 一般简记为N ln ．4.换底公式：一般地有aNN c c a log log log =，其中a>0，a≠1，N>0，c>0，c≠1，这个公式称为对数的换底公式． 典型例题考点1：指数式与对数式的互化1．并非所有指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a>0，a≠1，N>0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N ． 2．对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：例1 (1)将下列指数式化为对数式：①3-3＝127；②348＝16；③a 5＝15．(2)将下列对数式化为指数式：①5243log 3=；②3271log 31=；③1-1.0lg =．例2 log (0,1,0)b N a b b N =>≠>对应的指数式是____________．考点2：求对数的值例1 计算下列各式的值：(1)001.0lg ；(2)8log 4；(3)e ln ．例2 求下列各式的值：(1)3log 9；(2)25.0log 2；(3)393log ；(4)35.02log ．考点3：对数的基本性质及对数恒等式 例1 计算：(1))5(log log 52； (2)2231log 12+-； (3)c b b a b a log log ⋅(a ，b ＞1，c>0)．考点4：对数运算中的转化思想 例1 求下列各式中的x ：(1)27log x ＝32； (2)x 2log ＝－23； (3))223(log +x ＝－2； (4))(log log 25x ＝0．例2 求下列各式中x 的取值范围：(1))10lg(-x ； (2))2(lg )1(+-x x ； (3)2)1()1(lg -+x x .考点5：对数运算性质的应用 1.基本性质：（10≠a a ，且＞）(1)1log =a a ； (2)01log =a ； (3)N a Na=log ； (4)N a N a =log .2.运算性质：（10≠a a ，且＞） (1)N M MN a a a log log )(log +=； (2)N M NMa a log log log a-=； (3)M n M a n a log log =.例1 求下列各式的值： (1)245lg 8lg 344932lg 21+-； (2)22)2(lg 2lg 2)5(lg -+．例2 计算下列各式的值：(1)lg 3＋2lg 2－1lg 1.2； (2)log 28＋43＋log 28－43．考点6：换底公式的应用 例1 (1)计算6log 16log 194+＝________； (2)已知log 23＝a,3b ＝7，则log 1256＝________.(用a ，b 表示)．例2 (1)化简：532111log 7log 7log 7++； (2)设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值．例3 (1)已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；(2)已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28．考点7：对数的应用题步骤：1.依据题意建立等量关系；2.利用对数的定义及运算性质对上述等量关系变形；3.借助已知数据(或计算器)估值；4.下结论．例1 某化工厂生产化工产品，去年生产成本50元/桶，现使生产成本平均每年降低28%，那么几年后每桶生产成本为20元？(lg 2≈0.301，lg 3≈0.477 1，精确到1年)．例2 光线每通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，通过x块玻璃板以后的强度值为y.(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来强度的一半以下？(根据需要取用数据lg 3≈0.477 1，lg 2≈0.301 0)能力提优题型1：指数与对数的互化例1 把x x xx ee e e y --+-=转化为用含y 的式子表示x 的形式．题型2：相等幂指数式问题 例1 设3643=+b a ，求ba 12+的值．例2 设),0(,,+∞∈z y x ，且z y x 643==． （1）比较z y x 6,4,3的大小； （2）求证：yxz2111=-．。
对数函数导学案
对数与对数函数导学案一、 学习目标：1、理解对数的概念，掌握对数的基本运算，并领会对数函数的图像与性质；2、会灵活使用对数函数的图像和性质解决与对数函数相关的问题；3、加深对图像法、比较法等一些常规方法的理解，进一步体会分类讨论，数形结合等数学思想。
二、重点：对数函数的图像与性质的应用。
难点：利用对数函数的性质来解决实际问题。
三、课前热身：1、指数式与对数式的关系：N a b =⇔ (10≠>a a 且)2、对数恒等式：=1log a ， =a a log ， =N a a log (10≠>a a 且)3、运算法则：⎪⎩⎪⎨⎧===na a a log N Mlog (MN)log M4、换底公式：5、换底公式的两个较为常用的推论：（1） =⋅a b b a log log ； （2） =n a b m log （ a , b > 0且均不为1）四、随堂演练1、已知732log [log (log )]0x =，那么12x -等于（ ）A 、13 B 、123 C 、122 D 、1332、函数(21)log 32x y x -=-的定义域是（ ）A 、),1()1,32(+∞B 、),1()1,21(+∞C 、),32(+∞D 、),21(+∞3、若16log log 8log 4log 4843=⋅⋅m ，则m 的值为（ ） A ．2 B.9 C.18 D.174、已知x e f x =)(，则)5(f 等于（ ）A ．5ln B.5ln - C.e 5log D.5e5、若0log log 2121<<n m ，则（ ）A 、1<<m nB 、1<<n mC 、n m <<1D 、m n <<1 6、若12log <a ，则a 的取值范围是（ ）A 、)2,1(B 、),2()1,0(+∞C 、)2,1()1,0(D 、)1,0(7、若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个根，则2)(lg ba等于（ ）A 、2B 、21C 、4D 、418、 当10<<a 时，在同一坐标系中，函数y =a －x与y ＝log a x 的图象是（ ）9、为了得到函数103lg+=x y 的图象，能够把函数x y lg =的图象（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 10、已知()log x+1 (01)a g x a a =>≠且在()10-，上有()0g x >，则1()x f x a +=是（ ）A 、在(),0-∞上是增加的B 、在(),0-∞上是减少的C 、在(),1-∞-上是增加的D 、在)1,(--∞上是减少的11、已知集合{}2,log 2>==x x y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥==0,)21(x y y B x ，则A B = 。
《对数函数图像及其性质》导学案
《对数函数图像及其性质》导学案对数函数图像及其性质导学案1. 引言本导学案旨在介绍对数函数的图像及其性质。
对数函数是数学中一种重要的函数类型，具有广泛的应用领域。
通过研究对数函数的图像和性质，我们可以更好地理解和应用对数函数。
2. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底的对数函数，一般表示为 $y = \log_{a}x$，其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$。
对数函数的定义域为正实数集合 $x>0$，值域为实数集合。
3. 对数函数的图像对数函数的图像在直角坐标系中呈现一条曲线，具体的图像形状和走势与底数 $a$ 的大小有关。
下面以底数 $a=2$ 和底数$a=\frac{1}{2}$ 为例进行说明。
3.1 底数为2的对数函数图像当底数 $a=2$ 时，对数函数 $y = \log_{2}x$ 的图像如下所示：.png)3.2 底数为1/2的对数函数图像当底数 $a=\frac{1}{2}$ 时，对数函数 $y =\log_{\frac{1}{2}}x$ 的图像如下所示：.png)4. 对数函数的性质对数函数具有以下几个重要的性质：- 对于任意正实数 $x_1$ 和 $x_2$，以及任意实数 $k$，都有$\log_{a}(x_1 \cdot x_2) = \log_{a}x_1 + \log_{a}x_2$ 和$\log_{a}(x_1^k) = k \cdot \log_{a}x_1$。
- 对于任意正实数 $x$ 和 $a > 1$，有 $\lim_{x \to +\infty}\log_{a}x = +\infty$。
换言之，当自变量 $x$ 趋向正无穷时，对数函数的取值趋向正无穷。
- 对于任意正实数 $x$，有 $\lim_{x \to 0^{+}} \log_{a}x = -\infty$。
对数函数及其性质三个导学案
§2.2.2 对数函数及其性质（1）一、学习目标 1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 探索对数函数的单调性与特殊点； 二、学习重点：对数函数的图象，性质。
难点：学会研究函数性质的方法三、学习方法：通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.四、学习过程复习：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式，课本P67，例6）2、学习探究探究任务一：对数函数的概念问题：根据上题，用计算器可以完成下表： 碳14的含量P0.50.30.10.010.001生物死亡年数t 5730 104457 20000 400000 600000 讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系573012log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，其中x 是自变量是； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质（教材P 70~ P 71） 问题：你能类比前面课本P54～P56讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.（1）2log y x =； （2） 0.5log y x =. 解：2log y x =的图象 0.5l o g y x =的图象 反思： （1）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？a >1 0<a <1图 象性 质 (1)定义域： (2)值域： (3)过定点：(4)单调性： （2）图象具有怎样的分布规律？ 典型例题 例1．看会课本P71例7， 例2．看会课本P72例8小结：利用单调性比大小；注意格式规范.五、动手试试练1. 课本P75第10题，做书上。
对数函数的概念导学案
4.3.1 对数函数的概念导学案【学习目标】1. 理解对数函数的概念，能够解释数学概念和规则的含义.2. 理解对数函数与指数函数的关系，能够在关联的情景中抽象出一般的数学概念和规则.3.能够通过指数函数底数取值范围的要求，归纳出对数函数的底数的取值范围.一、导：预习课本P130—P131，理清概念并完成下面问题。
（5分钟）问1：什么是对数函数？定义域是多少？问2：对数函数为什么是函数？二、思、议、展(20分钟)【基础自测】1．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a ＞0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)D ．y ＝ln x2. 据统计, 第x 年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量: y (只)近似满足:()3log 2y a x =+, 观测发现第1年有越冬白鹤3 000只, 估计第7年有越冬白鹤( ) A.4 000 只B.5 000 只C.6 000 只D.7 000 只3. 函数y ＝lg(3x －2)的定义域是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[23，＋∞)D ．(23，＋∞)探究一：对数函数的概念（5分钟）例1. 下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个探究二：对数函数的定义域（10分钟）例2. 求下列函数的定义域：(1))1(log 23-=x y ； (2)y ＝log a (3+x )(a ＞0，且a ≠1)．例3. 假设某地初始物价为1，每年以6%的增长率递增，经过y 年后的物价为x. （1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律.三、评（3分钟）四、检：完成课本P131练习1，2，3及下列当堂检测题.（10分钟） 1. 下列函数中是对数函数的是( ) A.14log y x =B.14log (1)y x =+ C.241log x y =D.14log 1y x =+2. 函数f (x )＝lg1－xx －4的定义域为( ) A ．(1,4)B ．[1,4)C ．(－∞，1)∪(4，＋∞)D ．(－∞，1]∪(4，＋∞)3.函数()ln f x x =的定义域是( )A.()0,2B.[]0,2C.()2,+∞D.()0,+∞。
人教版高中数学必修一4-4-2 《对数函数的图象和性质》导学案
通过建立对数函数模型解决简单的实际问题，体会对数函数在解决实际问题中的作用，从而进一步理解“函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具”，提升数学建模、数学运算和逻辑推理等数学核心素养。
思考：胃酸中氢离子的浓度为2
2.510-⨯摩尔/升，胃酸的pH 是多少？（lg 20.301≈）
设计意图：
体会数学来源于生活，应用于生活，生活处处有数学。
我们要学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。
【课堂小结】通过本节课有什么收获？
学生归纳，补充
1.知识方面
2.思想方法方面
3.研究新函数的基本方法
设计意图：
结合指数函数和对数函数的研究过程基本一致，引导学生明确研究函数的主要内容是概念、图象、性质以及应用，知道应该如何研究一类新函数，提高学习能力。
【课后探究】
1．对于指数函数2x y =，你能利用指数与对数间的关系，得到与之对应的对数函数吗？它
们的定义域、值域之间有什么关系？结合课本135页“探究与发现”，探究互为反函数的两个函数的图象间的关系。
2．观察课本133页图4.4-4，你能总结出对数函数中底数a 的大小对图象的影响吗？并比较下图中,,,a b c d 的大小。
对数函数导学案(全章)
对数函数导学案(全章)导学目标本章主要介绍对数函数及其性质，通过研究，你将了解以下内容：- 对数函数的定义与表示方法；- 对数函数的性质及其与指数函数之间的关系；- 对数函数在实际问题中的应用。
1. 对数函数的定义与表示方法1.1 对数函数的定义对数函数是一种能够描述指数运算逆运算的数学函数。
设正数a > 0 且a ≠ 1，b > 0，则以 a 为底 b 的对数，记作logₐb，定义为满足a^logₐb = b 的实数。
1.2 对数函数的表示方法对数函数可以用不同的表示方法来表示，常见的有以下两种：- 指数形式：logₐb = x，表示以 a 为底 b 的对数为 x；- 运算形式：logₐb = logc b / logc a，表示以 a 为底 b 的对数，等于以任意正数 c 为底 b 的对数与以 c 为底 a 的对数的商。
2. 对数函数的性质与关系2.1 对数函数的性质对数函数具有以下性质：- logₐa = 1；- logₐa^x = x，其中 a > 0，a ≠ 1；- logₐ1 = 0，其中 a > 0，a ≠ 1；- log₁₀10 = 1，log₂2 = 1。
2.2 对数函数与指数函数的关系对数函数与指数函数之间存在着紧密的联系：- 若 a^x = b，则logₐb = x；- 若logₐb = x，则 a^x = b。
3. 对数函数的应用对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 在经济学中，对数函数可以用来描述利率、复利和指数增长等问题；- 在物理学中，对数函数可以用来描述声音的音量、地震的震级等问题；- 在计算机科学中，对数函数可以用来描述算法的时间复杂度等问题。
总结本章主要介绍了对数函数的定义与表示方法，对数函数的性质与指数函数的关系，以及对数函数在实际问题中的应用。
通过研究，你可以更好地理解并运用对数函数解决相关的数学问题。
参考资料:- 张宇老师. (2021). 《高中数学》. 北京师范大学出版社.。
对数函数导学案
对数函数导学案【学习要求】①理解对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律；②掌握对数函数的性质，并能利用对数函数的性质初步解决一些有关求函数定义域、比较两个数的大小等. 对数函数是什么？在细胞分裂的问题中，细胞分裂个数y 和分裂次数x 的函数关系用指数函数 表示；那么，分裂次数x 与细胞的个数y 的关系式可用 表示，习惯上，用 表示自变量，用 表示函数值，分裂次数x 与细胞的个数y 的关系式可改为 一：对数函数的定义一般地，函数______________叫做对数函数，其中x 叫做_________,函数的定义域为________________. 概念巩固：下列函数是对数函数吗？二、对数函数的图像三个步骤：列表 → 描点 → 连线『试一试』：在同一坐标系中，用描点法作出3log y x =和13log y x =的图像.『思一思』（教材73页探究）选取底数(00,1)a a >≠且的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数图像. 观察有什么共同特征？x24(1)log (2)(2)3log (3)ln y x y x y x ===122log log y x y x ==在同一直角坐标系中画出和的图象三、对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像和性质四、例题例1、 求下列函数的定义域：(3)y = 2(4)log (164)x y =-例2、 比较大小:(1)l og 23.4与 log 28.5思考:如果改成以0.3为底, log 23.4 log 28.5如果改为以a 为底, log 23.4 log 28.5变式训练(教材74页)已知下列不等式，比较正数m ，n 的大小：五、课后作业红对勾卷子76(2)log 5,log 72(1)log a y x =(2)log (4)a y x =-33(1)log log m n <0.30.3(2)log log m n>(3)log log a a m n <。
对数函数导学案
第九课时 对数函数（1）【学习目标】通过具体实例了解对数函数的概念，并知道对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 互为反函数；掌握对数函数的图象和性质，并能应用它们解决一些简单问题。
【重点】对数函数的概念与性质。
【难点】对数函数性质的运用。
【活动过程】活动一：复习探究，感受数学对数式与指数式的互化问题1：y x 2log =这个式子能否把它看成x 是y 的函数？活动二：小组合作，建构数学1、对数函数定义：2、（1）作xy 2=与x y 2log =的图像。
问题2：函数log a y x =与函数x y a =)10(≠>a a 且的定义域、值域之间有什么关系？ 问题3：对数函数的图象与指数函数的图象关于直线 对称。
（2）作x y 2log =与x y 21log =的图像。
（3）作x y 2log =与x y 3log =的图像。
3、对数函数的图像与性质5、指数函数x y a =(0,1)a a >≠与对数函数log a y x =(0,1)a a >≠称为互为反函数。
6、一般地，如果函数()y f x =存在反函数，那么它的反函数，记作活动三：学习展示，运用数学例1、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log a y =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y例2、利用对数函数的性质，比较下列各组数中两个数的大小：（1）2log 3.4，2log 3.8； （2）0.5log 1.8，0.5log 2.1；（3）7log 5，6log 7； （4）2log 3，4log 5，32例3、已知0<log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。
变1：已知log 4log 4m n <，则m ，n 的大小又如何？变2：(1)若4log 15a<(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围； （2）已知(23)log (14)2a a +->，求a 的取值范围； 活动四：课后巩固一、基础题1、函数5log (23)x y x -=-的定义域为 ，函数的定义域是2、 比较下列各组数中值的大小：（1）2log 3.4 2log 8.5；（2）0.3log 1.8 0.3log 2.7（3）log 5.1a log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8 （5）2log 0.4 3log 0.4，3、已知a 2>b>a>1，则m=log a b ，n=log b a ，p= log ba b 的大小关系是 4、解下列方程：（1）35327x += （2 ） 55log (3)log (21)x x =+ （3）lg(1)x =-5、解不等式：（1）55log (3)log (21)x x <+ （2）lg(1)1x -<6、设函数lg(1)lg(2)y x x =-+-的定义域为M ，函数2lg(32)y x x =-+的定义域为N ，则M ，N 的关系是7、已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（1）11()(2)()43f f f >>（2）11(2)()()34f f f >> （3）11()()(2)43f f f >> （4）11()(2)()34f f f >> 二、提高题：8、若2log 13a <(0a >且1)a ≠，求a 的取值范围。
《2.2对数函数》导学案1
《2.2对数函数》导学案1解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)alog a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32.分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数． 二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0. (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝nlog a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解． 解 由已知，得原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2) ＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式： log a b ＝log c blog c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m＝mn log a b .例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log35.分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底．解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35 ＝52log 25×12log 52＝54.点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．对数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c Nlog c a ，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得 log c a p ＝log c N ，即plog c a ＝log c N . 所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c Nlog c a . 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m＝mn log a b (a >0且a ≠1，b >0)．例4 (1)已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645的值； (2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值． 解 (1)因为log 189＝a ，18b ＝5， 所以lg 9lg 18＝a .所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. 所以log 3645＝lg5×9lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a .(2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364 ＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63 ＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6.点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值． 解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3.所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单． 此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b Mlog b N ；log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a Nlog b N ＝log a b ；Nlog a M ＝Mlog a N .对数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间． 解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足 f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称． 当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于( ) A .13B . 2C .22D ．2解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示． f (x )在[0，1]上是单调增函数，且值域为[0，1]， 所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1， 所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D . 答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论； (2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)． 三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解 在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解 因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1，在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知： (1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0； (2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个； (3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同．三类对数大小的比较一、底相同，真数不同例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析 底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小． 解 由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33. 当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 故log a 2<log a 33； 当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解 方法一 在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图． 在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方， 故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数， 所以log 30.1<log 30.5<0. 所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同 例12 比较log 323与log 565的大小．分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小． 解 因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数， 故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0， 所以log 323<log 565.点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.初学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域． 错解 对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0， 所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数． 正解 {x |x ≠－1} 二、忽视1的对数为0 例14 求函数y ＝1log 22x ＋3的定义域．错解 由2x ＋3>0，得x >－32， 所以定义域为{x |x >－32}．剖析 当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点． 正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( ) A ．－4 B ．－2或3 C ．3D ．－4或5错解 由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0， 解得x ＝－2或x ＝3.故选B .剖析 忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy 的值．错解 因为lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或xy ＝4， 所以log 2x y ＝0，或log 2xy ＝4.剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解 因为lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0， 所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即xy ＝4， 所以log 2xy ＝4.五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值． 错解 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1， 所以a ＝2.剖析 对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题． 正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数， 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1， 所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数， 由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1， 所以a ＝12，又0<12<1，符合题意， 综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x ＋x ＝3的解所在区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，＋∞)答案 C解 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝lg x 与y ＝－x ＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x 0显然在区间(1，3)内，由此可排除选项A 、D .实际上这是要比较x 0与2的大小．当x 0＝2时，lg x 0＝lg 2，3－x 0＝1.由于lg 2<1，因此x 0>2，从而判定x 0∈(2，3)．点评 本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x ＋x ＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1，1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0，1)．答案(0，1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．对数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4已知函数f(x)为对数函数，且满足f(3＋1)＋f(3－1)＝1，求f(5＋1)＋f(5－1)的值．解设对数函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，由已知得log a(3＋1)＋log a(3－1)＝1，即log a[(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2. 二、考查对数的运算性质 例5 log 89log 23的值是( ) A .23B ．1C .32D ．2解析 原式＝log 29log 28·1log 23 ＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值． 解 由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ， 所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1， 所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B .⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．(0，＋∞)答案 A解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0.例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析 由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2 ＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6； 当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13. 答案 13 6 五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( ) A .24B .22C .14D .12解析 由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a ，2a ]上递减，在区间[a ，2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24.答案 A六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________．解析 由已知，不等式可化为x 2<log a x . 所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时，函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示． 答案 [116，1)点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡． 理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B . 例11 比较大小：log 932，log 8 3.解 由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83， 所以log 932<log 8 3.点评 以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取． 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略． 理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且AB >1，则A >B .例12 比较大小：(1)log 47，log 1221； (2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1) ＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412，由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221.(2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零， 所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1， 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|， 所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B . 例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)． 解 因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1nn ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评 将本例推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解． 理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B . 例14 比较大小：log 123，log 138. 解 令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ， 于是2－(－2＋x )＝3，3－(－2＋y )＝8， 则2－x－3－y＝34－89<0，故2－x <3－y .两边同时取对数，化简得xlg 2>ylg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138.点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f x 1＋f x 22＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lgx ，x ∈[10，100]，则函数f (x )＝lg x 在[10，100]上的均值为( )A .32B .34C .110D ．10分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ， 所以x 1x 2＝102c ＝100c . 因为x 1，x 2∈[10，100]，所以x 1x 2∈[100，10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2. 从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A . 答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0，2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3B .34C ．2D .23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析 画出函数图象如图所示． 由log 2a ＝－2得a ＝14. 由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1，4]．考虑函数定义域，满足值域[0，2]的取值情况可知， 当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B . 答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log m α－3α＋3＝log mβ－4，log mβ－3β＋3＝logmα－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论． 设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6x 1－x 2x 1＋3x 2＋3<0， 那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数． 若m 存在，当0<m <1时，则⎩⎪⎨⎪⎧log m β－3β＋3＝log mβ－4，log mα－3α＋3＝logmα－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0.显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一 判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个． 答案 C考点二 函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞考点三 求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四 比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析由2a >0， ∴log 12a >0， ∴0<a <1. 同理0<b <1，c >1， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝log 12x 的图象如图所示，观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析 首先比较a ，b ， 即比较3ln 2，2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D .同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1. 6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1，30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0， 故log 40.3<0.43<30.4.故选C . 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2D ．log a (xy )>2解析 取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D . 答案 D。
对数函数函数及其性质导学案
高一数学导学案 对数函数及其性质（1）导学案备课人：冯春祥学习目标：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 通过比较、对照的方法，结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法。
学习过程 一、课前准备复习1 ：画出 xy 2=xy )21(=的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质复习2：生物机体内碳 的“半衰期”为 5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14 的残余量为P ，试推算马王堆古墓的年代（列式） 二、新课导学※探究任务一：对数函数的概念讨论： 复习2中t 与 P 的关系？（对每一个碳14 的含量 P 的取值，通过对应关系P t 573021log=，生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应，从而 t 是 P 的函数）新知：一般当a>0且 ≠1 时，形如叫做对数函数，,函数的定义域是 判断：x y 2log 2= ，)5(log 5x y =为对数函数吗？※探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试一试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象(1)x y 2log = (2)x y 21log =思考讨论：观察图象，类比指数函数性质，你能归纳出对数函数的哪些性质？※典型例题例1 求下列函数的定义域 (1)2log x y a = (2))3(log x y a -=变式：求函数式x y x -=3log 的定义域动手试试：练1求下列函数的定义域(1))6(log --=x y a (2)3221log log -=x y例2比较下列各题中两个数值的大小(1)5.3log 3log 22和 (2)7.2log 8.2log 3.03.0和 (3)9.5log 1.5log a a 和小结：利用比大小；注意格式规范： 动手试试：练2：比较下列各题中两个数值的大小(1)5.8ln 4.3ln 和(2)4log 7.0log 3.02.0和(3)8.1log 61.1log 7.07.0和（4）2log 3log 32和 三、拓展与提高：(1)解关于a 的不等式（2）如右图：判断四条函数图像中底数大小 四、总结提升※本节学习小结 ： 五、当堂检测1． 函数)3(log )1(x y x -=-的定义域是2． 比大小（1）6log 7log 76和（2）5.1log 8.0log 32和 3． 函数)1(log 22≥+=x x y 的值域为8.对数函数（2）一．自主梳理1.对数函数的定义、定义域和值域分别是什么？2.画出对数函数的图象，并说明它的性质。
对数函数导学案
对数函数导学案编制人：张宇审核人：程国栋学习目标：1、理解对数函数与指数函数的互逆关系，并在此基础上研究对数函数的图象与性质。
2、掌握对数函数的图象和性质。
3、了解函数图象的变换。
4、能利用对数函数的增减性解决有关问题。
【预习案】（一）复习回顾（1）指数函数的定义（2）指数函数的图像（3）指数函数的性质【探究案】我们指数函数基础上来理解对数函数的概念、性质与图象。
1、对数函数的概念2、对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域值域过点)1,0(∈x时)1,0(∈x时),1(+∞∈x 时 ),1(+∞∈x 时在（0，+∞）上是在（0，+∞）上是【课堂练习】1：求下列函数的定义域： （1）32logx y = (2)y=x3log1(3)34log50-=⋅x y (4) )32()5(log--=x x y2：求下列函数的值域： （1）41212-=--x y （2）)(log 2x x y a --=)10(<<a（3）)52(log 22++=x xy （4）)54(log 231++-=x x y评析：（1）当底数相同且确定时，根据对数函数的单调性比较大小（2）当底数相同不确定时，分底数大于1和小于1两种情况 （3）当底数不同真数相同时，根据对数函数图象特点比较大小 （4）当底数、真数都不相同时，通过中间变量比较大小4、求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明5、已知函数)32(log)(221+-=ax x x f（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围8.0loglog )5(;6log7log4;3.2log3.2log)3(;9.5log 1.5log )2(;5.8log 4.3log 1323764322与与）（与与与）（、比较下列值的大小πaa。
对数函数及其性质导学案
2.2.2对数函数及其性质（第一课时）导学案【学习目标】 （一）知识与技能目标（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，并根据定义能判断哪些函数是对数函数、求函数的定义域； （2）能画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的性质； （二）过程与方法引导学生自主学习，通过实例的关系式类比指数函数的形式定义，自己尝试给出对数函数的定义并归纳满足对数函数的条件；经历函数x y 2log =和x y 21log =的画法,观察其图像特征并用代数语言进行描述得出函数性质；（三）情感态度与价值观培养学生的数形结合思想，让学生养成善于观察、归纳的好习惯. 【学习重、难点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像和性质.导 学 过 程 与 设 计一、课前准备（幻灯片）介绍一个考古的实例，阅读课本P70第一、二两段。
二、新课导学（一）引入：考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡的残留物，利用log t P =（*）估计出土文物或古遗址的年代。
根据实际问题的实际意义可知，对于每一个C-14的含量P ，通过对应关系（*）都有唯一确定的年代t 与之对应，所以t 是P 的 。
（二）探究活动 （1）讨论函数log t P =的特征： ；（2）对数函数的定义：一般地， 。
【思考与交流】（1）判断下列函数是否为对数函数？并说明理由（2）启示：判断一个函数是否为对数函数，必须严格符合形如l o g (01a y x a a =>≠且的形式，即要满足下面的条件： ○1 ； ○2 ； ○3 。
（3）巩固练习下列函数哪个是对数函数？○1log 0,1)a y a a =>≠ ○22(2)log y x -= （4）求下列函数的定义域○1函数2log a y x =的定义域是 ； ○2函数log (4)a y x =-的定义域是 ； ○3函数(1)log (2)x y x -=+的定义域是 。
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高一数学 ◆必修一◆ 导学案
§2.2.2 对数函数及其性质（1）
1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；
2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函.
7071，找出疑惑之处）
复习1：画出2x y =、1 ()2x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质. 复习2：某细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，细胞个数 y 是分裂次数 x 的函数，求函数的解析式？
二、新课导学
※ 学习探究
探究任务一：对数函数的概念
问题：根据以上准备我们知道：
已知分裂的次数x ,就能求出细胞的个数 y .
问题：已知细胞的个数 y ,如何确定分裂的次数x 呢？
新知：_______________ 叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是_______________
反思：
对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限
制_______________ ．
探究任务二：对数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 试试：（1）同一坐标系中画出下列对数函数的图象.
2log y x =；0.5log y x =.
（2）画出函数y =3log x 及y =x 3
1log 的图象，并且说明这两个函数的相同性
质，不同性质.
反思：
图
象
性
质
(1)定义域：
(2)值域：
(3)过定点：
(4)单调性：
（2）图象具有怎样的分布规律？
※典型例题
例1求下列函数的定义域：
（1）2
log
a
y x
=；（2）log(3)
a
y x
=-；
※动手试试
练1. 求下列函数的定义域.
x
y
x
y
x
y
x
y
3
7
2
5
log
)4(;
3
1
1
log
3(;
log
1
2();
1(
log
1=
-
=
=
-
=）
）
）
（
三、总结提升
学习评价
※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.
A. 很好
B. 较好
C. 一般
D. 较差
※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1. 当a>1时，在同一坐标系中，函数x
y a-
=与log
a
y x
=的图象是（）.
2. 函数
2
2log(1)
y x x
=+≥的值域为（）.
A. (2,)
+∞ B. (,2)
-∞
C. [)
2,+∞ D. [)
3,+∞
3. 不等式的
4
1
log
2
x>解集是（）.
A. (2,)
+∞ B. (0,2)
B. 1(,)
2
+∞ D.
1
(0,)
2
4. 函数
(-1)
log(3-)
x
y x
=的定义域是.
课后作业
1. 求下列函数的定义域：
（1）
2
log(35)
y x
=-（2）
0.5
log43
y x
=-。