《复数的概念》示范教学方案人教新课标B版

《复数的概念》教学设计

第1课时

1.了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性．

2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类．

3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题．

教学重点：理解数系的扩充的必要性，明白复数及其相关概念，掌握复数的几种类．

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教学难点：复数的分类及相关概念的辨析

一、整体概览

问题1：阅读课本，回答下列问题：

（1）本章将要研究哪类问题？

（2）本章要研究的对象在高中的地位是怎样的？

（3）本章研究的起点是什么？目标是什么？

师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容.

预设的答案：（1）本章将要研究数系的扩充.（2）数系的扩充，一方面是解决人类生活生产实际问题的需要，另一方面也是解决数学自身发展所遇到矛盾的需要.（3）起点是“数”的认识过程，目标是通过研究复数，明确复数的概念，了解复数的运用.

设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.

★资源名称： 【情景演示】复数的概念节首引入

★使用说明：本资源为《复数的概念》节前引入视频，通过视频引入，激发学生学习的兴趣．本资源适合于讲解复数的概念课前引入教学使用，通过视频介绍演示，使学生更加形象生动的了解知识应用情况，为新知识的学习做好铺垫．

注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

二、问题导入

问题2：类似=1的方程，在实数范围内无解，那么能否向前面一样引入一种新的数，使得这个方程有解，并将实数进行扩充呢？

师生活动：学生先回忆初中学过的有理数集、实数集等．

【想一想】是否可以引入一个新的单位使得类似=－1的方程有解？

师生活动：引入一个新数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定：

（1）i 2

= -1；

（2）实数与i 可以进行加法和乘法运算：

实数a 与数i 相加记为：a +i

实数b 与数i 相乘记为：b i ，并规定0• i =0 实数a 与 b i 相加记为：a +b i

引语：要解决这个问题，就需要进一步学习复数的概念.（板书：复数的概念）

【新知探究】

1．分析实例，感知复数的概念，逐步分析出实数与 i 的四则运算．

问题3：规定i 的平方等于1-，即2i 1=-，称i 为虚数单位．

（1）你认为可以怎样表示2与的和？又该怎样表示3减去 ？

（2）你认为5与的乘积可以怎样表示？ 预设的答案：（1）2,3i i +-；（2）5i

追问：这些还表示实数吗？如何定义复数集，复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立吗？（让学生自由发挥，分组讨论，一起判断，教师点评.）

预设的答案： 全体复数组成的集合叫做复数集，记作C ，记作

(,)z a bi a R b R =+∈∈ ，其中 i 为虚数单位，a 实部； b 虚部．复数集中原有的加法、乘法运算律仍然成立．

设计意图：感知复数的概念，分析出实数与 i 的四则运算

2.在大量实例感知的基础上，总结出复数的概念．

问题4：下列数32,2,6i i +-，分别有什么特点？

预设的答案：32i +的实部是3，虚部是2；－2的实部是－2，虚部是0；6i 的实部是0，虚部是6.

追问：根据实数a 和b 的取值不同，我们可以将复数分成哪几类？

师生活动：当且仅当 时，Z =a +b i 表示实数；

当 时，Z =a +b i 叫做虚数；

特别的，当 时，Z =a +b i 叫做纯虚数．

预设的答案：0b = 0b ≠ 0,0a b =≠即：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩

实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 设计意图：培养学生分析和归纳的能力.

问题5：两个实数可以相等，两个复数可以相等吗？

师生活动：两个复数12,z z ，如果实部与虚部都对应相等，我们就说着两个复数相等，记作12z z =．

★资源名称：【知识点解析】复数相等

★使用说明：本资源为《复数相等》的知识讲解，帮助学生体会知识的形成过程，并会简单应用．同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．本资源适用于《复数相等》知识讲解时的教学，供教师备课和授课时参考使用．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．

追问：两个复数可以比较大小吗？

预设的答案：两个复数当且仅当都是实数时，可以比较大小．

设计意图：进一步理解复数的概念

【巩固练习】

例1. (1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()

A．0B．1 C．2 D．3

(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.

(3)下列命题正确的是__________(填序号)．

①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；

②若实数a与a i对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③实数集的补集是虚数集．

师生活动：学生分析解题思路，给出答案．

预设的答案：(1)对于①，当z ∈R 时，z 2≥0成立，否则不成立，如z ＝i ，z 2＝－1＜0，所以①为假命题；

对于②，2i －1＝－1＋2i ，其虚部为2，不是2 i ，所以②为假命题；

对于③，2 i ＝0＋2i ，其实部是0，所以③为真命题

(2)由题意，得a 2＝2，－(2－b )＝3，所以a ＝±2，b ＝5.

(3)①由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是代数形式．

因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．

②当a ＝0时，a i ＝0为实数，故②为假命题．

③由复数集的分类知，③正确，是真命题．

设计意图：通过类比理解复数的表示方法，让学生经历抽象过程、发展学生数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．

例2. 已知m ∈R ，复数z ＝(2)1

m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时． ①z 为实数？ ②z 为虚数？ ③z 为纯虚数？

师生活动：依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．

预设的答案：①要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且

(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.

②要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且

(2)1m m m +-有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.

③要使z 为纯虚数，需满足

(2)1m m m +-＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.

设计意图：通过例题，进一步明确复数的分类，培养学生数学运算、逻辑推理的核心素养．

例3. (1)若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1) i ，求实数x ，y 的值；

(2)关于x 的方程3x 2－a 2

x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值． 师生活动：根据复数相等的充要条件求解．

预设的答案：(1)由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧ x ＝－12，y ＝12.