《复数的概念》示范教学方案人教新课标B版

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2022年高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》

复数的概念——教学设计复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用。

复数的学习，可以帮助学生们通过方程求解，理解引入复数的必要性，了解数系的扩充，掌握复数的表示、运算及几何意义。

复数的概念中通过方程的解，认识复数。

一、复习引入昨天我们认识了数系的扩充，数系是如何扩充的呢？昨天分配给每个小组一个任务，请大家回去查阅一下相关的历史资料，有哪位同学愿意和大家分享一下呢？结绳记事生产生活的需要正方形对角线的表示如果用集合的语言来表述这些数集的关系是二、新课讲授我们接着学习数系的扩充，首先我们先来看一段小视频。

来看看还有哪些数目前为止我们无法表示。

〔插入视频〕通过视频，大家能概括一下视频说的是什么吗？或者说这个视频它提出了一个什么问题呢？1.的解是-1的平方根，因为数系不够所以我们无法表示这个解，如果新建一个维度，那这个解就可以表示了。

2.伟大的科学家高斯提出“代数根本原理〞，即一元n次方程应该有n个解。

带着这两个问题我们来站在解方程的角度再回忆一下数系的扩充一元一次方程无正分数解，所以把数系扩充到有理数系Q。

一元二次方程无有理数解，所以把数系扩充到了实数系R。

但是一元二次方程 ,只有当时，在实数范围内才有解, 时，比方：在实数系内无解。

一元三次方程,因式分解有3个根 =-1 0 1。

但是比方：,只有一个根=1。

可是根据高斯发现的代数根本定理，一元三次方程应该有3个根，那消失的另两个根哪里去了呢？回过来我们来看看视频中提到的-1的平方根，现在如果新引入一个新数i，让它表示-1的平方根，即i^2=-1，那么方程就是。

同理，根据引入的新数i，我们能不能把这个三次方程另外两个消失的根表示出来呢？这种形式的数我们把它叫做复数。

〔一〕复数的概念所以我们给出复数的概念，形如abi的数叫复数，表示为=abi，a叫复数的实部，b叫复数的虚部，并规定。

复数用集合来表示为〔二〕复数的分类大家来思考一下，这种=abi的复数可以表示实数吗？当b=0时，表示实数，当b不为0时，我们称为虚数，特别地，假设b不为0且a=0时，叫做纯虚数。

人教B版(2019)数学必修(第四册)：10.1.1 复数的概念教案

复数的概念【教学过程】一、问题导入数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：因为类似43x +=的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似43x +=的方程在整数范围内有解；因为类似25x =的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似25x =的方程在有理数范围内有解；因为类似27x =的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似27x =的方程在实数范围内有解。

我们已经知道，类似21x =-的方程在实数范围内无解.那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？二、新知探究 1.复数的概念【例1】（1）给出下列三个命题：①若z C ∈，则20z ≥；②21i -的虚部是2i ；③2i 的实部是0.其中真命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3（2）已知复数()22z a b i =--的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是__________．（3）下列命题正确的是__________（填序号)．①若,x y C ∈，则12x yi i +=+的充要条件是1x =，2y =； ②若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ③实数集的补集是虚数集．[解析]（1）复数的平方不一定大于0，故①错；21i -的虚部为2，故②错；2i 的实部是0，③正确，故选B .（2）由题意，得22a =，()23b --=，所以a =，5b =.（3）①由于x ，y 都是复数，故x yi +不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．②当0a =时，0ai =为实数，故②为假命题． ③由复数集的分类知，③正确，是真命题． [答案]（1）B（2）5 （3）③【教师小结】判断与复数有关的命题是否正确的方法：（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a bi +的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．2.复数的分类【例2】（1）复数()()22,z a b a a i a b R =-++∈为纯虚数的充要条件是（） A ．a b =B ．0a ＜且a b =-C ．0a ＞且a b ≠D ．0a ＞且a b =±（2）已知m R ∈，复数()()22231m m z m m i m +=++--，当m 为何值时，①z 为实数？②z 为虚数？③z 为纯虚数？[思路探究]依据复数的分类列出方程（不等式）组求解．[解析]（1）要使复数z 为纯虚数，则220a b a a ⎧-=⎪⎨+≠⎪⎩，0a ∴＞，a b =±.故选D .[答案]D（2）①要使z 为实数，需满足2230m m +-=，且()21m m m +-有意义，即10m -≠，解得3m =-.②要使z 为虚数，需满足2230m m +-≠，且()21m m m +-有意义，即10m -≠，解得1m ≠且3m ≠-.③要使z 为纯虚数，需满足()201m m m +=-，且2230m m +-≠，解得0m =或2m =-. [母题探究]若把上例（1）中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？ [解]复数z 为实数的充要条件是0a a +=，即a a =-，所以0a ≤. 【教师小结】利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数(),z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠.3.复数相等的充要条件 [探究问题]（1）0a =是复数z a bi =+为纯虚数的充分条件吗？提示：因为当0a =且0b ≠时，z a bi =+才是纯虚数，所以0a =是复数z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件．（2）323i i ++＞正确吗？提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．【例3】（1）若()()1x y yi x i ++=+，求实数x ，y 的值；（2）关于x 的方程()22311022ax x x x i --=--有实根，求实数a 的值． [思路探究]根据复数相等的充要条件求解． [解]（1）由复数相等的充要条件，得01x y y x +=⎧⎨=+⎩，解得1212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（2）设方程的实根为x m =，则原方程可变为()22311022a m m m m i --=--，所以2231021020am m m m ⎧--=⎪⎨⎪--=⎩，解得11a =或715a =-. 【教师小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法．转化过程主要依据复数相等的充要条件．基本思路是：（1）等式两边整理为(),a bi a b R +∈的形式；（2）由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；（3）解方程组，求出相应的参数．三、课堂总结（一）复数的概念及分类1．数系的扩充及对应的集合符号表示自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系↓ ↓ ↓ ↓ ↓N Z Q R C 2．复数的有关概念3．复数的分类（1）复数()()()()()0,000b a bi a b R a b a ⎧=⎪+∈⎧=⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数（2）集合表示（二）两个复数相等的充要条件在复数集{},C a bi a b R =+∈中，任取两个复数a bi +，(),,,c di a b c d R +∈，规定a bi +与c di +相等的充要条件是a c =且b d =.四、课堂检测1．设集合{}A =实数，{}B =纯虚数，{}C =复数，若全集S C =，则下列结论正确的是（）A ．ABC ⋃= B ．A B =C ．()SBA ⋂=∅D ．()()SASB C ⋃=[解析]集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有()()SASB C ⋃=正确．[答案]D2．若复数243a a i --与复数24a ai +相等，则实数a 的值为（） A ．1B ．1或4-C ．4-D ．0或4-[解析]由复数相等的条件得22434a a a a ⎧-=⎨-=⎩，4a ∴=-. [答案]C3．复数(1i 的实部为________．[解析]复数((101i i =+，∴实部为0. [答案]04．已知213z m m mi =-+，()2454z m i =++，其中m R ∈，i 为虚数单位，若12z z =，则m 的值为________．[解析]由题意得()23=454m m mi m i -+++，从而23454m m m m ⎧-=⎨=+⎩，解得1m =-．[答案]1-5．已知集合()(){}231,8M a b i =++-，集合()(){}23,12N i a b i =-++满足M N ⋂≠∅，求整数a ，b .[解]依题意得()()2313a b i i ++-=， ① 或()()2812a b i =-++，② 或()()()()223112a b i a b i ++-=-++.③由①得3a =-，2b =±，由②得3a =±，2b =-.③中，A ，B 无整数解不符合题意．综上所述得3a =-，2b =或3a =，2b =-或3a =-，2b =-.。

2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念教案新人教B版必修第四册

2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念教案新人教B版必修第四册科目授课时间节次--年一月一日（星期---）第一节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念教案新人教B版必修第四册教学内容本节课的教学内容来源于2024-2025学年新教材高中数学第10章复数10.1.1复数的概念，新人教B版必修第四册。

本节课的主要内容包括：1.复数的概念：引导学生理解复数的概念，包括实数和虚数的概念，以及复数的表示方法，如a+bi（a,b是实数，i是虚数单位，i2=-l）o2.复数的分类：讲解复数的分类，包括纯虚数、实数和虚数，以及它们之间的关系。

3.复数的几何表示：介绍复数在复平面上的表示，即复平面上的点与复数之间的对应关系。

4.复数的运算：讲解复数的四则运算规则，包括加法、减法、乘法和除法，以及它们在复平面上的几何意义。

5.复数的应用：举例说明复数在实际问题中的应用，如电路中的交流电、物理中的振动等。

核心素养目标本章节的教学旨在培养学生的数学核心素养，具体包括：1.知识与技能：使学生掌握复数的基本概念、分类和几何表示，以及复数的四则运算规则，并能应用于实际问题中。

2.过程与方法：通过探究复数的概念和运算规则，培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创新思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学学科的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识、自我探索精神和追求真理的态度。

教学难点与1.教学重点（1）复数的概念：实数和虚数的概念，以及复数的表示方法a+bi（a,b是实数，i是虚数单位，i2=-l）。

重点（2）复数的分类：纯虚数、实数和虚数的定义及它们之间的关系。

（3）复数的几何表示：复数在复平面上的表示，即复平面上的点与复数之间的对应关系。

（4）复数的运算：加法、减法、乘法和除法的基本规则，以及它们在复平面上的几何意义。

高中数学人教B版选修2-2《复数概念》优秀教案设计

概念深化 1. 当b ＝0时，复数就成为实数;当b ≠0时，a+bi 叫做虚数.当b ≠0且a ＝0时，bi 叫做纯虚数。

2.复数所构成的集合叫做复数集，常用C 表示，复数集即C ＝｛z|z ＝a+bi ，a ∈R ，b ∈R ｝。

3复数的分类：复数实数（b=0）纯虚数虚数（b ≠0）(a=0,b ≠0)非纯虚数(a ≠0，b ≠0)注意分清复数分类中的界限：设z ＝a+bi(a ，b ∈R)，(1)z ∈R b ＝0(2)z 是虚数b ≠0;(3)z 为纯虚数a ＝0且b ≠0;(4)z ＝0a ＝0且b ＝01.强调复数的实部与虚部都是实数2.两个复数相等:当且仅当它们实部和虚部分别相等.3.强调两个实数之间可以比较大小，但两个复数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小1:启发学生对实部与虚部分别等于0时进行分析，看复数的变化.2.由实数的分类启发学生对复数尝试分类，教师总结补充3.探讨复数的构成，明了两要素:实部，虚部4.教师提问:实部、虚部一定为实数吗?什么时候两复数相等?学生思考后回答，教师补充5.由于实数可以表示在数轴上，所以两实数可以比较大小.教师提问:两复数间能比较大小吗?为什么?学生小组讨论后，由组长发言，教师提炼总结.学生初步接触复数,会造成认识上的空白,而这些内容正是为填补这些空白而预设的.这样安排,有利于学生循序渐进地从多方位认识复数、理解复数；符合学生的认知规律。

练习巩固 1.求下列复数的实部与虚部，并判断它们中哪些是实数、虚数、纯虚数?3+4i, -0.5i, 3， 02.求方程013=-x 的根，归纳代数基本定理1.学生练习2.教师启发:使用因式分解法转化为一次方程和二次方程分而解之.进一步联想和引申:是否四次方程在复数集内有四个根呢?五次方程呢?......1.巩固所学基本概念.2.了解代数基本定理.应用举例例1实数x 取何值时，复 1.学生完成解答，教对重点的概念强化。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》3

用”这个问题的办法
问题二：复数分类
学生认真思考、利用图形将复交流，积极回答数归类问题，学生自己
经历讨论过程
增加学生学习兴趣，增加对复数概
念，复数分
思考 2：两个数的完全平方公式与三数和的平方公式，在公式结构上有什么共性吗？
类的理解、记忆和应
总结复数分类标用。
各小组展示各组讨论结果，教师点拨指导。
课程教学设计
课题名称
复数的概念
授课年级
高二
授课时间
2021 年 6 月 14 日
授课人
宋爽
教材
人教 B 版 2021 课标版
教
复数的引入过程，复数概念的知识
学
内
容
学
在学习本节之前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各
种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成情
发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成。另
分
一方面学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行，缺乏严谨的思
析
维习惯。
教
掌握复数的概念和复数的代数表形式；
学
会进行复数的分类及判断复数相等；
目
培养学生的抽象概括能力和运算求解能力。
标
教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
教学难点
含虚数单位 i 的引进和复数的概念
反
思
何解决这些矛盾的呢？
充过程
知识入手，引
入课题
——添加新数，扩充数系，回通过问题串的
（1）以前做过的题中为什么都会是“求方程的答问题实数解”？
（2）实数系还能扩充吗？
形式使学生经历复数的概念的产生过程

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》6

《复数的概念》教学设计
绥中县利伟实验中学巫伶芝
教材分析：本节课在教材中通过方程求根，体会数系扩充的必要性。

数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，让学生了解教学中内部矛盾如何推动数系的扩充，从而自然的引入虚数单位i。

另外，本节课主要介绍了复数的有关概念，有复数、虚数、纯虚数、实部、虚部、复数相等。

地位和作用：在中学里，学习复数的基础知识不仅可以使高中毕业生对于数的概念初步地有一个较为完整认识，而且也给他们运用数学知识解决问题增添了工具,同时也为他们进一步学习高等数学、力学和电学打下了一定的基础。

学情分析：本班学生的学习能力不强，基础知识掌握较差，在学习复数概念的时候，虚部可能会出现问题，因此在教学过程中需要多强调复数的实部和虚部都是实数，另外在解方程和方程组时可能会出现问题。

教学目标：
1．知识与技能：
了解数系扩充的过程及引入复数的需要
掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件
2．过程与方法：
通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律
通过类比引入、分类讨论、化归与转化等数学思想方法的使用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3．情感、态度与价值观：
体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用
教学重点与教学难点：
教学重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件
教学难点：复数的概念；虚数与纯虚数的区别
教学资源与手段：本节课采用探究式教学法，采用启发、引导、探索、讨论交流的方式进行组织教学．并充分利用多媒体辅助教学
教学过程设计：。

关于复数的概念的教学设计

关于复数的概念的教学设计引言：复数的概念是数学学科中的一个重要内容，是高中数学课程的基础知识之一。

掌握复数的概念对于学生理解和应用数学知识具有重要的意义。

然而，由于复数的概念抽象、难以直观理解，学生在学习过程中常常会遇到困惑。

因此，本文将结合实际教学情况设计一节关于复数的概念的教学内容，旨在帮助学生更好地理解和掌握复数的概念。

一、教学目标：1. 知识目标：了解复数的概念及其表示方法，掌握复数的加减乘除运算；2. 能力目标：能够应用复数解决实际问题，培养学生的数学思维和创新能力；3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生独立思考和解决问题的能力。

二、教学内容：1. 复数的概念介绍；2. 复数的表示方法；4. 复数的乘除法运算；5. 复数的实际应用。

三、教学方法与策略：1. 情景导入法：通过提问或通过一个生动的例子，引导学生进入学习复数的概念；2. 分组合作学习：将学生分为小组，进行小组合作学习，提高学生的互动能力和思维能力；3. 演示法：通过演示运算步骤和解题过程，激发学生的学习兴趣；4. 层次教学法：分步引导学生理解复数运算规则的逐步推导过程，帮助学生建立复数运算的基本概念和规则。

四、教学过程设计：1. 复数的概念介绍：引导学生回忆实数的概念，通过提问的方式引导学生思考实数不足以解决一些问题的情况，进而引出复数的概念。

详细介绍复数的定义和符号表示方法，引导学生理解复数的实部和虚部的概念。

介绍复数的各种表示方法，包括代数形式、几何形式和指数形式，通过示例演示不同表示方法之间的互相转换。

3. 复数的加减法运算：首先讲解复数的加法运算规则，然后通过具体的例题进行演示，引导学生理解复数加法的运算方法。

进一步介绍复数的减法运算规则，通过比较复数的加减法运算规则的共同点和不同点，帮助学生区分加法和减法运算的区别。

4. 复数的乘除法运算：先介绍复数的乘法运算规则，通过具体的例题进行演示，引导学生理解复数乘法的运算方法。

高中数学人教B版选修2-2《复数的概念》优秀教案

选修2-2 3.1.2《复数的概念》教案教学目标：.了解学习复数的必要性，掌握复数的有关概念、复数的分类、初步掌握虚数单位的概念和性质。

.通过类比引入、分类讨论、化归和转化等数学思想方法的使用，使学生在复数的知识学习过程中感悟数学思想，进而提升学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的数学抽象、类比等逻辑推理、数学运算等学科素养。

.通过追溯复数的概念产生的历史找到复数概念的生长土壤，使学生对复数概念印象深刻，感受人类理性思维对数学发展所起的作用，进而提高学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，发展自主学习的能力；树立敢于质疑，善于思考，严谨求实的科学精神；不断提高实践能力；提高创新意识；认识数学的创新价值进而喜爱数学。

教学重点：虚数单位；复数集的构成；复数相等的应用。

教学难点：复数的概念；虚数和纯虚数的区别。

教学过程：新课引入：1由我数1、2、3、4、5、提出问题我在干什么？根据学生回答的情况引入新课？自然数集，进而问自然数集表示的字母2.讲讲你知道的数系是怎么发展的（由什么系发展到什么系）？3.（1）实数系中的一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++的实根的个数？（2）在实数系中你能求方程的12-=x 根吗？概念形成4.（1）引入虚数单位i 后一般的方程的)0(2>-=a a x 根呢？（2）引入虚数单位i 后012=+-x x 的根可以求出来吗？（3）引入虚数单位i 后一元二次方程),,(02R c b a c bx ax ∈=++都有根吗？有几个？都是什么样的？求根公式好用吗？（4）一元三次方程一般可以化为一个一元一次和一个一元二次方程积的形式，例如方程013=-x 可以化为0)1)(1(2=++-x x x ，这个方程有几个根？概念深化15. 将上述方程的根进行归纳，你得出什么结论？（1）你得出根的形式？（2）复数的形式？（3）复数与实数的关系？巩固练习例1.回答以下复数的实部、虚部？哪些是实数、虚数、纯虚数？i i i --+π,2,3,5.0,43放两个区分实数与虚数；纯虚数与非纯虚数的小视频随意上来四个学生学生，各两个学生先后作答PK ？概念深化2（1）一个复数等于0满足什么条件？（2）两个复数相等满足什么条件？（3）两个复数可以比较大小吗？例2.实数x 为何值时，复数i x x z )3()2(++-=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？变式1：实数x 为何值时，复数i x x x x z )103()2(22-++-=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？变式2：实数x 为何值时，复数i x x x x x z )103(522-+++-=（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例3.求下列式子中的),(,R y x y x ∈的值？（1）0)3()2(=++-i y x（2）i y x x i y x )(6)2(-+=-+（3）0)2()1(=+--++i y x y x例4.解方程013=+x巩固练习教科书第85页练习A:1,2,3归纳总结：（1）本节你学到哪些知识？（2）哪些数学思想方法？（3）掌握哪些技能？（4）数学有趣吗？数学有用吗？你喜欢数学吗？你今后怎么做？布置作业：教科书第86页练习B:1,2,3思考题：1、一元二次方程),,(02C c b a c bx ax ∈=++ 判别式还能讨论根的个数吗？求根公式好用吗？2、关于x 的方程)(0)3()2i (2R a a x i x ∈=+-++有实数根，求实数a 的取值范围？。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》1

自学成果检测
小结引出复数的概念
1．复数的概念及代数表示
1定义：形如a＋b i a，b∈R的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝。

全体复数构成的集合叫做，用表示。

2表示：复数通常用字母表示，即＝a＋b i a，b∈R，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数的与．
处理习题3
2复数的分类
复数a＋b i a，b∈R错误!
韦恩图表示
处理习题1,5,8,10
3复数相等的充要条件：
如果两个复数abi与cdi的与对应相等，我们就说这两个复数相等。

即处理习题4,6,7,9
bi=0 的充要条件：
处理习题11
5注意：两个实数可以比较大小。

但是两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。

处理习题2,12
1复数的概念
2复数的分类及韦恩图表示
3复数相等的充要条件
4复数为0的充要条件
5复数何时可以比较大小。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-2 3.1.2 复数的引入》

《复数的概念》教学设计教学目标1知识与能力：（1）使学生了解数系扩充的历史，体会学习复数的必要性（2）掌握复数有关概念、复数分类，初步掌握虚数单位的概念和性质（3）理解复数相等的充要条件2过程与方法：（1）播放微课视频，了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用。

（2）在不断练习中让学生理解和掌握复数的概念以及复数相等的充要条件3情感态度价值观：（1）体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神和实践精神，感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用。

（2）．体会类别、分类讨论、等价转化等数学思想方法学情分析在之前的学习中学生对数的概念已经扩充到了实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，并且高二的学生具有一定的综合联系能力，这为本节课的顺利开展打下了基础，但是由于受教材知识的局限，学生不能真正理解为什么要学习复数的含义，以及学习复数有什么作用，因此在教学中必须要通过教师的引导体现知识的生成过程和延展性。

重点难点学习重点：复数的有关概念、复数分类，复数相等的充要条件学习难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，以及虚数单位的概念和性质教学过程：一、引入新知播放微课《数的发展史》1数系扩充的脉络是：自然数系→整数系→有理数系→实数系。

2矛盾冲突到了一定的阶段，就有必要引入新的数集了。

为了解决方程12-=x 没有实根的矛盾，我们应该引入什么数呢？二、自主学习让学生自己阅读教材相应内容，结合以下问题：三、概念形成人们引入一个新数i ，记1-=i ，称为虚数，则12-=i ，因而方程12-=x 的根为i x ±=。

的性质：112-=i 2实数可以与“i ”进行四则运算。

在运算时，原有的加法与乘法的运算律仍然成立3虚数和实数合称为复数2复数概念：形如),(R b a bi a z ∈+=，其中a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。

3全体复数所构成的集合叫做复数集，常用C 表示，即{}R b R a bi a z z C ∈∈+==,, 带领学生回顾各数集之间的关系，强调复数集是目前最大数集4 复数的分类5两个复数相等：当且仅当它们的实部和虚部分别相等。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 3.1.2 复数的概念》

3.1.2 复数的概念【教学目标】1．了解虚数的发展过程；理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件；2．经历虚数的发展过程以及数系的扩充过程，体会数学概念发现、创造的过程；【教学重点】复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的条件．【教学难点】引入复数的必要性的认识．【教学过程】：创设情境，聚焦问题：教师首先展示出PPT 中的二元二次问题：已知二元二次方程组⎩⎨⎧==+,2,222xy y x 求y x +的值。

师：同学们，让我们一起来解决一下PPT 上二元二次方程组的问题。

不到半分钟，很多学生已经快速地用配方法得出了最后的结果，请了学生A 上黑板展示。

不一会儿，发现学生B 在沉思，皱眉，也请上黑板展示。

结果如表1所示。

表1师：A 同学巧妙的运用了配方法，得出了最后的结果，速度非常快。

B 同学没算出最后的结果，我们请B 同学先来分析一下你的思路。

生B ：我试图用消元法分别求出y x ,的值，但遇到了四次方程（＊）式，做不下去了。

（害羞！）师：的确，四次方程的求解问题我们没有学过，同学们有没有什么方法来求解这个方程呢？生：换元法！师：好，那我们一起来试试！（师生共同完成，转化为二次方程0422=+-t t 问题，但可惜，此时判别式01244)2(2<-=⨯--=∆，无实根。

）师：大家看看，B 同学的思路非常简单，非常棒，但为什么“此路不通”呢？（“对哦”个别学生情不自禁的吐了出来这两个字！）（停顿片刻！）同学们，我们借助几何画板，通过他们的图像来看看。

师：222=+y x 表示一个圆，2=xy 即xy 2=表示双曲线。

大家看看，它们有无交点？（如图1）生：没有交点。

师：我们知道6=+y x 表示的是一条直线。

交点不存在，但其横纵两坐标之和却为6（如图2）。

同学们，奇怪吗？难道方程的背后还有一个幕后黑手，亦或有幽灵存在（语速急促）。

有点恐怖吧（停顿片刻）！此时，学生们鸦雀无声，教室内一片寂静！图1 图2师：其实我们伟大的德国数学家莱布尼茨，当年也遇到了同样的问题。

新人教版高中数学必修第二册《复数的概念》教案

复数的概念【第一课时】数系的扩充和复数的概念教学重难点教学目标核心素养复数的有关概念了解数系的扩充过程，理解复数的概念数学抽象复数的分类理解复数的分类数学抽象复数相等掌握复数相等的充要条件及其应用数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复数是如何定义的？其表示方法又是什么？2．复数分为哪两大类？3．复数相等的条件是什么？二、新知探究探究点1：复数的概念　下列命题：①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；③若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±2；④实数集是复数集的真子集．其中正确的命题是（）A．①B．②C．③D．④解析：对于复数a＋b i（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，即①错误；两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0不是纯虚数，则③错误；显然，④正确．故选D．答案：D判断与复数有关的命题是否正确的方法（1）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．（2）化代数形式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．提醒：解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i 的性质．探究点2：复数的分类　当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋（m 2－2m ）i ：（1）为实数？（2）为虚数？（3）为纯虚数？解：（1）当{m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数．（2）当m 2－2m ≠0且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．（3）当{m ≠0，m 2＋m －6m＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．解决复数分类问题的方法与步骤（1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i （a ，b ∈R ）的形式，以确定实部和虚部．（2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．（3）下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ），①z 为实数⇔b ＝0；②z 为虚数⇔b ≠0；③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0．探究点3：复数相等　（1）（2019·浙江杭州期末考试）若z 1＝－3－4i ，z 2＝（n 2－3m －1）＋（n 2－m －6）i （m ，n ∈R ），且z 1＝z 2，则m ＋n ＝（）A ．4或0B ．－4或0C ．2或0D ．－2或（2）若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．解析：（1）由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m ＋n＝4或0，故选A．（2）因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，所以{log2（x2－3x－2）>1，log2（x2＋2x＋1）＝0，即{x2－3x－2>2，x2＋2x＋1＝1，解得x＝－2．【答案：（1）A（2）－2复数相等的充要条件复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数．解决复数相等问题的步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．注意：在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d ∈R时，a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d．若忽略前提条件，则结论不能成立．　三、课堂总结1．复数的有关概念（1）复数的定义形如a＋b i（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．（2）复数集全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集．（3）复数的表示方法复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．2．复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i（a，b，c，d∈R），我们规定：a ＋b i与c＋d i相等当且仅当a＝c且b＝d．3．复数的分类（1）复数z＝a＋b i（a，b∈R）{实数（b＝0），虚数（b≠0）{纯虚数a＝0，非纯虚数a≠0Ｗ.（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系■名师点拨复数b i （b ∈R ）不一定是纯虚数，只有当b ≠0时，复数b i （b ∈R ）才是纯虚数．四、课堂检测1．若复数z ＝a i 2－b i （a ，b ∈R ）是纯虚数，则一定有（）A ．b ＝0B ．a ＝0且b ≠0C ．a ＝0或b ＝0D ．ab ≠0解析：选B ．z ＝a i 2－b i ＝－a －b i ，由纯虚数的定义可得a ＝0且b ≠0．2．若复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，则实数m 的值为（）A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2解析：选D ．因为复数z ＝m 2－1＋（m 2－m －2）i 为实数，所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2．3．若复数z ＝（m ＋1）＋（m 2－9）i ＜0，则实数m 的值等于____________．解析：因为z ＜0，所以{m 2－9＝0，m ＋1＜0，解得m ＝－3．答案：－34．已知x 2－x －6x ＋1＝（x 2－2x －3）i （x ∈R ），则x ＝________．解析：因为x ∈R ，所以x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得{x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，x ＋1≠0，解得x ＝3．答案：3【第二课时】复数的几何意义教学重难点教学目标核心素养复平面了解复平面的概念数学抽象复数的几何意义理解复数、复平面内的点、复平面内的向直观想象量之间的对应关系复数的模掌握复数的模的概念，会求复数的模数学运算共轭复数掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数数学运算【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．复平面是如何定义的？2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？3．复数z＝a＋b i的共轭复数是什么？二、新知探究探究点1：复数与复平面内的点　已知复数z＝（a2－1）＋（2a－1）i，其中a∈R．当复数z在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a的值（或取值范围）．（1）在实轴上；（2）在第三象限．解：（1）若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝1 2．（2）若z对应的点在第三象限，则有{a2－1<0，2a－1<0，解得－1<a<12．故a的取值范围是(－1，12)．互动探究：变条件：本例中复数z不变，若点Z在抛物线y2＝4x上，求a的值．解：若z对应的点（a2－1，2a－1）在抛物线y2＝4x上，则有（2a－1）2＝4（a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝5 4．利用复数与点的对应解题的步骤（1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋b i（a，b∈R）可以用复平面内的点Z（a ，b ）来表示，是解决此类问题的根据．（2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解．探究点2：复数与复平面内的向量　在复平面内，复数i ，1，4＋2i 对应的点分别是A ，B ，C ．求平行四边形ABCD 的顶点D 所对应的复数．解：法一：由复数的几何意义得A （0，1），B （1，0），C （4，2），则AC 的中点为(2，32)，由平行四边形的性质知该点也是BD 的中点，设D （x ，y ），则{x ＋12＝2，y ＋02＝32，所以{x ＝3，y ＝3，即点D 的坐标为（3，3），所以点D 对应的复数为3＋3i ．法二：由已知得OA → ＝（0，1），OB → ＝（1，0），OC →＝（4，2），所以BA → ＝（－1，1），BC → ＝（3，2），所以BD → ＝BA → ＋BC → ＝（2，3），所以OD → ＝OB → ＋BD →＝（3，3），即点D 对应的复数为3＋3i ．复数与平面向量的对应关系（1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数，反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．（2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．探究点3：复数的模　（1）设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i 且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是（）A ．－1<a <1B ．a <－1或a >1C ．a >1D ．a >0（2）（2019·贵州遵义贵龙中学期中测试）已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 在复平面内对应点的集合是（）A ．1个圆B ．线段C ．2个点D ．2个圆解析：（1a 2＋22<（－2）2＋12，即a 2＋4<5（a ∈R ），所以－1<a <1．（2）由题意知（|z |－3）（|z |＋1）＝0，即|z |＝3或|z |＝－1，因为|z |≥0，所以|z |＝3，所以复数z 在复平面内对应点的集合是1个圆．答案：（1）A （2）A求解复数的模的思路解决复数的模的求解问题，应先把复数表示成标准的代数形式，再根据复数的模的定义求解．三、课堂总结1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的两种几何意义（1）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）←――→一一对应复平面内的点Z （a ，b ）．（2）复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ） ←――→一一对应平面向量OZ →．3．复数的模复数z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）对应的向量为OZ → ，则OZ →的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2．4．共轭复数（1）一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．（2）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．（3）复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z －＝a －b i ．■名师点拨复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为（a ，b ），复数z －＝a －b i 在复平面内对应的点为（a ，－b ），所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称．四、课堂检测1．已知z ＝（m ＋3）＋（m －1）i （m ∈R ）在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）A ．（－3，1）B ．（－1，3）C ．（1，＋∞）D ．（－∞，－3）解析：选A ．由题意得{m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1．2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于实轴的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为（）A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析：选D ．由题意可知，点A 的坐标为（－1，－2），则点B 的坐标为（－1，2），故向量OB →对应的复数为－1＋2i ．3．已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是____________．解析：依题意，可知z ＝a ＋i （a ∈R ），则|z |2＝a 2＋1．因为0＜a ＜2，所以a 2＋1∈（1，5），即|z |∈（1，5）．答案：（1，5）4．若复数z 1＝2＋b i 与复数z 2＝a －4i 互为共轭复数，则a ＝________，b ＝________．解析：因为z 1与z 2互为共轭复数，所以a ＝2，b ＝4．答案：2　4。

2022年教学教材《1 复数的概念》优秀教案

第十二章复数复数的概念本章共分三小节,第一小节讲复数的概念,首先简要地说明了人们在解实数系方程的过程中,产生了扩充实数集的需要,从而自然地引入虚数单位i, 在此根底上,给出了复数的有关概念和复数的代数形式然后,通过了复数与复平面的点的一一对应，给出了复数的儿何意义，第二小节讲复数的运算,分别给出了复数的代数形式的加法、减法运算法那么和复数的代数形式的乘法、除法的运算法那么。

第三小节讲数系的扩充,介绍了数集从自然数集开始,扩充到复数的过程,并说明了数系的每一次扩充,都解决了某些运算不能进行的矛盾。

最后,说明了复数集内负数可以开平方的问题。

1教学重点：认识复数，理解复数的根本概念及复数相等的充要条件2教学难点：通过方程的解，了解引进复数的必要性多媒体调试、讲义分发。

1复数的有关概念1定义：形如a＋b i a，b∈R的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋b i|a，b∈R}叫做复数集2复数通常用字母表示，代数形式为＝a＋b i a，b∈R，其中a与b分别叫做复数的实部与虚部2复数相等在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i a，b，c，d∈R，我们规定：a＋b i与c＋d i相等当且仅当a＝c且b＝d3复数的分类1对于复数a＋b i a，b∈R，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数这样，复数＝a＋b i a，b∈R可以分类如下：复数错误!题型一复数的概念【例1】写出以下复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数①2＋3i；②－3＋错误!i；③错误!＋i；④π；⑤－错误!i；⑥0解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为错误!，是虚数；③的实部为错误!，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－错误!，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数规律方法复数a＋b i a，b∈R中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部【训练1】以下命题中，正确命题的个数是①假设，∈C，那么＋i＝1＋i的充要条件是＝＝1；②假设a，b∈R且a＞b，那么a＋i＞b＋i；③假设2＋2＝0，那么＝＝0解析①由于，∈C，所以＋i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题②由于两个虚数不能比拟大小，所以②是假命题③当＝1，＝i时，2＋2＝0成立，所以③答案A题型二复数的分类【例2】1复数＝a＋a2－1i是实数，那么实数a的值为________；2假设复数＝in 2α－1－co 2αi是纯虚数，那么α＝________解析1∵是实数，∴a2－1＝0，∴a＝±12由题意知in 2α＝0，1－co 2α≠0，∴2α＝2π＋π∈Z，∴α＝π＋错误!∈Z答案1±12π＋错误!∈Z规律方法根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a＋b i a，b∈R的形式，实部与虚局部别为什么；第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题；第三步，解相应的方程组或不等式组；第四步，明确结论【训练2】实数m取什么值时，复数＝错误!＋m2－2m i是1实数；2虚数；3纯虚数？解1当错误!即m＝2时，复数是实数2当错误!即m≠0且m≠2时，复数是虚数3当错误!即m＝－3时，复数是纯虚数题型三两个复数相等【例3】2－2＋2i＝2i，求实数，的值解∵2－2＋2i＝2i，∴错误!解得错误!或错误!规律方法求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最根本的也是最重要的思想方法转化过程主要依据复数相等的充要条件根本思路是：1等式两边整理为a＋b i a，b∈R的形式；2由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3解方程组，求出相应的参数【训练3】关于的方程3－错误!－1＝10－i有实根，求实数a的值解设方程的实数根为＝m，那么原方程可变为3m－错误!－1＝10－m i，∴错误!解得a＝58＝a2－2－b i的实部和虚局部别是2和3，那么实数a，b的值分别是，1 ，5C±错误!，5 D±错误!，1解析令错误!得a＝±错误!，b＝5答案C2以下复数中，满足方程2＋2＝0的是A±1 B±iC±错误!i D±2i解析2＝－1×2，∴＝±错误!i答案C021＝________解析i2 021＝i2 02021＝i21 010·i＝－11 010·i＝i答案i为虚数单位，假设关于的方程2－2＋i＋1＋m i＝0m∈R有一实根为n，那么m＝________解析关于的方程2－2＋i＋1＋m i＝0m∈R有一实根为n，可得n2－2＋i n＋1＋m i＝0所以错误!所以m＝n＝1答案1两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断。

2022年高中数学新人教版B版精品教案《3.1.2 复数的概念》

教学设计在引导学生学习复数的概念之前,先解决“学习的必要性〞问题,明确要研究的内容.教学中要引导学生充分地认识到新概念的产生过程，使学生知道他们的来龙去脉，并在头脑汇总形成完整的知识体系，引导学生认识到复数的来源于实际生活中，又反过来为实际效劳。

一、复习准备：1. 提问：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何开展得来的？〔让学生感受数系的开展与生活是密切2．判断以下方程在实数集中的解的个数〔引导学生回忆根的个数与的关系〕：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解〞的答案。

讨论：假设给方程一个解，那么这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如的数叫做复数，通常记为〔复数的代数形式〕，其中叫虚数单位，叫实部，叫虚部，数集叫做复数集。

出例如1：以下数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

规定：，强调：两复数不能比拟大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定，取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：叫做虚数，叫做纯虚数。

④数集的关系：上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出例如题2：〔引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论〕练习：复数与相等，且的实部、虚局部别是方程的两根，试求：的值。

〔讨论中，k取何值时是实数？〕小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。

2. 复数的几何意义：①讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？〔分析复数的代数形式，因为它是由实部和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或点的坐标〕结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。

②复平面：以轴为实轴，轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。

复数与复平面内的点一一对应。

③例1：在复平面内描出复数分别对应的点。

高中数学《复数的概念》学案新人教B版选修2-2

A.A∪B=CB. A=B C.A∩ B= D.B∪ B=C
2.复数(2x2+5x+2)+(x2+x－2)i为虚数，则实数x满足( )
A.x=－ B.x=－2或－ C.x≠－2D.x≠1且x≠－2
3.复数z1=a+｜b｜i，z2=c+｜d｜i(a、b、c、d∈R)，则z1=z2的充要条件是______.
4.已知m∈R，复数z= +(m2+2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z= +4i.
归纳反思
课后探究
1设复数z=log2(m2－3m－3)+ilog2(3－m)(m∈R)，如果z是纯虚数，求m的值.
2.若方程x2+(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一个实数根，试求实数m的值.
5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.
6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d
复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i与4+3i不能比较大小.
因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位.并由此产生的了复数

【新教材】10.1.1 复数的概念教学设计(1)-人教B版高中数学必修第四册

本节课要学的内容包括数系的扩充和复数的概念，复数的分类，复数相等等，其核心内容是复数的概念，复数的分类，复数相等，理解它关键是通过理解有些方程在实数范围内没有解，学生已经学过实数系里的相关知识，本节课的内容数系的扩充和复数的概念就是在其基础上的发展。

复数的概念是整个复数内容的基础。

复数的有关概念都是围绕复数的代数形式展开的。

虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数的实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。

教学重点是复数的概念，复数的代数形式。

解决重点的关键是掌握复数的实部和虚部。

在问题的情景中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算法则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

【教学重点】1、理解数系的扩充的必要性，明白复数及其相关概念。

2、掌握复数的几种类型。

【教学难点】复数的分类及相关概念的辨析引入：为什么要对实数系进行扩充？师生活动：1、N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们是如何发展得来的？自然数→整数→有理数→无理数→实数。

例如：方程x 2-2=0在有理数集中没有解，所以我们引入了无理数。

则它在无理数集中就有解2±了。

2.数学故事——关于无理数的发现古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究,终于证明出它不能用整数或分数表示.但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,于是毕达哥拉斯命令他不许外传.但希伯斯却将这一秘密透露了出去.毕达哥拉斯大怒,要将他处死.希伯斯连忙外逃,然而还是被抓住了,被扔入了大海,为科学的发展献出了宝贵的生命.希伯斯发现的这类数,被称为无理数.无理数的发现,导致了第一次数学危机,为数学的发展做出了重大贡献.3、判断下列方程在实数集中的解的个数？（1）2340x x --= （2）2210x x ++= （3）210x +=设计意图：引导学生回顾根的个数与∆的关系.由（3）引入新课。