圆锥曲线离心率专题 历年真题

圆锥曲线离心率专题历年真题
1.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是？
答案：D.(2,+∞)
改写：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b<0)$的右焦点为F。

过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此双曲线离心率的取值范围。

答案为D.(2,+∞)。

2.题目：过双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，则双曲线M的离心率是？
答案：$\frac{10}{3}$
改写：双曲线M:$x-\frac{y^2}{b^2}=1$的左顶点为A。

作斜率为1的直线l过点A，与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且$|AB|=|BC|$，求双曲线M的离心率。

答案为$\frac{10}{3}$。

3.题目：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为（）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
答案：无法确定
改写：方程$2x-5x+2=$的两个根可分别作为哪些图形的离心率？
答案无法确定。

4.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1$的一条渐近线方程为$y=x$，则双曲线的离
心率为？
答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$
改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的
一条渐近线方程为$y=x$，求双曲线的离心率。

答案为$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

5.题目：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，则双曲线的离心率为？
答案：D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$
改写：已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a>2)$的两条渐近线的夹角为$\frac{\pi}{3}$，求双曲线的离心率。

答案为D.$\frac{3}{\sqrt{23}}$。

6.题目：设椭圆的两个焦点分别为$F_1$、$F_2$，过
$F_2$作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若$\triangle
F_1PF_2$为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是？
答案：B.$2-\sqrt{2}$
改写：设椭圆的两个焦点分别为$F_1$、$F_2$，过
$F_2$作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若$\triangle
F_1PF_2$为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

答案为B.$2-\sqrt{2}$。

7.题目：若焦点在x轴上的椭圆
$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$的离心率为7，则$m=$？
答案：B.3
改写：已知焦点在x轴上的椭圆
$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}=1$的离心率为7，求$m$的值。

答案为B.3.
8.题目：已知$F$、$F$是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a。

b>)$的两焦点，以线段$FF$为边作正三
角形$MFF$，若边$MF_1$的中点在双曲线上，则双曲线的离
心率是？
答案：C.$3+1$
改写：已知$F$、$F$是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=1(a。

b>)$的两焦点。

以线段$FF$为边作正三
角形$MFF$，若边$MF_1$的中点在双曲线上，求双曲线的离心率。

答案为___。

9.题目：设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为
$y=\pm\frac{1}{x}$，则该双曲线的离心率$e=$？
答案：B.$\frac{5}{4}$
改写：设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线为
$y=\pm\frac{1}{x}$，求该双曲线的离心率。

答案为B.$\frac{5}{4}$。

10.题目：已知$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，过
$F_1$且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$\triangle ABF_2$是正三角形，则这个椭圆的离心率是？
答案：C.$\frac{2}{\sqrt{2}}$
改写：已知$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，过$F_1$且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于$A$、$B$两点，若$\triangle ABF_2$是正三角形，求这个椭圆的离心率。

答案为C.$\frac{2}{\sqrt{2}}$。

则该双曲线的离心率为（）
A．4/3B．3/2C．2/3D．3/4
已知双曲线$2-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，左右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$在双曲线的右支上，且$|PF_1|=4|PF_2|$，求该双曲线的离心率$e$的最大值。

解：根据双曲线的定义，有$2a=PF_1+PF_2$，
$e=\frac{PF_1}{a}$，代入$|PF_1|=4|PF_2|$得$5PF_2=2a$，$PF_1=4PF_2$，解得$PF_2=\frac{a}{5}$，
$PF_1=\frac{4a}{5}$，$e=\frac{PF_1}{a}=\frac{4}{5}$，最大值为$\frac{4}{5}$。

又曲线$2-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的两个焦点
为$F_1$、$F_2$，点$P$在其上，且$|PF_1|=2|PF_2|$，求双曲
线离心率的取值范围。

解：同上题，有$2a=3PF_2$，$PF_1=2PF_2$，解得
$PF_2=\frac{a}{3}$，$PF_1=\frac{2a}{3}$，
$e=\frac{PF_1}{a}=\frac{2}{3}$，又因为$PF_21$，故取值范
围为$(1,3]$。

已知$F_1$、$F_2$是椭圆的两个焦点，满足$MF_1\cdot MF_2<1$的点$M$总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）。

解：根据椭圆的定义，有$2a=MF_1+MF_2$，
$e=\frac{MF_1}{a}$，代入$MF_1\cdot MF_2<1$得
$MF_1<\frac{a}{2}$，$MF_2<\frac{a}{2}$，$e<\frac{1}{2}$，又因为$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$，所以
$0<e<\frac{\sqrt{3}}{2}$，取值范围为$(0,\frac{\sqrt{3}}{2})$。

设$a>1$，则双曲线$2-\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{a^2+1}=0$的离心率$e$的取值范围是（）。

解：根据双曲线的定义，有$2a=PF_1+PF_2$，
$e=\frac{PF_1}{a}$，代入双曲线的方程得
$PF_1=\frac{a}{2}\sqrt{a^2+1}$，$PF_2=\frac{a}{2}\sqrt{a^2-1}$，解得$e=\frac{\sqrt{a^4+2a^2-3}}{2a}$，$e$是关于$a$的
单峰函数，当$a=\sqrt{3}$时取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，当$a\rightarrow +\infty$时趋近于$\frac{1}{2}$，故取值范围为$(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{2})$。

双曲线$2-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦
点分别是$F_1$，$F_2$，过$F_1$作倾斜角为$30^\circ$的直线交双曲线右支于$M$点，若$MF_2$垂直于$x$轴，则双曲线的
离心率为（）。

解：根据双曲线的定义，有$2a=PF_1+PF_2$，
$e=\frac{PF_1}{a}$，又因为$MF_2$垂直于$x$轴，所以
$MF_2=\frac{b^2}{PF_2}$，代入$2a=PF_1+PF_2$得
$PF_1=\frac{2aPF_2}{PF_1+PF_2}$，
$e=\frac{PF_1}{a}=\frac{2PF_2}{PF_1+PF_2}$，代入双曲线
的方程得$PF_1=\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{b^2}{a^2}}$，
$PF_2=\frac{a}{2}\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-1}$，解得
$b=2a\sqrt{3}$，$e=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

在平面直角坐标系中，椭圆
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦距为$2$，以$O$为圆心，$a$为半径的圆，过点$(\frac{a^2}{c},0)$作圆的
两切线互相垂直，则离心率$e$的值为（）。

解：根据椭圆的定义，有$2a=2c$，$e=\frac{c}{a}$，代
入已知条件得$2c=\sqrt{4a^2-b^2}$，$c=\frac{a}{\sqrt{2}}$，$e=\frac{1}{\sqrt{2}}$。

在$\triangle ABC$中，$AB=BC$，$\cos B=-\frac{7}{18}$，以$A$，$B$为焦点的椭圆经过点$C$，则该椭圆的离心率为（）。

解：根据椭圆的定义，有$2a=MF_1+MF_2$，
$e=\frac{MF_1}{a}$，其中$F_1$，$F_2$是椭圆的焦点，
$M$是椭圆上的一点。

设椭圆的方程为
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则$F_1=(-c,0)$，
$F_2=(c,0)$，$a^2=b^2+c^2$，$2a=3c$，$c=\frac{2a}{3}$，
代入$\cos B=-\frac{7}{18}$得$\frac{a}{b}=\frac{4\sqrt{3}}{7}$，代入$c=\frac{2a}{3}$得$b=\frac{a\sqrt{3}}{3}$，故
$e=\frac{1}{\sqrt{3}}$。

设$F_1$，$F_2$分别是双曲线$2-\frac{x^2}{a^2}-
\frac{y^2}{b^2}=0$的左、右焦点。

若双曲线上存在点$A$，使$\angle F_1AF_2=90^\circ$且$|AF_1|=3|AF_2|$，则该双曲线的
离心率为（）。

解：根据双曲线的定义，有$2a=PF_1+PF_2$，
$e=\frac{PF_1}{a}$，又因为$\angle F_1AF_2=90^\circ$，所以$PF_1^2+PF_2^2=4a^2$，代入$|AF_1|=3|AF_2|$得$5PF_2=2a$，$PF_1=3PF_2$，解得$PF_2=\frac{a}{5}$，
$PF_1=\frac{3a}{5}$，$e=\frac{PF_1}{a}=\frac{3}{5}$。

1.题目中给出了四个选项，需要选择正确的答案填入括号中。

2.第一段话中给出了一个公式，需要根据选项计算出正确的值填入括号中。

3.第二段话中给出了一个图形和一些点的坐标，需要根据题意计算出离心率的值，填入括号中。

4.第三段话中给出了一个方程和一些条件，需要根据条件计算出离心率的取值范围，填入括号中。

5.第四段话中给出了一个双曲线和一些条件，需要根据条件计算出离心率的值，填入括号中。

6.第五段话中给出了一个正方形和一些条件，需要根据条件计算出离心率的值，填入横线中。

7.第六段话中给出了一个椭圆和一些条件，需要根据条件计算出离心率的值，填入括号中。

8.最后一段话中给出了一个直线和一些条件，需要根据条件计算出离心率的值，填入括号中。