《固体物理学》习题第四章晶体结构中的缺陷
固体第四章
分类方式：
几何形态：点缺陷、线缺陷、面缺陷、体 缺陷等
形成原因：热缺陷、杂质缺陷、非化学计 量缺陷等
根据缺陷的作用范围把真实晶体缺陷分四类：
点缺陷：在三维尺寸均很小，只在某些位置发生， 只影响邻近几个原子。 线缺陷：在二维尺寸小，在另一维尺寸大，可被 电镜观察到。 面缺陷：在一维尺寸小，在另二维尺寸大，可被 光学显微镜观察到。 体缺陷：在三维尺寸较大，如镶嵌块，沉淀相， 空洞，气泡等。
二、热缺陷在晶体中的运动
空位和间隙原子生成后在晶体中是不断运动的， 下图表示了空位和间隙原子最简单的运动形式
(a)空位
(b)间隙原子
热缺陷在晶体中的运动
以间隙原子为例，用半定量的统计方法来描述缺陷运 动过程 稳定状态下，间隙原子在平衡位置
附近不断的热振动，其频
Ea
A
O
B
率 0 1012 ~ 1013 s 1 ，平均振动能量约
Solid State Physics 固体物理学
第四章
晶体的缺陷
第四章
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
晶体的缺陷
点缺陷 晶体中的扩散过程 离子晶体中的点缺陷与导电性 线缺陷——位错 面缺陷和体缺陷
理想晶体：结构基元严格按照空间点阵作 周期性排列。
实际晶体：晶体中的离子或原子总是或多 或少的偏离了严格的晶体周期性，即存在着 各种各样的结构的不完整性。 缺陷的含义：通常把晶体点阵结构中周期 性势场的畸变称为晶体的结构缺陷。
F (n) U TS
热缺陷的存在从两个方面改变晶体自由能：
U ：热缺陷产生需要能量，使系统内能增加
S
：热缺陷存在使系统无序度增加，晶体熵增加
第四章 固体物理-晶体缺陷
点缺陷
• Frenkel 缺陷 、Schottky缺陷、填隙原子缺陷 成对出现 只有空位 只有填隙原子
线缺陷
刃位错：刃位错的构成象似一把刀劈柴似的，把半个原子面夹到完整晶体中，这半 个面似刀刃，因而得名。它的特点是：原子只在刃部的一排原子是错排的，位错线 垂直于滑移方向。
F H A’
b
刃位错
A
B
有N个原子的体系，如果有n1个空位，每个原子旁有 空位的几率为n1/N，因此因空位引起的单位时间内的 原子迁移几率为（扩散率）：q = n1q’/N。将（4.6） 和（4.4）代入有：
q n 01e
（u1 E1 ） / kT
（ 4.15 ）
将（4.15）代入（4.9）有：
1 2 （u1 E1 ） / kT D1 n 01e 6 即 D1 D01e Q1 / kT
（ 4.16 ） （ 4.17 ）
1 2 D01 n 01， Q1 N （ ）， A u1 E1 6 N A为阿弗加德罗常数，和 （ 4.6 ）所示经验公式符合
二、填隙原子机制
当原子由正常位置进入间隙位置之后，可以比较容易在 两个间隙中发生移动，从而产生扩散。
从正常位置跳入间隙位置的所需能量为u2，跳入几率为：
B’
E
螺位错：当晶体中存在螺位错时，原来的一组晶面就象变成似单个晶面组成的螺旋阶梯 。它的特点是：原子只在靠近阶梯的部分排错一列原子，位错线和位移方向平行。
A’
螺位错
A B
A’
b
A’
B
A
C
面位错 晶界和堆垛层错
§4.2 热缺陷数目的统计方法
热缺陷是处在不断产生、不断运动和不断复合的热运动 平衡过程中。
固体物理-第4章-晶体中的缺陷和扩散-4
（成对出现）
4、杂质原子 在材料制备中，有控制地在晶体中引入杂质原子
A、杂质原子取代基质原子而占据格点位置,称替代式杂质。
（二者相接近或前者大一些）
B、杂质原子占据格点间的间隙位置，称填隙式杂质。
（杂质原子比基质原子小）
点缺陷的运动 1、空位的运动
空位运动势场示意图
原子结合成晶体的源动力:原子间的吸引力. 理想晶体的生长
问题4：当初如何提出位错概念？位错滑移如何理解？
Ax A d
a
x a 2
xa 2
弹性形变
范性形变 原子不能回到原来位置,易到A
即发生滑移
Ax A
d a
?有问题
最初认为: 滑移是相邻两晶面整体的相对刚性滑移
则可计算:使其滑移的最小切应力: c
第四章 晶体中的缺陷和扩散
原子绝对严格按晶格的周期性排列的晶体不存在
缺陷举例： 如晶体表面、晶粒间界、人为掺杂等
如金刚石
空位
点缺陷 填隙原子 （0维）
杂质原子
刃位错
线缺陷
晶体缺陷的基本类型 （1维）
（按维度或尺寸分类）
螺位错
大角晶界
晶粒间界
面缺陷
小角晶界
（2维） 堆垛间界（层错）
问题1：点缺陷的定义、分类、运动及其对晶体性能影响？
若某一晶面A丢失，则原子面排列： ABCABCBCABC………..
问题7:一定温度下,系统达统计平衡时,
热缺陷（空位.间隙原子）数目？
热力学平衡条件
平衡状态下晶体内的热缺陷数目
系统自由能F U TS 最小
F n T
0
热缺陷的数目
1、肖脱基缺陷（或空位）浓度
《固体物理学》房晓勇主编教材-习题解答参考04第四章 晶体结构中的缺陷
第四章 晶格结构中的缺陷4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为sB k T s n Ne μ−=其中s μ是形成一个空位所需要的能量。
证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为!()!s !s s N P N n n =− 由于s μ个空位的出现，熵的改变[]!ln lnln ()ln()ln ()!!B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n Δ===−−−−− 晶体的自由能变化为 []ln ()ln()ln s s s s B s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=−Δ=−−−−−s要使晶体的自由能最小B ()ln 0s s s sT n F u k T n N ⎡⎤⎛⎞∂Δ=+=⎜⎟⎢⎥∂−⎣⎦⎝⎠n 整理得s B k T s s n e N n μ−=− 在实际晶体中，由于,s n N <<s s s n n N N n ≈−，得到 sB k T s n Ne μ−=4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。
已知，铜的熔点是1360K 。
解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为 s B k T s n Neμ−= 11B k T n Ne μ−= 得19231.21.61051.38101300 2.2510sB k T s n Ne NeN μ−−××−−−××===× 191231.2410161.381013001 3.2110B k T n Ne Ne N μ−−××−−−××===×4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。
固体物理 第四章 晶体中的缺陷
实际 理论
位错滑移
原因：存在于晶体内部的位错极大地降低了产生滑 移所需的临界应力. 一部分原子先运动 其它原子相继运动
（形成位错）
晶体沿滑移面的整体滑移
二、刃位错(棱位错)的滑移
位错线附近原子结构已有明显畸变，使原子处于不稳 定状态，施加较小的切变力 ，畸变后的原子将在滑 τ 移面上平行于切变力方向移动；当位错线移出，在晶 体表面形成一个原子台阶。
3、堆积层错
就是指正常堆垛顺序中引入不正常顺序堆 垛的原子面而产生的一类面缺陷。
抽出型层错
插入型层错
3）杂质缺陷
由外加杂质的引入所产生的缺陷，亦称为组成缺陷。 杂质缺陷的浓度与温度无关。 为了有目的地改善器件性能，人为地引入杂质原子。 例如： 硅半导体中：
掺入一个硼原子 105 个硅原子 电导率增加 103倍
红宝石激光器中：
刚玉晶体 Al2O3 形成发光中心 铬离子 Cr
4) 由于形成点缺陷需向晶体提供附加的能量，因而引起附加 比热容。
5) 点缺陷还影响其它物理性质：如扩散系数、内耗、介电常 数等。
§4.2 空位、填隙原子的运动和统计计算 一、空位、填隙原子的运动 空位和填隙原子的跳跃依靠热涨落，与温度紧密相关。 以填隙原子为例说明。 势 能 势能ε约为几个eV
掺入微量
3、点缺陷对材料性能的一般影响
原因：无论哪种点缺陷的存在，都会使其附近的原子稍微 偏离原结点位置才能平衡，即造成小区域的晶格畸变。
效果：
1) 改变材料的电阻 电阻来源于离子对传导电子的散射。在完 整晶体中，电子基本上是在均匀电场中运动，而在有缺陷 的晶体中，在缺陷区点阵的周期性被破坏，电场急剧变化， 因而对电子产生强烈散射，导致晶体的电阻率增大。 2) 加快原子的扩散迁移 空位可作为原子运动的周转站。 3) 形成其他晶体缺陷 过饱和的空位可集中形成内部的空洞，集 中一片的塌陷形成位错。
固体物理学_晶体缺陷全解65页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
固体物理4章晶体缺陷
上一内容 下一内容 回主目录
返回
二、色心
定义：色心是一种非化学计量比引起的空位缺陷。 特征：该空位能够吸收可见光使原来透明的晶体出现颜色，因而称
它们为色心,最简单的色心是F心(来自德语”Farbe”,颜色)。
F心：是离子晶体中的一个负离子空位束缚一个电子构成的点缺陷。 形成过程：是碱卤晶体在相应的过量碱金属蒸汽中加热，例如：
NaCl晶体在Na蒸汽中加热后呈黄色；KCl晶体在K蒸汽中加热后呈紫 色；LiF在Li蒸汽中加热后呈粉红色。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
F心的着色原理：在于加热过程中过量的碱金属原子进入晶体占据碱
金属格点位置。晶体为保持电中性，会产生相应数目的负离子空位。同时 ，处于格点的碱金属原子被电离，失去的电子被带正电的负离子空位所束 缚，从而在空位附近形成F心，如图4-3，F心可以看成是束缚在负离子空 位处的一种“电子陷阱”。
V心：与F心相对的色心，又称空穴色心பைடு நூலகம்是离子晶体的负电中心束缚
一个带正电的“空穴”所组成的点缺陷。
形成过程：当碱卤晶体在过量的卤素蒸汽中加热后，由于大量的卤素
进入晶体，为保持电中性，在晶体中出现了正离子空位,形成负电中心。 这种负电中心可以束缚一个带正电的“空穴”所组成的体系称为V心。
V心和F心在结构上是碱卤晶体中两种最简单的缺陷。在有色心存在的晶 体中，A、B两种元素的比例已偏离严格的化学计量比。所以色心也是一 种非化学计量引起的缺陷。
上一内容 下一内容 回主目录
返回
点缺陷类型示意图
(a)Frenkel缺陷； (b) Schottky缺陷； (c)反Schottky缺陷
上一内容 下一内容 回主目录
返回
（4）空位的形成能
晶体缺陷习题及答案
晶体缺陷习题及答案晶体缺陷习题及答案晶体缺陷是固体材料中晶格结构的一种缺陷或不完美。
它们可以是原子、离子、分子或电子的缺陷，对材料的性质和行为有着重要的影响。
在材料科学和固体物理学中，研究晶体缺陷是一项重要的课题。
下面将为大家提供一些晶体缺陷的习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一领域的知识。
习题一：什么是晶体缺陷？请简要描述一下晶体缺陷的种类。
答案：晶体缺陷是指固体材料中晶格结构的缺陷或不完美。
晶体缺陷可以分为点缺陷、线缺陷和面缺陷三种类型。
点缺陷包括空位、间隙原子、替位原子和杂质原子等；线缺陷包括位错和螺旋位错等；面缺陷包括晶界、堆垛层错和孪晶等。
习题二：请简要描述一下晶体中的空位缺陷和间隙原子缺陷。
答案：空位缺陷是指晶体中某些晶格位置上没有原子的缺陷。
在晶体中，原子有一定的热运动，有些原子可能会从晶格位置上跳出来，形成空位。
空位缺陷会导致晶体的密度减小，热稳定性降低。
间隙原子缺陷是指晶体中某些晶格位置上多出一个原子的缺陷。
在晶体中，有时会有一些原子占据了本不属于它们的晶格位置，形成间隙原子。
间隙原子缺陷会导致晶体的密度增大，热稳定性降低。
习题三：请简要描述一下晶体中的替位原子缺陷和杂质原子缺陷。
答案：替位原子缺陷是指晶体中某些晶格位置上被其他原子替代的缺陷。
在晶体中，有时会有一些原子替代了原本应该占据该位置的原子，形成替位原子。
替位原子缺陷会导致晶体的晶格常数发生变化，对晶体的性质产生重要影响。
杂质原子缺陷是指晶体中掺入了少量杂质原子的缺陷。
杂质原子可以是同位素原子或不同原子种类的原子。
杂质原子缺陷会导致晶体的导电性、光学性质等发生变化。
习题四：请简要描述一下晶体中的位错和螺旋位错。
答案：位错是指晶体中晶格排列发生错位的缺陷。
位错可以是边界位错或螺旋位错。
边界位错是指晶体中两个晶粒的晶格排列发生错位。
边界位错可以是位错线、位错面或位错体。
边界位错会影响晶体的力学性能和导电性能。
螺旋位错是指晶体中晶格排列呈螺旋状的缺陷。
固体物理习题参考解答缺陷
固体物理习题参考解答 缺陷1. 设U f 为费仑克尔缺陷形成能证明在温度T 时，达到热平衡的晶体中费仑克尔缺陷的数目为：n f ＝NN 1e u f k b t -2 式中N 和N ‘分别为晶体的原子格点总数和间隙位置数，解： 已知 N ：晶体的原子格点数， N ‘：间隙位置数U f ＝U 1+U ’其中U 1：空位形成能 U ‘：填隙缺陷形成能可知，温度为T 时，某一格点上形成空位的几率为 n Ne U K b T 11=- (1) 某一间隙位置上形成填隙原子的几率为n N e U K b T ''1=- (2) 费仑克尔缺陷是形成填隙原子一空位对，即n 1＝n ’=U f其几率为(1)×(2): T b K e NN n n )'U 1U (111+-=⋅⋅ 又∵U 1+U 1=U f ∴ n f =NN 1e U f K b T -22. 已知某晶体肖特基缺陷的形成能是1ev ，问温度从T ＝290K 到T ＝1000K 时，肖特基缺陷增大多少倍？解：由式 n 1=N eU K b T -11 n 2=N e U K b T -12α=n n 21=e U K b T T --12111()=)11(121T T b K U e - 代入数据：U 1＝1ev ≈1.60×10-19(J) T 1=290K K B =1.38×10-23(J/K) T 2=1000Kα=exp 16010138101290110001923..⨯⨯-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥--≈exp(28.4)= 2.1×１０１２(倍) the end 3. 已知铜金属的密度为8.93g/cm 3，原子量为63.54，它在1000K 及700K 时自扩散系数分别为1.65×10-11及3.43×10－15 cm 2/s ，又知空位邻近的原子跳入空位必须克服的势垒高度为0.8ev 。
晶体缺陷习题及答案解析
晶体缺陷习题与答案1 解释以下基本概念肖脱基空位、弗仑克尔空位、刃型位错、螺型位错、混合位错、柏氏矢量、位错密度、位错的滑移、位错的攀移、弗兰克—瑞德源、派—纳力、单位位错、不全位错、堆垛层错、汤普森四面体、位错反应、扩展位错、表面能、界面能、对称倾侧晶界、重合位置点阵、共格界面、失配度、非共格界面、内吸附。
2 指出图中各段位错的性质，并说明刃型位错部分的多余半原子面。
3 如图，某晶体的滑移面上有一柏氏矢量为b 的位错环，并受到一均匀切应力τ。
(1)分析该位错环各段位错的结构类型。
(2)求各段位错线所受的力的大小及方向。
(3)在τ的作用下，该位错环将如何运动?(4)在τ的作用下，若使此位错环在晶体中稳定不动，其最小半径应为多大?4 面心立方晶体中，在(111)面上的单位位错]101[2ab =，在(111)面上分解为两个肖克莱不全位错，请写出该位错反应，并证明所形成的扩展位错的宽度由下式给出πγ242Gb s d ≈(G 切变模量，γ层错能)。
5 已知单位位错]011[2a能与肖克莱不全位错]112[6a 相结合形成弗兰克不全位错，试说明：（1）新生成的弗兰克不全位错的柏氏矢量。
(2)判定此位错反应能否进行？(3)这个位错为什么称固定位错?6 判定下列位错反应能否进行?若能进行，试在晶胞上作出矢量图。
(1)]001[]111[]111[22a a a→+(2)]211[]112[]110[662a a a+→(3)]111[]111[]112[263a a a→+7 试分析在(111)面上运动的柏氏矢量为]101[2a b =的螺位错受阻时，能否通过交滑移转移到(111)，(111)，(111)面中的某个面上继续运动?为什么?8 根据晶粒的位向差及其结构特点，晶界有哪些类型?有何特点属性?9 直接观察铝试样，在晶粒内部位错密度为5×1013/m 2，如果亚晶间的角度为5o ，试估算界面上的位错间距(铝的晶格常数a=2.8×10-10m)。
第四章 晶体缺陷与缺陷运动
第四章晶体缺陷与缺陷运动§4.1 晶体缺陷的基本类型§4.2 位错缺陷的性质、晶体滑移的本质§4.3 热缺陷数目的统计平衡理论§4.4 热缺陷的运动、产生和复合§4.5 晶体中的扩散过程§4.6 离子晶体中的点缺陷与导电性前言理想晶体的主要特征是原子(或分子)的严格规则排列、周期性实际晶体中的原子排列会由于各种原因或多或少地偏离严格的周期性，存在着偏离了理想晶体结构的区域，于是就形成了晶体的缺陷。
晶体中虽然存在各种各样的缺陷，但实际在晶体中偏离平衡位置的原子数目很少（相对于晶体原子总数），在最严重的情况下，一般不会超过原子总数的万分之一，因而实际晶体结构从整体上看还是比较完整的。
缺陷——偏离了晶体周期性排列的局部区域。
前言（续）晶体中缺陷的种类很多，它们分别影响着晶体的力学、热学、电学、光学等各方面的性质。
然而，尽管在晶体中缺陷的数目很少，它们的产生和发展、运动和相互作用、以及合并和消失，对晶体的性能有重要的影响。
因此，晶体缺陷是固体物理中一个重要的研究领域，它对于研究和理解一些不能用完整晶体理论解释和理解的现象具有重要的意义。
例如：塑性与强度、扩散、相变、再结晶、离子电导以及半导体的缺陷导电等现象。
§4.1 晶体缺陷的基本类型一、点缺陷点缺陷——发生在一个或几个晶格常数范围内的缺陷。
如：空位、填隙原子、杂质原子等。
这些空位、填隙原子是由热起伏原因而产生的，所以又称为热缺陷。
晶体中存在的缺陷种类很多，但由于晶体中的晶体结构具有规律性，因此晶体中实际出现缺陷的类型也不是无限制的。
根据晶体缺陷在空间延伸的线度，晶体缺陷可分为点缺陷、线缺陷、面缺陷和体缺陷。
几种重要的点缺陷：1）弗仑克尔缺陷和肖脱基缺陷原子（或离子）在格点平衡位置附近振动，由于存在这样的热振动的能量涨落，使得当某一原子能量大到某一程度时，原子就会克服平衡位置势阱的束缚，脱离格点，而到达邻近的原子空隙中，当它失去多余动能后，就会被束缚在那里，这样产生一个暂时的空位和一个暂时的填隙原子，当又经过一段时间后，填隙原子会与空位相遇，并同空位复合；也有可能跳到较远的间隙中去或跳到晶体边界上去。
固体物理第四章习题及答案
第四章 晶体的缺陷思 考 题1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？[解答]正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低.2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量L L /∆与X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /∆存在差异， 是何原因？[解答]肖特基缺陷指的是晶体内产生空位缺陷但不伴随出现填隙原子缺陷, 原空位处的原子跑到晶体表面层上去了. 也就是说, 肖特基缺陷将引起晶体体积的增大. 当温度不是太高时, 肖特基缺陷的数目要比弗仑克尔缺陷的数目大得多. X 射线衍射测定的晶格常数相对变化量a a /Δ, 只是热膨胀引起的晶格常数相对变化量. 但晶体尺寸的相对变化量L L /Δ不仅包括了热膨胀引起的晶格常数相对变化量, 也包括了肖特基缺陷引起的晶体体积的增大. 因此, 当温度不是太高时, 一般有关系式L L Δ>a aΔ.3.KCl 晶体生长时，在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液，生长的KCl 晶体的质量密度比理论值小，是何原因？[解答]由于+2Ca 离子的半径(0.99o A )比+K 离子的半径(1.33oA )小得不是太多, 所以+2Ca 离子难以进入KCl 晶体的间隙位置, 而只能取代+K 占据+K 离子的位置. 但+2Ca比+K 高一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据+K 离子的一个+2Ca 将引起相邻的一个+K 变成空位. 也就是说, 加入的CaCl 2越多, +K 空位就越多. 又因为Ca 的原子量(40.08)与K 的原子量(39.102)相近, 所以在KCl 溶液中加入适量的CaCl 2溶液引起+K 空位, 将导致KCl 晶体的质量密度比理论值小.4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量低?[解答]形成一个肖特基缺陷时，晶体内留下一个空位，晶体表面多一个原子. 因此形成形成一个肖特基缺陷所需的能量, 可以看成晶体表面一个原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子的相互作用能的差值. 形成一个弗仑克尔缺陷时，晶体内留下一个空位，多一个填隙原子. 因此形成一个弗仑克尔缺陷所需的能量, 可以看成晶体内部一个填隙原子与其它原子的相互作用能, 和晶体内部一个原子与其它原子相互作用能的差值. 填隙原子与相邻原子的距离非常小, 它与其它原子的排斥能比正常原子间的排斥能大得多. 由于排斥能是正值, 包括吸引能和排斥能的相互作用能是负值, 所以填隙原子与其它原子相互作用能的绝对值, 比晶体表面一个原子与其它原子相互作用能的绝对值要小. 也就是说, 形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所需能量要低.5.金属淬火后为什么变硬?[解答]我们已经知道 晶体的一部分相对于另一部分的滑移, 实际是位错线的滑移, 位错线的移动是逐步进行的, 使得滑移的切应力最小. 这就是金属一般较软的原因之一. 显然, 要提高金属的强度和硬度, 似乎可以通过消除位错的办法来实现. 但事实上位错是很难消除的. 相反, 要提高金属的强度和硬度, 通常采用增加位错的办法来实现. 金属淬火就是增加位错的有效办法. 将金属加热到一定高温, 原子振动的幅度比常温时的幅度大得多, 原子脱离正常格点的几率比常温时大得多, 晶体中产生大量的空位、填隙缺陷. 这些点缺陷容易形成位错. 也就是说, 在高温时, 晶体内的位错缺陷比常温时多得多. 高温的晶体在适宜的液体中急冷, 高温时新产生的位错来不及恢复和消退, 大部分被存留了下来. 数目众多的位错相互交织在一起, 某一方向的位错的滑移, 会受到其它方向位错的牵制, 使位错滑移的阻力大大增加, 使得金属变硬.6.在位错滑移时, 刃位错上原子受的力和螺位错上原子受的力各有什么特点?[解答]在位错滑移时, 刃位错上原子受力的方向就是位错滑移的方向. 但螺位错滑移时, 螺位错上原子受力的方向与位错滑移的方向相垂直.7.试指出立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数.[解答]滑移面一定是密积面, 因为密积面上的原子密度最大, 面与面的间距最大, 面与面之间原子的相互作用力最小. 对于立方密积, {111}是密积面. 对于六角密积, (001)是密积面. 因此, 立方密积和六角密积晶体滑移面的面指数分别为{111}和(001).8.离子晶体中正负离子空位数目、填隙原子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献完全相同吗?[解答]由(4.48)式可知, 在正负离子空位数目、填隙离子数目都相等情况下, −+B A 离子晶体的热缺陷对导电的贡献只取决于它们的迁移率μ. 设正离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为+v A ν和+i A ν, 正离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别为+v A E 和+i A E , 负离子空位附近的离子和填隙离子的振动频率分别为−v B ν和−i B ν, 负离子空位附近的离子和填隙离子跳过的势垒高度分别−v B E 为−iB E , 则由(4.47)矢可得 T k E B A A B v A v v e Tk ea /2+++−=νμ, Tk E B A A B i A i i e T k ea /2+++−=νμ,T k E B B B B v B v v e Tk ea /2−−−−=νμ, Tk E B B B B i B i i e T k ea /2−−−−=νμ.由空位附近的离子跳到空位上的几率, 比填隙离子跳到相邻间隙位置上的几率大得多, 可以推断出空位附近的离子跳过的势垒高度, 比填隙离子跳过的势垒高度要低, 即+v A E <+i A E , −v B E <−i B E . 由问题 1.已知, 所以有+v A ν<+i A ν, −v B ν<−i B ν. 另外, 由于+A 和−B 的离子半径不同, 质量不同, 所以一般−+≠B A E E , −+≠B A νν.也就是说, 一般−−++≠≠≠i v i vB B A A μμμμ. 因此, 即使离子晶体中正负离子空位数目、填隙离子数目都相等, 在外电场作用下, 它们对导电的贡献一般也不会相同.9.晶体结构对缺陷扩散有何影响?[解答]扩散是自然界中普遍存在的现象, 它的本质是离子作无规则的布郎运动. 通过扩散可实现质量的输运. 晶体中缺陷的扩散现象与气体分子的扩散相似, 不同之处是缺陷在晶体中运动要受到晶格周期性的限制, 要克服势垒的阻挡, 对于简单晶格, 缺陷每跳一步的间距等于跳跃方向上的周期.10.填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数, 哪一个大? 为什么？[解答]填隙原子机构的自扩散系数 Tk E u B ae D /)(0222221+−=ν,空位机构自扩散系数Tk E u B ae D /)(0111121+−=ν.自扩散系数主要决定于指数因子, 由问题4.和8.已知, 1u <2u ,1E <2E , 所以填隙原子机构的自扩散系数小于空位机构的自扩散系数.11.一个填隙原子平均花费多长时间才被复合掉? 该时间与一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间相比, 哪个长?[解答]与填隙原子相邻的一个格点是空位的几率是N n /1, 平均来说, 填隙原子要跳1/n N 步才遇到一个空位并与之复合. 所以一个填隙原子平均花费T k E u B e n N t /)(0221211+==ντ的时间才被空位复合掉.由(4.5)式可得一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间T k E u u B e n n N P /)(022********++===νττ.由以上两式得2/2n Ne t T k u B ==τ>>1.这说明, 一个正常格点上的原子变成间隙原子所需等待的时间, 比一个填隙原子从出现到被空位复合掉所需要的时间要长得多.12.一个空位花费多长时间才被复合掉？[解答]对于借助于空位进行扩散的正常晶格上的原子, 只有它相邻的一个原子成为空位时,它才扩散一步, 所需等待的时间是1τ. 但它相邻的一个原子成为空位的几率是N n /1, 所以它等待到这个相邻原子成为空位, 并跳到此空位上所花费的时间T k E u B e n N t /)(0111111+==ντ.13.自扩散系数的大小与哪些因素有关?[解答]填隙原子机构的自扩散系数与空位机构自扩散系数可统一写成RTN T k e a e a D B /20/2002121εενν−−==.可以看出, 自扩散系数与原子的振动频率0ν, 晶体结构(晶格常数a ), 激活能(ε0N )三因素有关.14.替位式杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]占据正常晶格位置的替位式杂质原子, 它的原子半径和电荷量都或多或少与母体原子半径和电荷量不同. 这种不同就会引起杂质原子附近的晶格发生畸变, 使得畸变区出现空位的几率大大增加, 进而使得杂质原子跳向空位的等待时间大为减少, 加大了杂质原子的扩散速度.15.填隙杂质原子扩散系数比晶体缺陷自扩散系数大的原因是什么?[解答]正常晶格位置上的一个原子等待了时间τ后变成填隙原子, 又平均花费时间21τn N后被空位复合重新进入正常晶格位置, 其中2τ是填隙原子从一个间隙位置跳到相邻间隙位置所要等待的平均时间. 填隙原子自扩散系数反比于时间21ττn N t +=.因为τ>>21τn N ,所以填隙原子自扩散系数近似反比于τ. 填隙杂质原子不存在由正常晶格位置变成填隙原子的漫长等待时间τ, 所以填隙杂质原子的扩散系数比母体填隙原子自扩散系数要大得多.16.你认为自扩散系数的理论值比实验值小很多的主要原因是什么？[解答]目前固体物理教科书对自扩散的分析, 是基于点缺陷的模型, 这一模型过于简单, 与晶体缺陷的实际情况可能有较大差别. 实际晶体中, 不仅存在点缺陷, 还存在线缺陷和面缺陷, 这些线度更大的缺陷可能对扩散起到重要影响. 也许没有考虑线缺陷和面缺陷对自扩散系数的贡献是理论值比实验值小很多的主要原因.17.−+B A 离子晶体的导电机构有几种?[解答]离子晶体导电是离子晶体中的热缺陷在外电场中的定向飘移引起的. −+B A 离子晶体中有4种缺陷: +A 填隙离子, −B 填隙离子, +A 空位, −B 空位. 也就是说, −+B A 离子晶体的导电机构有4种. 空位的扩散实际是空位附近离子跳到空位位置, 原来离子的位置变成了空位. −+B A 离子晶体中, +A 空位附近都是负离子, −B 空位附近都是正离子. 由此可知, +A 空位的移动实际是负离子的移动, −B 空位的移动实际是正离子的移动. 因此, 在外电场作用下, +A 填隙离子和−B 空位的漂移方向与外电场方向一致, 而−B 填隙离子和+A 空位的漂移方向与外电场方向相反.。
王矜奉固体物理习题
晶体的结构习题1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：（1）简立方，6π; （2）体心立方, ;83π（3）面心立方，;62π（4）六角密积，;62π（5）金刚石结构，;163π[解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度，设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度ρ=Vrn334π（1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为,,433aVra==面1.2 简立方晶胞晶胞内包含1个原子，所以ρ=6)(33234ππ=aa（2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为,,433aVra==晶胞内包含2个原子，所以ρ=ππ83)(*2334334=aa图1.3 体心立方晶胞（3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以ρ=62)(*4334234ππ=a a .图1.4面心立方晶胞（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。
5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高h =223232c r a == 晶胞体积 V = 222360sin ca ca =ο, 一个晶胞内包含两个原子，所以ρ=ππ62)(*22233234=ca a .（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为,8 3r a=晶胞体积3aV=,图1.7金刚石结构一个晶胞内包含8个原子，所以ρ=163)83(*83334ππ=aa.2．在立方晶胞中，画出（102），（021），（122-），和（201-）晶面。
《固体物理学答案》第四章 晶体的缺陷
第四章 晶体的缺陷习 题1.求证在立方密积结构中,最大的间隙原子半径r 与母体原子半径R 之比为414.0Rr[解答]对于面心立方结构,如图4.1所示,1原子中心与8原子中心的距离,等于1原子中心与2原子中心的距离,对于立方密积模型,图 4.1 面心立方晶胞因为1原子与8原子相切,所以1原子与2原子也相切,同理,1,2,3,4原子依次相切,过1,2,3,4原子中心作一剖面,得到图4.2.1与2间的距离为图4.2通过面心立方晶胞上下左右面心的剖面图a R 222=, 即a R42=.与1,2,3,4相切的在1,2,3,4间隙中的小球的半径r 由下式决定 ,22r R a +=即a r)4221(-=.于是有414.012=-=Rr .2.假设把一个Na 原子从Na 晶体中移到表面上所需的能量为1eV,计算室温时肖特基缺陷的浓度. [解答]对于肖特基缺陷,在单原子晶体中空位数为Tk u B Nen 11-=式中N 为原子数, 1u 为将一个原子由晶体内的格点移到表面所需的能量,取室温时K T300=，得到温时肖特基缺陷的相对浓度176.382319110*72.1300*10*38.110*60.1exp 1-----==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==e e N n Tk u B 3.在上题中,相邻原子向空位迁移时必须越过0.5eV 的势垒,设原子的振动频率为1012Hz 试估计室温下空位的扩散系数.计算温度C100时空位的扩散系数提高百分之几.[解答]由《固体物理教程》(4.32)式可知,空们扩散系数的表示式为T k E u Tk u b B e v a qqD Nen /)(01211111211+--==， （1） 式中a 为空们跳跃一步所跨的距离, 01v 为与空们相邻的原子的振动频率,1u 为形成一个空位所需要的能量，1E 为相邻原子抽空位迁移时必须越过的势垒高度,已知 晶体是体心立方结构,晶格常数A a 282.4'=空位每跳一步的距离为2/3'a a =，120110=v Hz ，=1u 1eV ，=1E 0.5eV 将上述数据代入(1)式,得到K T 300=，373K 时空位扩散系数分别为s m s m e D K /10*584.4/*10*10*282.4*23*212332)300*10*38.1/(10*6.1*5.11221030012319---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- sm s m e D K/10*874.3/*10*10*282.4*23*212282)373*10*38.1/(10*6.1*5.11221037322319---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- 于是得到430013001373110*451.8=-KKK D D D .从上式可知,温度C100时空位的扩散系数比室温下空位的扩散系数提高4个数量级.4.对于铜,形成一个不肖特基缺陷的能量为 1.2eV,形成一个填隙原子所需要的能量为4eV.估算接近1300K (铜的熔点)时,两种缺隙浓度时的数量级差多少. [解答]根据《固体物理教程》中(4.19)(4.20)式可知,空位和填隙原子的数目分别为T k u B Ne n /11-=,Tk u B Ne n /221-=.在第二式中已取间隙位置数等于原子数 ,由上述两式得单位体积铜中空位和填隙原子的浓度分别为Tk u B e m N n C /0111-==ρ, T k u B e m N n C /02221-==ρ.T k u B e m N n C /02221-==ρ.式中m 为摩尔质量,ρ为质量密度,将J eV u 19110*602.1*2.12.1-==,JeV u 19210*602.1*44-==,310*54.63-=m kg/mo1, 23010*022.6=N /mo1,310*92.8=ρkg/m 3,K T 1300=,K J k B /10*381.123-=代入1C 和2C 得3)1300*10*381.1/(10*602.1*2.133231231910*54.6310*9.8*10*022.6m e C ----=3243708.102810*891.1*10*454.8---==m m e3)1300*10*381.1/(10*602.1*433232231910*54.6310*9.8*10*022.6m e C ----=313369.352810*674.2*10*454.8---==m m e .从以上两式可以看出,接近K 1300(铜的熔点)时,肖特基缺陷和填隙原子缺陷浓度相差11个数量级.5.在离子晶体中,由于,电中性的要求,肖特基缺陷都成对地产生,令n 代表正负离子空位的对数,E 是形成一对肖特基缺陷所需要的能量,N 为整个离子晶体中正负离子对的数目,证明T k E B Ne n 2/-=.[解答]由N 个正离子中取出n 个正离子形成 n 个空位的可能方式数为!)!(!1n n N N W -=同样.由 个负离子中取出 个负离子形成 个空位的可能方式数也为!)!(!2n n N N W -=.因此,在晶体中形成 对正,负离子空位的可能方式数为211!)!(!⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==n n N N W W W与无空位时相比,晶体熵的增量为!)!(!121n n N N nk nW k S B B -==∆若不考虑空位的出现对离子振动的影响,晶体的自由能!)!(!1200n n N N nT k nE F S T nE F F B --+=∆-+=,其中0F 是只与晶体体积有关的自由能,利用平衡条件0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Tn F 及斯特林公式nN N N nN N nN 11!1≈-=得[]n n n N nN N n Tk E n F B T1)(12---∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 012=--=nnN n T k E B .由此得T k E B e nN n2/-=-.由于n N >>,因此得 T k E B Ne n 2/-=.6.试求有肖特基缺陷后,上题中的体积的相对变化VV V ./∆为无缺陷时的晶体体积.[解答]肖特基缺陷是晶体内部原子跑到晶体表面上,而使原来的位置变成空位,也就是说,肖特基缺陷将引起晶体体积的增大,设每个离子占据体积为v 则当出现 n 对正、负离子空位时,所增加的体积为nv V 2=∆.而晶体原体积为Nv V2=.由以上两式及上题中的结果Tk E B Ne n 2/-= 得T k E B e NnV V 2/-==∆. 7.设NaC1只有肖特基缺陷,在C800时用X 射线衍射测定NaC1的离子间距,由此确定的质量密度算得的分子量为58.430,而用化学方法测定的分子量为58.454.求在C800时缺陷的相对浓度.[解答]即使在C800时,晶体是的缺陷数目与正常格点上的原子数目相比也是很少的,因此,在忽略热膨胀的影响的情况下,X 射线测得的离子间距可视为正常离子间的距离,设NaC1晶体的离子间距为d , 则晶格常数为2d ,一个晶胞内包含4个 NaC1分子,再设晶体总质量是M,无缺陷时体积为0V 有缺陷时体积V ,用X 射线方法确定的分子质量可表示为M V d ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4)2(3.用化学方法测得的分子质量可视为真实的分子质量,可表示为M V d ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡034)2(.设用 射线方法和化学方法测定的分子量分别为,,'A A 则进一步得'032A N V Md =, A N V Md =0032, 基中0N 为阿伏加德罗常数,由以上两式得00'1V V V V A A ∆+==.以Nn表示缺陷时的相对浓度,利用上题结果NnV V =∆得缺陷的相对浓度4'10*1.41430.58454.581-=-=-=A A N n . 8.对下列晶体结构,指出最密原子排列的晶列方向,并求出最小滑移间距. (1) 体心立方; (2) 面心立方. [解答](1) 体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族)(321h h h 的面间距221213232)()()(321h h h h h h ad h h h +++++=.可以看出,面间距最在的晶面族是{001},将该晶面指数代入《固体物理教程》(1.32)式,得到该晶面族对应的密勒指数为{001}.面间距最大的晶面上的格点最密，所以，密勒指数{001}晶面族是格点最密的面，面间距在的晶面间的结合力小,所以格点最密的面便是滑移面.最密的线一定分布在格点最密的面上.由图 4.3虚线标出的(110)晶面容易算出,最密的线上格点的周期为a 23. 具有简单晶格的晶体滑移时,是一个晶格周期一个晶格周期的一步步滑移,因此,最小滑移间距为a 23.图 4.3 体心立方晶胞(2)面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族)(321h h h 的面间距232123212321)()()(321h h h h h h h h h ad h h h -+++-+++-=可以看出,面间距最大的晶面族是{111}.由第一章第15题可知,对于面心立方晶体,晶面指数)(321h h h 与晶面指数(hkl )的转换关系为将晶面指数{111}代入上式,得到该晶面族对应的密勒指数也为{111}.面间距最大的晶面上的格点最密，所以密勒指数 晶面族是格点最密的面，即{111}晶面族是滑移面。
固体物理第四章习题
n个填 ( N n)!n ! N! ]2 ( N n)!n !
同时形成n个空位和n个填隙原子的可能方式数为
W WW 1 2 [
导致的晶体的熵的增加量为
N! S kB ln W 2kB ln ( N n)!n !
由于<，上式表明高温下空位更容易形成。
20
在低温情况下，即T<<E时，有
1 e 1 e
k BT k BT
1
n Ne
u1
k BT
3m ( ) 1 e k BT
1 e
k BT
于是
n Ne
u1
k BT
此式表明，低温下不仅缺陷数目少，而且空位 附近的原子与正常格点上的原子的频率偏差对 空位浓度的影响可以忽略。
其中F0是只与晶体体积有关的自由能．利用平衡条 件
F 0 n T
5
及斯特林公式 得：
ln N ! N ln N N N ln N
F E 2 k T N ln N N n ln N n n ln n B n n T N n E 2k BT ln 0 n n E 2 k BT e 由此得 N n
17
[求解] 设含有N个原子的简单晶体中，存在n个空位， 当原子振动频率不变时，晶体的自由能为
F1 F0 nu TS F0 nu k BT ln N! ( N n)!n!
按照爱因斯坦模型，有空位缺陷时晶体原子的 振动对自由能的贡献为（p. 141）
F2 3( N mn)k BT [ ln(1 e kBT )] 2kBT 3nmkBT [ ln(1 e kBT )] 2kBT
固体物理学答案(朱建国版)
固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用2019年11月20日第1章晶体结构 (1)第2章晶体的结合 (12)第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20)第4章晶体缺陷 (33)第5章金属电子论 (37)第1章 晶体结构1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f =22a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：Rb =32a 那么，Rf Rb =23aa=631.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。
若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。
1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角ϕ，如下表所示。
序号 晶系 基矢长度与夹角关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜方 任意2,πϕ≠b a 、简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,πϕ==b a简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,πϕ==b a简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4长方2,πϕ=≠b a简单长方（图中4所示） 有心长方（图中5所示）1mm ，2mm1 简单斜方2 简单正方3 简单六角4 简单长方5 有心长方二维布拉维点阵1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）（010）(213)答：证明设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章 晶格结构中的缺陷
4.1 试证明，由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为
s
B k T
s n Ne
μ-
=
其中s μ是形成一个空位所需要的能量。
证明：设由N 个原子组成的晶体，其肖托基缺陷数为s n ，则其微观状态数为 !
()!!
s s s N P N n n =
-
由于s μ个空位的出现，熵的改变
[]!
ln ln
ln ()ln()ln ()!!
B s B B s s s s s s N S k P k k N N N n N n n n N n n ∆===-----
晶体的自由能变化为
[]ln ()ln()ln s s s s B s s s s F n T S n k T N N N n N n n n μμ=-∆=-----
要使晶体的自由能最小
B
()ln 0s
s s s
T n F u k T n N n ⎡⎤⎛⎫∂∆=+= ⎪⎢⎥∂-⎣⎦⎝⎭
整理得
s B k T s
s
n e N n μ
-=-
在实际晶体中，由于,
s n N <<s s
s
n n N N n ≈
-，得到 s
B k T
s n Ne
μ-
=
4.2 铜中形成一个肖托基缺陷的能量为1.2eV ，若形成一个间隙原子的能量为4eV ，试分别计算1300K 时肖托基缺陷和间隙原子数目，并对二者进行比较。
已知，铜的熔点是1360K 。
解：（王矜奉4.2.4）根据《固体物理学》4-8式和4-10式，肖托基缺陷和间隙原子数目分别为
s
B k T
s n Ne μ-
= 1
1B k T n Ne
μ-
=
得19231.21.61051.38101300
2.2510s B k T
s n Ne
Ne
N μ--⨯⨯-
-
-⨯⨯===⨯
191231.2410161.38101300
1 3.2110B k T
n Ne
Ne
N μ--⨯⨯-
-
-⨯⨯===⨯
4.3 设一个钠晶体中空位附近的一个钠原子迁移时，必须越过0.5eV 的势垒，原子振动频率为1012Hz 。
试估算室温下放射性钠在正常钠中的扩散系数，以及373K 时的扩散系数。
已知，形成一个钠空位所需的能量时1eV . 解：（刘友之8.8）根据《固体物理学》4-24式，
22B ()/2
021e 2
u E k T D a ν-+=
考虑沿[001]方向的扩散，()100/2 4.28210/2a a m -==⨯，在室温300K 时
()()
1923
22B 22B 2
2
10(0.51)1.610/1.3810300()/()/21200202332111 4.23810e e 10e 222221.5310/u E k T u E k T a D a m s νν----+⨯⨯⨯⨯-+-+-⎛⎫⨯⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⨯ 在373K 时
()()
192322B 22B 2
2
10(0.51)1.610/1.3810373()/()/21200202282111 4.23810e e 10e 222221.2910/u E k T u E k T a D a m s νν----+⨯⨯⨯⨯-+-+-⎛⎫⨯⎛⎫===⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⨯ 4.4 在离子晶体中，由于电中性的要求，正、负离子多成对地产生，令sp n 代表正负离子空位的数目，sp u 是产生一对缺陷所需的能量，N 是原有正、负离子对的数目，在理论上可推出：
2sp B u sp k T
n Be
N
-
=
（1）试阐述产生正、负离子对后，晶体体积的变化
V
V
∆，V 为原有的体积。
（2）在800℃时，用X 射线测定食盐的离子间距，再由此时测定的密度ρ算得分子量为58.430±0.016，而用化学方法所测定的分子量是58.454，求在800℃时缺陷
p
n N
的数量级。
解：（参考方俊鑫电子版4.22）
（1）在弗兰克尔缺陷中，晶体的体积没有显著变化，而在肖特基缺陷中每产生一对缺陷同时便在晶体表面填了两个新的原子，增加了体积，也就减少了密度，在肖特基缺陷中所增加的体积为：
32sp V n a ∆=其中a 为正负离子间的距离。
晶体原来的体积是32Na V = 因此体积变化是 /2/sp B u k T
sp n V V Be
N -∆=
=
（2）这是一个著名的实验，证明食盐中有肖特基缺陷，因为X 光测点阵常数时，其值a 不随有无缺陷而改变，而用化学方法测密度则是真实的，每单位体积的质量V m ，当晶体总质量m 不改变时，晶
体的实际体积V 将随缺陷数目的改变而变化，即用化学方法测得密度ρ将由于缺陷的数目增加而变。
设
NaCl 分子量为M 1每个分子占体积为2a 3，令ρ为密度，则有：
是常数和因m a m a VM V
m
a M 332;2===
ρ
0;0sp
n dV dM
dV VdM MdV V M
V N
+==->=
又因
458.45458.430
41058.454
sp
n dM N
M --∴=-
=≅⨯ 所以通过这个实验充分证明了空位的存在。
通过密度的变化，说明空位存在的实验还有以下实验：在纯NaCl 或KCl 等晶体中掺入一些重量较大的正负离子杂质，例如CaCl 2，MgCl 2等不同价的正离子，似乎密度应该会增加些，增加的数量与加入MgCl 2的百分比成正比。
有人用纯KCl 内加入CaCl 2掺杂KCl ，不仅密度不增加仅而减少；这说明Ca ++入K +的位置，为使电中性维持下去，必然使晶体中处于正格点位上的一些K +去掉，这就造成了K +空位，而使晶体体积增大，密度减小。
4.5 在一维晶格中，晶格粒子的势能曲线如图所示。
设晶体中只有一种肖托基缺陷，格点上的粒子每秒从能谷1跳到能谷2的几率为
B W k T
V P e l
-
=
其中，l 为缺陷的最近邻格点数目。
试推导出扩散
流密度和扩散系数的表达式。
解：
格点上的粒子每秒从能谷1跳到能
谷2的几
率为P ，则格点上的粒子没跳跃一步所必须的时间为
1B W
k T l
P e V
τ-==
根据式4-21，布朗形成的平方均值与扩散系数和扩散粒子完成一次布朗行程所需时间的统计平均值之间满足
22x D τ=
在肖托基缺陷中，满足
22
x a =，V s
N n ττ=，s
B k T s n Ne μ
-=
得
222211122
22s
s B B B W W
k T k T k T
s V n x V Va D a a e e e
N l l μμττ+---
===⨯⨯=
而扩散流密度
22s B W
k T
C Va C
j D e
t l t
μ+-
∂∂=-=-∂∂。