向量的加法运算

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算

知识点一 向量加法的定义及其运算法则 1.向量加法的定义

求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则

已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →

＝b ，则向量AC →叫做a 与b 的和，记作a ＋b ，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝AC →.

这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

对于零向量与任意向量a ，规定a ＋0＝0＋a ＝a

以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC →

就是a 与b 的和.把这种作两个

向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看作向量加法的平行四边形法则的物理模型.

知识点二 向量加法的运算律 向量加法的运算律

一、向量加法法则

例1 (1)如图①所示，求作向量a ＋b . (2)如图②所示，求作向量a ＋b ＋c .

解 (1)首先作向量OA →＝a ，然后作向量AB →＝b ，则向量OB →

＝a ＋b .如图③所示.

(2)方法一 (三角形法则)如图④所示，

首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →

＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →

＝(a ＋b )＋c ＝a ＋b ＋c 即为所求.

方法二 (平行四边形法则)如图⑤所示，

首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →

＝c ， 以OA ，OB 为邻边作▱OADB ，连接OD ， 则OD →＝OA →＋OB →

＝a ＋b .

再以OD ，OC 为邻边作▱ODEC ，连接OE ， 则OE →＝OD →＋OC →

＝a ＋b ＋c 即为所求.

跟踪1 如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.

(1)OA →＋OC →＝________；(2)BC →＋FE →＝________；(3)OA →＋FE →

＝________. 答案 (1)OB → (2)AD →

(3)0

解析 (1)因为四边形OABC 是以OA ，OC 为邻边的平行四边形，OB 是其对角线，故OA →＋OC →

＝OB →.

(2)因为BC →＝FE →，故BC →＋FE →与BC →方向相同，长度为BC →的长度的2倍，故BC →＋FE →＝AD →

. (3)因为OD →＝FE →，故OA →＋FE →＝OA →＋OD →

＝0. 二、向量加法运算律的应用 例2 化简：

(1)BC →＋AB →；(2)DB →＋CD →＋BC →；(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 解 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →

. (2)DB →＋CD →＋BC →＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB →＝BD →＋DB →

＝0. (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A → ＝AF →＋F A →

＝0.

跟踪2 已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB →＋AD →＋BC →＋DC →

|＝________. 答案 22

解析 |AB →＋AD →＋BC →＋DC →|＝|AB →＋BC →＋AD →＋DC →|＝|AC →＋AC →|＝2|AC →

|＝2 2. 三、向量加法的实际应用

例3 河水自西向东流动的速度为10 km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.

解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →

＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →

即为小船的实际航行速度.

∴|OC →

|＝|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝20(km/h)， tan ∠AOC ＝103

10

＝3，∴∠AOC ＝60°，

∴小船的实际航行速度为20 km/h ，沿北偏东30°的方向航行.

跟踪3 如图，用两根绳子把重10 N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)

解 如图所示，设CE →，CF →分别表示A ，B 所受的力，10 N 的重力用CG →表示，则CE →＋CF →＝CG →.

由题意可得∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°. ∴|CE →|＝|CG →

|cos 30° ＝10×

3

2

＝53(N)， |CF →|＝|CG →

|cos 60° ＝10×1

2

＝5(N).

∴A 处所受的力为5 3 N ，B 处所受的力为5 N.