空间定比分点公式
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
)在任意四边形ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△ ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC, 即BE·AC=AB·CD (1)而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE所以△ ABC∽△AED 相似.BC/ED=AC/AD 即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用a、b、c、d 分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD 是圆内接四边形。
在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。
立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)
立体几何（向量法）—找点难（定比分点公式）例1（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6, 求线段AM 的长.【答案】解：方法一：如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．(1)证明：易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE . (2)B 1C →＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0，消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2，1)．由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m |·|B 1C 1→|＝－414×2＝－2 77，从而sin 〈，B 1C 1→〉＝217. 所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)．设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则 sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →|·|AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2＝λ3λ2＋2λ＋1.于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13(负值舍去)，所以AM ＝ 2. 方法二：(1)证明：因为侧棱CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E ＝5，B 1C 1＝2，EC 1＝3，从而B 1E 2＝B 1C 21＋EC 21，所以在△B 1EC 1中，B 1C 1⊥C 1E .又CC 1，C 1E ⊂平面CC 1E ，CC 1∩C 1E ＝C 1，所以B 1C 1⊥平面CC 1E ，又CE ⊂平面CC 1E ，故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1 作B 1G ⊥CE 于点G ，联结C 1G .由(1)，B 1C 1⊥CE .故CE ⊥平面B 1C 1G ，得CE ⊥C 1G ，所以∠B 1GC 1为二面角B 1－CE －C 1的平面角．在△CC 1E 中，由CE ＝C 1E ＝3，CC 1＝2，可得C 1G ＝2 63.在Rt △B 1C 1G 中，B 1G ＝423，所以sin ∠B 1GC 1＝217，即二面角B 1－CE －C 1的正弦值为217.(3)联结D 1E, 过点M 作MH ⊥ED 1于点H ，可得MH ⊥平面ADD 1A 1，联结AH ，AM ，则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角．设AM ＝x ，从而在Rt △AHM 中，有MH ＝26x ，AH ＝346x .在Rt △C 1D 1E 中，C 1D 1＝1，ED 1＝2，得EH ＝2MH ＝13x .在△AEH 中，∠AEH ＝135°，AE ＝1，由AH 2＝AE 2＋EH 2－2AE ·EH cos 135°，得1718x 2＝1＋19x 2＋23x .整理得5x 2－22x －6＝0，解得x ＝2(负值舍去)，所以线段AM 的长为 2. 例2（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形,平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5. (Ⅰ)求证:AA 1⊥平面ABC ;(Ⅱ)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(Ⅲ)证明:在线段BC 1存在点D,使得AD ⊥A 1B ,并求1BDBC 的值.【答案】解:(I)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1 ⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA 1⊥平面ABC. (II)由(I)知AA 1 ⊥AC,AA 1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB ⊥AC. 如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4),设平面A 1BC 1的法向量为,,)x y z n =(,则11100A B A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u u r n n ,即34040y z x -=⎧⎨=⎩, 令3z =,则0x =,4y =,所以(0,4,3)n =.同理可得,平面BB 1C 1的法向量为(3,4,0)m =,所以16cos 25⋅==n m n,m |n ||m |. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角,所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625.(III)设D (,,)x y z 是直线BC1上一点,且1BD BC λ=u u u r u u u u r. 所以(,3,)(4,3,4)x y z λ-=-.解得4x λ=,33y λ=-,4z λ=.所以(4,33,4)AD λλλ=-u u u r. [来源:学科网]由1·0AD A B =u u u r u u u r ,即9250λ-=.解得925λ=. 因为9[0,1]25∈,所以在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B. 此时,1925BD BC λ==. 例3（2012高考真题辽宁理18）(本小题满分12分)如图1－4，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点．(1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值．图1－4【答案】解：(1)(证法一)连结AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°， AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱． 所以M 为AB ′中点．又因为N 为B ′C ′的中点． 所以MN ∥AC ′. 又MN ⊄平面A ′ACC ′， AC ′⊂平面A ′ACC ′， 因此MN ∥平面A ′ACC ′. (证法二)取A ′B ′中点P ，连结MP ，NP ，M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′， 所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′，又MP ∩NP ＝P ， 因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′，而MN ⊂平面MPN ， 因此MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系O －xyz ，如图1－5所示．图1－5设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)． 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2，λ2，1.设＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0，可取＝(1，－1，λ)．设＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0.可取＝(－3，－1，λ)．因为A ′－MN －C 为直二面角，所以·＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝ 2.例4（2012高考真题湖北理19）（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=o ，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将△ABD 折起，使90BDC ∠=o （如图2所示）． （Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E ，M 分别为棱BC ，AC 的中点，试在 棱CD 上确定一点N ，使得EN ⊥BM ，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．第19题图【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC 中，设(03)BD x x =<<，则3CD x =-．由AD BC ⊥，45ACB ∠=o 知，△ADC 为等腰直角三角形，所以3AD CD x ==-.由折起前AD BC ⊥知，折起后（如图2），AD DC ⊥，AD BD ⊥，且BD DC D =I ，所以AD ⊥平面BCD ．又90BDC ∠=o ，所以11(3)22BCD S BD CD x x ∆=⋅=-．于是1111(3)(3)2(3)(3)33212A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=⋅--312(3)(3)21233x x x +-+-⎡⎤≤=⎢⎥⎣⎦， DABCACDB图2图1M E. ·当且仅当23x x =-，即1x =时，等号成立，故当1x =，即1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． 解法2：同解法1，得321111(3)(3)(69)3326A BCD BCD V AD S x x x x x x -∆=⋅=-⋅-=-+．令321()(69)6f x x x x =-+，由1()(1)(3)02f x x x '=--=，且03x <<，解得1x =．当(0,1)x ∈时，()0f x '>；当(1,3)x ∈时，()0f x '<． 所以当1x =时，()f x 取得最大值．故当1BD =时, 三棱锥A BCD -的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D 为原点，建立如图a 所示的空间直角坐标系D xyz -．由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==．于是可得(0,0,0)D ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)A ，(0,1,1)M ，1(,1,0)2E ，且(1,1,1)BM =-u u u u r．设(0,,0)N λ，则1(,1,0)2EN λ=--u u u r . 因为EN BM ⊥等价于0EN BM ⋅=u u u r u u u u r ，即11(,1,0)(1,1,1)1022λλ--⋅-=+-=，故12λ=，1(0,,0)2N .所以当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点）时，EN BM ⊥．设平面BMN 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由,,BN BM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u u ru u u u rn n 及1(1,,0)2BN =-u u u r ， 得2,.y x z x =⎧⎨=-⎩ 可取(1,2,1)=-n ． 设EN 与平面BMN 所成角的大小为θ，则由11(,,0)22EN =--u u u r ，(1,2,1)=-n ，可得1|1|sin cos(90)||||EN EN θθ--⋅=-===⋅o u u u r u u u r n n 60θ=o ．故EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A BCD -的体积最大时，1BD =，2AD CD ==． 如图b ，取CD 的中点F ，连结MF ，BF ，EF ，则MF ∥AD . 由（Ⅰ）知AD ⊥平面BCD ，所以MF ⊥平面BCD .如图c ，延长FE 至P 点使得FP DB =，连BP ，DP ，则四边形DBPF 为正方形， 所以DP BF ⊥. 取DF 的中点N ，连结EN ，又E 为FP 的中点，则EN ∥DP ， 所以EN BF ⊥. 因为MF ⊥平面BCD ，又EN ⊂面BCD ，所以MF EN ⊥. 又MF BF F =I ，所以EN ⊥面BMF . 又BM ⊂面BMF ，所以EN BM ⊥. 因为EN BM ⊥当且仅当EN BF ⊥，而点F 是唯一的，所以点N 是唯一的.即当12DN =（即N 是CD 的靠近点D 的一个四等分点），EN BM ⊥．连接MN ，ME，由计算得NB NM EB EM ====， 所以△NMB 与△EMB 是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d 所示，取BM 的中点G ，连接EG ，NG ，则BM ⊥平面EGN ．在平面EGN 中，过点E 作EH GN ⊥于H ， 则EH ⊥平面BMN ．故ENH ∠是EN 与平面BMN 所成的角．在△EGN中，易得2EG GN NE ===，所以△EGN 是正三角形， 故60ENH ∠=o ，即EN 与平面BMN 所成角的大小为60.o图a图bC AD BE FMN图cBD PCF NEGMNH图d第19题解答图。
立体几何知识点
立体几何知识点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ） （斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.12方向相同12方向不相同空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上P OA a四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于21,ll，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos2222mndnml+++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21coscoscosθθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：lCS1=（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：图1θθ1θ2图2PαβθM ABO①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --. c则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,, 得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()(),0=-⋅=-⋅c a b b c a 0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：F E HG B C DA O'O r①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC O R四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证. 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n A D CB②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB一、四面体.：1、①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，该点叫此四面体内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理： S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=；④h = 4r.二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC OABC D上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。
《北京师范大学-第四版-空间解析几何》考前救急
1 / 7 ·那些没记牢的公式潘志鹏 北京师范大学【摘要】主要记录了作者在《解析几何》期末考试来临前还是没有记牢的各种公式，用来在考试之前抱抱佛脚。
【关键词】解析几何 公式1. 向量1.1. 内积Cauchy-Schwarz 不等式：|a ⋅b |≤|a |2|b |2。
1.2. 混合积和双重外积双重外积公式： (a ⃗×b ⃗⃗)×c ⃗=(a ⃗⋅c ⃗)b ⃗⃗−(b ⃗⃗⋅c ⃗)a ⃗,a ⃗×(b ⃗⃗×c ⃗)=(c ⃗⋅a ⃗)b ⃗⃗−(b ⃗⃗⋅a ⃗)c ⃗,(a ⃗×b⃗⃗)×(c ⃗×d ⃗)=(c ⃗,d ⃗,a ⃗)b ⃗⃗−(c ⃗,d ⃗,b ⃗⃗)a ⃗。
定比分点公式：P 1P PP 2=λ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+λOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗1+λ。
2. 平面平面点法式方程的向量形式：(OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)⋅N ⃗⃗=0。
平面一般方程的向量形式： OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅N ⃗⃗+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0。
平面点位式方程： OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+μOP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+νOP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,{x =x 0+μx 1+νx 2y =y 0+μy 1+νy 2z =z 0+μz 1+νz 2。
3. 曲面3.1. 曲面基础直圆锥面的方程：|cosθ|=|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅l ⃗||PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||l ⃗|,A (x 0,y 0,z 0)。
旋转曲面方程：以G:{F 1(x,y,z )=0F 2(x,y,z )=0为母线，x−a X =y−b Y =z−c Z 为轴的旋转曲面满足P (x 0,y 0,z 0)∈G,{ F 1(x 0,y 0,z 0)=0F 2(x 0,y 0,z 0)=0(x −a )2+(y −b )2+(z −c )2=(x 0−a )2+(y 0−b )2+(z 0−c )2X (x −x 0)+Y (y −y 0)+Z (z −z 0)=0，注意(a,b,c )不一定就是垂足所在位置！球坐标和常规坐标转化：{x =ρcosφcosψy =ρcosφsinψz =ρsinφ⇒{ρ=√x 2+y 2+z 2ψ=222φ=22。
(高二)高二数学知识点及公式总结5篇
高二数学知识点及公式总结5篇相信有很多同学到了高中会认为数学是理科，所以没必要死记硬背。
其实这是错误的想法，高中数学知识点众多，光靠一个脑袋是记不全的，好记性不如烂笔头，要想学好数学，同学们还是要多做知识点的总结。
以下是我精心收集整理的高二数学知识点及公式总结，下面我就和大家分享，来欣赏一下吧。
高二数学知识点及公式总结11、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，假设利用圆的标准方程，需求出a，b，r;假设利用一般方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，那么有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，那么过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2练习题：2.假设圆(x-a)2+(y-b)2=r2过原点，那么()A.a2-b2=0B.a2+b2=r2C.a2+b2+r2=0D.a=0，b=0【解析】选B.因为圆过原点，所以(0，0)满足方程，即(0-a)2+(0-b)2=r2，所以a2+b2=r2.高二数学知识点及公式总结2空间中的垂直问题(1)线线、面面、线面垂直的定义①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
空间向量定比分点公式及应用
即
x x1e1 y y1e2 z z1e3 x2 xe1 y2 ye2 z2 ze3.
也就是
x x1 x2 xe1 y y1 y2 ye2 z z1 z2 ze3 0.
2.平面向量r 的坐标运算r ： (r1).r已知 a (x1, y1),b r(x2r, y2),
a rb (x1 x2, y1 y2), a b (x1 x2, y1 y2)
a (x1, y1)
(2).若A(x1, y1), B(x2, y2),则AB (x2 x1, y2 y1)
x y z
x1 y1 z1
1
1
1
x2 y2 z2
x1 , y1 , z1 .
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从而
x
y
z
x1 x2 1 y1 y2 1 z1 z2 1
也可能与P2更靠近.,设P的坐标是x, y, z,
分情况讨论: ( A) P靠近点P1,则P是分向量P1P2
定比为 1的分点.由定比分点公式,
3 得 P的坐标是 1 , 1 , 3 .
4 4 4
( A) P靠近点P2 ,则P是分向量P1P2
定比为 3的分点.由定比分点公式,
这些向量后, 再化简就可以了.
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由于P是分向量P1P2
定比为的分点,即
P1P PP2 ,
又P1P2 P1P PP2, 所以
P1P
1
P1 P2 .
即
x x1, y y1, z z1 上一页
向量与坐标知识点总结
解析几何复习知识点总结第一章向長与坐标第一节向長的概念：空间中具有大小和方向的長叫做空间向長C向長的大小叫做向長的长度或模(modulus)©规定，长度为0的向長叫做零向長，记为0.模为1的向長称为单位向長。
与向星a长度相等而方向相反的向長，称为a的相反向呈。
记为-a方向相等且模相等的向長称为相等向長，长度为一个单位(即模为1)的向是，叫做单位向呈.与向長a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向星，记作a0, aO=a/|a o1共线向長定理两个空间向長a,b向是:b向長不等于0) , a //b的充要条件是存在唯一的实教X,使a=Xb2共面向長定理如果两个向長a,b不共线，则向長c与向星a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3空间向星分解定理如果三个向長a、b、c不共面，那么对空间任一向旻p,存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p=Ma+yb+zc。
任意不共面的三个向長都可作为空间的一个基底，雲向長的表示唯一。
1-2向長的加法三角形定则解决向長加减的方法：将各个向星依次首尾顺次相接，结果为第一个向呈的起点指向最后一个向長的终点。
平行四边形定则解决向長加法的方法：将两个向長平移至公共起点，以向長的两条边作平行四边形，向重的加法结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向長减法的方法：将两个向長平移至公共起点，以向長的两条边作平行四边形，结果由减向長的终点指向被减向長的终点。
(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向長的加减。
)坐标系解向星加减法：在直角坐标系里面，定义原点为向長的起点•两个向長和与差的坐标分别等于这两个向長相应坐标的和与差若向長的表示为(x,y)形式，A(X1,Y1)B(X2,Y2),贝lj A+B= (X1+X2, Y1+Y2) , A-B= (X1-X2, Y1-Y2)简单地讲：向長的加减就是向長对应分長的加减。
类似于物理的正交分解。
平面向量广义定比分点公式_袁微维
○袁微维平面向量广义定比分点公式 在学习平面向量知识时,自然会接触到定比分点的概念及其计算公式,推广线段的定比分点,更有助于使用向量工具处理数学问题.定理:若在■ＡＢＣ中,点Ｅ、Ｆ分别分向量ＡＢ、ＡＣ所成的比为λ、μ,且ＢＦ交ＣＥ于点Ｍ,则Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ证明:如图1,因为点Ｂ、Ｍ、Ｆ共线,所以Ａ=(1-ｔ)Ａ+ｔＡ.同理Ａ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ(这是因为Ｃ、Ｍ、Ｅ三点共线).所以(1-ｔ)Ａ+ｔＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′Ａ①因为Ｅ分Ａ所成的比为λ,即Ａ=λＥ,所以ＡＥ=λ1+λＡＢ.②同理Ａ=μ1+μＡ.③(这是因为Ｆ分ＡＣ所成的比为μ)将②、③代入①得(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡ=(1-ｔ′)Ａ+ｔ′λ1+λＡ因为向量Ａ、Ａ不共线所以1-ｔ=ｔ′λ1+λｔμ1+μ=1-ｔ′消去ｔ′可得ｔ=1+μ1+λ+μ.所以ＡＭ=(1-ｔ)ＡＢ+ｔμ1+μＡＣ=(1-1+μ1+λ+μ)ＡＢ+1+μ1+λ+μ·μ1+μＡ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ.例1 如图2,已知■ＡＢＣ中,点Ｐ在■ＡＢＣ内,且3ＡＰ+4ＢＰ+5ＣＰ=Ｏ,延长ＡＰ交ＢＣ于点Ｄ,设Ａ=,Ａ=,试用、表示ＡＤ.解:由3Ａ+4Ｂ+5Ｃ= 3(Ａ+ＢＰ)+4ＢＰ+5(ＣＢ+ＢＰ)=Ｏ ＢＰ=312ＢＡ+512ＢＣ.设ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ,ＢＥ=λＥＡ,ＢＤ=μＤ,根据广义定比分点公式,得λ1+λ+μ=312μ1+λ+μ=512λ=34μ=54从而ＢＤ=54ＤＣ ＡＤ-ＡＢ=54(ＡＣ-Ａ) Ａ=49+59(已知Ａ=,Ａ=),例2 已知■ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ成等差数列,且ａ<ｂ<ｃ,Ｇ为■ＡＢＣ的重心,1为■ＡＢＣ的内心,Ｏ是平面上任一点.·17·数理化学习(高中版)求证:(1)=ａＯＡ+ｂＯＢ+ｃＯＣａ+ｂ+ｃ;(2)ＧＩ∥ＡＣ.证明:(1)如图3,设角Ｂ、Ｃ的平分线ＢＥ、ＣＦ分别交ＡＣ、ＡＢ于点Ｅ、Ｆ,由内角平分线定理知λ=ＡＦＦＢ=ｂａ,μ=ＡＥＥＣ=ｃａ,从而1+λ+μ=ａ+ｂ+ｃａ.根据广义定比分点公式=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ =ｂａ+ｂ+ｃＡ+ｃａ+ｂ+ｃＡ Ｏ-Ｏ=ｂａ+ｂ+ｃ(ＯＢ-ＯＡ)+ｃａ+ｂ+ｃ(ＯＣ-ＯＡ)Ｏ=ａＯ+ｂＯ+ｃＯａ+ｂ+ｃ(＊)(2)如图4,设■ＡＢＣ的中线ＢＭ、ＣＮ,则ＢＭ交ＣＮ于点Ｇ,从而λ′=ＡＮＮＢ=1,μ′=ＡＭＭＣ=1.1+λ′+μ′=3.根据广义定比分点公式Ａ=λ′1+λ′+μ′Ａ+μ′1+λ′+μ′Ａ=13Ａ+13Ａ.所以Ｏ-Ｏ=13(ＯＢ-ＯＡ)+13(ＯＣ-Ｏ),所以Ｏ=13Ｏ+13Ｏ+13Ｏ(＊＊)将式(＊)与(＊＊)相减,得ＯＩ-ＯＧ=(ａａ+ｂ+ｃ-13)ＯＡ+(ｂａ+ｂ+ｃ-13)ＯＢ+(ｃａ+ｂ+ｃ-13)ＯＣ.因为ａ<ｂ<ｃ且ａ、ｂ、ｃ成等差数列,所以不妨设公差为ｄ,则ｄ=ｃ-ｂ=ｂ-ａ>0,所以Ｏ-Ｏ=ｄ3ｂ(ＯＣ-ＯＡ),所以ＧＩ=ｄ3ｂＡＣ.显然,内心Ｉ不在ＡＣ上,所以ＧＩ∥ＡＣ,(注:式(＊＊)也可以从重心方程ＧＡ+ＧＢ+ＧＣ=0得到)例3 设Ｄ、Ｅ■ＡＢＣ的边ＡＢ、ＡＣ上,ＤＣ与ＥＢ交于Ｆ,且ＡＤ=ＡＥ,ＦＢ=ＦＣ,求证:ＡＢ=ＡＣ.证明:如图5,设■ＡＢＣ的角Ａ、Ｂ、Ｃ所对边分别为ａ、ｂ、ｃ,令Ａ=λＤ,Ａ=μＥ,则ＡＤ=λ1+λＡＢ,ＡＥ=μ1+μＡＣ.又已知 Ａ = Ａ ,所以λｃ-μｂ=λμ(ｂ-ｃ).①根据广义定比分点公式得Ａ=λ1+λ+μＡ+μ1+λ+μＡ,从而Ｂ=ＢＡ+μＢＣ1+λ+μ,Ｃ=ＣＡ+λＣＢ1+λ+μ.因为已知Ｂ2=ＣＦ2·18·数理化学习(高中版)所以(Ｂ+μＢ)2=(ＣＡ+λＣＢ)2所以ｃ2+μ2ａ2+2μＢ·Ｂ=ｂ2+λ2ａ2+2λＣ·Ｃ.在■ＡＢＣ中,运用余弦定理可得2Ｂ·Ｂ=ａ2+ｃ2-ｂ2,2Ｃ·Ｃ=ａ2+ｂ2-ｃ2,所以ｃ2+μ2ａ2+μ(ａ2+ｃ2-ｂ2)=ｂ2+λ2ａ2+λ(ａ2+ｂ2-ｃ2),所以(1+λ+μ)[(μ-λ)ａ2+(ｃ2-ｂ2)]=0.所以(μ-λ)ａ2=ｂ2-ｃ2②若ｂ>ｃ,则由②知μ>λ,所以μｂ>λｃ.由①可得 λμ(ｂ-ｃ)<0,所以ｂ<ｃ,矛盾.所以ｂ≤ｃ.同理ｃ≤ｂ于是ｂ=ｃ,即ＡＣ=ＡＢ.以上几例充分说明广义定比分点公式是平面向量内容中较重要的向量方程,掌握定比分点推广式有利于提高解题能力.贵州省安顺市双阳中学(561018)○梁克强以正方体为载体研究空间角 正方体的六个面都是正方形,有众多相等的线段和角,还有很多平行和垂直以及对称的条件,这些都为研究空间角提供了有效的依据,只要很好的运用,空间角的问题是不难解决的.一、垂连求角正方体有很多垂直关系,只要善于利用,就能将空间角转化为平面角.例1 正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1的棱长是1,Ｐ是ＡＤ的中点,求二面角Ａ-ＢＤ1-Ｐ的大小.解:如图1,过Ｐ作ＢＤ1及ＡＤ1的垂线,垂足分别是Ｅ、Ｆ,连结ＥＦ.由ＡＢ⊥平面ＡＤ1,得ＡＢ⊥ＰＦ,又ＰＦ⊥ＡＤ1,所以ＰＦ⊥平面ＡＢＤ1,而ＰＥ⊥ＢＤ1,故ＥＦ⊥ＢＤ1,∠ＰＥＦ为所求二面角平面角.Ｒｔ■ＡＤＤ1∽■ＡＦＰ,利用相似比得ＰＦ=24.在■ＰＢＤ1中,ＰＤ1=ＰＢ=52,因为ＰＥ⊥ＢＤ1,所以ＢＥ=32.在Ｒｔ■ＰＥＢ中,ＰＥ=ＰＢ2-ＢＥ2=22.在Ｒｔ■ＰＦＥ中,ｓｉｎ∠ＰＥＦ=ＰＦＰＥ=12,所以∠ＰＥＦ=π6.例2 如图2,在棱长为1的正方体ＡＢＣＤ-Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,Ｐ是侧棱ＣＣ1上的一点,ＣＰ=ｍ,试确定ｍ,使得直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角的正切值为32.解:连ＡＣ,设ＡＣ∩ＢＤ=0.ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1交于Ｇ,连ＯＧ,由ＰＣ∥面ＢＤＤ1Ｂ1,得ＯＧ∥ＰＣ,故ＯＧ=12ＰＣ=ｍ2.又ＡＯ⊥ＤＢ,ＡＯ⊥ＢＢ1,从而ＡＯ⊥面ＢＤＤ1Ｂ1,故∠ＡＧＯ为直线ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角.在Ｒｔ■ＡＯＧ中,ｔａｎ∠ＡＧＯ=2ｍ=32,所以ｍ=13.故当ｍ=13时,ＡＰ与平面ＢＤＤ1Ｂ1所成角正切值为32.二、射影法正方体的六个面都是正方形,有很多对称·19·数理化学习(高中版)。
三角形的中心和重心-三角形重心内心中心
三角形的中心和重心|三角形重心内心中心三角形中心三角形中心三角形只有五种心重心:三中线的交点,三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍；重心分中线比为1：2；垂心:三角形三条高的交点;内心:三内角平分线的交点,是三角形的内切圆的圆心的简称; 外心:三中垂线的交点，是三角形的外接圆的圆心的简称；旁心:一条内角平分线与其它二外角平分线的交点.(共有三个.)是三角形的旁切圆的圆心的简称.当且仅当三角形是正三角形的时候,四心合一心,称做正三角形的中心.三角形重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一可用燕尾定理证明。
证明过程又是塞瓦定理的特例。
已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BO C，再应用从中点得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质及证明方法：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
证明方法：在▲ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1，OB1=1/3BB1，OC1=1/3CC1过O，A分别作a边上高h1，h可知h1=1/3h 则，S(▲BOC)=1/2×h1a=1/2×1/3ha=1/3S(▲ABC)；同理可证S(▲AOC)=1/3S(▲ABC)，S(▲AOB)=1/3S(▲ABC) 所以，S(▲BOC)=S(▲AOC)=S(▲AOB)3、重心到三角形3个顶点距离的和最小。
(等边三角形）证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离和为：(x1-x) +(y1-y) +(x2-x) +(y2-y) +(x3-x) +(y3-y)=3x -2x(x1+x2+x3)+3y -2y(y1+y2+y3)+x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 =3(x-1/3*(x 1+x2+x3)) +3(y-1/3(y1+y2+y3)) +x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 -1/3(x1+x2+x3) -1/3(y1+y2+y3)显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x1 +x2 +x3 +y1 +y2 +y3 -1/3(x1+x2+x3) -1/3(y1+y2+y3) 最终得出结论4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（z1+z2+z3）/35、三角形内到三边距离之积最大的点。
(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
高考数学基础知识点
高考数学基础知识点一、 集合1. 德摩根公式: ∁=()U AB ∁U A∁U B ；∁=()U A B ∁U A ∁U B .2. =⇔=⇔⊆⇔ A B A A B B A B ∁⊆U B ∁⇔ U A A ∁=∅⇔ U B B ∁=U A U ，其中U 表示全集.3. =+-()()card A B cardA cardB card A B .二、 不等式 4. 常用不等式: ⑴ ∈⇒+≥、222a b a b ab R 当且仅当=a b 时取等号； ⑵ ++∈⇒≥、2a ba b ab R 当且仅当=a b 时取等号；⑶ -≤+≤+a b a b a b .5. 定积定和原理: 已知x 、y 都是正数，如果积xy 是定值p ，那么当=x y 时，和+x y 有最小值2p ；如果和+x y 是定值s ，那么当=x y 时，积xy 有最大值214s .6. 一元二次不等式++>20ax bx c (或++<20ax bx c ) (≠0a ，240b ac ∆=->)，如果a 与++2ax bx c 同号，则其 解集在两根之外；如果a 与++2ax bx c 异号，则其解集在两根之间. 简而言之，同号两根之外，异号两根之间. <<⇔--<<121212()()0()x x x x x x x x x ；<>⇔--><或121212()()0()x x x x x x x x x x .(这类问题一般可以借助于韦达定理或者结合图像特点寻找约束条件就可以解决问题)7. 含有绝对值的不等式:当>0a 时，有<⇔<⇔-<<22x a x a a x a ；>⇔>⇔>22x a x a x a 或<-x a .9. 指数不等式与对数不等式:⑴ 当>1a 时，>⇔>()()()()f x g x a a f x g x ；>⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x ；⑵ 当<<01a 时，>⇔<()()()()f x g x a a f x g x ；>⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x .三、 函数10. 设∈≠、，1212[,]x x a b x x ，那么 []--->⇔>⇔-12121212()()()()()00()f x f x x x f x f x f x x x 在[,]a b 上是增函数；[]---<⇔<⇔-12121212()()()()()00()f x f x x x f x f x f x x x 在[,]a b 上是减函数.12. 两个函数图像的对称性: ⑴ 函数=()y f x 与函数=-()y f x 的图像关于直线=0x (即y 轴)对称；⑵ 函数=()y f x 与函数-=1()y f x 的图像关于直线=y x 对称.13. 二次函数的解析式的三种形式:① 一般式 =++≠2()(0)f x ax bx c a ；② 顶点式 =-+≠2()()(0)f x a x h k a ；③ 零点式、两根式 =--≠12()()()(0)f x a x x x x a .14. 二次函数-⎛⎫=++=++≠ ⎪⎝⎭2224(0)24b ac b y ax bx c a x a a a 的图像是抛物线，顶点坐标⎛⎫-- ⎪⎝⎭24,24b ac b a a . 15. 分数指数幂-=1m nnmaa(>∈，、*0a m n N 且>1n )；-=1m nm naa(>∈，、*0a m n N 且>1n ).16. =⇔=log b a N b a N (>≠>，，010a a N ). 17. 对数的换底公式: =log log log m a m N N a ，推论: =log log m n a a nb b m四、 三角18. 同角三角函数的基本关系式: θθ+=22sin cos 1，θθθ=sin tan cos ，θθ⋅=tan cot 1. 19. 和角与差角公式:αβαβαβ±=±sin()sin cos cos sin ；αβαβαβ±=cos()cos cos sin sin ；αβαβαβ±±=tan tan tan()1tan tan ；辅助角公式:αααφ+=++22sin cos sin()a b a b ，由利用φ的正弦和余弦来确定辅助角φ所在象限20. 二倍角公式:ααα=sin22sin cos ；ααααα=-=-=-2222cos2cos sin 2cos 112sin ；ααα=-22tan tan21tan .23. 三角函数的周期公式:函数ωφ=+sin()y x ，∈x R 及函数ωφ=+cos()y x ，∈x R (ωφ、、A 均为常数，且ω≠>，00A )的周期πω=2T ；函数ππωφ=+≠+∈，，tan()2y x x k k Z (ωφ、、A 均为常数，且ω≠>，00A )的周期πω=T .(注意ω小于零的函数周期的求法)24. 正弦定理及其扩充:===2sin sin sin a b cR A B C25. 余弦定理: =+-2222cos a b c bc A ；=+-2222cos b c a ca B ；=+-2222cos c a b ab C (注意其变形公式). 26. 面积公式: ⑴ ===111222a b c S ah bh ch (、、a b c h h h 分别表示a 、b 、c 边上的高)；⑵ ===111sin sin sin 222S ab C bc A ca B .27. 三角形内角和定理: 在ΔABC 中，有ππππ+++=⇔=-+⇔=-⇔=-+()222()222C A B A B C C A B C A B . (很多与三角形有关的恒等变形或者纯粹解三角形的题目中会用到这些关系)五、 数列 28. -=⎧=⎨-≥⎩1112n n n Sn a S S n ，其中数列{}n a 的前n 项和=+++…12n n S a a a . (注意此公式第二行顺推与逆推的应用，这是递推数列的常用公式，可以达到不同的目的)29. 等差数列的通项公式=+-=+-11(1)n a a n d dn a d (∈*n N )；其前n 项和公式+-⎛⎫==+=+- ⎪⎝⎭2111()(1)12222n n n a a n n d S na d n a d n ；等比数列的通项公式-==111n nn a a a q q q(∈*n N )； 其前n 项和公式⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩11(1)111n n a q q S qna q 或⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩111()111n n a a q q S qna q .(注意: 解答题利用错位相减法时要特别注意讨论=1q 的情况)30. 等差数列中等距地抽出的一些项仍为等差数列；等比数列等距地抽出的一些项仍为等比数列. 特殊地，等差数列中某一项是其前后等距两项的等差中项；等比数列中某一项是其前后等距两项的等比中项. 31. 特殊数列的极限:⑴ ⎧<⎪==⎨⎪<=-⎩→不存在或01lim 1111n n q q q q q ∞⑵ -==--→11(1)lim11n n a q aS q q∞ 无穷等比数列{}-11n a q ()<1q 各项的和六、 平面向量32. 平面两点间的距离公式: ==⋅=-+-、222121()()A B d AB AB AB x x y y ，其中、1122(,)(,)A x y B x y .33. 向量的平行与垂直: 设==，1122(,)(,)a x y b x y ，且≠0b ，则λ⇔=⇔-=1221//0a b b a x y x y ；⊥≠⇔⋅=⇔+=1212(0)00a b a a b x x y y .34. 线段的定比分点公式:设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点，λ是实数，且λ=12P P PP ，则λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩121211x x x y y y35. 平面上三点A 、B 、C ，若λμ=+OA OB OC ，则A 、B 、C 三点共线等价于λμ+=1. 36. 三角形的重心坐标公式:设ΔABC 三个顶点的坐标分别为=，，112233(,)(,)(,)A x y B x y C x y ，则ΔABC 的重心++++⎛⎫⎪⎝⎭123123,33x x x y y y G . 37. 平面向量的分解定理:如果1e 、2e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使λλ=+1122a e e . 这一定理又称平面向量的表示定理，其核心即任意两个不平行的向量可以表示平面内的任意向量. 此时，这两个不平行的向量称为这一平面内所有向量的一组基.七、 矩阵、行列式38. 二元一次方程组+=⎧⎨+=⎩111222a x b y c a x b y c ，其对应的系数矩阵为⎛⎫ ⎪⎝⎭1122a b a b ，增广矩阵为⎛⎫ ⎪⎝⎭111222a b c a b c ；三元一次方程组++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ，其对应的系数矩阵为⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111222333a b c a b c ab c ，增广矩阵为⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111122223333a b c d a b c d a b c d . (注意: 增广矩阵中最后一列常数项! 一般会出现在小题的概念辨识中)41. 二阶行列式=-11122122a b a b a b a b ；三阶行列式=++---111213212223112233122331132132132231122133112332313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a . 42. 把三阶行列式中第i 行第j 列的元素ij a 所在的行和列划去，将剩下的元素按原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式；将余子式前加上+-(1)i j 得该元素的代数余子式；三阶行列式按某行(列)展开，例如三阶行列式按第一行展开: =-+111213222321232122212223111213313331333132313233a a a aa aa aa a a a a a a a a a a a a a a a . 43. 二元一次方程组+=⎧⎨+=⎩111222a x b y d a x b y d ，记系数行列式=1122a b D a b ，=1122x db D d b ，=1122y ad D a d .⑴ 当≠0D 时，方程组有唯一解⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩xy D x D D y D； ⑵ 当=0D ，、x y D D 至少一个不为零时，方程组无解；⑶ 当===0x y D D D 时，方程组有无穷多组解.44. 三元一次方程组++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ，记系数行列式=111222333a b c D a b c a b c ，=111222333x d b c D d b c d b c ，=111222333y a d c D a d c a d c ，=111222333z a b d D a b d a b d .⑴ 当≠0D 时，方程组有唯一解⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩x y z D x D D y D D z D；⑵ 当=0D 时，方程组无解或有无穷多组解.(注意=0D 时情况比较复杂，只能说明方程组无解或有无穷多组解，与二元一次方程组不同)45. 平面内三角形的三个顶点坐标分别为11(,)a b 、22(,)a b 、33(,)a b ，则三角形的面积为=11223311121a b S a b a b . 九、解析几何47. 斜率公式-=-2121y y k x x ，其中、111222(,)(,)P x y P x y(很多代数问题可以利用这个公式转化为几何问题，简化解题过程，这是数形结合思想的重要体现)48. 直线的四种方程: ⑴ 点方向式方程 --=00x x y y u v ，直线过点00(,)P x y ，且方向向量为(,)u v ； ⑵ 点法向式方程 -=-00()()a x x b y y ，直线过点00(,)P x y ，且法向量为(,)a b ； ⑶ 点斜式方程 -=-00()y y k x x ，直线过点00(,)P x y ，且斜率为k ；⑷ 一般式方程++=0Ax By C ，其中A 、B 不同时为零.49. 两条直线的平行与垂直: ⑴ 若1:l =+11y k x b ，2:l =+22y k x b ，两直线斜率均存在，则 ① ⇔=≠，121212//l l k k b b ； ② ⊥⇔=-12121l l k k ；⑵ 若1:l ++=1110A x B y C ，2:l ++=2220A x B y C ，且、、、1212A A B B 都不为零，则① ⇔=≠11112222//A B C l l A B C ；② ⊥⇔+=1212120l l A A B B . 50. 夹角公式:⑴ 两条相交直线的夹角公式:α+=+⋅+121222221122cos a a b b a b a b；其中1:l ++=1110a x b y c ，2:l ++=2220a x b y c ；⑵ 到角公式:α-=+2121tan 1k k k k ；其中1:l =+11y k x b ，2:l =+22y k x b ，≠-121k k ；(要区别于直线a 到直线b 的角的求解公式)，直线⊥12l l 时，夹角为π2. 51. 点到直线的距离公式: ++=+0022Ax By Cd A B，点00(,)P x y ，直线l : ++=0Ax By C .52. 圆的表示方程: ⑴ 圆的标准方程: -+-=222()()x a y b r ；⑵ 圆的一般方程: ++++=+->22220(40)x y Dx Ey F D E F ；⑶ 圆的参数方程: θθ=+⎧⎨=+⎩cos sin x a r y b r (θ为参数，πθ∈[0,2))53. 椭圆+=>>22221(0)x y a b a b 的参数方程是θθ=⎧⎨=⎩cos sin x a y b πθ≤<>>，，(0200)a b .(圆和椭圆的参数方程一定要过关)57. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式: αα=+-=-+=-+2222211212(1)()1tan 1cot AB k x x x x y y .(α为直线倾斜角，注意和韦达定理结合使用)弦端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，由方程=+⎧⎨=⎩(,)0y kx bF x y 消去y 得到++=20ax bx c ，Δ>0，α为直线AB 的倾斜角，k为直线的斜率，以上化简思路再结合韦达定理使用，是很多圆锥曲线解答题的常用解题技巧. 58. 圆锥曲线的对称问题: 曲线=(,)0F x y 关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是--=00(2,2)0F x x y y . (可以利用中点坐标公式推导之)十、 复数以下i 为虚数单位59. 复数+=+⇔==，i i a b c d a c b d ∈、、、()a b c d R60. 复数=+i z a b 的模: =+=+22i z a b a b . 61. 复数的四则运算法则:⑴ +++=+++(i)(i)()()i a b c d a c b d ；⑵ +-+=-+-(i)(i)()()i a b c d a c b d ；⑶ ++=-++(i)(i)()()i a b c d ac bd bc ad ； ⑷ +-+÷+=++≠++2222(i)(i)i (i 0)ac bd bc ada b c d c d c d c d .62. 注意共轭复数的概念.63. 注意实部和虚部的概念. (虚部有没有包括i 呢?)十一 、立体几何、空间向量: 73. 面积射影定理: θ='cos S S ，其中平面多边形及其射影的面积分为、'S S ，它们所在平面所成锐二面角为θ. 74. 圆柱的轴、底面、侧面、母线、高；圆锥的轴、顶点、底面、侧面、母线、高等概念的理解. 75. 柱体的体积=V Sh ，柱体的侧面积=侧S ch ，其中c 为底面周长；锥体的体积=3ShV ，圆锥的侧面积π=侧'S rh ，其中'h 为母线长. 76. 若球的半径为r ，则其体积π=343V r ，其表面积π=24S r .十二 、排列组合与二项式定理78. 分布计数原理(加法原理): =+++…12n N m m m . 79. 分布计数原理(乘法原理): =⨯⨯⨯…12n N m m m .80. 排列数公式: =--+=-…!P (1)(1)()!mn n n n n m n m . ∈≤、，*()n m m n N .82. 组合数公式: --+===⋅⋅⋅-……P (1)(1)!C 12!()!Pmnm nm mn n n m n m m n m . ∈≤、，*()n m m n N83. 组合数的两个性质:⑴ -=C C m n mn n ；⑵ -++=11C C C m m m n n n .85. 排列数与组合数的关系: =⋅P !C mm n n m .86. 二项式定理: ---+=++++++……011222()C C C C C n n n n r n r r n nn n n n n a b a a b a b a b b ；二项展开式的通项公式: -+==…1C (0,1,2,,)r n r rr n T ab r n . (注意通项的下标)十三 、概率、统计87. 等可能性事件的概率: =()mP A n. 88. 总体均值: μ=+++ (121)()N x x x N；总体中位数:将每个个体按从小到大排列，N 为奇数时即为中间位置的数；N 为偶数时为中间的两个数的算术平均数； 总体方差: σμμμ⎡⎤=-+-++-⎣⎦…2222121()()()N x x x N；总体标准差:σ.89. 随机抽样: 如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有相同的可能性被选入样本，那么这种抽样叫做随机抽样，所得的样本称为随即子样； 系统抽样: 把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法；分层抽样: 把总体分成若干个部分，然后在每个部分进行随机抽样的方法.90. 样本的平均值(总体均值的点估计值): =+++ (121)()n x x x x n ；样本的标准差(总体标准差的点估计值): ()()()-+-++-=- (22)2121n x x x x x x s n .(注意样本标准差和总体标准差计算公式中n 与-1n 的区别，极有可能出小题)91. 互斥事件A 、B 分别发生的概率的和=+()()()P A B P A P B ；概率的加法公式: =+-()()()()P AB P A P B P AB ;92. n 个互斥事件分别发生的概率之和: +++=+++……1212()()()()n n P A A A P A P A P A . 93. 独立事件A 、B 同时发生的概率=⋅()()()P AB P A P B94. n 个独立事件同时发生的概率: =⋅⋅⋅……1212()()()()n n P A A A P A P A P A .。
空间向量定比分点坐标公式及应用
《空间向量定比分点坐标公式及应用》教学设计量P P 1、2PP 有何位置关系?结合定理1.4.1和定理1.4.6,引入空间向量定比分点的定义...定义 P 为向量→21P P 所在的直线上任意一点,点P 把向量→21P P 分成了两个共线向量→P P 1、→2PP ,如果→→≠02PP ,设→→=21PP P P λ,称P 为分向量→21P P 定比为λ的分点. 引入定义后,让学生理解两点: (1)P 位于向量→21P P 所在的直线上,但P 的位置是相当自由的;(2)向量→P P 1是→2PP 的λ倍,这里的λ也是相当自由的.与此同时,引导学生紧紧使用向量的方法来理解这个定义,还应该关注两个向量→P P 1、→2PP 的方向问题,于是提出问题4. 问题4. 点P 的位置与λ的取值有什么关系?三、向量定比分点的坐标公式 法国数学家笛卡尔为把几何与代数有机结合,发明了标架.有了标架后,空间中的任何向量就可以进行坐标化, 也就是代数化.既然我们用点P 把向量→21P P 分成了两个向量→P P 1、→2PP 我们就特别关心分点P 的坐标.下面是从向量(几何)与坐标(代数)两个方面同时研究这个问题.从而提出问题5 问题 5 取定标架⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→321,,;e e e O ,()i i i i z y x P ,,.点P 的坐标是什么?在老师的提示下,引导学生分析解决问题的办法.教学过程中,根据实际情况,可以让学生只使用两种方法之一解决即可. 具体过程:由于→→=21PP P P λ所以→→+=211PP P P λλ,代向量坐标公式入此式,即有 {}{}121212111,,1,,z z y y x x z z y y x x ---+==---λλ,即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=--+=-121121121111z z z z y y y y x x x x λλλλλλ 化简即得定比侵占的坐标公式是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ..是只需直接代定比分点公式就可以直接得到任意空间三角形的重心的必须得先确定对边中点坐标.为了突出向量的教学中可以补充介绍三角形重心的向量表示法。
黄金分割点公式
黄金分割点公式黄金分割点公式，又称“黄金分割法则”，是一种经典的美学比例，是一种简捷的设计方式，其原理是分割一条线段使得这两部分的长度之比等于整体长度与其较长部分的长度之比。
它被广泛应用在艺术和建筑设计、广告设计和摄影等领域。
以自然界已知的几何比例为基础，“黄金分割点”公式由古希腊数学家苏格拉底发现，其具体表达式为：长边：短边=（黄金分割点）：1，即 0.618:1，也叫“黄金分割”或“苏格拉底金比例”，代表现存美学设计古典比例规律。
黄金分割历史悠久，早在古希腊时期，就曾被称为“苏格拉底比例”，因为苏格拉底在其著作《关于几何的学说》中提出了这一比例。
古希腊建筑师此后便把它作为了一种建筑学规律，用它来定义建筑物外形及其内部中央布局。
苏格拉底还认为，“黄金分割点”可以应用于其他艺术形式和自然景观，包括宣传印刷品的设计，以及有一定比例的植物和花卉的设计，此外，黄金分割比例也被广泛用于摄影领域，主要是作为摄影构图的基础。
黄金分割法则在科学计算中也有其实际应用。
它在音乐、艺术、数学、经济学中也都有表现。
在计算机科学中，它也用来解决各种排序问题，比如快速排序和归并排序等。
黄金分割点公式具有一定的宏观效果，由此可见，“黄金分割点”公式在美学、设计、构图，甚至科学领域都具有重要的作用，我们可以从中获得许多灵感，从而更好地提高自己的创作水平。
除此之外，“黄金分割点”公式也在日常生活中有着广泛的应用。
它可以帮助人们在视觉上更好地对比，以此达到美学形式的完整性，帮助创作者更好地达成作品的目标。
其中，最常用的就是家具和装饰品的设计中，采用“黄金分割点”公式来设计家具和装饰品会使整个室内空间更加整齐平衡，更容易产生视觉上的舒适感。
在当代，黄金分割比例也受到了设计行业的广泛认可，越来越多的设计师使用它来创作出完美的设计作品，从而满足客户的要求，把作品的美学效果发挥到极致，从而获得客户的认可和好评。
总之，“黄金分割点”公式作为一个经典的美学比例，无论是从历史上还是当代文化社会，都在艺术行业和设计行业中发挥着重要作用，它有助于创作者完成高质量的作品，从而提高客户体验，获得用户认可。
人教版高中数学知识点提纲
人教版高中数学知识点提纲一.集合与函数 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解.2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况3.你会用补集的思想解决有关问题吗?4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件?5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则.7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称.8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域.9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：.10.你熟练地掌握了函数单调性的证明吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示.12.求函数的值域必须先求函数的定义域。
13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗?14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值?16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。
17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。
若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形?二.不等式18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么?21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.22.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示.23.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.三.数列24.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?25.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?(时，应有)需要验证，有些题目通项是分段函数。
各种圆定理总结(包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆)
托勒密定理定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
证明一、(以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
)在任意四边形ABCD 中，作△ ABE 使∠ BAE=∠ CAD ∠ ABE=∠ ACD 因为△ ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC, 即BE·AC=AB·CD (1)而∠ BAC=∠ DAE，，∠ ACB=∠ ADE所以△ ABC∽△AED 相似.BC/ED=AC/AD 即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2), 得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)所以命题得证复数证明用a、b、c、d 分别表示四边形顶点A、B、C、D 的复数，则AB、CD、AD、 B C、AC、BD 的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
首先注意到复数恒等式：(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) ，两边取模，运用三角不等式得。
等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D 四点共圆等价。
四点不限于同一平面。
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
二、设ABCD 是圆内接四边形。
在弦BC 上，圆周角∠BAC = ∠ BDC，而在 A B 上，∠ ADB = ∠ ACB。
高中数学笔记总结【高一至高三_很全】
高中数学第一章-集合①任何一个集合是它本身的子集，记为 A A ；③空集是任何非空集合的真子集；如果A B ，同时B A，那么 A = B.如果A B，B C，那么A C .Z ={全体整数} （×）s A= {0}）3. ①{（x，y）| xy =0，x∈R，y∈R}坐标轴上的点集.②{（x，y）| xy＜0，x∈R，y∈R 二、四象限的点集.③{（x，y）| xy＞0，x∈R，y∈R} 一、三象限的点集.4. ①n 个元素的子集有2n 个. ②n个元素的真子集有2n③n 个元素的非空真子集有2n－2 个.. 否命题逆命题.. 原命题逆否命题.②x 1且y 2，x y 3,故补：C U A { x U ,且x A}（2）等价关系： A B0)的解可以根据各区间的符号确单是简命题；的命题结词叫做逻些词“或”、“且”、“非”这辑联结词；不含有逻辑联由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
（2）“p 且q”形式复合命题当P 与q 同为真时为真，其他情况时为假；（3）“p 或q”形式复合命题当p 与q 同为假时为否命题若┐p则┐q假，其他情况时为真．( 原命题逆否命题)高中数学第二章-函数要点§02. 函数知识函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数（2）f ( x)f ( x) 4．如果 f ( x)是偶函数，则f (| x |) ，反之亦成立。
时有意义，则⑴偶函数： f ( x) f ( x)a,b ）也是图象上一点.②满足 f ( x) f (x) ，或 f ( x) f ( x) 0 ，若 f ( x) 0时，⑵奇函数： f ( x)a, b ）也是图象上一点.。
空间解析几何
空间解析几何（Space Analytic Geometry）课程编号：（由教务处统一编写）学分：3学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）先修课程：无适用专业：数学各专业1年级教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012开课学院：理学院一、课程的性质与任务：《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。
自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。
解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。
通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。
学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。
数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。
解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。
解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。
《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。
向量
向量百科名片向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对目录向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的表示向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。
注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。
α=（a 1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。
（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。
向量的来源向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。
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空间定比分点公式
空间定比分点公式是用于确定空间线段的任意比分点的数学公式。
该公式可以在三维空间中使用，但是在二维平面中也适用。
假设在空间中有一条线段AB，要求在AB上确定点C，使得AC:CB=k:l。
其中k和l为给定的比例系数，且k+l不等于0。
则点C的坐标可以使用以下公式计算：
C = (kB + lA)/(k+l)
其中，A和B分别为线段AB的两个端点的坐标，k和l为给定的比例系数，C为所求的比分点的坐标。
该公式可以通过在三维空间中绘制线段AB并计算其长度和方向向量来推导得出。
在二维平面中，该公式可以简化为：
C = (kBx + lAx)/(k+l), (kBy + lAy)/(k+l)
其中，Ax和Ay分别为点A的x和y坐标，Bx和By分别为点B 的x和y坐标，k和l为给定的比例系数，Cx和Cy分别为所求的比分点的x和y坐标。
空间定比分点公式在空间几何中有广泛的应用，例如在计算机图形学中用于确定线段的插值点，以及在建筑设计中用于确定建筑物的比例关系等。
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