取值范围的解题技巧
高中数学解题方法系列：函数的值域与最值
①
y
k
b x2
型，可直接用不等式性质，
【及时反馈】
求
y
3 2 x2
的值域（答： (0,
3]） 2
②
y
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
bx mx
n
型，先化简，再用均值不等式，
【及时反馈】
（2）求函数 y x 2 的值域（答：[0, 1] ）
x3
2
③ y x2 mx n 型，可用判别式法或均值不等式法， mx n
（3）、求函数 y x 2 2x 3 在如下区间中的的最值与值域。
ⅰ、 (4,2] ；ⅱ、 (1,2] ；ⅲ、 (3,5) ；ⅳ、 (,)
（4）、求函数 y sin x cos 2x 的最值与值域。（提示：先转化为带有限制条
件的二次型函数的最值与值域的求解）
（5）、若
所示：
定义域
值域
原函数 y f (x)
A
C
反函数 y f 1 (x)
C
A
由上表知，求原函数的值域就是相当于求它的反函数的定义域 ⅱ、求反函数的步骤（“三步曲”）
①求 x ( y) ；②x、y 互换；③通过求原函数的值域得出反函数的定义域
【及时反馈】
（1）、求函数 f (x) 2x 4 的值域 x 1
解： y x x 1 (x 1) x 1 1
令 x 1 t（运用换元法时，要特别要注意新元 t 的范围），易知 t 0(why ?) 所 以 x 1 t 2 ， 所 以 y t 2 t 1(t 0) ， 欲 求 原 函 数 的 值 域 ， 只 需 求 y t 2 t 1(t 0) 的最值与值域即可（解法同上面的【及时反馈】）。
高中函数解题技巧
高中函数解题技巧高中函数解题技巧引言在高中数学中，函数是一个重要的内容，解题时需要运用合适的技巧来解决各种函数问题。
本文将详细说明高中函数解题的各种技巧，帮助学生更好地应对考试。
技巧一：函数定义的掌握1.理解函数的定义：函数是一个映射关系，将自变量映射到因变量。
2.弄清楚定义域和值域：定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的取值范围。
3.利用定义域和值域求解问题：在解题过程中，需要根据函数的定义域和值域来确定自变量和因变量的取值范围，进而解决相关问题。
技巧二：函数的性质应用1.利用奇偶性判断函数的对称性：奇函数以原点对称，偶函数以y轴对称。
通过判断函数的奇偶性，可以简化一些计算和问题的分析。
2.利用导数判断函数的增减性：函数的导数代表其斜率，通过求导可以判断函数在某一区间内的增减情况，有助于解决最值和特殊点问题等。
3.利用周期性解决重复性问题：某些函数具有周期性特征，通过寻找周期性解决问题，可以简化计算和分析过程。
技巧三：函数图像的应用1.利用函数图像解读问题：观察函数的图像，可以帮助理解函数的性质和规律，进而解决相关问题。
2.利用函数图像求解交点和切点：通过观察函数图像的交点和切点，可以求解函数的零点、最大最小值和特殊点等问题。
技巧四：函数图像的变换1.利用平移变换函数图像：平移函数图像可以改变函数图像的位置，通过平移变换可以简化计算和分析过程。
2.利用伸缩变换函数图像：伸缩函数图像可以改变函数图像的尺寸，通过伸缩变换可以观察到函数的变化规律。
技巧五：函数组合和复合1.利用函数组合化简问题：将多个函数组合起来，可以简化计算和分析过程，有助于解决复杂的问题。
2.利用函数复合求解复合函数值：通过将自变量代入复合函数，可以求解复合函数的值，解决相关问题。
技巧六：方程和不等式的解法1.利用函数解方程：将方程转化为函数等式，通过解函数等式来求解方程，可以简化计算和分析过程。
2.利用函数解不等式：将不等式转化为函数不等式，通过解函数不等式来求解不等式，解决相关问题。
提优专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧(原卷版)
专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版） 专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。
恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。
通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。
第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设m ＞n ＞0，m 2+n 2＝4mn ，则m 2−n 2mn 的值等于（ ） A ．2√3B ．√3C ．√6D ．3 变式训练1．（达州中考）已知：m 2﹣2m ﹣1＝0，n 2+2n ﹣1＝0且mn ≠1，则mn+n+1n 的值为 ．2．（2020秋•锦江区校级期末）已知2a ﹣3b +1＝0，则代数式6a ﹣9b +1＝ ．3．（2022秋•吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a 、b 满足a +b ＝8，ab ＝15，且a ＞b ，求a ﹣b 的值．解：因为a +b ＝8，ab ＝15，所以：（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2＝a 2+2ab +b 2﹣4ab ＝（a +b ）2﹣4ab ＝82﹣4×15＝4因为a ＞b ，所以a ﹣b ＞0，所以a ﹣b ＝2．请利用上面的解法，解答下面的问题．已知实数x 满足x −1x =√8，且x ＜0，求x +1x的值．类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋•下城区期中）已知实数m ，n 满足m ﹣n 2＝1，则代数式m 2+2n 2+4m ﹣2的最小值等于 ． 变式训练1．（2022•蓝山县校级开学）若m ，n 是方程x 2﹣2ax +1＝0且a ≥1的两个实数根，则（m ﹣1）2+（n ﹣1）2的最小值是 ．2．（2022秋•海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x 2−x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母x +1，可设x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ；则x 2﹣x +3＝（x +1）（x +a ）+b ＝x 2+ax +x +b ＝x 2+（a +1）x +a +b ．∵对于任意上述等式成立，∴{a +1=−1a +b =3解得：{a =−2b =5． ∴x 2−x+3x+1=(x+1)(x−2)+5x+1=x ﹣2+5x+1． 这样，分式x 2−x+3x+1就拆分成一个整式x ﹣2与一个分式5x+1的和的形式． （1）将分式x 2+5x−4x−1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）已知整数使分式2x 2−x−12x−3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值．类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021•杭州三模）已知2a ﹣3x +1＝0，3b ﹣2x ﹣16＝0（1）用含x 的代数式分别表示a ，b ；（2）当a ≤4＜b 时，求x 的取值范围．变式训练4．平面直角坐标系中，已知点（a ，b ）在双曲线(0)k yk x 上，且满足22a b m ，22b a m ，a b ，求k 的取值范围。
恒成立与存在问题解参数技巧(1)(1)
数学恒成立&存在问题解参数技巧一、分类讨论法：例如：函数，若恒成立，求的取值范围。
解析：根据题意，只需求时，的取值范围。
根据求导，讨论的取值，求出，并使其满足时，的取值即可。
此题求得。
二、构造函数法：1、构造一种函数法：仍以函数，若恒成立，求的取值范围为例。
解析：当时，在恒成立，当时，原试可化简为恒成立，故可构造，若使其恒成立，只需即可，即只需求出。
此题在上单调递增，由极限性得（洛必达法则解）。
2、构造函数和，数形结合解。
（这是一种技巧，解决选择填空题非常快捷，由于方法特殊，简答题不到万不得已时建议勿用，但可以用来检查简答题的正误。
）这里主要讲解该技巧的应用。
（1）、函数，若恒成立，求的取值范围。
解析：将原试写为，构造，，则题意等价于在时恒成立。
思维转换，可理解为时，的函数图像始终在的上方。
由于，由右图图像知，当与相切时，,当图像向上转动时，与图像在出现两个交点，即的图像在此区间不是始终在上方，不合题意。
当图像向下转动时，图像在，始终在上方，符合题意，故所求。
（2）、已知函数，若其在定义域内是单调递增函数，求参数的取值范围。
解析：根据题意知，在恒成立。
构造，，则题意等价于在恒成立，即的函数图像始终在的上方。
由图像知，当与相切时，与只有一个交点，设交点为，此时参数，则由切线性质可得到以下关系式：联立解得，，故当的函数图像始终在的上方时，所求。
（3）、设，若在处取得极大值，求实数的取值范围。
解析：右图为在1附近处的大致图像，由图知，若在处取得极大值，则存在1附近的值（），使得当时，恒成立，当时，恒成立。
即在与在时恒成立。
构造，则题意转换为：时，恒成立，且时，恒成立。
由图像知，当相切时，存在，使得，的图像在图像下方，由知，切点为，设此时，则，故。
当所求时，不存在，使得，恒成立，不合题意；当将切线向下旋转时，显然不符合题意；当将图像向上旋转移动时，存在，使得当，的函数图像上方，且存在，使得当，使得的函数图像在下方。
21 平面向量中最值、范围问题-备战2018高考技巧大全之高中数学黄金解题模板含解析
【高考地位】平面向量中的最值和范围问题,是一个热点问题，也是难点问题,这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围,如:向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题. 【方法点评】方法一 利用基本不等式求平面向量的最值使用情景：一般平面向量求最值问题解题模板:第一步 利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系；第二步 运用基本不等式求其最值问题; 第三步 得出结论。
例1.已知点A 在线段BC 上（不含端点），O 是直线BC 外一点,且20OA aOB bOC --=，则221a ba b b+++的最小值是___________ 【答案】222例2 如右图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,N M 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则2x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．3223+ D ．34【答案】C【变式演练1】如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与,AB AC 两边分别交于,M N 两点，且,AM x AB AN y AC ==,则x y +的最小值为( ）A ．2B ．13C ．43D ．34【答案】CMNA BGQ考点：向量共线，基本不等式求最值【变式演练2】已知点A（1, 1)，B(4,0），C（2，2）．平面区域D由所有满足AP AB ACλμ=+(1≤≤a，1≤≤b）的点P（x，y)组成的区域．若区域D的面积为8,则a+b的最小值为．【答案】4考点:1、平面向量的线性运算；2、基本不等式． 【变式演练3】平行四边形ABCD 中，60,1,2,BAD AB AD P ∠===为平行四边形内一点,且22AP =，若),(R AD AB AP ∈+=μλμλ,则2u λ+的最大值为 ． 6【解析】试题分析：对),(R AD AB AP ∈+=μλμλ两边平方可得()()22AP AB AD λμ=+可化为222222APAB AB AD ADλλμμ=+⋅⋅+,据已知条件可得22122λμ=+≥,即λμ≤，又()22212223λλμ=++=+≤，则λ+≤. 考点：向量的数量积运算；基本不等式方法二 利用向量的数量积m n m n ⋅≤求最值或取值范围使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题解题模板：第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；第二步 运用向量的数量积的性质求解； 第三步 得出结论。
数学求取值范围技巧
数学求取值范围技巧
求取值范围的题型是数学中常见的一类问题，通常在初中阶段的数学课程中出现。
这类问题通常需要根据给定的条件，确定变量的取值范围，进而求得问题的答案。
在求解取值范围问题时，需要注意以下几点:
1. 读懂问题：在解决问题之前，首先要仔细阅读问题，理解问题中所涉及的概念和条件，明确问题的要求。
2. 找对关键词：在问题中，通常会有一些关键词，如“最大”、“最小”、“最高”、“最低”等，这些关键词可以帮助我们确定变量的取值范围。
3. 画图辅助：对于一些比较复杂的问题，可以通过画图来辅助理解，从而更好地确定变量的取值范围。
4. 利用公式：在一些问题中，可以利用已知的公式来确定变量的取值范围。
例如，当函数 y=ax+b 的导数为零时，可以得到 a=0，从而确定 y 的取值范围。
5. 分类讨论：对于一些比较复杂的问题，需要进行分类讨论，从而确定变量的取值范围。
例如，当一个问题涉及多个变量时，需要分别考虑各变量的取值情况，进而确定答案。
在初中阶段，求取值范围的题型主要有填空题、选择题和计算题等。
在求解此类问题时，需要掌握一些基本的技巧和方法，如画图、分类讨论、化简和代入等。
通过不断的练习，可以提高自己的解题能力和水平。
“恒成立(任意型)、能成立(存在型)、恰成立”三大问题求解参数取值范围的解题切入点-高一版 - 上传版
对任意的x1、x2∈A，恒有a>| f(x1)-f(x2)|成立；等价于a>| f(x1)-f(x2)|max成立,而| f(x1)-f(x2)|max=f(x)max-f(x)min
4.单一函数、双“存在”型
存在x1、x2∈A，使得|f(x1)-g(x2)|<a等价于|f(x1)-g(x2)|min<a，而|f(x1)-g(x2)|min要通过 与 的值域来得到。
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象上方
（4）∀x∈D,均有f(x)﹤g(x)恒成立，则F(x)=f(x)-g(x)﹤0，F(x)max﹤0
等价于在区间D上函数 和图象在函数 图象下方
（5）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) >g(x2)恒成立，则f(x)min>g(x)max
（6）∀x1∈D,∀x2∈E,均有f(x1) <g(x2)恒成立，则f(x)max<g(x)min
＝9a－5；
∴g(a)＝
(2)设≤a1<a2≤，则g(a1)－g(a2)
＝(a1－a2)(1－)>0，
∴g(a1)>g(a2)，
∴g(a)在[，]上是减函数．
设<a1<a2≤1，则g(a1)－g(a2)＝(a1－a2)(9－)<0，∴g(a1)<g(a2)，
∴g(a)在(，1]上是增函数．
∴当a＝时，g(a)有最小值.
4.恒成立与存在性的综合性问题
注意恒成立与存在有解的区别与联系
（1）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) >g(x2)成立，则f(x)min>g(x)min
（2）∀x1∈D,∃x2∈E,使得f(x1) <g(x2)成立，则f(x)max<g(x)max
如何利用零点情况求解参数值或取值范围
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５４㊀如何利用零点情况求解参数值或取值范围如何利用零点情况求解参数值或取值范围Һ庄㊀静㊀（济宁学院附属高级中学，山东㊀济宁㊀２７２０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ零点现象是高中数学中独树一帜的情况， 根据函数零点的情况，讨论参数的范围 是当代高考对考生的考查重点之一．零点同时联系了不等式㊁函数㊁方程等不同模块的知识内容，灵活运用这些知识往往容易成为解答零点问题的关键．通过对一定数量例题的分析总结我们不难发现，零点现象常常和参数求解问题同时存在．对于如何利用零点情况求解参数的具体值或取值范围，我们不妨从这三种不同角度，即数形结合㊁方程思想与导数性质出发思考并解题，这不仅可以提升同学们的解题能力，还可以以此培养同学们的综合素养．ʌ关键词ɔ参数范围；零点情况；数形结合；方程思想；导数一㊁解题思路函数的零点求解中的点，本质上是函数图像与横轴交点的横坐标，但在实际数学应用中，横坐标的这种 跨界性 更具探究意义，因此函数的零点就简化为用横坐标来进行零点的表述．关于函数的零点，常见的问题设计有：连续函数零点存在性的确立；连续函数零点个数的判断；用二分法求函数零点的近似值等．由于函数零点与方程根的关系，问题的解决途径也可以转化为方程形式．近两年高考试题中函数零点的相关问题展现出数学中的划归思想㊁数形结合思想，以及导数解题思想，我们可以从中感受到数学思想方法的魅力．二㊁数形结合求解数形结合与 零点 的结合，可谓是 锦上添花 的组合，主要过程是将已知方程一分为二转化为ｙ＝ｇ（ｘ）和ｙ＝ｈ（ｘ），以这两个函数所对应图像的交点来体现方程根的情况，进而结合图像求解题干中未知参数的具体值．对问题中的方程 一分为二 时，要注意等号两边应是容易画出图像的函数解析式，作图时要充分利用函数的单调性㊁奇偶性等性质，还要在图中标注每个函数图像的最高点㊁最低点等一些特殊点．例１㊀已知函数ｆ（ｘ）＝２ｘ，０ɤｘɤ１，１ｘ，ｘ＞１，{若关于ｘ的方程ｆ（ｘ）＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）恰好有两个不同的实数解，则ａ的取值范围为．思考㊀利用数形结合求解零点问题时，首先解读问题中的已知条件，把方程恰好有两个实数解转化为ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）的函数图像在ｘ的取值范围内有两个交点进行求解，随后在同一个直角坐标系中画出ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝－１４ｘ＋ａ分别对应的图像，最后应对ｙ＝－１４ｘ＋ａ图像进行上下平移和分析，当两个函数图像有两个交点时，确定对应ｙ的取值范围，这样才能求出函数中未知数ａ的取值范围．由于已知ｆ（ｘ）是分段函数，因此同学们在作图时应注意对应函数区间端点的取值，避免在后面解题的过程中出现错误的判断．解㊀由题意可得，关于ｘ的方程ｆ（ｘ）＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）恰好有两个不同的实数解可转化为ｙ＝ｆ（ｘ）和ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）的函数图像有两个不同的交点．在同一个直角坐标系中分别作出ｆ（ｘ）＝２ｘ，０ɤｘɤ１，１ｘ，ｘ＞１{和ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）的函数图像，如图所示．当一次函数ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）的图像经过分段函数ｆ（ｘ）＝２ｘ，０ɤｘɤ１，１ｘ，ｘ＞１{图像中的一个顶点（１，２）时，可以得出ａ＝９４；当直线ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）经过分段函数ｆ（ｘ）＝２ｘ，０ɤｘɤ１，１ｘ，ｘ＞１{的另一个顶点（１，１）时，可以得出ａ＝５４．由图像易知，当ａɪ５４，９４[]时，分段函数ｙ＝ｆ（ｘ）和一次函数ｙ＝－１４ｘ＋ａ图像有两个不同交点，即方程有两个不同的实数解；当直线ｙ＝－１４ｘ＋ａ（ａɪＲ）与反比例函数ｙ＝１ｘ，ｘ＞１的图像相切时，方程１ｘ＝－１４ｘ＋ａ只有一个实数解，即ａｘ－１４ｘ２－１＝０，Δ＝ａ２－１＝０，解得ａ＝１或ａ＝－１（舍去），此时方程ｆ（ｘ）＝－１４ｘ＋ａ有两个不同实数解．其他情况均不满足题意．综上所述，ａ的取值范围为５４，９４[]ɣ｛１｝．三㊁方程思想求解函数中有关零点的求参数取值范围的问题的求解方式，不仅可以从函数图像方面以数形结合的思路考虑，利用函数图像之间的交点来进行分析解答，还可以从方程求解方面找到问题之间的联系进行进一步求解．方程思想的运用，具体是指把求解零点数值的问题转化为求解方程得到实数根的问题，借助方程实数根的解题思路以及相关的知识点列出含有参数的等式或不等式，进而进行分析求得题中所需的具体答案．借助方程实数根的解题思路对零点问㊀㊀㊀解题技巧与方法１５５㊀㊀题进行求解恰恰与数形结合的解题思路相反，如果说数形结合运用的是 一分为二 的解题方法，那么方程思想这种 合二为一 的解法也能够有效解答零点参数求值范围的问题．例２㊀已知ｃʂ０，函数ｆ（ｘ）＝－ｃｘ２＋ｃｘ，ｇ（ｘ）＝ｘ３－ｃｘ２＋ｃｘ，如果函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｆ（ｘ））有相同的零点，则ｃ的取值范围是．思考㊀利用方程思想进行零点参数取值范围的解题时，首先对问题中的函数ｆ（ｘ）进行分析整理，易知函数ｆ（ｘ）的零点为ｘ１＝１，ｘ２＝０，根据问题中对函数有零点的要求，先令ｇ（ｆ（ｘ））＝０可得到ｆ（ｘ）＝０或ｆ２（ｘ）－ｃｆ（ｘ）＋ｃ＝０，但ｘ１＝１，ｘ２＝０明显不是方程ｆ２（ｘ）－ｃｆ（ｘ）＋ｃ＝０的解，在这个条件下函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｆ（ｘ））有相同的零点的设想是无法成立的，因此函数ｆ（ｘ）与函数ｇ（ｆ（ｘ））有相同的零点这个结论成立的充要条件是方程ｆ２（ｘ）－ｃｆ（ｘ）＋ｃ＝０无实数根，随后对方程ｆ２（ｘ）－ｃｆ（ｘ）＋ｃ＝０进行综合分析，便能求得参数ｃ的取值范围．解㊀令ｆ（ｘ）＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝０．令－ｘ２＋ｘ＝ｔ，ｔɪ－ɕ，１４(]，将题干中的函数进行换元以及代入．ʑｆ（ｘ）＝ｃｔ，ｇ（ｆ（ｘ））＝ｃ３ｔ３－ｃ３ｔ２＋ｃ２ｔ．解方程ｇ（ｆ（ｘ））＝ｃ３ｔ３－ｃ３ｔ２＋ｃ２ｔ＝０，可得ｔ＝０或ｃｔ２－ｃｔ＋１＝０．当ｔ＝０时，求得ｘ＝１或ｘ＝０；当ｃｔ２－ｃｔ＋１＝０时，ȵｃʂ０，ʑｔ２－ｔ＋１ｃ＝０，ȵｔ＝０不是该方程的解，ʑｔ２－ｔ＋１ｃ＝０在ｔɪ－ɕ，(１４]内无解，即ｔ＝１４时ｔ２－ｔ＋１ｃ＞０，可求得０＜ｃ＜１６３．综上所述，ｃ的取值范围是０，１６３()．四㊁导数性质求解零点情况与导数往往有着密切的联系，在导数中零点和函数的极值更能画上等号，利用导数中的零点情况求解参数具体值或取值范围，也是同学们经常能见到的一种解题思路．运用导数性质进行解题，实际是通过对函数解析式进行求导，凭借导数讨论并分析已知区间内函数的单调性，判断求导函数与ｘ轴是否有交点，以此求得参数的具体值或取值范围．解题时可能会对函数多次求导，同学们还需要注意区分每一次求导的解析式和意义，避免出现混淆导致答案错误．例３㊀已知函数ｆ（ｘ）＝ａｌｎｘ＋２ｘ()－ｅｘ－１ｘ２（ａɪＲ，ａ为常数）在（０，２）内有两个极值点ｘ１和ｘ２，且ｘ１＜ｘ２，求实数ａ的范围．思考㊀先对题中所求的问题进行分析解读与整理，可以把函数ｆ（ｘ）在（０，２）内有两个极值点转化成ｆᶄ（ｘ）在（０，２）内有两个零点的问题进行求解，其次还需要对ｆᶄ（ｘ）进行求导得到ｆᵡ（ｘ），对ａ的值进行分类讨论，求得对应的ｆᵡ（ｘ）值和ｆᶄ（ｘ）的单调性，综合判断求出ｆ（ｘ）满足（０，２）内有两个极值点条件的参数取值范围即可．解㊀对ｆ（ｘ）求导可得，ｆᶄ（ｘ）＝ａ１ｘ－２ｘ２æèçöø÷－ｅｘ－１（ｘ－２）ｘ３＝（ｅｘ－１－ａｘ）（２－ｘ）ｘ３，ｘ＞０，记ｅｘ－１－ａｘ＝ｈ（ｘ），ｘ＞０，由题意可得，ｈ（ｘ）在（０，２）上存在２个零点．ȵｈᶄ（ｘ）＝ｅｘ－１－ａ，ʑ当ａɤ１ｅ时，ｈᶄ（ｘ）＞０，ｈ（ｘ）在（０，２）上单调递增，至多有１个零点，不符合题意，当ａ＞１ｅ时，令ｈᶄ（ｘ）＝０，得ｘ＝１＋ｌｎａ．①当１＋ｌｎａ＜２且ｈ（２）＞０，即１ｅ＜ａ＜ｅ２时，ｈ（ｘ）在（０，１＋ｌｎａ）上单调递减，在（１＋ｌｎａ，２）上单调递增，则ｈ（ｘ）ｍｉｎ＝ｈ（１＋ｌｎａ）＝－ａｌｎａ．当１ｅ＜ａɤ１时，ｈ（ｘ）ｍｉｎȡ０，ｈ（ｘ）至多有１个零点，不符合题意；当１＜ａ＜ｅ２时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ＜０，且ｈ（２）＞０，且当ｘ靠近０时，ｈ（ｘ）趋近于１ｅ＞０．从而ｈ（ｘ）在（０，１＋ｌｎａ）和（１＋ｌｎａ，２）上各有一个零点，ʑｈ（ｘ）在０，２()上存在２个零点．②当１＋ｌｎａ＜２且ｈ（２）ɤ０，即ｅ２ɤａ＜ｅ时，ｈ（ｘ）在（０，１＋ｌｎａ）上有１个零点，但在（１＋ｌｎａ，２）上没有零点，不符合题意．③当１＋ｌｎａȡ２，即ａȡｅ时，ｈ（ｘ）在（０，２）上单调递减，ｈ（ｘ）至多有１个零点，不符合题意．综上所述，实数ａ的取值范围是１，ｅ２()．总之，零点情况在不同知识模块中有着不同的表达意义，利用不同情况下的零点意义可以高效解答参数相关问题：在函数图像中可以用两个函数图像交点表示；在方程中针对实数根进行等价转换；在导数中也可以是极值意义．这些零点情况的表达方式，恰恰证明了零点现象的重要性，也在提醒同学们应该重视零点现象的灵活运用，以此提高思维能力和解题效率．对于函数零点题目求解而言，解题思路随着题型的不同运用的解题技巧也是有所差别的，不同类型的零点问题，其方法也不尽相同，甚至会不仅仅运用其中一种方法进行求解，也有时不一定有解．在具体的解题过程中，应根据题干所给出的条件，对解题方法进行科学的选取，以保证解题结果的正确性，这对学生在解题中的思维灵活性以及数学知识的掌握程度都有一定要求．总㊀结高中阶段对函数零点的考查主要集中在这两个方面：一是结合函数零点的存在性，运用函数定理以及函数图像，对函数是否存在零点以及零点的个数进行判断，进而判断零点所在的区间，即零点的取值范围；二是利用零点（方程实根）的存在求相关参数的值以及取值范围．函数与导数相结合是数形结合㊁方程思想㊁导数求值这三种解题思路中较难的．学生应理解函数的零点㊁方程的根㊁函数图像与直角坐标系中ｘ轴有交点的等价性质，掌握零点的存在性定理．教师要注重培养学生函数与方程思想㊁数形结合思想以及等价转换思想的应用意识，使其在零点问题的解题过程中能够灵活运用．ʌ参考文献ɔ［１］桑园．利用函数零点求参数的取值范围［Ｊ］．河北理科教学研究，２０１９（０２）：３１－３２．［２］肖骑兵．函数零点中参数取值的求解［Ｊ］．中学教学参考，２０１０（０４）：８１．。
9.9课时2：范围、最值问题
课时2 范围、最值问题题型一 范围问题例1 (2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围.解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c ).由已知，有⎝⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝ (c ＋c )2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即直线FP 的方程为y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立. ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t (x ＋1)，x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6， 又由已知，得t ＝ 6－2x 23(x ＋1)2＞2， 解得－32＜x ＜－1，或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝ 2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0.因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0).(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，求实数m 的取值范围.解 (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0). 由已知得：a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1，∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，整理得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0， 可得m 2>3k 2－1且k 2≠13，① 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为B (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，∴x 0＝x 1＋x 22＝3km 1－3k 2，∴y 0＝kx 0＋m ＝m 1－3k 2. 由题意，AB ⊥MN ， ∴k AB ＝m 1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0). 整理得3k 2＝4m ＋1，②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4.又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，即m >－14. ∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，0∪(4，＋∞). 题型二 最值问题命题点1 利用三角函数有界性求最值例2 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是坐标原点，则|AF |·|BF |的最小值是( )A.2B. 2C.4D.2 2答案 C解析 设直线AB 的倾斜角为θ，可得|AF |＝21－cos θ，|BF |＝21＋cos θ，则|AF |·|BF |＝21－cos θ×21＋cos θ＝4sin 2θ≥4.命题点2 数形结合利用几何性质求最值例3 (2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________________________.答案 22 解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 命题点3 转化为函数利用均值不等式或二次函数求最值例4 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值.解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2， 于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)， 故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x ， 即mx ＋2y ＝0.由⎩⎨⎧ y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2， 从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2， 所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2.综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.(1)已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________.答案 6解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取得最大值6.(2)(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.①求椭圆C 的离心率；②设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.解 ①由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. ②设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0. 又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立，所以|AB |2≥8. 故线段AB 长度的最小值为2 2.[方法与技巧]1.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围.在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围.2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)两类最值问题：①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时与之相关的一些问题.(2)两种常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.[失误与防范]1.求范围问题要注意变量自身的范围.2.利用几何意义求最值时，要注意“相切”与“公共点唯一”的不等价关系.注意特殊关系，特殊位置的应用.A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B.[－2,2] C.[－1,1]D.[－4,4]答案 C解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.2.已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )A.95B.125C.4D.5 答案 B解析 由OM →·PM →＝0，得OM ⊥PM ，根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝125，故选B.3.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )A.[3，＋∞)B.(3，＋∞)C.(1,3]D.(1,3) 答案 A解析 依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，与抛物线方程联立消去y 得x 2±b ax ＋2＝0. ∵渐近线与抛物线有交点，∴Δ＝b 2a 2－8≥0，求得b 2≥8a 2， ∴c ＝a 2＋b 2≥3a ，∴e ＝c a≥3. 4.(2015·绵阳模拟)若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 28＝1的中点和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP →的最小值为________.答案 6解析 点P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)，依题意得左焦点F (－1,0)，∴OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 29＝19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234.∵－3≤x ≤3，∴32≤x ＋92≤152，∴94≤⎝⎛⎭⎫x ＋922≤2254， ∴14≤19⎝⎛⎭⎫x ＋922≤22536，∴6≤19·⎝⎛⎭⎫x ＋922＋234≤12，即6≤OP →·FP →≤12.故最小值为6. 5.已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________.答案 (22，1) 解析 ∵椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n＝1， ∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，e 21＝m ＋2＋n m ＋2＝1＋n m ＋2.∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2n ＝1，∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，∴由条件有m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，∴e 21＝1－1m ＋2.由m >0得m ＋2>2，1m ＋2<12，－1m ＋2>－12，∴1－1m ＋2>12，即e 21>12，而0<e 1<1，∴22<e 1<1. 6.已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2.(1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程.解 (1)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入方程y 2＝4x ，得：k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2kb k 2＝2，得b ＝2k－k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k， ∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k ， ∴AB 的中垂线方程为y ＝－1k (x －1)＋2k ＝－1k x ＋3k. ∵AB 的中垂线经过点P (0,2)，故3k ＝2，得k ＝32， ∴直线AB 的方程为y ＝32x －16. (2)由(1)可知AB 的中垂线方程为y ＝－1k x ＋3k， ∴点M 的坐标为(3,0)，∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k 2＝2k 2＋1|k |，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x 得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0， y 1＋y 2＝4k ，y 1·y 2＝8－4k 2k 2， |AB |＝ 1＋1k 2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2. ∴S △MAB ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 2 1－1k 2， 设 1－1k2＝t ，则0<t <1， S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63， 即k ＝±3时，S max ＝1669， 此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.7.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝32，求椭圆的方程； (2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF 2→·BF 2→＝0，且22<e ≤32，求k 的取值范围. 解 (1)由焦点F 2(3,0)，知c ＝3，又e ＝32＝c a，所以a ＝2 3. 又由a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝3.所以椭圆的方程为x 212＋y 23＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2b 2＋a 2k2. 又AF 2→＝(3－x 1，－y 1)，BF 2→＝(3－x 2，－y 2)，所以AF 2→·BF 2→＝(3－x 1)(3－x 2)＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0，即－a 2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)＋9＝0，整理得k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81a 4－18a 2. 由22<e ≤32及c ＝3， 知23≤a <32，12≤a 2<18.所以a 4－18a 2＝(a 2－9)2－81∈[－72,0)，所以k 2≥18，则k ≥24或k ≤－24， 因此实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－24∪⎣⎡⎭⎫24，＋∞. B 组 专项能力提升(时间：30分钟)8.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x轴的垂线交椭圆于A 、A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程； (2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P ′，过P 、P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外.求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程. 解 (1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则(－c )2a 2＋22b2＝1. 从而e 2＋4b 2＝1.由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8， 从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1. (2)由题意，可设Q (x 0,0).又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝⎛⎭⎫1－x 216 ＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4]). 设P (x 1，y 1)，由题意知，P 点是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值， 又因为x 1∈(－4,4)，且上式当x ＝2x 0时取最小值，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28⎝⎛⎭⎫1－x 2116|x 0| ＝ 2 (4－x 20)x 20＝ 2 －(x 20－2)2＋4.当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2. 此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6， 因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.9.如图所示，在直角坐标系xOy 中，点P (1，12)到抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线的距离为54.点M (t,1)是C 上的定点，A ，B 是C 上的两动点，且线段AB 的中点Q (m ，n )在直线OM 上.(1)求曲线C 的方程及t 的值；(2)记d ＝|AB |1＋4m 2，求d 的最大值.解 (1)y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，∴1－(－p2)＝54，p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x .又点M (t,1)在曲线C 上，∴t ＝1.(2)由(1)知，点M (1,1)，从而n ＝m ，即点Q (m ，m )， 依题意，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝x 1，y 22＝x 2，得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝x 1－x 2，故k ·2m ＝1，∴直线AB 的方程为y －m ＝12m (x －m )，即x －2my ＋2m 2－m ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2my ＋2m 2－m ＝0，y 2＝x消去x ， 整理得y 2－2my ＋2m 2－m ＝0，∴Δ＝4m －4m 2>0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝2m 2－m .从而|AB |＝ 1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋4m 2·4m －4m 2＝2(1＋4m 2)(m －m 2).∴d ＝|AB |1＋4m 2＝2m (1－m )≤m ＋(1－m )＝1，当且仅当m ＝1－m ，即m ＝12时，上式等号成立， 又m ＝12满足Δ＝4m －4m 2>0.∴d 的最大值为1.。
高一数学解题技巧：几何中求参数取值范围
高一数学解题技巧：几何中求参数取值范围学习是劳动，是充满思想的劳动。
查字典数学网为大家整理了高一数学解题技巧：几何中求参数取值范围，让我们一起学习，一起进步吧！一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围,如椭圆 x2a2 + y2b2 = 1上的点P(x,y)满足-a≤x≤a,-b≤y≤b,因而可利用这些范围来构造不等式求解,另外,也常出现题中有多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1 已知椭圆 x2a2 + y2b2 = 1 (a0), A,B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0 , 0)求证:-a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程,求出x0与A,B横坐标的关系,再利用椭圆上的点A,B满足的范围求解.解: 设A,B坐标分别为(x1,y1) ,(x2,y2),(x1≠x2)代入椭圆方程,作差得: y2-y1x2-x1 =-b2a2 x2+x1 y2+y1又∵线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1 (x-x1+x22 )令y=0得 x0=x1+x22 a2-b2a2又∵A,B是椭圆x2a2 + y2b2 = 1 上的点∴-a≤x1≤a, -a≤x2≤a, x1≠x2 以及-a≤x1+x22 ≤a∴ -a2-b2a ≤ x0 ≤ a2-b2a例2 如图,已知△OFQ的面积为S,且OFFQ=1,若 12 2 ,求向量OF与FQ的夹角θ的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角θ与变量S的关系,利用S 的范围解题.解: 依题意有∴tanθ=2S∵12 2 ∴1 tanθ4又∵0≤θ≤π∴π4 p例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是 ( )A a0B a≤2C 0≤a≤2D 0 p分析:直接设Q点坐标,利用题中不等式|PQ|≥|a| 求解. 解: 设Q( y024 ,y0) 由|PQ| ≥a得y02+( y024 -a)2≥a2 即y02(y02+16-8a) ≥0∵y02≥0 ∴(y02+16-8a) ≥0即a≤2+ y028 恒成立又∵ y02≥0而 2+ y028 最小值为2 ∴a≤2 选( B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中,直线与曲线之间的位置关系,可以转化为一元二次方程的解的问题,因此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2 = 8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点,则直线L的斜率取值范围是 ( )A [-12 ,12 ]B [-2,2]C [-1,1]D [-4,4]分析:由于直线l与抛物线有公共点,等价于一元二次方程有解,则判别式△≥0解:依题意知Q坐标为(-2,0) , 则直线L的方程为y = k(x+2) 由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0∵直线L与抛物线有公共点∴△≥0 即k2≤1 解得-1≤k≤1 故选 (C)例5 直线L: y = kx+1与双曲线C: 2x2-y2 = 1的右支交于不同的两点A、B，求实数k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程,由于直线与右支交于不同两点,则△0,同时,还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得 (k2-2)x2 +2kx+2 = 0∵直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2 p三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P(x0,y0)与曲线方程f(x,y)=0关系：若P在曲线上，则f(x0,y0)=0;若P在曲线内，则f(x0,y0)若P在曲线外，则f(x0,y0)可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
不等式恒成立问题中的参数求解技巧
不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。
恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。
其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。
本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。
一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。
例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。
变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。
变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。
①当m=0时，3>0，显然成立。
②当m>0时，则△<0。
③当m<0时，显然不等式不恒成立。
由①②③知。
关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。
例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。
例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。
①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。
</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。
二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。
恒成立，即大于时大于函数值域的上界。
高一数学函数值域解题技巧
一．观察法通过对、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .点评：具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．法当函数的存在时，则其的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．当所给函数是或可化为的时,可以利用求函数值域例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成，利用的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四．法若可化为关于某变量的的函数或无理函数,可用法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。
从一道高考题谈与函数零点有关的变量取值范围问题
从一道高考题谈与函数零点有关的变量取值范围问题浙江省兰溪市第一中学(321102)张城兵函数零点是函数、方程与不等式三个知识块联系的重要桥梁，因而知识点的重要性就不言而喻了，由它产生的题目简约而不简单，内涵丰富，意境深远.多种知识和解题技巧组合在一起,往往让学生无从下手，或者中途夭折.笔者选取一些典型的例子，予以剖析，以飨读者.例1(2015年高考浙江文科第20题)设函数f(x)= x2+ax+b(a,b e R).(1)略；⑵已知函数f(x)在[—1,1]上存在零点，0W b—2a W1,求b的取值范围.解法一这是当年浙江省文科高考压轴题，至今让人津津乐道，回味无穷.考生首先想到方法一，但庞杂的不等式组和难画的线性规划图，使学生很难做全对，由方程f(x)=0在[—1,1]上有实根及已知,得0W b—2a W1, (i)0w b—2a w1,f(—1)•f⑴W0;或者(ii)a—1<一2<1,f(—1)20,f(1)20,A=a2—4b20.①若a W0时,p(x)>0,即h'(x)>0,则h(x)在［1,+8)单调递增，则h(x)2h(1)=0,则h(x)max W0不成立.11214a2①若0<a<2,p(x)=-a(x-—)十———开口向下，对称轴为x=,A=1—4a2>0,则2ap(x)=—ax2+x—a=0存在两个实根x1、x2(x1<x2),则x1+x2=1>0,且x1x2=1,则0<x1<1<x2,令ap(x)>0,则1<x<x2；令p(x)<0.则x>x2.从而h(x)在(1,x2)单调递增,在(x2,+8)上单调递减,在x=x2取最大值h(x)max=h(x2)>h(1)=0,则h(x)max W0不成立.①若a22,p(x)=-a(x-—)2十——开口向下，A=1—4a2W0,则p(x)W0在［1,+8)恒成立,即h'(x)W0在［1,+8)恒成立，则h(x)在［1,+8)单调递减，则h(x)在x=1取最大值h(x)max=h(1)=0,则h(x)max W0成立.综上可得—e［2,+8).评注本题巧妙处理ln x是解题的关键，这类问题可归纳为f(x,a)ln x W g(x,a)(f(x,a)>0)恒成立，构造函数h(x)=g(x,—)—ln x,则h(x)min20,h'(x)=f(x,a)g(込仍⑦2)—f'(x,a)g(x,a)—i,导函数h'(x)中不含f2(x,a)xln x,易于判断单调性和零点,有助于解题.三、指数函数与对数函数的复合函数处理策略例3(2018年高考新课标I卷第21(2)改编)已知函数f(x)=a e x—ln x—1.f(x)20恒成立，求a取值范围.思路本题是函数不等式恒成立问题,需构造函数并转化为函数最值来解决，由于f(x)是由y=e x和y=ln x联合构成，考虑y=e x和y=ln x导函数特征，因此构造函数g(x)=e-x(ln x+1),并转化为求g(x)最值来解决.解f(x)=a e x—ln x—120恒成立O a2e-x(ln x+1)恒成立•令g(x)=e-x(ln x+1),则待证式归结为g(x)max W a.由于g'(x)=e-x(1—ln x—1),令h(x)=——ln x—1,xx则h'(x)=—£—1<0,从而h(x)在(0,+8)单调减.因为h(1)=0,所以x e(0,1)时,h(x)>0,即 g(x)>0, x e(1,+8)时,h(x)<0,即g(x)<0,则g(x)在(0,1)单调增，在(1,+8)上单调减，故g(x)max=g(1)=j,则a2—,即a e[—,+8).ee评注对于同时出现指数函数和对数函数的不等式问题，通常是整理成ln x与其它不含e x项构成多项式，最后与e x构成积或商的形式，即将形如f(x,a)e x+f(x,a)ln x+g(x,a)20(f(x,a)>0)的不等式，变形得到e-x(ln x+洋喫)2—1,再构造函数f(x,a)h(x)=e-x(ln x+专单)，则问题归结为h(x)口-2—1f(x,a)的问题.高考导数问题中的函数通常都是由初等函数,把握初等函数导函数特性，恰当构造函数是解题的关键.本文研究了导数压轴题中三类函数问题中的函数构造，归纳总结了一般性结论，因此，解导数压轴题可根据函数形式选择相应的策略构造函数求解.0 f b 一 2a f 1,, 一若(i)成立，则 <在坐标系I (1 — a + b)(1 + a + b) f 0,21 aOb 中作岀点(a,b)的可行域如图1所示，由A (-2, -3),D(—2, 一3)得 一3 f b f 一3；0 f b — 2a f 1,若(ii)成立,则<+ 2 5在坐标系aOb 中作1 + a + b2 0,a 2 — 4b 2 0,岀点(a,b)的可行域如图2所示，由点A(4 — 2/5, 9 — 4/5),1 2 2C (-3, -3),得-2 f b f 9 - W5,故b 的取值范围是 [—3, 9 - 4/5].解法二(官方的标准答案)设s,t 为方程f (x) = 0的解，且-1 f t f 1,(笔者注：因为题目告知函数f(x)个零点t e ［—1,1］, s 模糊处理)，则在[—1,1]上存在零点，个数不明确，所以只要保证其中一 S 十t 一 一-,由于st = b,2t 1 2t0 f b 一 2a f 1，因此壬十2 f s f 壬十2 (-1 f t f 1).当 —2t 2 t — 2t 2 2 —2t 20 f t f 1 时，----f st f -----------.由于---f -------- f 0t + 2 t + 2 3 t + 21 t — 2t2 2和-3 f f 9 - W5,所以-3 f b f 9 - W5.当—1 f t< 0 时，上兰 f st f 二22,由于一2 f 二22 < 0t +2 t +2 t +2t2t 2和—3 f< 0,所以—3 f b< 0.故b 的取值范围是[—3, 9 - 4/5].解法三函数f (x)在 ［—1,1］上存在零点，也就是 g(x) = ax + b 与 h(x) = —x 2 在x e ［—1,1］上有交点，而条件0 f b — 2a f 1意味着函 数g(x) = ax + b 图象过横坐 标为—2,纵坐标在［0,1］上变化的点，也即为线段AB 上的任意一点，且它与抛物线段有 公共点，如图3,求截距b 的范围.由图可知，直线BC 、BD不符合要求，直线AC 、AD 符合要求，找它们与抛物线段 有公共点的临界状态时b 的值即为所求.易求AC 的方程 y = —2x - 3,令 AD 的方程 y - 1 = k(x + 2)与 y = —x 2 联 立，得x 2 + kx + 2k + 1 — 0,若直线AD 与抛物线相切，由△ 一 k 2 — 8k — 4 = 0,得 k = 4 ± 2/5,取 k = 4 — 2/5(因 为x e ［—1,1］的限制，故k = 4+ 2/5舍去)，所以截距b = 9 一 4/5.综上,b 的取值范围是［—3, 9 一 4/5］.评注 方法一是学生首先想到方法，毕竟这也是学习函数零点后常用方法，但是它的复杂程度超乎想像;方法二是很创意的，用确定区间上的零点来充当自变量，特别是对另 一个零点s 的模糊处理是神来之笔;方法三更胜一筹，达到数形结合的最高境界.下面笔者以零点个数为标准，分门别类剖析.一、 零点个数明确，以零点为自变量例2 (2017年浙江省数学竞赛题)已知函数f(x)=x 2 + ax + b (其中a,b e R ),在区间［0,1］内有两个零点，则 a 2 - 2b 的取值范围是 _.解析 设零点为x 1,x 2 e ［0,1］且x 1 = x 2,则x 1 + x 2 = —a,nx 2 = b ,此时，x 1 ,x 2是独立变量，各 自可取到最大或最小值，只是要考虑不相等即可，所以 a 2 — 2b = x 12 + x 22 e (0, 2).例3已知函数f (x) = x 2 + ax + b(a,b e R)在区间 (0,1)和(1,2)上各有一个零点，则a 2 + a 一 2b 的取值范围为—•解析 设两零点为 x 1, x 2, 且 x 1 e (0, 1), x 2 e (1, 2), 则a 2 + a — 2b = (x 1 —㊁)2 + (x 2 — 2)2 — —, a 2 + a — 2b 的取值范围为(--,2).例4 (2014年浙江省数学竞赛第18题)已知b,c e R , 二次函数f (x) = x 2 + bx + c .在(0,1)上与x 轴有两个不同交点，求c 2 + (b + 1) • c 的取值范围.解 析 令 r, s 为 二 次 函 数 的 两 个 零 点 (r = s ), 则 f (x) = (x — r)(x — s),易知 r + s = —b, rs = c ,所以c 2 + (b+1) • c = c(c + b +1) = rs(1 - r)(1 - s) f 1 • 4 = 16，因为r = s ,所以等号不成立，故c 2 + (b 十1) • c 的取值范围 是(0,16).评注此三例零点明确有几个,并在哪个区间，此时的零点就是自变量，并且取值范围也知道了，将所求的代数式转化为以零点为自变量的函数，尽管有两个自变量，但它们是 独立的，所以取值范围不难求,这是一种常规方法.二、 零点个数模糊，选一个独挡一面例 5 已知函数 f (x) = x 2 + ax + b(a,b e R)在［0,1］上至少有一个零点，则a 2 + 2b 的取值范围是 —.解析 零点个数不明确，题干中又未要求予以讨论，此时解法可能与零点个数无关，故只需选某个零点为x o ,x o e [0,1],当然此时不能用韦达定理了，而改用方程实根的定义(函数的零点实质就是方程的实根)，则x 2 + —x o + b = 0,即b = —x 2 — ax o ,所以 a 2 + 2b = a 2 — 2ax o — 2x o ,这是有两 个变量的函数,a 与x o 没有明显的制约关系，故可以先看作以—为主元的二次函数，求得(a 2 + 2b)mm = — 3x g ,再以x o 为主元，因为 x o e [0,1],故 a 2 + 2b e [—3, 0].例6已知函数f(x) = x 2 + ax + b (其中a,b e R )在区间(0,1]内有零点x o ,则ab(器+ L — j)的最大值是4 9x o 3解析 令零点为 x o , x o e (0, 1], 则 x 2o + ax o + b = 0, 即b = —x o 2 — ax o , 所以x o 1 1 1 4ab (〒 + —百)= ab(9x o + — 12)4 9x o 3 36 x o 1 2 4=乔 a(—x o — ax o )(9x o +---------12)36 x o 12=乔 a(—x o — a)(9x ° — 12x o + 4)36W —述(3x o — 2)2 = — [x o (3x o — 2)]2 W —36 o 丿 144 L 八0 144此例解法与前一例一脉相承，只是求最值难度加大,有更强的技巧性.例7已知二次函数f (x) = ax 2 + bx + e 有零点，若(a — b)2 + (b — e)2 + (e — a)2 2 Ma 2 恒成立，则实数 M 的 最大值是 .解析由已知b 2 2 4ae ,则(-)2 2 4 •二令-=x, e =a a a ay ,则 x 2 2 4y ,由(a — b)2 + (b — e)2 + (e — a)2 2 Ma 2,得M W (1 — -)2 + (- — e )2 + (e — 1)2,进而 M W (1 — x)2 +a a a a(x — y)2 + (y — 1)2 = 2y 2+2x 2 — 2x —2y —2xy +2,令 g(y)=2y 2 + 2x 2 — 2x — 2y — 2xy +2 = 2y 2 — (2 + 2x)y + 2x 2 — 2x + 2, 此时看作关于y 的二次函数，定义域为(—8,1 x 2].x + 1 W 斗,即 x 2 1 + / 苇丄)=3(x — 1)2,从而1) 当对称轴y —2或 x W 1 — ^3, g(y)mm = g(9g(y)min 2 2.2) 当y ="十丄> %,即x 2 2 4 4g (y )min = g (冷)=41 x 4 — 1 x 3 + 3x 2 — 2x + 2, g ' (y) = jx 3 — 2x 2 + 3x + 2 =1(x — 1)(x 2 — 2x + 4),令 g '(y) = 0,得 x = 1 为极小值点,2 9 9 9故g(y)mm = 9.所以M W 9,从而实数m 的最大值是9.8 8 8评注 例5、例6零点个数不明确,我们可以在规定区间1 一 < x < 1 + J3 时,x x 2 2——(2x + 2) •〒 + 2x 2 — 2x + 2 =内选一个记作x o ,但无法只用x o 来表示所求代数式,所以借助主元方法, 先来后到, 确保 x o 用在最后, 而例 7 不用设零 点,这是由所求问题决定的，利用齐次式，达到减元目的.三、 三个或四个函数的零点问题的处理例 8 若函数 f (x) = 2x 3 + mx 2 + nx +1 在(0,1)上有三个不同的零点，则f (0).f (1)取值范围是____.解析 令 f (x) = 2(x — x 1 )(x — x 2)(x — x 3),(x 1,x 2,x 3互不相等)则 f (0).f ⑴=—4[x 1(1 — x 1)][x 2(1 - x 2)][x 3(1-x 3)] 2 —4 x 1 x 1 x 1 = — 1 (用均值不等式，但等号取不4 4 4 16到)，所以f (0).f (1)取值范围是(—1,0).16例 9 已知函数 f (x) = x + £, g(x) = f 2 (x) — af (x) + 2a有四个不同的零点x 1,x 2,x 3,x 4,则[2 一 f (x 1)] • [2 一 f (x 2)] • [2 一 f (x 3)] • [2 一 f (x 4)]=------.解析 令 t = f (x),则 y = g(x) = t 2 — at + 2a ,因为 g(x)有四个不同零点x 1 ,x 2,x 3,x 4,故t 2 — at + 2a = 0有两个不 等实根 t 1, t 2 且 t 1 +12 = a, t 1t 2 = 2a ,所以 2(t 1 +12)= t 1t 2, 令 f (x 1) = f (x 2)= t 1,f (x 3)= f (x 4)= t 2,所以[2 —f (x 1)].[2 —f (x 2)]•[2 —f (x 3)]^ [2 —f (x 4)] = [(2 — t 1)(2 — t 2)]2 = 16・例 10 设 x 1, x 2 是 a 2x 2 + bx + 1 = 0 的两实根； x 3, x 4是 ax 2 + bx + 1 = 0 的两实根. 若 x 3 < x 1 < x 2 < x 4, 则实数a 的取值范围是—.解析 当 a > 0, 如 图 4,g(x 1) < 0 = f (x 1),所以ax 12 < a 2x 12, 得 a > 1； 当 a <0, 则 g(x 2) > 0 = f(x 2), 求得ax 2 +bx 2 + 1 > a 2x 2 +bx 2 + 1,解得0 < a < 1,矛盾，故a 的取值范围是(1, + 8).评注 零点个数增加，并不影响方法，只是增加学生理解难度.四、 反弹琵琶型——函数不存在零点例 11 已知 f (x) = x 2 — 2x + e, f 1(x) = f (x),f n (x)= f (f n -1(x))(n 2 2,n e N *),若函数 y = f ”(x) — x 不存在零点,则e 值的取范围是—.9解析 当f(x) = x 无解时，用判别式得e > 9,此 时 f (x) > x 恒成立，则 f 2(x) — 2f (x) + e = x < f (x)即f 2(x) — 3f(x) + e < 0此时仍无解，由数学归纳法, 9y = f n (x) — x 无零点.而当e W 4时，f (x) = x 有解,9则y = f n (x) — x 存在零点•所以e 值的取范围是(4 , + 8).图4三角形的一个半角公式及其应用安徽省枞阳县宏实中学(246700)江保兵在教学中，笔者发现了三角形的一个半角公式,并发现它们在解题中若能巧妙应用，往往可以达到事半功倍的效果.设AABC 的三边分别为a, b, c ,外接圆和内切圆的半径分别为R, r ,面积和半周长分别为S 和p ,则有:cos A b 2 十 C 2 - a 22cos 2 A - 12 b cAcos —2/(b + c - a)(b + c + a)Vcos Ab 2 十芒一护 1 - 2sin 2 A 2 bc .A sin 2"/ (a + c — b)(a + b — c)V①1①22 A _ (a + c — b)(a + b — c)2 (b+ c — a)(b + c + a)(a + c — b)2 (a + b — c)2(a + c — b)(a + b — c)(b + c — a)(b + c + a)c) + (c 十 a — b)(c + b — a) 2 4证明 tan A = (a 十 c一 b)(a 十 b 一 c) o 4S tan A = 24S 2(a + c 一 b)(a + b 一 c),同理：B 4S tan — = (b + c — a)(b + a — c),C4S tan — = (c + a — b)(c + b — a),所以待证不等式转化为：ABC4S (tan — + tan — + tan —) 2 ^/3SABC 尽O tan ㊁ + tan ㊁ + tan — 2 v 3,由 f (x) = tan x 的 凹凸性，tan A + tan # + tan £ 23tan A 十B 十C = /3即原不等式成立，当且仅当AABC6为正三角形时，等号成立.tan -A(a + c — b)(a + b — c)4S①3我们把①，②，①称为三角形的半角公式，下面结合具体的实例,谈谈这三个公式在解题中的应用.例1 (《数学通报>2020年4月号数学问题2536)设 △ABC 的三内角A,B,C 所对的三边分别为a,b,c ,三角形 面积为△,求证：(a + c — b)(a + b — c) + (b + c — a)(b + a —例2 (《数学通报＞2020年7月号数学问题2551)设△ABC 的面积为S ,求证：ab + bc + ca ；S = 27^ 1 ；sin A 十 sin B 十 sin C,a + b + c . 2 A B C S = (-------------)2 tan — t an — tan —;' 2 ' 2 2 2S 2ab + 2bc + 2ca — a 2 — b 2 — c 2S = ―A B C •4(tan — + tan — + tan —)(1)(2)(3)评注 学生习惯顺向思维，突然岀现逆向思维的问题，对 他们来说很难摆脱定势干扰，就好比说研究在某某区间单调性，一般学生没问题，但突然要求在某区不单调，就会手忙脚乱.读者对下面练习不妨一试：1. 若函数 f (x) = x 2 + 2ax + b , (x e [1, 2])有两个不同的零点，则a + b 的取值范围为()A. (0, 3]B. (0, 2)C. (1,3)D. [0, 3]2. 已知函数f (x ) = x 2 + ax 十b (其中a,b e R ),在区间[0,1]上有零点，则ab 的最大值是____.3. 已知二次函数 f (x) = ax 2 + bx + c(a,b, c e N *),函数f (x)在(-4,4)上有两个零点，则a + b + c 的最小值为4. 已知 a, b e R 且 0 f a+b f 1,函数 f (x) = x 2 +ax+b 在[--,0]上至少存在一个零点，则a - 2b 的取值范围是5. 已 知关于 x 的方程 x 2 + 2bx + c = 0(b, c e R) 在[—1,1]上有实数根,0 f 4b + c f 3,则b 的取值范围是____.6. (2017年福建省数学竞赛题)若关于x 的方程x 2 + ax + b 一 3 = 0(a,b e R)在区间[1,2]上有实根, 则a 2 + (b - 4)2的最小值为—.7. 若 a, b, c 为正整数, 方程 ax 2 + bx + c = 0 的两个实 数根x 1, x 2满足—1 < x 1 < x 2 < 1,求a + b + c 的最小值.参考答案 1. B 2. - 3. 41 4. [0,1] 5.[—1,2]6. 27. 最小值为11.。
九年级数学最大值、最小值问题
通过代入原题、反证法等方式 检验答案的正确性。
避免常见错误
01
02
忽视题目中的限制条件， 导致答案不符合题意。
计算错误，如加减乘除 运算错误、开方运算错 误等。
03
理解错误，如对题意理 解不准确、对概念理解 模糊等。
04
书写不规范，如步骤跳 跃、缺少必要的说明和 推导等。
05 练习题与答案解析
基础练习题
在一个给定的范围内，一个函数 所能取到的最小的值。
实际问题中求解意义
优化问题
在实际生活中，经常需要找到某个量的最大值或最小值，以达到最优化的目的。 例如，在经济学中，生产者追求成本最小化和利润最大化；在工程学中，设计 师需要确保结构的强度和稳定性等达到最优。
决策依据
通过求解最大值、最小值问题，可以为决策者提供有力的数据支持，帮助他们 做出更加明智的决策。
利用三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边的性质求最值。
对称性质
利用对称点的性质求最值，如点到直 线的距离最短时，点关于直线对称。
不等式法
基本不等式
应用算术平均数-几何平均数不等 式（AM-GM不等式）求最值。
柯西不等式
应用柯西不等式求最值，注意等号 成立的条件。
排序不等式
对于两组数，通过排序后应用不等 式求最值。
结合函数图像，利用几何意义（如距离、面积等）来求解最值问 题。
注意定义域和值域
在求解过程中，要特别注意函数的定义域和值域，避免出现不符 合实际情况的解。
实际应用题中最值问题
理解题意并建立数学模型
认真阅读题目，理解题意，将实际问题抽象为数学模型， 明确已知条件和求解目标。
列出方程或不等式
根据已知条件和求解目标，列出相应的方程或不等式。
解三角形取值范围常见题型
解三角形取值范围常见题型引言解三角形取值范围是学习三角函数的重要一环，它涉及到解三角形的边长、角度以及各种三角函数的定义域和值域。
本文将介绍解三角形取值范围常见题型，通过详细的讲解和示例，帮助读者掌握解三角形取值范围的解题方法和技巧。
一、已知两边求角度1.已知两边求角度范围当已知三角形的两条边长度时，可以通过余弦定理或正弦定理来求出角度的范围。
例题1已知三角形的两边长分别为$a=5$和$b=7$，角$C$的取值范围是多少？解题思路：根据余弦定理，我们有$$c^2=a^2+b^2-2a b\co sC$$代入已知数值，得到$$c^2=5^2+7^2-2\c d ot5\cd ot7\cd ot\c os C$$化简后可得$$\c os C=\f ra c{c^2-74}{70}$$观察到余弦函数的定义域是$[-1,1]$，所以要使上式成立，必须满足$$\f ra c{c^2-74}{70}\in[-1,1]$$解以上不等式，可得$$-8.76\le qc^2\le q152.86$$由于$c$是三角形的边长，所以$c>0$，则有$$0<c\le q\sq rt{152.86}\a pp ro x12.36$$因此，角$C$的取值范围为$\c os^{-1}\l ef t(\f ra c{c^2-74}{70}\ri gh t)\ap p ro x\co s^{-1}\l ef t(\f ra c{5.14}{7}\r ig ht)\app r ox37.27°\l eq C\l eq180°$。
2.已知两边求角度解的数量当已知三角形的两条边长度后，求解角度的数量有一定的限制。
-如果两边之和小于第三边的长度，那么无解。
-如果两边之和等于第三边的长度，那么只有一个解，此时两边和第三边构成一条直线。
-如果两边之和大于第三边的长度，那么会有两个解。
例题2已知三角形的两边长分别为$a=4$和$b=5$，$\si nC=\fr ac{5}{6}$。
一元一次不等式(组)中参数取值范围的解题方法和技巧(专项练习)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大
专题2.14 一元一次不等式（组）中参数取值范围的解题方法与技巧（专项练习）一、单选题1．已知关于x 的不等式组5210x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜3 B ．a ≥3 C ．a ＞3 D ．a ≤3 2．已知关于x 的不等式组15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩的解集是3≤x ≤5，则+a b 的值为（ ） A ．6 B ．8C ．10D ．12 3．关于x 的方程26a x -=的解是非负数，那么a 满足的条件是（ ） A ．3a > B ．3a ≤ C ．3a < D ．3a ≥ 4．已知关于x 的不等式组3x 05m x +⎧⎨-⎩＜＞的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（ ） A ．3≤m ＜6B ．4≤m ＜8C ．3≤m ＜6或-6≤m ＜-3D ．3≤m ＜6或-8≤m ＜-4 5．若关于x 的不等式32x a +≤只有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．74a -<<- B ．74a -≤≤- C ．74a -≤<- D ．74a -<≤- 6．若mx 5m >，两边同除以m 后，变为x 5<，则m 的取值范围是（ ） A ．m 0> B ．m 0< C ．m 0≥ D ．m 0≤ 7．若实数3是不等式2x a 20--<的一个解，则a 可取的最小整数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．58．已知关于x 的方程9314x kx -=+有整数解，且关于x 的不等式组155222228x x x k x +⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩有且只有4个整数解，则不满足条件的整数k 为（ ）．A ．8-B ．8C ．10D ．26二、填空题9．已知不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解，则a 的取值范围为__． 10．已知不等式1322x x -≥ 与不等式30x a -≤的解集相同，则a =_______． 11．不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >，则a 的取值范围是______． 12．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(3，5)，(3，7)，直线y ＝2x ＋b 与线段AB 有公共点，则b 的取值范围是______．13．若不等式组52355x x x a+≤-⎧⎨-+<⎩无解，则a 的取值范围是______.14．如图，直线y ＝3x 和y ＝kx +2相交于点P （a ，3），则不等式3x ＞kx +2的解集为_____．15．若关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个，则a 的取值范围是________________． 16．若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则整数解是________，m 的取值范围是________．17．已知方程组3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩的解为正数，求a 的取值范围是_______． 18．已知不等式组43103x x a -≤≤-⎧⎪⎨->⎪⎩有解，那么a 的取值范围是___________． 19．已知关于x 的不等式组221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩的解集为55x -≤<，则a b 的值为___________． 20．若不等式组31x x m <⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是_____． 21．若关于x 的不等式组25011222x x m +>⎧⎪⎨+⎪⎩，有四个整数解，则m 的取值范围是____________．22．若关于x 的不等式23x a +的解集如图所示，则常数a =__________．23．关于x ，y 的二元一次方程组22123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式1x y ->，则m 的取值范围是______．24．已知直线()110y kx k =+<与直线()20y nx n =>的交点坐标为11,22n ⎛⎫⎪⎝⎭，则不等式组42nx kx nx -<+<的解集为________． 25．关于x ，y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＞﹣1，则m 的取值范围是_____．26．若不等式00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为23x <<，则a ，b 的值分别为_______________． 27．关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则a 的取值范围是________． 28．若x y >，且(2)(2)a x a y -<-，则a 的取值范围是________．29．若关于x 的不等式组2()102153x m x 的解集为76x -<<-，则m 的值是______．30．关于x 的不等式组3112x x a+⎧-<⎪⎨⎪<⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____．三、解答题31．一直关于x 的不等式()1a x 2-＞两边都除以1a -，得2x 1a<-． （1）求a 的取值范围；（2）试化简1a a 2-++．32．如图，直线y=kx+b 经过点A （5，0），（1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）如图，若直线y=mx+n （m ＞0）与直线AB 相交于点B ，请直接写出关于x 的不等式mx+n ＜4的解．33．（1）关于x 的方程32x m m x +=- 与方程()3423x x +=-的解互为倒数，求m 的值． （2）已知关于x 的方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>，求a 的取值范围．参考答案1．B【分析】首先解不等式，然后根据不等式组无解确定a 的范围．【详解】解：5210x x a -≥-⎧⎨->⎩①② 解不等式①，得3x ≤；解不等式②，得x a >；∵不等式组无解，∴3a ≥；故选：B ．【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．D【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再根据不等式组的解集列出求出a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．【详解】15x a x b -≥⎧⎨+≤⎩①②， 由①得，x ≥a ＋1，由②得，x ≤b−5，∵不等式组的解集是3≤x ≤5，∴a ＋1＝3，b−5＝5，解得a ＝2，b ＝10，所以，a ＋b ＝2＋10＝12．故选：D ．【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 3．D【分析】先用含字母a 的式子表示出x ，再根据题意建立不等式求解即可．【详解】解方程得：26x a =-，由题意得：260a -≥，解得： 3a ≥，故选：D ．【点拨】本题考查一元一次方程的解及解一元一次不等式，准确根据解的情况建立关于参数的不等式并求解是解题关键．4．C【分析】先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．【详解】 解原不等式得：35m x x ⎧<-⎪⎨⎪>-⎩，即53m x -≤<-， 由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1，当整数为-4，-3，-2时，则13m -2<-≤-，解得：36m ≤<， 当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则23m 1<-≤，解得：63m -≤<-， 故选：C ．【点拨】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键． 5．D【分析】先解不等式得出23a x -≤，然后根据不等式只有2个正整数解可知正整数解为1和2，据此列出不等式组求解即可．【详解】解：32x a +，32x a ∴-，则23a x -， ∵不等式只有2个正整数解，∵不等式的正整数解为1、2，则2233a -≤<， 解得：74a -<-，故答案为D ．【点拨】本题主要考查一元一次不等式的整数解，正确求解不等式并根据不等式的整数解的情况列出关于某一字母的不等式组是解答本题的关键．6．B【分析】利用不等式的性质判断即可．【详解】解：若mx 5m >，两边同除以m 后，变为x 5<，则m 的取值范围是m 0<．故选：B ．【点拨】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．7．D【分析】将x 3=代入不等式得到关于a 的不等式，求解即可.【详解】根据题意，x 3=是不等式的一个解，∴将x 3=代入不等式，得：6a 20--<，解得：4a>，则a可取的最小整数为5，故选：D.【点拨】此题考查不等式的解的定义，解一元一次不等式，正确理解不等式的解的定义将x=3代入得到关于a的不等式是解题的关键.8．A【分析】解不等式组和方程得出关于x的范围及x的值，根据不等式组有4个整数解和方程的解为整数得出k的范围，继而可得整数k的取值．【详解】解：解关于x的方程9x-3=kx+14得：179xk =-，∵方程有整数解，∴9-k=±1或9-k=±17，解得：k=8或10或-8或26，解不等式组155222228xxx kx+⎧>+⎪⎪⎨-⎪≥-⎪⎩得不等式组的解集为2528kx-≤<，∵不等式组有且只有四个整数解，∴20128k-<≤，解得：2＜k≤30；所以满足条件的整数k的值为8、10、26，故选：A．【点拨】本题主要考查方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于k的范围是解题的关键．9．2a【分析】求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a 的不等式，即可得出答案．【详解】 解：不等式组11x x a >⎧⎨<-⎩无解， 11a ∴-，解得：2a ，故答案为：2a ．【点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a 的不等式，题目比较好，难度适中．10．6-【分析】首先根据解不等式的方法，求出两个不等式的解集2x -≤和3a x ≤，根据两个不等式的解集相同，可知23a =-，进而求出答案． 【详解】 解： 解不等式1322x x -≥得：2x -≤， 解不等式30x a -≤得：3a x ≤， 两个不等式的解集相同， ∴23a =-， ∴6a =-．故答案为：6-．【点拨】本题考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 11．2a ≤【分析】根据不等式组的公共解集即可确定a 的取值范围．【详解】由不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解为2x >， 可得2a ≤．故答案为：2a ≤．【点拨】本题主要考查了不等式组的解法，关键是熟练掌握不等式组解集的确定：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．－1≤b ≤1【分析】由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于b 的一元一次不等式，解之即可得出b 的取值范围．【详解】解：当x=3时，y ＝2×3＋b=6+b ，∴若直线y ＝2x ＋b 与线段AB 有公共点，则6567b b +≥⎧⎨+≤⎩，解得－1≤b ≤1 故答案为：－1≤b ≤1．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，列出关于b 的一元一次不等式是解题的关键．13．172a ≤ 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组无解即可得出a 的取值范围．【详解】解：解一元一次不等式组52355x x x a +≤-⎧⎨-+<⎩， 得：725x x a⎧≤-⎪⎨⎪>-⎩，∵不等式组无解，∴752a -≥-， 解得：172a ≤， 故答案为：172a ≤． 【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法，会根据不等式组无解求解参数a 的取值范围是解答的关键．14．x ＞1【分析】先把点P （a ，3）代入直线y ＝3x 求出a 的值，故可得出P 点坐标，再根据函数图象进行解答即可．【详解】解：∵直线y ＝3x 和直线y ＝kx +2的图象相交于点P （a ，3），∵3＝3a ，解得a ＝1．∵P （1，3）．由函数图象可知，当x ＞1时，直线y ＝3x 的图象在直线y ＝kx +2的图象的上方， ∵3x ＞kx +2的解集为x ＞1．故答案为：x ＞1．【点拨】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．15．3＜a ≤4【分析】先求出不等式0x a -<的解集，然后再根据只有3个正整数解，确定出a 的取值范围即可．【详解】解：∵0x a -<∴x ＜a∵关于x 的不等式0x a -<的正整数解只有3个，∴3＜a ≤4．故答案为：3＜a ≤4．【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式和一元一次不等式的整数解的相关知识点，根据不等式的解集得到关于m 的不等式组成为解答本题的关键．16．3，4，5，6 67m <≤【分析】首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m 的范围．【详解】0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②， 由①得：x m <，由②得：26x ≥，3x ≥，∵不等式组的整数解共有4个，∴整数解为3，4，5，6，∴m 取值范围为67m <≤．故答案为：3，4，5，6；67m <≤．【点拨】本题考查了不等式组的解法及整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．17．－54＜a ＜4 【分析】先解方程组用含a 的式子表示方程组的解，根据方程组的解是正数，列出关于a 的不等式组，再求解．【详解】解：3951x y a x y a +=+⎧⎨-=+⎩①②， ①＋②得：2810x a =+，45x a =+，①－②得：228y a =-+，4y a =-+，所以，原方程组的解为：454x a y a =+⎧⎨=-+⎩， ∵ 方程组的解为正，∴45a +＞0且4a -+＞0， 解得：－54＜a ＜4， 故填：－54＜a ＜4． 【点拨】本题考查了方程组的解法，以及一元一次不等式组的解法，解此类问题要先用字母a 表示方程组的解，再根据题意，列不等式组，最后求解．18．1a <-【分析】先求出不等式组中第二个不等式的解，再结合数轴，根据不等式组有解即可得．【详解】 解103x a ->得：3x a >， 在数轴上表示两个不等式的解如下：要使不等式组有解，则33a <-，解得1a <-，故答案为：1a <-．【点拨】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．19．1914- 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解，再根据不等式组的解集可得一个关于a 、b 的二元一次方程组，解方程组可得a 、b 的值，然后代入即可得．【详解】221x a b x a b -≥⎧⎨-<+⎩①②， 解不等式①得：x a b ≥+， 解不等式②得：212a b x ++<， 由题意得：52152a b a b +=-⎧⎪⎨++=⎪⎩， 解得1914a b =-⎧⎨=⎩， 则1914a b =-， 故答案为：1914-． 【点拨】本题考查了解一元一次不等式组、二元一次方程组，熟练掌握不等式组和方程组的解法是解题关键．20．4m ≥【分析】利用不等式组取解集的方法进行判断即可得到关于m 的不等式，再解不等式即可得解．【详解】解：∵不等式组31x x m <⎧⎨>-⎩无解 ∴13m -≥∴4m ≥．故答案是：4m ≥【点拨】本题考查了由一元一次不等式的解集确定参数，熟练掌握不等式组取解集的方法是解题的关键，一般有两种方法，数周表示法，或者口诀（大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无处找）．21．32m -<-【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出1≤4+m ＜2，解之可得．【详解】 解：25011222x x m +>⎧⎪⎨+⎪⎩①②， ①式化简得25x >-， ∴52x >-， ②式化简得4x m +，542x m ∴-<+， 又∵该不等式组有4个整数解，∴整数解为2-，1-，0，1．故142m +<，得4142m m +⎧⎨+<⎩， 解得3m -，2m <-，故m 的取值范围为32m -<-，故答案为：32m -<-．【点拨】本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于m 的不等式组是解题的关键．22．5【分析】先根据数轴上不等式解集的表示方法求出此不等式的解集，再求出所给不等式的解集与已知解集相比较即可求出a 的值． 【详解】由图可知x 的解集为1x -，∵23x a +，∴23x a -， 32a x -， 312a -∴=-， 32a -=-，5a =．故答案为5．【点拨】 本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解题关键．23．32m >【分析】将两个方程相减得到x y -，再根据题意建立不等式求解即可．【详解】 22123x y m x y +=+⎧⎨+=⎩①②，由①－②得=22x y m --， 建立不等式221m ->，解得32m >， 故答案为：32m >． 【点拨】 本题考查解一元一次不等式、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，明确它们各自的解答方法．24．1＜x ＜3【分析】根据一次函数的图象与性质，将11,22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()110y kx k =+<，可得k ＝n−2，将42nx kx nx -<+<化为不等式组4(2)2(2)2nx n x n x nx -<-+⎧⎨-+<⎩，解此不等式组即可得解． 【详解】解：把11,22n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y 1＝kx ＋1，可得12n ＝12k ＋1， 解得k ＝n−2．∴y 1＝（n−2）x ＋1．则42nx kx nx -<+<可化为4(2)2(2)2nx n x n x nx -<-+⎧⎨-+<⎩． 解此不等式组得：1＜x ＜3．∴不等式组42nx kx nx -<+<的解集为1＜x ＜3．故答案为：1＜x ＜3．【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是理清题意并建立相应的一元一次不等式组进而求解．25．3m <【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得2x y m +=-+，再代入1x y +>-可得一个关于m 的一元一次不等式，然后解不等式即可得．【详解】23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩， 两个方程相加得：3336x y m +=-+，即2x y m +=-+，由题意得：21m -+>-，解得3m <，故答案为：3m <．【点拨】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的特殊解法是解题关键．26．2a =-、3b =【分析】由于不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩有解，则解不等式组得到-a ＜x ＜b ，然后与2＜x ＜3进行对比即可确定a 和b 的值．【详解】解：∵不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩的解集为2＜x ＜3，而解不等式组00x b x a -<⎧⎨+>⎩得-a ＜x ＜b ，∴-a=2，b=3，即a=-2，b=3．故答案为：2a =-、3b =．【点拨】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键．27．32a -<≤-【分析】先解出不等式组，根据它有3个整数解求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式组得1a x ≤<，∵它有3个整数解，∴解是-2，-1，0，∴32a -<≤-．故答案是：32a -<≤-．【点拨】本题考查函参不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法．28．2a <【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a 的取值范围．【详解】解：∵x y >，而(2)(2)a x a y -<-，∴20a -<，即2a <．故答案是：2a <．【点拨】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．29．152【分析】 先解不等式组得出其解集为1262mx ，结合76x -<<-可得关于m 的方程，解之可得答案．【详解】解：2()102153x m x ①②由∵得：2210x m +->，221x m >-+， 12x m >-+由∵得：212x <-，6x <-， ∴不等式的解集为：162m x -+<<- ∵关于x 的不等式组的解集为76x -<<-，172m ∴-+=- 152m ∴= 【点拨】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数，熟悉相关性质是解题的关键． 30．2﹤a ≤3【分析】先解出第一个不等式的解集，进而得到不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a 的取值范围即可．【详解】解：解不等式3112x +-<得：x ﹥﹣1， ∴原不等式组的解集为：﹣1﹤x ﹤a ，∵不等式组有3个整数解，∴2﹤a ≤3，故答案为：2﹤a ≤3．【点拨】本题考查了不等式组的整数解，能根据已知不等式组的整数解确定参数a 的取值范围是解答的关键，必要时可借助数轴更直观．31．（1）a 1>；（2）2a 1+．【分析】（1）根据不等式的基本性质，得到关于a 的不等式，即可求解；（2）根据求绝对值的法则以及a 的范围，即可得到答案．【详解】（1）∵ 关于x 的不等式()1a x 2->两边都除以1a -，得2x 1a<-, ∴ 1a 0-<,∴ a 1>∵2（）由（1）得a 1>, ∴1a 0-<，a 20+>, ∴1a a 2a 1a 22a 1-++=-++=+.【点拨】本题主要考查不等式的性质以及求绝对值的法则，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 32．（1）5y x =-+；（2）x ＜1．【分析】(1)先设出直线AB 的解析式，利用待定系数法求AB 的解析式即可，(2)利用函数的增减性和x=1时的函数图像上点的位置来求即可．【详解】解：（1）∵直线y=kx+b 经过点A （5，0）、B （1，4），∴504k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得15k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y=﹣x+5；（2）∵直线y=mx+n （m ＞0）与直线AB 相交于点B （1，4），∴当x=1时，mx+n=4，∵m ＞0，∴函数y=mx+n 随x 的增大而增大，∴关于x 的不等式mx+n ＜4的解集是x ＜1．【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数解析式的求法，以及一次函数与一元一次不等式的关系，会求函数值，会比较函数值的大小关系是解题关键．33．（1）85m =；（2）113a <-． 【分析】 （1）首先解方程()3423x x +=-，得到12x =，根据两个方程解是互为倒数，可知另一个方程的解为2x =，将2x =代入方程32x m m x +=-即可； （2）首先解方程()()1232x x a -=+，得到143x a =+，根据方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>，所以将143x a =+代入不等式，求出答案即可． 【详解】解：（1）()3423x x +=- 解方程得：12x =， 两个方程解是互为倒数，∴另一个解为：2x =，将2x =代入方程32x m m x +=-， 得：2232m m +=-，解得：85m =． 故m 的值为85． （2）()()1232x x a -=+ 112622x x a -=+ 31622x a =+ ∴143x a =+， 方程()()1232x x a -=+的解适合不等式312x a -+>， ∴将143x a =+代入312x a -+>，得： 134123a a ⎛⎫-⨯++> ⎪⎝⎭1212a a --+>311a ->113a <- 故a 的取值范围为：113a <-． 【点拨】本题考查了倒数，一元一次方程的解和解一元一次方程，方程和不等式的综合题，正确求出方程的解是解题的关键．。
根据充要条件求解参数的取值范围_答题技巧
根据充要条件求解参数的取值范围_答题技巧
一、方法点拨
求参数的值或取值范围是最常见的题型，解决此类题的关键是合理转化条件、有关性质定理等得到关于参数的方程或不等式，然后通过解方程或者不等式求解问题。
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二、例题
1.题面：设命题p：-14x -3命题q：x2-(2a+1)x+a(a+1)0.若┐p是┐q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
2.解题思路：先求出p,q为真命题时所对应的条件，然后表示出┐p与┐q所对应集合之间的关系，列出参数a所满足的条件，解之即可。
初中数学解题技巧方法总结
初中数学解题技巧方法总结初中数学解题技巧方法总结数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段。
以下是小编带来的初中数学解题技巧方法总结，一起来看看吧。
一、选择题的解法1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。
2、特殊值法：（特殊值淘汰法）有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。
3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。
4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。
5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。
二、常用的数学思想方法1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
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取值范围的解题技巧
取值范围是数学中常见的问题，它涉及到变量在某个区间内的取值。
解决这类问题需要一定的技巧和策略。
以下是一些解决取值范围问题的技巧：
1. 理解问题：首先，你需要理解问题的要求，明确哪些变量是未知的，以及它们需要满足的条件。
2. 建立数学模型：根据问题的描述，建立数学方程或不等式来表示未知数的取值范围。
这通常涉及到代数、微积分、线性代数等知识。
3. 分析方程或不等式：对建立的方程或不等式进行分析，找出关键的点或条件，这可能涉及到解方程、求导数、矩阵运算等。
4. 确定取值范围：根据分析的结果，确定未知数的取值范围。
这可能需要一些推理和判断，有时还需要进行多次的检验和调整。
5. 检验答案：最后，你需要检验得到的取值范围是否符合问题的要求。
这可能涉及到一些实际背景的知识，例如物理、经济等。
下面是一个具体的例子，说明如何应用这些技巧来解决取值范围问题：
题目：一个工厂生产某种零件，其成本与产量之间的关系为：C(x) = 500 + ^2（其中x为零件的个数），求当产量在什么范围内时，每增加一个零件的成本增加不超过1元？
1. 理解问题：我们需要找出产量x的取值范围，使得每增加一个零件的成本增加不超过1元。
2. 建立数学模型：根据题目给出的成本函数C(x) = 500 + ^2，我们可以建立不等式：^2 ≤ 1。
3. 分析不等式：解这个不等式，我们得到：x^2 ≤ 5，即 -√5 ≤ x ≤ √5。
4. 确定取值范围：考虑到x表示零件的个数，必须是正整数，所以x的取值范围是：[1, 5]。
5. 检验答案：将x = 1, 2, 3, 4, 5分别代入C(x)，验证是否满足每增加一个零件的成本增加不超过1元。
经检验，当x = 1, 2, 3, 4, 5时，C(x)的增量分别为, , , , 1，均不超过1元。
因此，答案是正确的。
通过以上步骤，我们可以解决这类取值范围问题。
需要注意的是，不同的问题可能需要不同的策略和技巧，因此在实际解题时需要根据具体情况灵活运用。