椭圆的简单几何性质典型例题
椭圆的第二定义及简单几何性质
二、椭圆的简单几何性质一、知识要点椭圆的第二定义：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ace 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．e dMF =||∴准线方程：对于椭圆12222=+b y a x ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是c a x 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F ′的准线方程是c a x 2-=．对于椭圆12222=+b x a y 的准线方程是ca y 2±=．焦半径公式：由椭圆的第二定义可得：右焦半径公式为ex a c a x e ed MF -|-|||2===右； 左焦半径公式为ex a ca x e ed MF +===|)-(-|||2左二、典型例题例1、求椭圆1162522=+y x 的右焦点和右准线；左焦点和左准线；练习：椭圆81922=+y x 的长轴长为_________，短轴长为_________，半焦距为_________，离心率为_________，焦点坐标为_________，顶点坐标为__________________，准线方程为____________.例2、已知椭圆方程13610022=+y x ，P 是其上一点，21,F F 分别为左、右焦点，若81=PF ，求P 到右准线的距离.例3、已知点M 为椭圆1162522=+y x 的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值.变式、若椭圆：3 \* MERGEFORMAT 13422=+y x 内有一点3 \* MERGEFORMAT )1-,1(P ，3 \* MERGEFORMAT F 为右焦点，椭圆上有一点3 \* MERGEFORMAT M ，使3 \* MERGEFORMATMF MP 2+值最小，求：点3 \* MERGEFORMAT M 的坐标。
椭圆的简单几何性质典型例题
25 x22
∴
y12
y22
9 25
x1
x2 x1
x2 ．
将此式代入①，并利用 x1 x2 8 的结论得
x0
4
36 25
∴
k BT
9 5
0
4 x0
5 4
．
典型例题五
例5
已知椭圆
x2 4
y2 3
1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M
典型例题七
例 7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
x2 a2
y2 b2
1求出 a2
148 ，
b2
37
x2
，在得方程
，∴ a2
4，
∴
x2 4
y2
1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例
4
椭圆
x2 25
y 9
2
1上不同三点
Ax1，y1
，
B
4，9 5
，
Cx2，y2
1．
②
由①、②，得 a2 148 ， b2 37 或 a2 52 ， b2 13 ．故所求的方程为
椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)
椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是 （A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为 （A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为 （A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列 （B ）r 1, r 2, r 3成等比数列 （C ）123111,,r r r 成等差数列 （D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是 （A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。
椭圆的简单几何性质(3)
10
例：已知椭圆
与两焦点的连线互相垂直，P点的坐标为＿＿＿。
x2 y 2 1, P为椭圆在第一象限内的点，它 45 20
解法二
解：a 3 5 , b 2 5 , c 5.设P( x, y )(x 0, y 0), 2 由 PF1 PF2 2a 6 5得 （ , PF1 PF2 ） 180 ， 即 PF1 PF2 2 PF1 PF2 180 — —（ 1 ） 又PF1 PF2， PF1 PF2 F1 F2 100 — —（2） （ 1 ） （ - 2）得2 PF1 PF2 80， PF1 PF2 40 1 1 又S PF1F2 PF1 PF2 F1 F2 y得y 4, 代入方程得 2 2 x 3, P(3,4)
2.2.2椭圆的简 单几何性质（3）
高二数学 选修2-1
第二章
圆锥曲线与方程
1
复习练习：
1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率
为
2 2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角
形，则其离心率为
1 2
。
3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其
离心率为
1 3
。
2
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方 习
说明：
(第二定义 )
F1
O
F2
X
PF1 c a2 a x0 x2 y2 c 2 1 2 c a 2 F1，右焦点为F2，P0（x0,y0）为椭圆上一点， （a>b>0）左焦点为 a b PF1 ( x0 ) a ex0 a c其中|PF1|、 |PF2|叫焦半径. 则|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex 0。
2.2.2椭圆的简单几何性质习题课
θ
θ
2
2
cos
θ
2 cos
θ
2
2 = b 2 tan θ 2
x y 3、已知点 P 是椭圆 + = 1上的一点， 9 7 焦点分别是 F 1、 F 2，且 ∠ PF 1 F 2 = 45 ο , 则 ∆ PF 1 F 2的面积为 _____ 。
2
2
法一： 设PF1 = x, 则PF2 = 6 − x. 在∆PF1 F2中，由余弦定理可以 7 1 求出x = ，然后用 S = ab sin C 2 2 求出三角形的面积。
推广： 推广：
设 PF 1 = x , PF 2 = y , x 2 + y 2 − 2 xy cos θ = 4 c 2 ; 则 x + y = 2a; ∴ ( x + y ) 2 − 2 xy − 2 xy cos θ = 4 c 2 2b 2 ∴ xy = cos θ + 1 1 b 2 sin θ ∴ S = xy sin θ = 2 cos θ + 1 = b 2 sin
三、求椭圆的离心率
如图所示， 和上顶点， F1 为椭圆的左焦点， P 为椭圆上的点， ) 时， A 、 B 分别为椭圆的右顶点 当 PF 1 ⊥ F1 A ， PO // AB ( O 为椭圆中心 求椭圆的离心率。
解： ∵ A ( a , 0 ), B ( o , b ) b ∴ k AB = − a b 2 ∵ P (− c, )∴ k a 又 ∵ k AB = k OP b b ∴ − = − a ac ∴ b = c c ∴ e = = a
设出椭圆上 P 点的坐标， 写出两个向量的坐标， 运算数量积，运用二次 函数 的有关知识求最值。
椭圆的几何性质
y x 2 1 a b 0 2 a b
2
a b c
P95 1，2，3，4，5
x2 y2 1. 1 25 9
2. 由 |PF1| + |PF2| = 20， 得 |PF2| = 20-6=14 .
3. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
x2 (1) y 2 1 16
2a叫做长轴长， 叫做短轴长 2b
a叫做长半轴长， 叫做短半轴长 b
c a b
2 2
2
4、椭圆的“扁”与“圆 ”
c 椭圆的焦距与长轴长之 比e ,叫做椭圆的离心率 (0 e 1) a
y
离心率越大，椭圆越扁 ， 离心率越小，椭圆越圆
F1
o
F2
x
4 x2 y2 椭圆 1的离心率为： e 5 25 9 1 x2 y2 e 椭圆 1的离心率为： 2 4 3
解： 建系如图，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点 2 y2 可设椭圆方程为： x 2 2 1 a b 0 a b y 6180 则 a c | OA | | OF2 | | F2 A | 6371 439 a c | OB | | OF2 | | F2B | 6371 2384 8755 解得 a 7782 5 ， 972.5 . . c
一、椭圆的定义：
F
1
M ( x, y)
F2
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
二、椭圆的标准方程：
y
M
y
F1
M
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
(整理)椭圆及其简单几何性质
精品文档椭圆及其标准方程1。
平面内 ，叫做椭圆。
叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距。
2。
根据椭圆的定义可知：集合{}A MF MF M P 221=+=，0,0,221>>=c a c F F ，且c a ,为常数。
当 时，集合P 为椭圆；当 时，集合P 为线段；当 时，集合P 为空集。
3。
焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为 。
焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为 。
其中c b a ,,满足关系为 。
练习1判定下列椭圆的焦点在？轴，并指明a 2、b 2，写出焦点坐标练习2将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,a b ==y 轴上；⑶10,a b c +==例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程.1162522=+y x 116914422=+y x 112222=++m y m x 022525922=-+y x 13222-=--y x 0,,22<=+C B A C By Ax精品文档例2 在圆x 2+y 2=4上任取一点P ，向x 轴作垂线段PD ，D 为垂足。
当点P 在圆上运动时，求线段PD 中点M 的轨迹方程。
轨迹是什么图形？相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程.例3 设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程..知识小结： 1、椭圆的定义（强调2a>|F 1F 2|）和椭圆的标准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 4、求椭圆标准方程的方法写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =； ⑶10,4a c a c +=-=.精品文档椭圆的简单几何性质1.范围方程中x 、y 的取值范围是什么? 由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22a x ≤1, 22by ≤1 即 x 2≤a 2, y 2≤b 2所以 |x|≤a ， |y|≤b即 －a ≤x ≤a, －b ≤y ≤b这说明椭圆位于直线x ＝±a, y ＝±b 所围成的矩形里。
2.2.2椭圆的简单几何性质课件人教新课标2
即2x+3y-12=0，选B.
(2)①设椭圆C的长半轴长为a(a>0)，短半轴长为b(b>0)，
则2b=4，由 a2 b2 3，
a
2
解得a=4，b=2.
因为椭圆C的对称轴为坐标轴，
所以椭圆C的方程为 x2 y2 1 或 y2 x2 1.
16 4
16 4
②设直线l的方程为y=x+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
3
3
从而y中=x中+1= 2 1 1，
33
所以中点坐标为 ( 2 , 1).
33
【补偿训练】椭圆x2+4y2=16被直线 y 1 x 1 截得的弦长为
2
____________.
x2 4y2 16,
【解析】由
y
1 x 1, 2
消去y并化简得x2+2x-6=0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
1.
12
4
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2).
所以|AM|=|AN|，所以A在线段MN的垂直平分线上，
把M(x1，y1)，N(x2，y2)分别代入椭圆C：1x22
y2 4
1
得：
x12 y12 1,
①
12 4
x22
y
2 2
1,
②
12 4
用①减去②得：x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 ,
类型二 弦长及中点弦问题
【典例2】
(1)椭圆4x2+9y2=144内一点P(3，2)，过点P的弦恰好以P为中
点，那么这弦所在的直线方程为( )
A.3x+2y-12=0
微专题09-椭圆的简单的几何性质
微专题09 椭圆的简单的几何性质例1. 在椭圆2214520x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直.变式1-1 若椭圆2214520x y +=上的点P 与两焦点连线的夹角为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是_________.若夹角为锐角呢？变式1-2 在椭圆2214536x y +=上是否存在一点，使它与两焦点的连线互相垂直？若存在，求出该点；若不存在，请说明理由.变式1-3 已知12,F F 是椭圆2221(0)4x y b b +=>在x 轴上的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，则b 的取值范围是________.变式1-4 （2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞例2 设是12,F F 椭圆2241496x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12||:||4:3PF PF =，则12PF F ∆的面积为（ ）(A)4(B)6 (C) (D)变式2-1 已知P 是椭圆22154x y +=上一点，12,F F 是焦点，若1230F PF ∠=，则12PF F ∆的面积为( )(B)4(2 (C)4(2+ (D)4变式2-2 已知P 是椭圆221925x y +=上一点，12,F F 是焦点，当12||||PF PF ⋅取到最大值时点P 的坐标为________.变式2-3 设椭圆22143x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若12PF F ∆是直角三角形，则12PF F ∆的面积为( )A ．3B ．3或32 C.32D ．6或3例3 (2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为( )(A)1 (B)2 1变式3-1 点A 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点，O 为椭圆的中心，若椭圆上存在点P ，使0OP AP ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-2 若12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且12120F PF ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.变式3-3 若A 、B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个顶点，P 为椭圆上一点，且120APB ∠=，则椭圆的离心率的取值范围是________.。
椭圆的简单几何性质典型例题
课前思考：我们是如何定义圆的？又是如何推导出圆的标准方程的？ 1.椭圆的第一定义 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数（大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a+=。
问题：假设与两定点的距离之和为d,为什么要满足d>2c 呢？（1）当d=2c 时，轨迹是什么？（2）当d<2c 时，轨迹又是什么？（1）、当d>|F1F2|时，是椭圆； （2）、当d=|F1F2|时，是线段； （3）、当d<|F1F2|轨迹不存在. 3.椭圆的标准方程步骤: (1) 建系设点 (2) 写出点的集合 (3) 写出代数方程 (4) 化简方程 （四）方程推导,学会建系取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）221)(y c x PF ++= 又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a令222b c a =-∴代入，得222222b a y a x b =+， 两边同除22b a 得 12222=+b y a x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程其中222b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+b x a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+b x a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m n y m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b ya x 类比，如12222=+b y a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或12222=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。
两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。
椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。
该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。
椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。
长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。
椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。
当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。
椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。
二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。
1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。
椭圆的简单几何性质练习题
1．椭圆63222=+y x 的焦距是〔 〕A ．2B ．)23(2-C ．52D ．)23(2+2．的长轴端点坐标为椭圆6622=+y x ( )A.），），（，（0101- B ），），（，（0606- C.），），（，（0606- D.），），（，（6060- 3．到右焦点的距离上一点椭圆P y x 192522=+〔 〕 A ．最大值为5，最小值为4 B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为14．以下说法错误的选项是．．．．．．( ) A ．命题“假设2320x x -+=，那么1x =〞的逆否命题为：“假设1x ≠，那么2320x x -+≠〞 B ．22320x x x >-+>“”是“”的充分不必要条件C ．假设q p ∧为假命题，那么p 、q 均为假命题.D ．假设命题p ：“x R ∃∈，使得210x x ++<〞，那么p ⌝：“x R ∀∈，均有210x x ++≥〞5．过椭圆12422=+y x 的一个焦点1F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，那么A 、B 与椭圆的另一焦点2F 构成2ABF ∆，那么2ABF ∆的周长是〔 〕 A.22 B. 2 C.2D. 16．椭圆焦点在x 轴，假设长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，那么此椭圆的方程是〔 〕 A 、2218172x y += B 、221819x y += C 、2218145x y += D 、2218136x y += 7．写出命题"01,0"3≤++>∀x x x 的否认_____________________________________8．在数列{}n a 满足11a =，n n a a 21=+，那么=n a ___________,7S =_________________9．在等差数列{}n a 中，3737a a +=，那么2468a a a a +++=__________10．实数x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥021y x y x ’那么y x z -=2的取值范围是______________11．在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 假设)2(≥≤n a S n n ，那么n 的最小值为__________12．椭圆的短轴长是4，长轴长是短轴长的32倍，那么椭圆的焦距是_______,离心率是_________ 那么椭圆方程为______________ 13．〔思考〕椭圆14416922=+y x ，焦点为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，且21PF F ∠＝60°，那么△21PF F 的面积为__________________14．动点P 〔x ，y 〕到定点()2,0F 的距离与点P 到定直线l ：22x =的距离之比为22．求动点P 的轨迹C 的方程； 〔参考教材P47 例6〕15．点()11,M 位于椭圆12422=+y x 内，过点M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为线段AB 的中点，求直线AB 的方程及AB 的值。
《椭圆的简单几何性质》练习题一
《椭圆的简单几何性质》练习题一1.椭圆6x 2+y 2=6的长轴的端点坐标是（ ）A.(－1,0)、(1,0)B.(－6,0)、(6,0)C.(－6，0)、(6,0)D.(0,－6)、(0,6)2.已知点（m ，n ）在椭圆8x 2+3y 2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）A.[4-23,4+23]B.[4-3,4+3]C.[4-22,4+22]D.[4-2,4+2]3.椭圆25x 2+9y 2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）A.5，3，0.8B.10，6，0.8C.5，3，0.6D.10，6，0.64.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ）A.51 B.43 C.33 D.21 5.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是( ) A.1422=+y x B.1422=+y x 或1422=+y x C.1422=+y x D.1422=+y x 或116422=+y x 6.已知椭圆22a x +22b y =1与椭圆252x +162y =1有相同的长轴，椭圆22ax +22b y =1的短轴长与椭圆 212y +92x =1的短轴长相等，则（ ） A.a 2=25,b 2=16 B.a 2=9,b 2=25 C.a 2=25,b 2=9或a 2=9,b 2=25 D.a 2=25,b 2=97.已知椭圆C ：22ax +22b y =1与椭圆42x +92y =1有相同离心率，则椭圆C 的方程可能是（ ） A.82x +42y =m 2(m ≠0) B.162x +642y =1 C. 82x +22y =1 D.以上都不可能 8.椭圆2222by a x +=1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为（ ） A.3422y x +=1 B.31622y x +=1 C.121622y x +=1 D.41622y x +=1 9.两对称轴与坐标轴重合，离心率e =0.8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是（ ） A.92522y x +=1或92522x y +=1 B.92522y x +=1或162522y x +=1 C.162x +92y =1 D.162522x y +=1 10.已知F 1、F 2为椭圆(a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率23=e ,则椭圆的方程是 ( ) A.13422=+y x B.1342=+y x C.1342=+y x D.1342=+y x 11.椭圆12222=+ay b x (a >b >0)的准线方程是 ( ) A.222b a a y +±= B.222b a a y -±= C.222b a b y -±= D.222b a a y +±=12.已知P 是椭圆13610022=+y x 上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是217，则点P 到左焦点的距离是（ ）A ．516B ．566C ．875D ．877 13. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.（1）椭圆过(3，0)点，离心率e =36。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
《椭圆的几何性质》2
1.
16 9
2
讲
课
人
：
邢
启
强
2
x
y
4.
1.
45 36
x2 y 2
2.
1.
4
9
2
2
x
y
5.
1.
100 64
x2 y 2
3.
1.
34 25
x2 y 2
x2 y 2
6.
1或
1.
25 16
16 25
3
复习练习
2、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y 轴都对称的是( D ）
y
就是椭圆的焦半径公式.
y
M
F1 O
2
椭圆 2
2
+ 2
M
F2
|MF1|＝a＋ex0 |MF2|＝a－ex0
讲
课
人
：
邢
启
强
O
F1
x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
F2
2
椭圆 2
2
+ 2
x
= 1 > > 0 的焦半径公式是
|MF1|＝a+ey0
|MF2|＝a-ey0
17
5、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心
1
率为
。
1
2
6、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分,则其离心率为
3。
7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同
的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，
椭圆的简单几何性质 课件
整理得 kAB＝xy22－－xy11＝－396xy22＋＋xy11，
由于 P(4,2)是 AB 的中点，∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
于是 kAB＝－396××84＝－12， 于是直线 AB 的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
小结 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直 线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公 式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端 点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的 关系．
椭圆的简单几何性质
1．点 P(x0，y0)与椭圆xa22＋yb22＝1 (a>b>0)的位置关系： 点 P 在椭圆上⇔____ax_202_＋__by_202＝__1____； 点 P 在椭圆内部⇔___ax_202＋ ___by_202<_1____； 点 P 在椭圆外部⇔___ax_202_＋__by_202_>_1___.
所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ>0. 这时直线的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4.
方法二
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3x6312x＋622＋y921y9＝22＝11，
两式相减得x22－36x21＋y22－9 y21＝0，
问题 3 如何求最大距离？ 答案 由图可知，k＝－25 时，直线 m 与椭圆的交点 到直线 l 的距离最大．
小结 本题通过对图形的观察分析，将求最小距离问题转 化为直线与椭圆的位置关系问题． 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去 y 或 x 得到关于 x 或 y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相 交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离 ⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式 是最基本的工具．
椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质1．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为()A．(－1,0)，(1,0) B．(－6,0)，(6,0) C．(－6，0)，(6，0) D．(0，－6)，(0，6) 答案：D2．正数m是2和8的等比中项，则椭圆x2＋y2m＝1的离心率为()A.32 B. 5 C.32或52 D.32或 5答案：A3．若P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上的一点，且PF1→·PF2→＝0，tan∠PF1F2＝12，则此椭圆的离心率为()A.53 B.23 C.13 D.12答案：A4．椭圆C1：x225＋y29＝1和椭圆C2：x29－k＋y225－k＝1(0＜k＜9)有()A．等长的长轴B．相等的焦距C．相等的离心率D．等长的短轴答案：B5．若椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，长轴长为23，离心率为33，则该椭圆的方程为()A.x212＋y28＝1 B.x212＋y28＝1或y212＋x28＝1 C.x23＋y22＝1 D.x23＋y22＝1或y23＋x22＝1答案：D6．已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为12，焦距为8，则该椭圆的方程是________．答案：y264＋x248＝17．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是________．答案：(±3，0)8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则该椭圆的离心率为________．答案：3 39．设椭圆方程为mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x24＋y2m＝1.(1)当0<m<4时，a＝2，b＝m，c＝4－m，∴e ＝c a ＝4－m 2＝12， ∴m ＝3，∴b ＝3，c ＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴长分别是4,23，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，顶点坐标为A 1(－2,0)，A 2(2，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)．(2)当m >4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4， ∴e ＝c a ＝m －4m ＝12，解得m ＝163， ∴a ＝433，c ＝233， ∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0)． 10．已知椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝32，求k 的值． 解析：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1.由e ＝32，可得k －1k ＋8＝34，即k ＝28. (2)当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k .由e ＝32，得1－k 9＝34，即k ＝－234. 故满足条件的k 值为k ＝28或－234. [B 组 能力提升]1．我国发射的“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，设其近地点A 距地面为n 千米，远地点B 距地面为m 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋R )(n ＋R )千米 B.(m ＋R )(n ＋R )千米 C ．mn 千米 D ．2mn 千米解析：设运行轨道的长半轴长为a ，焦距为2c ， 由题意，可得⎩⎨⎧a －c ＝n ＋R ，a ＋c ＝m ＋R ，解得a ＝m ＋n 2＋R ，c ＝m －n 2，故b ＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋R 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m－n 22＝R 2＋(m ＋n )R ＋mn ＝(m ＋R )(n ＋R ).即2b ＝2(m ＋R )(n ＋R ).答案：A2.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1， F 2，过F 2的直线与圆x 2＋y 2＝b 2相切于点A ，并与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，如图，若A ，F 2为线段PQ 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A.23 B.33 C.53 D.73解析：连接PF 1，由题意知OA ＝b ，∴|PF 1|＝2b ，∴|PF 2|＝2a －2b ，∴|AF 2|＝a －b .在Rt △OAF 2中有b 2＋(a －b )2＝c 2，将b 2＝a 2－c 2代入整理得3a 2－3c 2－2a a 2－c 2＝0，即3－3e 2＝21－e 2，即9e 4－14e 2＋5＝0，解得e 2＝59或e 2＝1(舍去)，∴e ＝53.故选C. 答案：C3．已知椭圆的长轴长为20，离心率为35，则该椭圆的标准方程为________．解析：由条件知，2a ＝20，c a ＝35，∴a ＝10，c ＝6，b ＝8，故标准方程为x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x264＝1.答案：x 2100＋y 264＝1或y 2100＋x 264＝1 4．(2015·高考浙江卷)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (c,0)关于直线y ＝b cx 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．直线y ＝b cx 解析：设椭圆的另一个焦点为F 1(－c,0)，如图，连接QF 1，QF ，设QF 与交于点M .由题意知M 为线段QF 的中点，且OM ⊥FQ .又O 为线段F 1F 的中点，∴F 1Q ∥OM ，∴F 1Q ⊥QF ，|F 1Q |＝2|OM |.在Rt △MOF 中，tan ∠MOF ＝|MF ||OM |＝b c ，|OF |＝c ， 可解得|OM |＝c 2a ，|MF |＝bc a， 故|QF |＝2|MF |＝2bc a ，|QF 1|＝2|OM |＝2c 2a. 由椭圆的定义得|QF |＋|QF 1|＝2bc a ＋2c 2a＝2a ， 整理得b ＝c ，∴a ＝b 2＋c 2＝2c ，故e ＝c a ＝22. 答案：22 5．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，且∠F 1PF 2＝π2.记线段PF 1与y 轴的交点为Q ，O 为坐标原点，若△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，求该椭圆的离心率．解析：依题知，F 1P ⊥F 2P ，所以△F 1QO ∽△F 1F 2P ，因为△F 1OQ 与四边形OF 2PQ 的面积之比为1∶2，所以SF 1OQ SF 1F 2P ＝13，所以OF 1F 1P ＝13，设椭圆的焦距为2c ， 则F 1P ＝3c ，F 2P ＝F 1F 22－F 1P 2＝c ，由椭圆的定义可得：3c ＋c ＝2a ，所以，e ＝c a ＝23＋1＝3－1.。
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典型例题例1椭圆的一个顶点为A（2,0）,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置・解：（1）当4（2,0）为长轴端点时，《= 2, b = l,椭圆的标准方程”令+F（2）当A（2,0）为短轴端点时，b = 2, d = 4,椭圆的标准方程为：宁+P说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况•典型例题例2 —个椭圆的焦点将英准线间的距离三等分，求椭圆的离心率.解：•/ 2c = — X 2 X - /. V" = rc 3说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求求C,再求比.二是列含《和C 的齐次方程，再化含€的方程，解方程即可.典型例题例3已知中心在原点，焦点在兀轴上的椭圆与宜线x+y-1 = 0交于A、B两点,M为A8中点，OM的斜率为，椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.解：由题意，设椭圆方程为亠+尸=44 月+|CF| = 2|BF,且BF=-. 5 18 yx + y-\ = O由 1牙2 分.W(l + t/)\'-2rt-x = 0,2 a\ + aA —+ y-=l 为所求.4说明:（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法：（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题•典型例题四（Q \=1上不同三点A （・X[, yj, B 4T - , C{x^,儿）与焦点F （4・0）的\ 5丿距离成等差数列.(1)求证X] +x^ =8：（2）若线段AC 的垂直平分线与X 轴的交点为7\求直线的斜率a. 证明：（1）由椭圆方程知a = 5 , h = 3 . c = 4・Ccr a---- 斗cAF 由圆锥曲线的统一泄义知:（2）因为线段AC 的中点为（4,匹尹｝所以它的垂直平分线方程为又T 点r 在X 轴上，设其坐标为（心，0）,代入上式，得33歼一兀 2（X|-X2）又•••点”），B （与 儿）都在椭圆上• -）；=却25-彳）y ；=善（25 一卅）-K _ 衣=一舟（“1 + 兀2 -吃）•将此式代入①，并利用西+勺=8的结论得%0-4 =-—0 25典型例题五例5已知椭圆宁+寸=1,片、&为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，便M 到左准线/的距离MN 是M 斥与MF ；的等比中项若存在，则求出点M 的坐标；若不存在, 请说明理由•a = 2tb = Vs ,c = 1 r e = —2「左准线/的方程是x = r ，R - 5 -5 47。
4ST解：假设M 存在，设M （册，儿），由已知条件得 Ny3 MFi OJ2 ••• M N=4 + X|・又由焦半径公式知:M 斤=a —exj = 2 — — X,,|A/巧 | = « +改j =2 + —X] •/.(X| + 4)' = 2- —2 + —X,.\ 2 八 L )整理得5斤+ 32旳+48=0・12解之得或召=一二 另一方面一2<X] <2-则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在. 说明：（1） 利用焦半径公式解常可简化解题过程・（2） 本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果，再作判断.（3） 本例也可设M （2cos&J5sin&）存在，推出矛盾结论（读者自己完成）.典型例题六X-（ \ 1 A例6已知椭圆—+r =1,求过点P且被P 平分的弦所在的直线方程.2\ 2 2 丿分析一：已知一点求宜线，关键是求斜率，故设斜率为利用条件求k ・ 解法一：设所求宜线的斜率为则宜线方程为y-- = k X-- Z \>整理得(1 + 2&»_(2£2_2心 + ”2_鸟 + | = 0.•代入椭圆方程，并"2 一”由韦达立理得龙严厂丹・•"是弦中点，7+V故得2丐.所以所求直线方程为2x + 4y-3 = 0.分析二：设弦两端坐标为（引yj、（切＞s）'列关于為、y「）3的方程组，从而求斜率：尤1一兀解法二：设过P丄二的宜线与椭圆交于A（冲比）、Bg比），则由题意得\ 2 2 ）X：、,T+心,丫2—+ V； =1,2 …X, + 尼=1,①一②得斗兰_+）f-y；=O. 乙将③、④代入⑤得庶七，即直线的斜率为一丁所求直线方程为2x + 4y - 3 = 0・说明：（1）有关弦中点的问题.主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦：平行弦的中点轨迹：过定点的弦中点轨迹.（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达立理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.典型例题七例7求适合条件的椭圆的标准方程.（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点（2,-6）：（2）在X 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互柑垂宜，且焦距为6.分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由.+与=1求出/=148, a- Ir 宀37,在得方程需+知】后，不能依此写出旷方程存汁由已知d = 2h • 又过点（2,-6）,因此有或卑+養“X /?・ er /?■由①.②，得“2 = 148, b-=37或/=52, /异=13・故所求的方程为面■ +祐"或L 着F（2）设方程为3 +与=1・由已知，c = 3，b = c = 3,所以/=18・故所求方程 cT b-说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，；^^参数=关键在于焦点的位置 是否确;若不能确定，应设方程4+4=1或■+二= h- cc b ・典型例题八例8椭圜器+醫=1的右焦点为F ，过点A （1,J3） 为最小值时，求点M 的坐标.分析：本题的关键是求出离心率Q = * 把2|M 叶转化为M 到右准线的距离，从而得解：⑴设椭圆的标准方程岭+召“或与+匚二Zr，点M 在椭圆上，当\AM\ + 2\MF\724M| + 2|M 叶中的“2”的处理.事实上，如图，e = - 即MF|是M 到右准线的距离的一半，即图中的Me ，问题转化为求椭圆上一点M ,使M到A 的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9求椭圜一+ r = 1上的点到宜线x — y + 6 = 0的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最 小值•解：椭圆的参数方程为F = dcos&,设椭圆上的点的坐标为(J5cos0sine),则点到I y = sin&・直线的距离为当sin (丁-&J =-1 时，%,卜｛(1=2血说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.说明：本题关键在于未知式dcos0-sin& + 6722sin/ 、+ 6u 丿以 M （2^Ji ）・典型例题十行例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在询上，离心率一2 这个椭圆上的点的最远距离是求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于万 的点的坐标•分析：本题考査椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大 值时，要注意讨论〃的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要 善于应用不等式、平而几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结 合的思想，提髙逻辑推理能力•解法「设所求椭圆的直角坐标方程是尹F 】，其中心 >。
待迄 由，罕= 1-2■可得 a~ a~/I 3 12 = 7177 = ^1-- = -.叽=劝・设椭圆上的点（X, y ）到点P 的距离是d,则宀宀卜一|= 4/r-3y--3>' + - = -3 y + i4 \ 其中一 b < y < b ・如果则当y 时，d-（从而d ）有最大值. 由题设得斗，由此得h = V7-->-.与/?<丄矛盾. \ 2 丿2 2 2因此必有%成立，于是当尸二时— < 从而d ）有最大值. 由题设得衍『=4戸+3,可得b =l, a = 2.•:所求椭圆方程吟+F2)r 已知点 到r 2>x = 2cos& •••所求椭圆的参数方程是＜y =sin &由S 込弓C4牛可得椭圆上的是（"，4f73,-1P （0,|）的距离是“.x = acos& 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是＜ ,幷中a ＞b ＞0,待世,y = /?sin0 O<0<2;r, &为参数./ I 3 1 2=7r7=ji--=-.服亠沏.7严0 +引+4心途，则当sin —I 时，，（从而〃）有最大值. 如果—"即2由题设得（77^ =（/? + -） ＞由此得/7 = 77--＞-.与方＜丄矛盾，因此必有丄＜1\ 2） 2 2 2成立.于碍in —京我（从而2有最大值.由题设知（77^=4/?-+3- AZ? = b « = 2・典型例题十yeR. 2x-+3y- =6x,求x" + y' + 2x 的最大值和最小值.分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程2F+3r=6x 与椭圆方程的结构一 致・设F +由y=-l 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点-yf^，-— » 点（V^，-—2丿 \ 2丿到点由宀卓Z纤可得\a宀宀卜|、2bsine--= <?COS'^ +/ 1 2丿2b的距离为M ，则设椭圆上的点（X, y ）到点3'2>r+2x = w,显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得垠值.解:由2,+3),2= 6小得(3)X —_29I 4 .可见它表示一个椭圆，其中心在g，o］点，焦点在X轴上，且过2, 0）点和（3, 0）设妒+ y" + 2x = m,则(x+l)' + y- = P/ +1它表示一个圆，Jt圆心为（一1, 0）半径为（加＞一1）・在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示.观察图形可知，当圆过（0, 0）点时，半径最小，即Vw+T = u此时w = 0：当圆过（3,0）点时，半径最大，即皿门=4,・・・W = 15・/. X- + y- + 2x的最小值为0.最大值为15・典型例题十二例12已知椭圆C ：2 +厶r = l@>b>0). A 、B 是其长轴的两个端点. cr Ir(1)过一个焦点F 作垂直于长轴的弦PP •求证：不论d 、b 如何变化.ZAPB^I20\ (2)如果椭圆上存在一个点e ・使ZA2B = 12O\求C 的离心率€的取值范围.分析：本题从已知条件出发，两问都应从ZAPZ?和ZAQB 的正切值出发做出估计，因 此要从点的坐标、斜率入手-本题的第(2〉问中，其关键是根据什么去列出离心率f 满足，2^ 严一屁将疋=/一4),2代入，消去I 用a 、b 、C 表示厂以便利用y<bx' + y--a-Ir“ 列出不等式.这里要求思路晴楚，讣算准确，一气呵成.解：("设 F(con A(-G O), B(aO)・b-x-+ a-=aVZ4PB 是AP 到BP 的角.7> C"tanZAPB<—2故 tan ZAPB H -的不等式，只能是椭圆的固有性质：y<b ・根据008 =120°得到于是bpa(c + a)-umZAPgMc") "(c +後)=_丝「 /JI + J / 0C"(2)设e(x, y).则匕 0-席7 kQB = X7由于对称性，不妨设y>(b 于是ZAgB 是0A 到QB 的角.r ZAeB=120\整理得 J^X + y2-/)+2© = 0/. V? I - >'■ + 2ay = 0b 丿2ab-•••力+4屁2—4/>0, 3?+4£2-4>O •心I 或亠2-4-<1-典型例题十三分析：分两种情况进行讨论.解.当椭圆的焦点在兀轴上时，/=k+8, /,=9,得d-1.由€ =丄.得《 = 4・2当椭圆的焦点在y 轴上时，a-=9, b-=k + 3.得c-=\-k. 由“斗得即"-呀••• UinZAQB= 严=x~ + y~-ar y<h.2ab-2ab < yf3c~, Verier -c-)<3c例13已知椭圆 去+壬“的离心率二*的值.•••满足条件的« = 4或k = --.4说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是：因为k+8与9的大小关系不企，所以椭 圆的焦点可能在X 轴上，也可能在y 轴上.故必须进行讨论.典型例题十四x~ V"例14已知椭圆 —+ ^ = 1上一点P 到右焦点几的距离为b求P 到左准线4/?" b- " 的距离.分析^利用椭圆的两个;^义，或利用第二世义和椭圆两准线的距离求解.解法「由召嶋"得—=皿"¥由椭圆定义• P 片+ P 血=2a = 4〃•得= 4h —b = 3b ・即P 到左准线的距离为2羽b ・=込.3又椭圆两准线的距离为2$ 攀儿 "到左准线的距离为攀-琴“2亦说明：运用椭圆的第二＞1^义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生渓解• 椭圆有两个立义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地, 如遇到动点到两个泄点的问题，用椭圆第一窪义：如果遇到动点到圧直线的距离问题•则用由椭圆第二圧义，PF\=0, 4为P 到左准线的距离,PF\= 2®,解法二：•••一;"«2e /3〃曲P 到右准线的距离，-rT典型例题十五x = 4cosa,”厂 （a 为参数）上一点P 与X 轴正向所成角ZPOx=— r 求y = 2v3sina ・ 3P 点坐标•分析：利用参数a 与ZPOxZ 间的关系求解.解：设P （4cos<z , 2-73 sin a ）,由P 与x 轴正向所成角为一,:、tan 兰=2屈ma ,即 tana = 2.3 4 cos <7而sina>0, cosa>0.由此得到cosa =— , sina = 2^^5^5「•p 点坐标为（婕，士叵）.^5典型例题十六例16设P （心」b ）是离心率为f 的椭圆.+与=1 （«>/?>0）±的一点，P 到左焦 <r h- 点斤和右焦点尸2的距离分別为斤和求证：Z| = « +» A="-初0・分析：本题考査椭圆的两个崔义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离•椭圆的第二定义.例15设椭圆<aP0=« + 0Xo，由椭岡第一立义，Q =2" — 斤=«-t*X0.说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问 题时，有着广泛的应用.请写出椭鬪焦点在y 轴上的焦半径公式.典型例题十七例17已知椭圆―+ ^ = 1内有一点A （l 、l ）,片、&分别是椭圆的左、右焦点，点95P 是椭圆上一点.{1）求|网+『用的最大值、最小值及对应的点P 坐标:{2）求|PX| + -|P/s|的最小值及对应的点P 的坐标.分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当, 即代数方法.二是数形结合，即几何方法.本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决：若抓住椭圆的运义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解•P 斤 A P 片 + PF? - AE =2d-A 巧=6-72 ,等号仅当 PA|= PE^-AF,时成立，此时P 、A 、几共线.■由|PA|Sp 可+ |4引…••|PA| + |P 用<|P 斤| + |P 佗| + |A 可= 2a+|A 佗 1 = 6 +75,等号仅当PA = PE+AE 时成立，此时P 、A.人共线•由椭圆第二圧义,PF\ PQ解:⑴如上图，2a = 6 . 7^(24),A 片=近，设P 是椭圆上任一点，由■P 斤 +P 巧=2a = 6PA > PF ； - AF QPA +■ ■ ■建立A 、耳的宜线方程x+y-2 = o ・解方程组。