高中数学 向量法搞定立体几何论文

向量法搞定立体几何

一、基础知识

111222222

111

121212121212

(,,),(,,),(1)(2)(0)cos a x y z b x y z x y z a b a b x y z a b a b x x y y z z a b a b x x y y z z λθ⇒==⊥⇒⋅⇒++=⋅==++1.设：或（

=）(3)一般情况：

2..法向量的求法

法向量指的是垂直于面的向量。在用向量解题的过程中，只要遇到面便要求出它的法向量。 求法向量的步骤：

（1） 设此面的法向量为n （x ，y ，z ）

（2） 因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：

AB （x 1，y 1，z 1）, BC （x 2，y 2，z 2））

则有：11122200

n AB x x y y z z n BC x x y y z z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=++=⎪⎩

（3） 因为上面是建立了两个方程，但是有三个未知量，所以必须设一个量，在设的时候除了求二面角时（下面有介绍）需要来考虑方向，别的情况都可以随便设，通过上面解出的相对关系，确定那两个量，这样，法向量便解出来了。

特殊情况：在此情况下（如图1所示），法向量可以直接设出来，而不用上述的方法求解。

（1）面OAC 的法向量

我们可以直接看出此面的法向量平行于x

法向量为（x ，0，0），其中x 可以随便赋值。 （2）面OAB 的法向量

我们可以直接看出此面的法向量平行于y 法向量为（0，y ，0），其中y 可以随便赋值。 （3）面OBC 的法向量

我们可以直接看出此面的法向量平行于y 轴，所以可以直接设法向量为（0，0，z ），其中z 可以随便赋值 （图1）

例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且OA=OB=OC=1，如图1所示，求面ABC 的法向量？

解：设ABC 的法向量为(,,)n x y z ， A （0，0，1），B （1，0，0），C （0，1，0） 则：(1,0,1)AB - ，(1,1,0)BC -

x

1112220

n AB x x y y z z x z n BC x x y y z z x y ⎧⋅=++=-=⎪⎨

⋅=++=-+=⎪⎩ 解得：x=z ；y=x ； 令x=1，则有y=z=1；

则（1，1，1）为面ABC 得法向量。 二、学会建立坐标系

1. 对于立方体、长方体、正四棱柱可以直接建立（在此不再强调）。

2. 对于不可以直接建立的立体图，要尽量建立较好求的坐标系

常用方法：找中点（一般在题中会出现等腰三角形或者等边三角形，往往找到底边的中点，顶点与中点相连，此线便垂直于底边了，把此线作为其中的一轴） 比如例二：2006年全国二卷第（19）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.

（此图为建立完坐标系的图形） 一般的步骤：1.找到垂直于底面的一条线，作为Z 轴

2.在底面上找两条相互垂直的直线，分别作为X 轴和Y 轴

三、用向量法求解 1.点与点的距离

111222(,,),(,,),

A x y z

B x y z AB =2.点到直线的距离

（1）已知直线的方程 y=kx+b,那么点（x 0，y 0）到此直线的距离为：

d =

（2）用面积法求解（原理：面积相等） 图解：求A 到BC 的距离

11

22

AC BE BC AD ⨯⨯=⨯⨯

A

B

C

D

E

AC BE

AD BC

⨯=

3.点到面的距离

（1）用体积法求解（原理：体积相等。适用于体积和面积比较好求的立体）

如前面的例一：已知一个三棱锥，OA 垂直于面OBC ，OB 垂直OC ，且 OA=OB=OC=1，如图所示，求点O 到面ABC 的距离？

解：根据体积相等，设点O 到面ABC 的距离为d ，AD 为BC 边的高： 则有

11

33

1122ABC ABC OA OB OC S d S BC AD d ⨯⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯====

得：

（2）用向量法求解

如图：求P 到面ABCD 的距离，设面ABCD 的法向量为，O 为P 在面上的投影点，OP 即为P 到面ABCD 的距离。

A.n 的方向向上时

O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便是点P 到面ABCD 的距离，则

cos cos AP n AP n AP OP AP n OP n

θ

θ⋅==⋅=

通过图我们可以看出则 B. n 的方向向下时

O 为点P 在面ABCD 上的投影点，故OP 便 是点P 到面ABCD 的距离，则

cos cos AP n AP n AP OP AP n AP n OP n

n

θ

θθ⋅==⋅⋅=-

=

通过图我们可以明显看出，为钝角所以-则

n

n

θ

x

综上述两种情况，我们可以得出：在求点到面的距离时，先在面内任意找到一点与此点构成向量（如上面A 与P 构成向量），则不论n 的方向如何，其点到面的距离为：AP n d n

⋅=

4.线与线的夹角

因为线与线的夹角在[0°，90°]，所以其余弦值必为正值

cos cos AB BC AB BC AB BC AB BC

θθ⋅=⋅=

则：

可通过调整其中的一个向量的方向来使的其算的值为负值。AB BC AB BC

⋅）

5.线与面的夹角

因为线与面的夹角在（0°，90°]，所以其的正余弦值必为正值 A.n 法向量向上时

cos cos AP n AP n AP n AP n

θθ⋅=⋅=

则：

∵α(所求的角)+θ=90° ∴sin α=cos θ B.n 法向量向下时

cos cos AP n AP n AP n AP n

θθ⋅=⋅=

则：

∵

θ=α(所求的角)+ 90°

∴sin α=sin （θ-90°）=-cos θ>0

6.面与面的夹角

这种题是唯一需要确定法向量发现的，老师们可能让大家用观察法来判断此二面角的角度范围（即为锐角还是钝角），但往往有时是判断不对的，现通过定法向量方向来确定二面角。 请观察下面两个图：

n

θ

n