必修5第一章数列知识点总结

数列知识点总结
一、等差数列与等比数列
等差数列 等比数列
定义 1+n a -n a =d
n
n a a 1
+=q(q ≠0) 通项
公式 ()111()n
a a n d dn a d An B =+-=+-=+
111n n n n a
a a q q k q q -==⋅=⋅(q ≠0)
通项公式
的变形
n a =1-n a +d, n a =m a +(n-m)d d=n m a n
m --a (m ≠n), 1a 1--=n a d n (n ≠1)
n a =1-n a q n a =m a m n q -，
11n n a q a -=，n m n m
a q a -=
中项 b A a b a A ,,2⇔+=成等差数列 b G a ab G ,,2⇔=成等比数列
前n 项和 ()
12n n
n a a S +=()22111()222
n n n d d S na d n a n An Bn -=+=+-=+ ()()()11111111n n n na q S a q a a q
q q q =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ 性质 （1）若{}n a 是等差数列且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；
特别的，若2n p q =+则2n p q a a a =+ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2
；
（3）{}n a 为等差数列2
n S an bn ⇔=+（a b
，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）
（4）n S An B n =+⇒n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是等差数列.
（5）若}{},{n n b a 是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则
21
21
m m m m a S b T --= (6)d>0递增数列d<0递减数列d=0常数数列
（1）{}n
a 是等比数列，若m n p q +=+，
则m
n p q a a a a =·· 特别的，若2n p q =+则2
n p q a a a =⋅ （2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n
q
(3) 数列{}n a 是等比数列(q ≠1)⇔数列
{}n a 前n 项和S n =,(1,0)
n A q A q A ⋅-≠≠（4）{}n a 是递增数列⇔⎩⎨
⎧>>101q a 或⎩
⎨⎧<<<100
1q a {}n a 是递减数列⇔⎩⎨⎧<<>1001q a 或⎩
⎨⎧><10
1q a
二、判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
1、数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--
②211-++=n n n a a a (2≥n ) ； ③b kn a n +=(k n ,为常数).
2、数列是不是等比数列有以下四种方法：①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n
②112
-+⋅=n n n
a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )；
；③n n cq a =(q c ,为非零常数). ④正数列{n a }成等比的充要条件是数列{n x a log }（1 x ）成等比数列.
三、求数列通项公式的方法
1、给出数列的前几项，求数列的一个通项公式——观察法。

例1、分别写出下面数列{
n
a
}的一个通项公式，使它的前４项分别是下列各数。

（１）１，３，５，７，…， (２)１,２,１,２,…, (３)２,２２,２２２,２２２２,…, 2、通项公式法
3、涉及前ｎ项和S n 求通项公式，利用a n 与S n 的基本关系式来求。

即⎩⎨
⎧≥-===-)2()
1(111n s s n a s a n n
n
例２、在数列｛a n ｝中，S n 表示其前ｎ项和，且S n =n 2,求通项a n .
例３、在数列｛a n ｝中，S n 表示其前ｎ项和，且S n ＝２－３a n ,求通项ａｎ. 4、已知递推公式（初始条件与递推关系），求通项公式。

（１）待定系数法。

若题目特征符合递推关系式a 1＝Ａ, a n+1＝Ｂa n ＋Ｃ(Ａ,Ｂ,Ｃ均为常数，Ｂ≠１,Ｃ≠０)时，可用待定系数法构造等比数列求其通项公式。

例４、已知数列｛a n ｝满足a 1＝４, a n ＝３a n-1－２,求通项a n . （２）逐差相加法。

若题目特征符合递推关系式ａ１＝Ａ(Ａ为常数)，a n+1=a n +f(n)时，可用逐差相加法求数列的通项公式。

例５、在数列{a n }中，a 1=3,a n+1=a n +2n
,求通项a n . （3）逐比连乘法。

若题目特征符合递推关系式a 1=A （A 为常数）,a n+1=f(n)·a n 时，可用逐比连乘法求数列的通项公式。

例6、在数列{a n }中，a 1=3,a n+1=a n ·2n
,求通项a n .
（4）倒数法。

若题目特征符合递推关系式a 1=A,Ba n +Ca n+1+Da n ·a n+1=0(A,B,C,D 均为常数)时，可用倒数法求数列的通项公式。

例7、在数列{a n }中，已知a 1=1,2
21+=+n n n a a a ,求数列的通项a n .
（5）归纳法。

这是一种通过计算、观察、归纳规律，进而猜想、验证（证明）的思维方法，是一种普遍适用的方法。

在前面所有的问题中，只要转化为递推公式，就可以由初始条件逐次代入递推关系，观察计算结果，直到看出规律为止。

例9、在数列{a n }中，a 1=3,a n+1=a n 2
,求数列的通项公式a n .
四、求数列的前n 项和的方法
1、、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ； 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)
1(11)1()1(111
q q
q
a a q
q a q na S n
n n
[例1] 已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n
x x x x 32的前n 项和.
[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
2、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1
3
2
)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S
[例4] 求数列
⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n
前n 项的和.
3、倒序相加法求和：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
4、分组法求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231
,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
5、裂项法求和：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）
11
1)1(1+-
=+n n n n ；（2）)121121(21)12)(12(1+--=+-n n n n ；（3）n n n n -+=++11
1 [例9] 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
[例10] 在数列{a n }中，11211++
⋅⋅⋅++++=
n n
n n a n ，又1
2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. [例11] 求证：
1
sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 6、合并法求和：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. [例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 7、利用数列的通项求和：先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法. [例15] 求
1
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. [例16] 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值.。