第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学

一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U

内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 0

00

lim

--→

存在，则称

()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()

x f 在x 0处的导数，记为：

|0x dx dy x =或|0

x dx df

x =；或简记为()

x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()

x f 0'=()()

x

f x f x x x ∆-∆+→∆000

lim

；

2．()()()0

0lim

.x f

h f f x h

x x

x →+-'=；

要特别关注0x =处的导数有特殊形式：

()()()

00lim

.x f x f f x

→-'=（更特别地，()()()

()()0

00lim

.00x f x f f f x

→-'==如。

要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.

例1．已知()

x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()()

);(lim

000

A x

f x f x x x -=∆-∆-→∆

（2）。()()

);4(3lim

000

A x

x f x f x x x =∆∆--∆+→∆

例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/00

0lim lim 10

00

x x f x f x f x x

-

-

-→→---===-- 同理，可求得()10/=+

f .

由于

()()00//f f +

-

≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。

（记住这个结论）

练习：设()()2

,0,

1,0.

ax

e x

f x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.

所以，()()0

lim lim ,x x f x f x -+

→→=即 1.b = （二）()()()/0

0010lim

lim ;0

ax x x f x f e f

a x x

-

--

→→--===- ()()()()

2

2/

0011

20lim

lim lim 2.0

x x x f x f x x x

f

x x

x

+

-

-+

→→→----====-- 由()()/

/

00f f -+=，得2a =-.

例3． 已知()x x f 2

=

，试求()x f 在2=x 处的导数.

解：因为2

22

4

lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=

由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0

型的极限.故求

导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：()x x f sin =，求

()x x f cos /

=.

二．导数的几何意义

关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。一种题型是选择题或判断题。比如：若函数()x f 在0x 处可导，则曲线():C y f x =在0x 处必有切线；（√）； 反之，若曲线():C y f x =在0x 处有切线，则()x f 在0x 处必可导，则（×）. 另一种题型是根据几何意义找切线.

例4．求曲线ln y x =与直线1x y +=垂直的切线. 解：设切点()000,ln M x x . 切线斜率 0

00

11.|

|x x x x k y x x =='==

=由题意，()01

11,x -=-即0 1.x = 故切线方程为 0 1.y x -=-

下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来. 例5．设()x f 为连续函数，且()0

lim

2.x f x x

→=求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切

线方程。（08年研究生考试题） 解：由于()0

lim

2.x f x x

→=，且0

lim 0,x x →=

故()()0

0lim 0.x f f x →==（前面已讲过理由） 而()()()()0

00lim

lim

2.0

x x f x f f x f x x

→→-'===-，

所以，切线方程为()020.y x -=-

三．导数的四则运算

四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。下面举几个小例子. 例6．求0cos 27ln sin 2

++=++=

x x x y x

的导数.

注意：部分同学可能会犯下面的错误：[]

7

17ln /

=

. 例7

．设33.,ln x e x x

y x x e x

=

+

+-++

求.y ' 此题应先化简再求导：323..1ln x e x x y x x e x x

=+-++- 注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混. 例8．求x y 2sin =的导数. 解：

()()()()

()⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+===

=

x x x x x x x y

x

x cos sin cos sin cos sin 22sin /

/

/

/

/

/

sin cos 22

[]x x x 2cos 22sin cos 2

2=-=.

四．反函数求导法则

若函数()y x ϕ=，其反函数为()x f y =.若()y x ϕ=在y 0

的某邻域()y U

内连续、

严格单调且()00

/

≠y ϕ，则()x f y =在点()y x 0

ϕ=可导，且

()()

y x f 0/1

/

ϕ=

.

例9．求x y arcsin =的导数.