第二章 一元函数微分学

第二章 一元函数微分学一．与导数的定义有关的考点 先回顾导数的定义： 设函数()x f y =在()x U内有定义，如果极限()()x x x f x f x x 000lim--→存在，则称()x f y =在x 0处可导，x 0称为函数()x f 的可导点，且称上述极限值为函数()x f 在x 0处的导数，记为：|0x dx dy x =或|0x dx dfx =；或简记为()x f 0'． 注意导数的本质是瞬时变化率，它还有另外两种常见的等价定义： 1．()x f 0'=()()xf x f x x x ∆-∆+→∆000lim；2．()()()00lim.x fh f f x hx xx →+-'=；要特别关注0x =处的导数有特殊形式：()()()00lim.x f x f f x→-'=（更特别地，()()()()()000lim.00x f x f f f x→-'==如。

要知道两个重要的结论：1.可导必连续；2。

函数()x f y =在x 0处可导的充要条件是()()//00.f x f x -+=对于分段函数在分段点处的可导性，一定从要考察其左、右导出发.例1．已知()x f 0'=A ，试求下列极限的值 （1）()());(lim000A xf x f x x x -=∆-∆-→∆（2）。

()());4(3lim000A xx f x f x x x =∆∆--∆+→∆例2．研究函数()||x x f =在0=x 处的可导性. 解：因为()()()/000lim lim 1000x x f x f x f x x---→→---===-- 同理，可求得()10/=+f .由于()()00//f f +-≠，所以()||x x f =在0=x 处不可导。

（记住这个结论）练习：设()()2,0,1,0.axe xf x b x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩在0x =处可导，求,a b 的值. 解：（一）因为()f x 在0x =处可导，从而()f x 在0x =处也连续.所以，()()0lim lim ,x x f x f x -+→→=即 1.b = （二）()()()/00010limlim ;0ax x x f x f e fa x x---→→--===- ()()()()22/001120limlim lim 2.0x x x f x f x x xfx xx+--+→→→----====-- 由()()//00f f -+=，得2a =-.例3． 已知()x x f 2=，试求()x f 在2=x 处的导数.解：因为2224lim lim(2)42x x x x x →→-=+=-，所以，()2 4.f '=由此例可见，在导数存在的情况下，求导问题就归结为求一个0型的极限.故求导就是求极限，不必多举例，今后很少针对具体函数计算在一点处的导数值. 如把函数在一点x 0处可导的概念推广到一个区间，则可得到导函数的概念.大家要牢记基本导数表（共十五、六条）。

这里的每一条都是根据导数的定义推出来的，请大家在下面自己试着也推推.如：()x x f sin =，求()x x f cos /=.二．导数的几何意义关于导数的几何意义，主要考察的题型有两种。

一种题型是选择题或判断题。

比如：若函数()x f 在0x 处可导，则曲线():C y f x =在0x 处必有切线；（√）； 反之，若曲线():C y f x =在0x 处有切线，则()x f 在0x 处必可导，则（×）. 另一种题型是根据几何意义找切线.例4．求曲线ln y x =与直线1x y +=垂直的切线. 解：设切点()000,ln M x x . 切线斜率 00011.||x x x x k y x x =='===由题意，()0111,x -=-即0 1.x = 故切线方程为 0 1.y x -=-下面举一个复杂点的，把前面的知识点窜起来. 例5．设()x f 为连续函数，且()0lim2.x f x x→=求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程。

（08年研究生考试题） 解：由于()0lim2.x f x x→=，且0lim 0,x x →=故()()00lim 0.x f f x →==（前面已讲过理由） 而()()()()000limlim2.0x x f x f f x f x x→→-'===-，所以，切线方程为()020.y x -=-三．导数的四则运算四则求导法则非常简单，但不注意的话，容易犯错误。

下面举几个小例子. 例6．求0cos 27ln sin 2++=++=x x x y x的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：[]717ln /=. 例7．设33.,ln x e x xy x x e x=++-++求.y ' 此题应先化简再求导：323..1ln x e x x y x x e x x=+-++- 注意：个别同学容易把幂函数求导与指数函数求导的公式搞混. 例8．求x y 2sin =的导数. 解：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+====x x x x x x x yxx cos sin cos sin cos sin 22sin //////sin cos 22[]x x x 2cos 22sin cos 22=-=.四．反函数求导法则若函数()y x ϕ=，其反函数为()x f y =.若()y x ϕ=在y 0的某邻域()y U内连续、严格单调且()00/≠y ϕ，则()x f y =在点()y x 0ϕ=可导，且()()y x f 0/1/ϕ=.例9．求x y arcsin =的导数.解：设原函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈>⇒=2,2),cos (sin ππy o y y x ，则其反函数为x y arcsin =.根据反函数求导法则.有()xy y y dydx dx dy 22/1111cos 111sin -=-====ϕ.五．复合求导法则大家可能还有印象，复合函数x y 2sin =的导数是()x dxdy x 2cos 22sin /==.（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？） 如 果记x u 2=，则x u u y 2,sin ==()()2,cos 2sin //====x u dxduu du dy u ，故此题恰好满足等式：dxdudu dy dx dy .= （*）这是否是巧合的？我们说不是.事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理:若函数()x u ϕ=在x 可导，而函数()u f y =在对应的())(x u ϕ=处也可导，则复合函数()[]x f y ϕ=在x 处也可导，且dxdu du dy dx dy .=或 u y y x u x .///=（或()()x u f y ϕ///.=.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数()[]{}x f y ψϕ=，如记()()()u f y v u x v ===,,ϕψ， 则各变量间的关系是：x v u y ---有v u y y x v u x dxdv dv du du dy dx dy ////==或简记为上式可通过连续使用两次链式法则得到。

大家不难将上式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则.不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例10．求x y 2sin =的导数解：记x u 2=，则x u u y 2,sin ==.由链式法则，有()()()()x u x u x u f y2cos 22.cos .2sin /////====ϕ.注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？（2）正确写法是：()()()()x u x u x u f yu2cos 22.cos .2sin /////====ϕ.（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x 的函数进行回代的过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u ，请大家作题时不要忘记回代;(4) 显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u 的记号换记为v ，不会改变最后的结果。

例11．求x y sin 2=的导数. 解：记x u sin =，则u y 2=.()().2cos cos sin 2cos 22sin ///x x x x u x u yu=====例12．求2tanln xy =的导数. 解：先将2tan ln xy =分解为基本初等函数，即2,tan ,ln xv v u u y ===.()()x xx xv u x v u v u y y xvuxvucsc sin 121.2.2tan1211secsec 2tan ln 22///////======⎪⎭⎫ ⎝⎛注意：既然最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程. 例13．（重做例3）解：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛===2sec 2tan 2tan ln /2///22tan 12tan 1x x x y x x x 注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一 次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，…只至去掉最后一层。

打个形 象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件 一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法. （2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允 许用第二种写法.（4）有一种比较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误。

例14．求⎪⎭⎫⎝⎛++=x x y 21ln 的导数.解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型.()[][]()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++=++==++++++-x x xx x xxx y x x 222111121121111ln /212/2//=x x x x x xx x x x 222222111111122111+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++. 例15．求nx x y nsin .sin =的导数. 解：[]////sin .sin sin sin sin sin nn nnx x x nx x nx y ==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()[]///1111sin ..cos cos .cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin sin sin sin sin sin n n n n n nn n x nx x n x x x nx n x x nx n x nx n x x nx x nx x nx nx ----⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+=+()1sin 1sin n n x n x -=+⎡⎤⎣⎦练习：1.求x x x y ++=的导数.:2．求xxy =.3 求xx y x=的导数.例16．设()2,1,, 1.ax x f x x b x ≤⎧=⎨+>⎩在1x =处可导，试确定常数,a b 的值.解：因为()f x 在1x =处可导，从而()f x 在1x =处也连续.但()()11lim ;lim 1;x x f x a f x b -+→→==+故1a b =+. 再由于()f x 在1x =处可导，则()()//11.f f -+= 又()()//1;12;f a f -+==所以，2,1a b ==.例17．设()22,0,2,01,1,1.x x x f x x x x x⎧⎪+≤⎪=<<⎨⎪⎪≤⎩求().f x '解：()222,0,2,01,1,1, 1.x x x f x x x x +≤⎧⎪<<⎪⎪'==⎨⎪⎪->⎪⎩不存在，例18．设arctan xy e =-求()1.y '（考研题）. 解：由于 ()()2211arctan 2ln 1arctan ln 122x x x xy e x e e x e ⎡⎤=--+=-++⎣⎦ 所以，2221111..2.2111x x xx x xe e y e e e e-'=-+=+++ 故 ()211.1e y e -'=+ 注意；关于反函数的几个求导公式，个别同学容易搞错.在复合函数求导中要特别注意抽象的复合函数求导，容易犯记号错误. 例19．设()()ln .f x y f x e =，其中()f x 可导），求.y '解：()()()()()()ln ln .ln f x f x y f x x e f x e f x ⎡⎤'⎡⎤'''=+⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()()()1ln ln .f x f x f x e f x e f x x''=+请注意：记号()()ln ln f x f x ''⎡⎤⎣⎦，的区别.例20．设y =其中()(),f x g x 可导，求.y '解：()()22y f x g x ''⎡⎤=+⎣⎦()()()()22.f x f x g x g x ''=+⎤⎦有些同学最容易漏掉小尾巴.例21．设()232,arcsin ,32x y f f x x x -⎛⎫'== ⎪+⎝⎭求0.|x dy dx = 解：()()222323232123212.arcsin ..323232323232x x x x y f f x x x x x x '----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''=== ⎪⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++所以，()30.3.22y ππ'==六．简单函数的高阶导数由高阶导数的定义可知，计算具体函数的n 阶导数就是按求导法则和导数公 式逐阶求下去，最后归纳出n 阶导数的一般形式.没有捷径可走. 例22．xny =，求0,!)1()(==+yyn n n .例23．()()()()99....21---=x x x x x f ，求()().0,0)100(/ff .例24．a xy =，求a nxn ayln)(=。