广义托勒密定理最简洁证明

广义托勒密定理最简洁证明

概念

0、几何意义：

在平面内，如果三条不共线的直线与其他三条不共线的直线在任一个点上相交，那么这些直线上三个交点之间存在着一种确定的关系。

1、广义托勒密定理：

广义托勒密定理是欧几里得展示几何包含在几何学内庞大结构中的一部分。它指出：在平面内，有四个不共线点在另外四个不共线点上的一对对应点之间存在着一种确定的关系。

证明

假设有四个不共线的点A,B,C,D，在另四个不共线的点A’,B’,C’,D’上的一对对应的点A’,B’,C’,D’之间存在着一种确定的关系。

设点A,B，C，D组成的边分别为a,b,c，d，这两个四边形的质心O,O’满足：

a=b+c+d，a’=b’+c’+d’；

分别在AB，BC，CD，DA上作弦分离OA, OB, OC, OD和OA’, OB’, OC’, OD’；

由分离弦定理，有：

（1）OA/OA’=OB/OB’=OC/OC’=OD/OD’；

（3）O A/a=OA’/a’；

代入（1），（3），（4），（5），（6）到（2）

可得：

即：

OA/a+OB/b+OC/c+OD/d=4·OA’/a’+4·OB’/b’+4·OC’/c’+4·OD’/d’；

由此，结论得证。