完整版)完全平方公式变形公式专题

完整版)完全平方公式变形公式专题半期复（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一、公式拓展：

拓展一：$a+b=(a+b)^2-2ab$

a-b=(a-b)^2-2ab$

拓展二：$(a+b)-(a-b)=4ab$

a+b)=(a-b)+4ab$

拓展三：$a+b+c=(a+b+c)-2ab-2ac-2bc$

拓展四：杨辉三角形

a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

拓展五：立方和与立方差

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

二、常见题型：

一）公式倍比

已知$a+b=4$，求$\frac{a^2+b^2}{2ab}$ 1）$x+y=1$，求$x^2+xy+y^2$

2）已知$x(x-1)-(x-y)=-2$，求$x^2-y^2$ 二）公式变形

1）设$(5a+3b)^2=(5a-3b)^2+A$，求$A$

2）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$

3）如果$(x-y)+M=(x+y)$，求$M$

4）已知$(a+b)=m$，$(a-b)=n$，求$ab$

5）若$(2a-3b)=(2a+3b)+N$，求$N$的代数式

三）“知二求一”

1.已知$x-y=1$，$x^2+y^2=25$，求$xy$的值

2.若$x+y=3$，$(x+2)(y+2)=12$，求$xy$和

$x^2+3xy+y^2$的值

3.已知$x+y=3$，$xy=-8$，求$x^2+y^2$和$(x^2-1)(y^2-1)$的值

4.已知$a-b=3$，$ab=2$，求$(a+b)^2$和$a^2-6ab+b^2$的值

四）整体代入

例1：已知$x-y=24$，$x+y=6$，求$5x+3y$的值

例2：已知$a=x+20$，$b=x+19$，$c=x+21$，求

$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac$的值

⑴若$x-3y=7$，$x-9y=49$，求$x+3y$的值

⑵若$a+b=2$，求$a-4b$的值

⑶已知$a^2+b^2=6ab$且$a>b$，求$a+b$的值

已知$a=2005x+2004$，$b=2005x+2006$，

$c=2005x+2008$，则代数式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$的值为：

begin{aligned}

a^2+b^2+c^2-ab-bc-

ca&=(2005x+2004)^2+(2005x+2006)^2+(2005x+2008)^2\\ quad-(2005x+2004)(2005x+2006)-

(2005x+2006)(2005x+2008)-(2005x+2008)(2005x+2004)\\ 3\cdot(2005x)^2+3\cdot2\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2 +2008^2)-

3\cdot(2004\cdot2006+2006\cdot2008+2008\cdot2004)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-

3\cdot(2004+2006+2008)^2+3\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\ 3\cdot2005^2x^2+6\cdot2005x+3\cdot(2004^2+2006^2+2008 ^2)-3\cdot2018^2+6\cdot(2004^2+2006^2+2008^2)\\

10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2004^2+2006^2+2008^2) -3\cdot2018^2\\

10\cdot(2005^2x^2+2005)+10\cdot(2005^2-1)-

3\cdot2018^2\\

10\cdot2005^2x^2+10\cdot2005^2-

10\cdot2005+10\cdot2005^2-10-3\cdot2018^2\\

10\cdot2005^2x^2+20\cdot2005^2-10\cdot2005-

3\cdot2018^2-10\\

end{aligned}

五）杨辉三角

观察杨辉三角（1），发现每个数都是上面两个数之和，可以得到如下规律：

a+b)^1=a+b$$

a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$$

a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5$$

根据规律，

$(a+b)^6=a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6 $。

六）首尾互倒

1．已知$m^2-6m-1=0$，求$2m^2-6m+2$。

解答过程：

已知：$x\neq0$，且满足$x^2-3x=1$。求：

解：因为$x^2-3x=1$，所以$x^2-3x-1=0$。

因此，$x=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2}$。

所以，$x+\frac{1}{x}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}+\frac{3-

\sqrt{13}}{2}=3$。

所以，$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=9$。

因此，$x^2+\frac{1}{x^2}+2=9$，即

$x^2+\frac{1}{x^2}=7$。

七）数形结合

1．如图（1）是一个长为$2m$，宽为$2n$的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形。

1）观察图（2）中的阴影部分，可以发现它是由两个边长为$m-n$的正方形和两个边长为$n$的矩形组成的。因此，阴影部分的正方形边长为$m-n$。

2）方法一：正方形的面积为$(m-n)^2$，而阴影部分的面积为$2n(m-n)$，因此：

m-n)^2=2n(m-n)$$