全国高中物理竞赛专题六 机械振动与机械波

专题六 机械振动和机械波
【基本内容】 一、机械振动
1、物体在它的平衡位置附近所作的往复运动．如声源的振动、钟摆的摆动等．
2、产生振动的条件：有恢复力的作用且所受阻力足够小．
3、回复力：物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力． 二、简谐振动
1、简谐振动：如果一个物体振动的位移按余弦（或正弦）函数的规律时间变化,称这种运动为简谐振动．
2、周期与频率：物体进行一次全振动（振动物体运动状态完全重复一次）所需要的时间,称为振动的周期T ；单位时间的全振动次数称为频率ν,2π秒内的全振动次数称为圆频率ω．
3、振幅A ：质点离开平衡位置的最大位移的绝对值,称为振幅．
4、相位：振动方程中的t ωϕ+称为相位．
5、简谐振动的振动曲线：振动位移时间的变化关系曲线称为振动曲线．如图所示．
6、旋转矢量表示法
如图所示,当矢量OM 绕其始点（坐标原点）以角速度ω做
匀速转动时,其末端在x 轴上的投影点P 的运动简谐振动．三、简谐振动的能量与共振
1、以弹簧振子为例,简谐振动的能量为 2
2221
2121kA kx mv E E E P K =+=+=
2、阻尼振动：在阻尼作用下振幅逐渐减少的振动称为阻尼振动,其振动方程为
0cos()t x A e t βωϕ-=+
式中, β为阻尼因子,
ω为振动的圆频率,它与固有圆频率0ω和阻尼因子β
关系为
ω=
3、受迫振动：在周期性外力作用下的振动,称为受迫振动,在稳定情况下,受迫振动是简谐振动,振动频率等于外力的频率,与振动系统的固有频率无关,其振幅为
22
'22'22
0(2)()
h A βωωω=+- 当强迫力的频率等于系统固有频率时,系统将有最大的振动振幅,这种现象称为共振．强迫力的频率偏离系统的固有频率越大,振幅则越小． 四、两个简谐振动的合成
有如下四种形式的合成：
1、同方向、同频率的简谐振动合成,合成的结果仍然是与分振动同方向、同频率的简谐振动,合振动的振幅和相分别为
A =
1122
1122
sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=
+
2、同方向、频率相近的简谐振动的合成,合成的结果不再是简谐振动,合振动的振幅随时间缓慢地周期性变化,称为“拍”的频率．拍的频率12ννν=-
3、相互垂直的同频率简谐振动的合成,合成运动的轨迹方程是
22221212
21212
2cos()sin ()x y xy A A A A ϕϕϕϕ+--=- 4、相互垂直、频率之比为整数比的两简谐振动合成,这时是有一定规律的稳定闭合曲线,形成李萨如图形．
五、机械波
1、机械振动在弹性媒质中的传播,称为机械波．当质点振动方向和波的传播方向垂直时,称为横波；当振动方向与波的传播方向一致时,称为纵波．
2、波的周期（频率）
、波长和波速
一个完整波通过媒质中某点所需的时间,称为波的周期,在波源和观察（接收）者相对媒质静止时,波的周期就是各媒质元的振动周期,用符号T 表示．
单位时间内通过媒质中某点的完整波的数目,称为波的频率,波的频率就是各媒质元的振动频率,用符号ν表示,周期和频率反映了波在时间上的周期性,有关系式 1
T ν
=
．
沿波的传播方向上相位差为2π的两点间的距离,一个完整波形的长度,称为波的波长,用符号λ表示,波长反映了波在空间的周期性．
单位时间内某振动状态传播的距离,称为波速,又称相速,用符号u 表示,上述各量之间有如下关系u T
λ
λν=
=．
3、波面和波线
波动过程中,介质中振动相位相同的点连成的面称为波阵面,简称波面,而某一时刻,最前面的波面,称为该时刻的波前．
沿波的传播方向所作的有向曲线称为波射线,简称波线．六、平面简谐波
若波源和波线上各质点都作简谐振动的连续波称为简谐波,
简谐波是最基本的波,各种复杂的波都可以看成许多不同频率的简谐波的合成．
在波动中,每一个质点都在进行振动,对一个波的完整的描述,应该是给出波动中任一质点的振动方程,这种方程称为波函数,平面简谐在理想的无吸收的均匀无限大介质中传播的波函数表达式为
2cos ()cos 2(
)cos ()x t x y A t A A x ut u
T πωϕπϕϕλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣
⎦⎣⎦
式中,“-”代表沿轴正方向传播的波,“+”代表沿轴反方向传播的波． 七、波的能量、能流和能流密度
波的能量包括媒质中质元的振动动能和因媒质形变产生的弹性势能,可以采用能量密度
表示,即媒质单位体积内的波动能量,称为波的能量密度,用ω表示,有
222sin dE x A t dV u ωρωω⎛⎫
=
=- ⎪⎝⎭
考虑一个周期内能量的平均值,称为平均能量,用ω表示,则有
22
0112
T dt A T ωωρω==⎰
伴随波的传播,波的能量也在传播,将单位时间通过传播方向上单位面积的(平均)能量,称为平均能流密度,又称波的强度．用符号I 表示,有 I u ω= 八、波的干涉和衍射
1、惠更斯原理
在波的传播过程中,波阵面上的一点都可以看做是发射子波的波源,在其后的任一时刻,这些子波的包迹就成为新的波阵面,这就是惠更斯原理．
2、波的叠加原理
几列波在同一介质空间相遇时,每一列波都将独立地保持自已原有的特性,并不会因其他波的存在而改变,在它们重叠区域内,一点的振动是各列单独在该点引起振动的矢量和,波的这种性质称为波的叠加原理．
3、波的干涉
满足相干条件的波在空间相遇叠加时,某些点的振动始终加强,另一些点的振动始终减
弱,在空间形成一个稳定的分布,这种现象称为波的干涉,两束相干波的合振幅为
A =
其中21212()r r π
ϕϕϕλ
∆=---
4、波的衍射
波在传播中遇到障碍物时改变传播方向,传到障碍“阴影”区域的现象叫做波的衍射．发生明显衍射现象的条件是：障碍物或孔的尺寸比波长小,或者跟波长相差不多． 九、驻波
由两列同振幅,相向传播的相干波叠加而成的波,称为驻波,相应的驻波方程为 22cos cos 2y A x π
πνλ
=
十、声波
弹性媒质中,各质点振动的传播过程称为“声波”,它是一种机械波．起源于发声体的、
振动频率在2020000Hz 的声波能引起人的听觉,又称可听声波,频率在4
1020Hz - 的
机械波称为次声波,频率在48
210210Hz ⨯⨯ 的机械波称为超声波．
1、声波的反射、干涉和衍射
声波遇到障碍物而改变原来传播方向的现象称为声波的反射．
围绕发生的音叉转一周听到忽强忽弱的声音,这种现象实际上就是声波的干涉． 由于声波的波长在17cm 17m 之间,声波很容易绕过障碍物进行传播．我们把这一现象叫声波的衍射．
2、声音的共鸣
共鸣就声音的共振现象． 3乐音与噪音
好听、悦耳的声音叫乐音,是由周期性振动的声源发出的．嘈杂刺耳的声音为噪音,是由非周期性振动的声源产生的．
4、音调、响度和音品是乐音的三要素 音调：基音频率的高低,基频高则称音调高．
响度：声音强弱的主观描述,跟人、声强（单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的能量）等有关．
音品：俗称音色,它反映了不同声源发出的声音具有不同的特色,音品由声音所包含的语言的强弱和频率决定． 十一、多普勒效应
当波源、观察者相对传播波的介质运动时,观察接受到的频率偏离波源频率的现象,称为多普勒现象,有如下关系
R
R s
R u u νννν±=
式中,R ν为观察接收的频率,依赖于观察者相对于媒质的速率(R v )和波源相对于媒质的速率(s v ),s v 为波源的频率,u 为波速．
【例题】
例1 如图所示，弹簧下端固定在水平桌面上，当质量为1m 的A 物体连接在弹簧的上端并保持静止时，弹簧被压缩了长度a 。

现有质量为2m 的B 物体，从高为h 处自由落下，试求：
1） B 物体和A 物体发生完全非弹性碰撞，弹簧振子的振幅和初位相各为多少？周期多大？
2） B 物体和A 物体发生弹性碰撞，弹簧振子的振幅和周期多大？写出振动方程（只考虑一次碰撞）。

设设弹簧的质量可以略去不计，把弹簧开始运动时作为时间的起点，x 轴以向下为正。

解：1）B 和A 粘在一起运动，总质量为12m m +，振动周期
22T π== 设平衡位置为O 点，B 和A 发生碰撞处离O 点的位移20,m g
b b x k
=
=为初位置。

碰撞后共同速度为012
v =，它的方向和x 轴方向相同。

由振动能量公式得
()2221200111222
m m v kx kA ++= 所以
B
h
A==
由初始条件
0000
cos,sin
x A v A
ϕωϕ
==-，得
10
tan,
tan.
v
x
v
x
ϕ
ω
ϕ
ω
-
=-
⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭
所以
1
tan
ϕ-
=
而
00
0,0.
x v
<>得
3
2
πϕπ
<<
2）B和A发生弹性碰撞，碰撞后B和A又分开，A物体做简谐振动，周期
22
T==
A物体振动的平衡位置是原来B和A碰撞的位置，所以初始位置
x= B和A发生弹性碰撞，所以
()()()
''
2211
22
''
2211
,
111
2.
222
m m v m v
m gh m v m v
⎧=+
⎪
⎨
=+
⎪
⎩
解得
'
1
12
v=
式中的'
1
v为A物体振动的初始速度
v，由振动的能量公式得
22
11
22
mv kA
=
所以
12
A==
由于
v方向和x方向相同，初始位置就是平衡位置，所以在用余弦函数表示的振动方
程中初位相为
2
π
-，振动方程为
12cos 22x A t ππω⎫⎛⎫
=-=-⎪ ⎪⎪⎝
⎭⎭
例2 一弹簧振子,两端为质量都是0.1kg m =、大小不计的物体A 、B ．中间为一静止长度为0l ,劲度系数为0k ,质量可以忽略的理想弹簧,现此振子自某一高度、
A 端在下,竖直的自由下落至一水平桌面．开始下落时,A 距桌面的高度为2m H =,开始时弹簧无伸长或压缩,A 与桌面发生弹性碰撞后跃离桌面,当
A 第二次接触桌面时,发现弹簧的压缩达到最大．求
1）弹簧的劲度系数0k 之值； 2）A 第二次与桌面接触时的速度．
解：取x 坐标轴沿竖直方向,原点在桌面,方向向上,振子竖直下落,弹簧无压缩或伸长,故
A 、
B 均为自由落体,当A 到达桌面时,A 、B 的速度相同,均为
0A B V V V ===- （1） 命A 与桌面碰撞之时刻为0t =,即0t =时,A 与桌面发生弹性碰撞而反向．此时有
000,,0,,
A B A B V V V V X X l ==-== （2）
暂不考虑重力之影响,则由图（a ）可知,A 、B 相向运动,压缩弹簧,而产生简谐运动,0t =时,弹簧无形变,由（2）之初条件,可以写出A 作简谐振动之运动方程
00()s i n 2()c o s 2A A X t X f t V t V
f t ππ=⎧⎨=⎩ （3）
（3）式中,
已知0V =
0X 、f 待定．由图可知,在振动运动中,A 、B 相向运动,
中点M 不动．故振动可视作M 固定的两个振子,振子MA （或MB ）之等效劲度系数为
0,2k k k =,故有
)())
()22f ππ== （4）
振子A 之最大振动动能为
2012mV ,最大振动势能为()2
00122k X , ()22
00011222
mV k X =
图（a ）
0X = （5） 现在考虑重力的效应,重力的存在使得A 、B 在振动的同时,还在作自由落体运动．在时间0t →的期间,重力使A 产生的位移为22gt -
故在0t >时,A 的坐标应为
20()sin 2X t X ft gt π=- （6） 弹簧最大压缩时为1t ,此时应有 122f t ππ= （7）
1t 时,101(),()0A A X t X V t ==
此时,A 与桌面发生第二次碰撞,即应有
21011()sin 20X t X ft gt π=-= 由（7）、（8）两式可得
02
2(4)
g
X f = 代入0X 、f 之值,有
()({}
1212g ⎡=⎣
()()40256k mg h π=
代入各量的数值,有00.19N m k =
当A 与桌面第二次撞击时,其振动速度为零,故其速度就是1t 时的自由落体速度
11()8.0m s V t gt ==
例3 如果沿地球的直径挖一条隧道,求物体从此隧道一端自由释放到达另一端所需的时间,设地球是一个密度均匀的球体,不考虑阻力,地球半径为R ,如图（a ）所示．
解：考察质量为m 的物体在隧道中离地心距离r 时的受力,它可以看作受两个力：一是半径为r 的球体所产生的引力,一是内外半径为r 和R 的均匀球壳对m 所产生的引力,如图（b ）所示．
图（a ）
球壳对A 点的物体的m 的引力,等于组成球壳的所有质点对m 产生引力的矢量和,现将球壳分成很多的薄壳层,如图（c ）所示,过A 点可做n 对圆锥体（n 很大）,图中只画出一对,圆锥体将壳层分割成小体积元V ∆,由万有引力定律,它们对A 点的的引力为
112
1222
2m m f G
r m m
f G
r ∆∆=∆∆=
式中1122,m S r m S r ρρ∆=∆∆∆=∆∆ 因为两圆锥体的顶角（立体角）相同,则
122212
S S r r ∆∆=
由以上三式可得 12f f ∆=∆
也就是说：1m ∆与2m ∆对m 的引力大小相等、方向相反,合力为零．所以整个壳层上的质点对m 的引力的合力为零．地球对m 的引力,就等于以物体距地心距离的距离r 为半径的球体所产生的引力,力指向地心O ,大小为
3323r m Mm
F GM
G r R r R ==
其中M 为地球的质量,因2GM
g R =,所以 mg
F r R
= 物体作简谐振动,振动角频率为
ω==
物体由隧道一端到达另一端所需时间
2T t πω===
例4
圆柱体浮标的小运动．某种海上浮标由一个轻质实心圆柱体和一根刚性匀质细杆
图（b ）
1
S ∆2
S ∆A
1
r 2
r 图（c ）
连接而成．圆柱体的半径为a ,长度为l ,质量均匀分布,密度为ρ．细杆的质量等于圆柱体的质量,长度等于圆柱体的直径,密度远大于海水密度（海水密度记为0ρ）．设浮标处于如图（a ）所示平衡位置．
1）试导出图中θ角与
ρ
ρ之间的关系．设细杆体积很小,忽略不计． 2）若浮标因受到某种干扰而竖直下压了一个小量,从而在其平衡位置附近上下振动,如图（b ）所示．试确定这种竖直方向振动的角频率,结果用a 、g 和θ表达（其中g 为重力加速度）．
解：1）因为浮标总质量（包括圆柱体和细杆）为 2
2M a l πρ=
浮标排开水的体积小于2
a l π,排开水的质量小于20a l πρ,由图（a ）中所示,必有 2202a l a l πρπρ>
即
02ρρ>
利用几何知识易得排开水的体积为 ()2
sin cos V la
θθθ=-
此式中θ取值范围为：0θπ<<．利用平衡条件,浮标重量等于水的浮力,即 ()2
2
02sin cos a l la πρθθθρ=-
得到θ与
ρ
ρ的关系为
图（a ）
图（b ）
()0111sin cos sin 2222ρθθθθθρππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
2）取水面为竖直向上z 轴的坐标原点,平衡时与水平面同高的圆柱上一点为代表点（可取在过柱中心竖直方向的直径上的点）,当浮标上下振动时,可用此代表点的坐标进行描述．设运动中浮标的坐标为z （代表点的坐标）．由于浮标重力不变,当z 为正时,浮力减小,合力为负．则重力和浮力的合力为
()()()(){}
()(){}
2202
0sin cos sin cos sin cos sin cos F la la g gla θθθθθθθθθρρθθθθθθθ=----∆--∆-∆⎡⎤⎣⎦=-∆---∆-∆⎡⎤⎣⎦
在小振动情况下,1θ∆ ．利用三角函数公式以及sin ,cos 1θθθ∆≈∆∆≈,并略去二级小量,化简得
22002sin 2sin F gla a lg z ρθθρθ=-∆=-
这里已利用：sin a z θθ∆= ．这是一个与z 成正比,方向与z 方向相反的线性回复力（此
处称准弹簧力）．浮标的动力学方程为
()02sin z Ma a lg z ρθ=- 振动角频率为
ω=
代入1）中结论,最后得
ω=
例5 两个倔强系数为k ，质量为m 的相同弹簧振子1、2置于光滑水平台面，固定端分别为A B 、，两振子间又用倔强系数为
3
2
k 的弹簧相连，如图所示，今使两振子以相同频率作简谐振动，求振动频率。

解：设两振子的位移各为12x x 、（各以自己平衡位置为坐标原点），如图所示，则两振子所受的力各为
()()112122213,2
3.
2
k
F kx x x k
F kx x x =-+
-=---
若两振子作同频率的简谐振动，它们所受的力应该与各自的位移成正比，方向指向平衡位置。

由于两振子质量相同，所受力与位移的比例系数应相同，即应有
()()11211222123,2
3.
2
k
F kx x x ax k
F kx x x ax =-+
-=-=---=-
两式整理后得
1
21253223522k k a x x k k x a x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
⎛⎫=- ⎪⎝⎭
两式相除得
22
125322,4.
k k a a k a k ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭== 根据谐振规律，得两种振动角频率
12ωω=
=将两振子向同一方向拉开相同位移后静止释放，它们就将以同一频率1ω振动；将两振子向相反方向拉开相同位移后静止释放，它们就将以同一频率2ω振动。

例6 一个大容器中装有互不相溶的两种液体,它们的密度分别为1ρ和2ρ（12ρρ<）．现让一长为L 、密度为121
()2
ρρ+的均匀木棍,竖直地放在上面的液体内,其下端离两液体分界面的距离为
3
4
L ,由静止开始下落．试计算木棍到达最低处所需的时间．假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计,且两液体都足够深,保证木棍始终都在液体内部运动,未露出液面,也未与容器相碰．
解：1）用S 表示木棍的横截面积,从静止开始到其下端到达两液体交界面为止,在这过程中,木棍受向下的重力121()2
LSg ρρ+⋅和向上的浮力1LSg ρ．由牛顿第二定律可知,其下落的加速度
21
112
a g ρρρρ-=+ （1）
用1t 表示所需的时间,则
2
11
3142
L a t = （2） 由此解得
1t =
（3）
2）木棍下端开始进入下面液体后,用'L 表示木棍在上面液体中的长度,这时木棍所受重力不变,仍为121
()2
LSg ρρ+⋅,但浮力变为12()L Sg L L Sg ρρ''+-．当'L L =时,浮力小于重力；当'0L =时,浮力大于重力,可见有一个合力为零的平衡位置．用0L '表示在此平衡位置时,木棍在上面液体中的长度,则此时有
1210201()()2
LSg L Sg L L Sg ρρρρ''+⋅=+- （4） 由此可得
02
L
L '=
（5） 即木棍的中点处于两液体交界处时,木棍处于平衡状态,取一坐标系,其原点位于交界面上,竖直方向为z 轴,向上为正,则当木棍中点的坐标0z =时,木棍所受合力为零．当中点坐标为z 时,所受合力为
121221111()()22
2LSg L z Sg L z Sg Sgz kz ρρρρρρ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-+⋅+++-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 式中 21()k Sg ρρ=- （6） 这时木棍的运动方程为
121
()2
z kz LSa ρρ-=+
z a 为沿z 方向加速度 22112()2
()z gz
a z L
ρρωρρ-=-=-+
22112()2
()g
L
ρρωρρ-=+ （7）
由此可知为简谐振动,其周期
22T π
ω
=
= （8）
为了求同时在两种液体中运动的时间,先求振动的振幅A ．木棍下端刚进入下面液体时,其速度
11v a t = （9） 由机械能守恒可知
222121111()2222SL v kz kA ρρ⎡⎤
++=⎢⎥⎣⎦
（10）
式中1
2
z L =
为此时木棍中心距坐标原点的距离,由
（1）、（3）、（9）式可求得v ,再将v 和（6）式中的k 代人（10）式得
A L = （11） 由此可知,从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半,从参考圆（如图）上可知,对应的θ为30︒,对应的时间为/12T ．因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间,即棍中心从2L z =到2
L
z =-所用的时间为
22
12T t ==
（12） 3）从木棍全部浸入下面液体开始,受力情况的分析和1中类似,只是浮力大于重力,所以做匀减速运动,加速度的数值与1a 一样,其过程和1中情况相反地对称,所用时间
31t t = （13） 4）总时间为
123t t t t =++（14）
例7 某一作简谐运动的振子,从最大正向位移处开始计时,经1s 回复力的即时功率达到最大值,且在振动过程中即时功率数值（绝对值）最大的两位置间的距离为40cm ,振子质量
m 为1kg ．
1）试作出振子的振动图线；
2）求出t 从零时刻到第一次回复力的即时功率达到最大值时振子的动能k E 和这一过程中振子受到的冲量．
解：1）设振子作简谐运动的方程表示为 cos x A t ω= 则对任一位移x ,回复力可表示为
cos F kx kA t ω=-=- 速度为 sin v A t ωω=- 这样回复力的功率P 可表示为
2
2sin cos sin 22
k
P Fv k A t t A t ωωωωω===
当sin 21t ω=,即8t T =时,回复力的功率P 最大,由此得 8s T = 由题意可知,1s t =时,20cm x =,即 220cos
18
A π=⨯ 得
A = 这样,振子的振动方程表示为
()cm 4y t π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
故振子的振动图线如图所示． 2
）由2T = ()22
24N/m 16
m k T ππ== 则振动的能量为
-
()2
10.025J 2
E kA =
=总 因振动过程中总机械能守恒,故
2211
0.012522k E E kx mv =-==总
而 ()()1
N 0.157N s 20
I mv s π===
例8 如图（a ）所示,同一平面内三点： o A B 、、,在此面内放置一刚性杆,杆中点在o ,杆可在平面内绕o 点调节方位．杆上离o 点两边等距离的两点1S 和2S ．假设1S 和2S 两点处各有一振动方向相同,频率相同的波源,各向同性地向四周传播正弦简谐波．当杆在某一位置时,12S S 、传至A 点或B 点均产生波的叠加,若A 处振动最大时,B 处正好振动最小（近乎零）．在此情况下,求杆上1S 和2S 最小距离、杆的方位以及两波源振动的位相差．设oA oB 、远大于波长和杆长,AoB ψ∠=．
解：设杆上1S 和2S 的间距为l ,杆方向（1S 指向2S ）与oB 的方向（o 指向B ）夹角为
α,与oA 方向的夹角为ψα+,如图（a ）所示．设波源1S 的振动位相落后于波源2S 的振动
位相ϕ∆,因A 点离o 点很远,所以由1S 和2S 发出的波到达A 的波程差为
()cos l ψα∆=+ 两波抵达A 的相位差为 ()2cos A l π
ϕψαϕλ
∆=
++∆
同理,由1S 和2S 发出的波达B 点的相位差为 2cos B l π
ϕαϕλ
∆=
+∆
图（a ）
1
S B
图（b ）
2
S
1
S
为使A 处振动最大时,B 处振动最小,应有条件 ()21A B n ϕϕπ∆-∆=+ 即
()()2cos cos 21l
n πψααπλ+-=+⎡⎤⎣
⎦
利用三角公式改写为 ()22sin sin 2122l
n ψψπαπλ⎛
⎫-+=+ ⎪⎝
⎭ 解得1S 和2S 间距离 ()214sin sin
22n l λ
ψψα+=-
⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭
为使l 最小,有两种取法： 1）0,2
2
n ψ
π
α=+
=-
,由此得
min 14sin
2
2
2
l λ
ψ
ψ
π
αα=
==-
-
其中2
ψ
-
表示在AoB ∠的平分线上,再加2π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
表示12S S 的方向在图（a ）中角平分线方向再逆时针转
2
π
的方向．如图（b ）所示． 在这种情况下,为使A 处振动最大,应满足 2A k ϕπ∆= 即
()12cos 2l k π
ψαϕπλ
++∆=
因此,1S 和2S 两振动的位相差满足
()11cos 2222cos 22224sin 2
l k k k ψππϕϕππψαπππψλ⎛⎫- ⎪
⎝⎭
∆=∆=-+=-=-
2）1,2
2
n ψ
π
α=-+
=
,由此得
min 24sin
22
2
l λ
ψ
πψ
αα=
==
-
这种情况表示12S S 的方向在图（a ）中角平分线方向再顺时针转
2
π
的方向,即图（b ）中12S S 方向的反方向．即图（b ）中,1S 和2S 対调位置．
在这种情况下,为使A 处振动最大,应满足：2A k ϕπ∆= 即
()22cos 2l k π
ψαϕπλ
++∆=
得12S S 、两振动的位相差
()22cos 2222cos 22224sin 2
l k k k ψππϕϕππψαππ
πψλ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭∆=∆=-+=-=+
以上min l αϕ∆、、就是题文中所求．
例9 一平面简谐波向负y -方向传播,振幅为6m,圆频率6rad ωπ=,当2s t =时,距原点O 12cm 处的A 点的振动状态为3cm,0A A x v =>；而距原点22cm 处的B 点的振动状态为0,0B B x v =<,设波长10cm λ>,求波动方程（用余弦函数）表示并画出0t =时的波形图．
解：设波动方程为 6cos y x t v ωψ⎡⎤
⎛⎫=+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
B 点在2s t =时的状态为
226cos 620
2236sin 620
B B x v v v πψππψ⎡⎤
⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤
⎛⎫=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
故 226222
n v π
πψπ⎛
⎫+
+=+ ⎪
⎝
⎭ （1） A 点在2s t =时的状态为
126cos 623
1236sin 620
A A x v v v πψππψ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤
⎛⎫=-++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
故 126223
n v π
πψπ⎛
⎫+
+=- ⎪
⎝
⎭ （2） 因A B 、间的距离小于波长λ,所以（1）和（2）式中的n 应相等,由（1）减（2）式得 72c m s v = 将v 代入（1）式,ψ应在0到2π内取值,得 42,33
ππ
ψ=-或 故所求的波动方程为
46cos 6723y x t ππ⎡⎤⎛
⎫=+
- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
波长 224cm vT v π
λω
===
当0t =时,波形图如图所示．
例10 两辆汽车A 与B ,在0t =时从十字路口O 处以速度A v 和B v 沿水平的、相互正交的公路匀速前进,如图（a ）所示,汽车A 持续的以固定的频率0ν鸣笛,求在任意时刻t 汽车B 的司机所检测到的笛声频率．已知声速为u ,且当然有A B u v v >、．
解：如图所示,t 时刻汽车B 位于()B t 处,距O 点距离为B v t ,此时传播到汽车B 的笛声不是t 时刻而是较早时刻由A 车发出的,汽车A 发出此笛声时位于1()A t 处,距O 点的距离为
1A v t ,此笛声由发出点到接收点（t 时刻汽车B 所在点）所传播的路程为()1u t t -,由几何关
系可知
()()()2
2
2
11B A v t v t u t t +=-⎡⎤⎣⎦ （1）
即 ()()
2222222
1120A B u v t u tt u v t --+-=
这是以1t 为变量的一元二次方程,其解为
1A t t =
⎪⎝
⎭
由于222
A u u v >-,但1t t <,所以上式只能取减号
1A t t =
⎪⎝
⎭
（2）
1A
t t -=
（3）
A
图（a ）
A
图（b ）
令
k = （4） 有 2
21122
22,A A A
k v u k
t t t t t u v u v --=-=-- （5） 在1t 时刻,位于1()A t 处的汽车A 发出的笛声沿直线（即波线）()()1A t B t 在t 时刻传到
()B t 处,以()()1A t B t θθ、分别表示车速与笛声传播方向的夹角,有
()
()()()
1
21
2
1cos A A A t A v u k v t u t t u k v θ-==-- （6） ()
()()()
22
21cos B A B B t A v u v v t
u t t u k v θ-==-- （7） 令v 表示B 车司机接收到笛声的频率,由多普勒效应可知 ()()
10c o s c o s B B t A A t u v u v θννθ-=+ （8）
由（6）-（8）式,得
()2
2
2
2
22
0A
B A u v v
u v ν-
-=
例11 将一根长为100多厘米的均匀弦线,沿水平的x 轴放置,拉紧并使两端固定．现对离固定的右端25cm 处（取该处为原点O ,如图（a ）所示）的弦上一点施加一个沿垂直于弦线方向（即y 轴方向）的扰动,其位移随时间的变化规律如图预（b ）所示．该扰动将沿弦线传播而形成波（孤立的脉冲波）．已知该波在弦线中的传播速度为2.5cm/s ,且波在传播和反射过程中都没有能量损失．
1） 试在图（a ）中准确地画出自O 点沿弦向右传播的波在 2.5s t =时的波形图． 2） 该波向右传播到固定点时将发生反射,反射波向左传播,反射点总是固定不动的．这可看成是向右传播的波和向左传播的波相叠加,使反射点的位移始终为零．由此观点出发,试在图（a ）中准确地画出12.5s t =时的波形图．
3） 在图（a ）中准确地画出10.5s t =时的波形图．
解： 2.5s t =,10.5s t =和12.5s t =的波形如图（c ）所示．
其中10.5 s 时的波形,如果没有固定点应如AB 所示,以固定点D 对称作出反射波
''B C ,再和AC 合成,形成了AED 如图（d ）．12.5 s 的波形,如果没有固定点应如AB 所示,以固定点对称作出反射波''A B 如图（e ）．
图（a ）
图（b ）
图（c ）
图（e ）
图（d ）
例12 质量为m 的一系列小球用劲度系数为k 的相同的小弹簧等间距（间距为d ）地连成一排,如图所示．当左端小球作频率为ω的左右简谐振动时,此振动将自左向右逐一传播,使各小球相继作同频率、同幅度的振动,求振动状态的传播速度．
（设ω
解：这是一个弹性媒质中传播纵波的被简化了的物理模型．
由于小球间弹簧作用力的有限特性以及每个小球的惯性,左端小球的振动状态将逐一向右传播,右边小球的振动状态将逐一落后于左边小球的振动状态,即传播速度为有限值．又由于系统的对称性,每个小球的振动状态比其相邻左边小球的振动状态落后相同的相位,设为
ϕ∆．每个小球在各自平衡位置附近的振动频率相同．又因为无能量损耗,每个小球的振幅
均相等．因此,我们可以把第n 个小球的振动位移写成
cos()n x A t n ωϕ=-∆ （1） 其中,A 为振幅,ω为角频率．
与此同时,我们还可以写出第n 个小球的动力学方程：
()()()11112n n n n n n n n ma k x x k x x k x x kx +-+-=---=+- （2） 其中11,,n n n x x x -+为第1,,1n n n -+个小球在运动中的位移．第n 个小球在运动中受到相邻两小球间的弹性力作用（注意：这就是简化模型的特点,即第n 个小球不受较远小球的作用力,而且相邻小球间的作用力用弹性力近似．）将方程（1）代入动力学方程（2）,得
()(){}
()
2cos()
cos 1cos 12cos m A t n kA t n t n kA t n ωωϕωϕωϕωϕ--∆=-+∆+--∆--∆⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
其中已利用2
cos()n a A t n ωωϕ=--∆．再利用三角公式,整理得
()()()
()
2c o s ()2c o s c o s 2c o s 21c o s c o s m A t n k A t n k A t n k A t n ωωϕωϕ
ϕωϕϕωϕ--∆=-∆∆--∆=--∆-∆ （3）
为使（3）式在运动中任意时刻始终成立,即与时间t 无关,必须满足
m
m m m m m k k k k k 1
1
d
()221cos m k ωϕ=-∆ （4）
利用题文所给条件2
k
m
ω
,因而1cos 1ϕ-∆ ,则1ϕ∆ ．所以 ()2
11cos 2
ϕϕ-∆≈∆
代入式（4）得
ϕ∆=
位相落后可以确定振动时间上的落后,即
t ϕ
ω
∆==
因此,振动的传播速度为
d v t =
=∆ 由此,可以说明,质量越大（即惯性越大）,传播速度越慢：弹簧k 值越大（即弹簧越硬）,传播速度越快．
【训练题】
1、一根未被固定的质量为m 的匀质弹簧,在作用其一端的恒力F 作用下沿光滑水平面运动．若将此弹簧一端固定在天花板上悬挂起来,则弹簧此时长度比运动时短．如图所示,为使弹簧长度与恒力F 作用下水平运动时相等,问在弹簧下端应挂质量M 为多少的重物？
2、悬挂在同一高度的两根不可伸长的轻质绳,绳长均为l ,下面挂一质量为M 的光滑匀质薄平板．平板中央有一质量为m 的光滑小木块．开始系统处于静止悬挂状态,两绳互相平行．如图所示,而后在两绳平面内给平板一个小的水平速度0v ,此板即做小角摆动．求小摆动的周期．（提示,当θ很小时,有近似式2
1sin ,cos 12
θθθθ≈≈-）
F
M。