初中数学一题多解题

初中数学一题多解题

例题一、两个连续奇数的积是323，求出这两个数

方法一、

设较小的奇数为x,另外一个就是x+2

x(x+2)=323

解方程得：x1=17,x2=-19

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法二、

设较大的奇数x,则较小的奇数为323/x

则有：x-323/x=2

解方程得：x1=19,x2=-17

同样可以得出这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法三、

设x为任意整数，则这两个连续奇数分别为：

2x-1,2x+1

(2x-1)(2x+1)=323

即4x^2-1=323

x^2=81

x1=9,x2=-9

2x1-1=17,2x1+1=19

2x2-1=-19,2x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

方法四、

设两个连续奇数为x-1,x+1

则有x^2-1=323

x^2=324=4*81

x1=18,x2=-18

x1-1=17,x1+1=19

x2-1=-19,x2+1=-17

所以，这两个奇数分别是：

17、19，或者-17，-19

例题二、某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹌鹑蛋，共用去9.25元；如果买2个鸡蛋，4个鸭蛋，3个鹌鹑蛋，则共用去3.20元，试问只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需多少钱？

解：设鸡、鸭、鹌鹑三种蛋的单价分别为x 、y 、z 元，则根据题意，得

1359925

12433202x y z x y z ++=<>++=<>

⎧⎨⎩.. 分析：此方程组是三元一次方程组，由于只有两个三元一次方程，因而要分别求出x 、y 、z 的值是不可能的，但注意到所求的是x y z ++的代数和，因此，我们可通过变形变换得到多种解法。

1. 凑整法

解1：<>+<>123

，得5344153x y z ++=<>.

<>+<>23，得7735().x y z ++=

∴++=x y z 105. 答：只买鸡蛋、鸭蛋、鹌鹑蛋各一个，共需1.05元（下面解法后的答均省略） 解2：原方程组可变形为

134292522320

()().()().x y z y z x y z y z ++-+=++++=⎧⎨⎩ 解之得：x y z ++=105.

2. 主元法

解3：视x 、y 为主元，视z 为常数，解<1>、<2>

得x z =-0505..，y z =-055

05.. ∴++=+-+=x y z z z 05505105...

解4：视y 、z 为主元，视x 为常数，解<1>、<2>

得y x z x =+=-00512.，

∴++=+-+=x y z x x x 1052105..

解5：视z 、x 为主元，视y 为常数，解<1>、<2>

得x y z y =-=-00511

2..， ∴++=-++-=x y z y y y 005112105...

3. “消元”法

解6：令x =0，则原方程组可化为

5992543320051y z y z y z +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩

... ∴++=x y z 105.

解7：令y =0，则原方程组可化为

1399252332000511x z x z x z +=+=⎧⎨⎩⇒=-=⎧⎨⎩

.... ∴++=x y z 105.

解8：令z =0，则原方程组可化为

1359252432005055x y x y x y +=+=⎧⎨⎩⇒==⎧⎨⎩

.... ∴++=x y z 105.

4. 参数法

解9：设x y z k ++=，则

1359925124332023x y z x y z x y z k ++=<>++=<>++=<>

⎧⎨⎪⎩⎪..

∴<>-<>⨯123，得x y -=-<>0054.

<>⨯-<>332，得x y k -=-<>3325.

∴由<4>、<5>得332005k -=-..

∴=k 105.

即x y z ++=105.

5. 待定系数法

解10. 设

x y z a x y z b x y z a b x a b y a b z ++=+++++=+++++<>()()

()()()135924313254931

则比较两边对应项系数，得

1321541931121421a b a b a b a b +=+=+=⎧⎨⎪⎩⎪⇒==⎧⎨⎪⎪⎩

⎪⎪ 将其代入<1>中，得

x y z ++=⨯+⨯=⨯=12192542132121

2205105....

附练习题

1. 有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨；5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨。求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？（答案：24.5吨）

2. 有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需

3.15元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需

4.20元。问若购甲、乙、丙各1件共需多少元？（答案：1.05元）

平面几何

在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。

“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；

3、减弱条件，加强结论；

4、探讨命题的推广；

5、考查命题的特例；

6、生根伸枝，图形变换；

7、接力赛，一变再变；

8、解法的多变等。