余角和补角
余角和补角 课件
填空:我来试一试,我能行.
∠α 5° 45° x°
∠α 的余角 90°85 -°5°
45° ( 90-x)°
(角x为锐角)
∠α 的补角 18017°5°- 5 °
135°
( 180-x)°
通过本节课的学习，要求学生： 认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质．
几何语言表示为：
∠1=90° —∠2
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝ ∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ， 如果∠1＝∠３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
A
C A
1
C
2
O
B O
B
1.两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即 其中一个角是另一个角的补角.
2 11
几何语言表示为： 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.
∠1=180°-∠2
A
1
1
2
0
D
如图∠AOD = 90°
2 ∠1+∠2 = 90°
2.两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角， 简称互余，即其中一个角是另一个角补角相等
4 3
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
探究:余角和补角的性质. 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
六年级余角和补角知识点
六年级余角和补角知识点在学习角度计算的过程中，我们常常会涉及到余角和补角的概念。
理解和掌握余角和补角的知识点，对我们正确计算角度大小，解决与角度相关的问题具有重要意义。
本文将为大家详细介绍六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
一、余角的概念与计算方法余角是指一个角的补角与原角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的补角为角B，角A和角B的和为90度，则角B就是角A的余角。
例如，若角A的度数为40度，那么角A的补角角B的度数可以通过以下步骤计算得出：步骤1：计算角A和角B的和：40度 + 角B = 90度步骤2：解方程得出角B的度数：角B = 90度 - 40度 = 50度所以，角A的余角为50度。
二、补角的概念与计算方法补角是指一个角与其余角之间的角度关系。
具体计算方法如下：设角A的余角为角B，角A和角B的和为90度，则角A就是角B的补角。
以刚才的例子为例，角A的余角为50度，我们可以通过以下步骤计算角A的补角角度：步骤1：计算角A和角B的和：角A + 50度 = 90度步骤2：解方程得出角A的度数：角A = 90度 - 50度 = 40度所以，角A的补角为40度。
三、余角和补角的实际运用余角和补角的概念和计算方法在解决与角度相关的实际问题时扮演着重要角色。
例如，对于一个完全直角的角度问题，我们可以通过求解余角或补角来计算角度大小。
举个例子，一根绳子从地面往上拔起，形成了一个与地面垂直的直角，假设这个角度为角A。
我们可以通过求解角A的余角或补角来计算与地面平行的物体与绳子之间的角度关系。
如果角A的度数为60度，我们可以计算出角A的余角和补角分别为30度和150度。
那么与地面平行的物体与绳子之间的角度就确定下来了。
通过掌握余角和补角的知识点，我们能够更加准确地计算和解决与角度相关的问题，为我们的学习和实际生活带来便利。
总结：本文详细介绍了六年级余角和补角的概念、计算方法及实际运用。
通过了解余角和补角的概念和计算方法，我们能够准确计算角度大小，并在实际问题中灵活运用。
余角和补角课件
(1 180 2)
对应图形
性质
同角或等角的 余角相等
同角或等角的
补角相等
执教者：普迹中学
易鹏
第四章 图形初步认识
4.3.3 余角和补角
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
导入新课
2
1
讲授新课
一 余角和补角的概念
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这 定 义： 两个角互为余角(简称互余).
如图，可以说∠1是∠2的余角，也可以说∠2是∠1的余角.
图中给出的各角，那些互为余角？
合作 如图，∠1与∠2，∠3都互为补角， 交流 ∠2与∠3的大小有什么关系？
1
2 ∠2=180°－∠1
3
∠3=180°－∠1
结 论：
同角(等角)的补角相等
同角(等角)的余角相等
类似的可以得到：
课堂小结
互余 互补
两角间的
数量关系
1 2 90 (1 90 2)
1 2 180
15o
24o
46.2o
66o
43.8
o
75o 44o
3
1
4
定 义： 说这两个角互为补角(简称互补).
如果两个角的和等于180°(平角)，就
如图，可以说∠3是∠4的补角，也可以说∠4是∠3的补角.
3
图中给出的各角，那些o
60
o
80o
100o
120
o
150
o
o
170o
40
二 余角和补角的性质
中小学数学课件：余角和补角
课堂检测 3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式 中∠α与∠β互余的是 （ A ）
A．图①
B．图②
C．图③
D．图④
4.∠α=35°，则∠α的补角为__1_4_5__度．
课堂检测
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
C
(1) 图中有哪几对互余的角？
21
答案：∠A+∠B=90°，∠1+∠B=90°， A
巩固练习
(2)指出图中所有互余和互补的角． 解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与 ∠AOF；∠BOE与∠AOF. 互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE； ∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
探究新知
想一想
∠α
∠α的余角
5° 32° 45° 77° 62°23′ x°(0＜x＜90)
解：OE平分∠BOC，理由如下： 因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，
D
所以∠COD+∠COE=90°，
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD， A O
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
C E
B
巩固练习
如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与 ∠AOC互余的角有_∠__B__O_C__和___∠__A__O__D_.
x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
探究新知
素养考点 2 余角、补角、角平分线相结合的题目
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，
余角与补角
问题1：余角与补角的概念 问题2：余角与补角的性质
问题3：余角与补角的应用
2
1
如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为 余角(complementary angle) 其中一个角是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50
o
60o
40
o
80
o
4
3
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为 补角(supplementary angle) 其中一个角是另一个角的补角。 互余与互补是指两个
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互 余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相 等吗？为什么？
1
2
3
4
1
2
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互余；∠3与∠4互余， 所以∠2=90°-∠1；∠4=90°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里，我们 用到了“等 量减等量， 差相等”。
C
(∠1+∠B=90°, ∠1+∠2=90°)
1 B
2 A D
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
(∠B=∠2) （同角的余角相等） (∠A=∠1) （同角的余角相等）
判断下列说法是否正确
（1）30°，70°与80°的和为平角，所以这三个 角互补（× ） （2）一个角的余角必为锐角。 （√ ） （3）一个角的补角必为钝角。 （× ） （4）90°的角为余角。 （ × ） （5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有 关（× ）
角之间的数量关系，与 它们的位置关系无关。
《余角和补角》
在计算过程中，如果两个角度相加等于90度或180度，那么他们的补角就是90度或180度。
03
余角和补角的应用
在几何学中的应用
01
02
03
角度计算
在几何学中，余角和补角 的概念被广泛应用于角度 的计算，如证明平行线、 三角形内角和定理等。
三角形内切圆
余角和补角的概念与三角 形内切圆的性质密切相关 ，如内切圆的半径与三角 形各边的关系。
多边形内角和
多边形的内角和与外角和 的计算也涉及到余角和补 角的概念。
在物理学中的应用
光学
在光学中，反射定律、折射定 律等都与余角和补角有关。例 如，反射角等于入射角，入射
角的补角是反射角的余角。
力学
在力学中，余角和补角的概念可以 用于解决一些与角度变化相关的物 理问题，如物体运动的角度、力的 方向等。
计算方法
通过已知的一个角的度数，可以计算出它的余角的度数。方法是做减法，即已 知角减去90度。
例子
如果一个角是45度，则它的余角是90度减去45度，即45度。
余角的特殊情况
• 余角的特殊情况包括：余角的补角相等、余角与补角的和相等 、余角与补角的差相等。这些性质在解决几何问题时非常有用 。
02
补角
《余角和补角》
2023-11-09
目录
• 余角 • 补角 • 余角和补角的应用 • 余角和补角的实验 • 余角和补角的练习与巩固
01
余角
定义与性质
定义
如果两个角的度数之和为90度，则称这两个角互为余角。其 中一个角叫做另一个角的余角。
性质
余角的性质包括：等大、互补、反向延长线相交于一点。
余角的计算
04
余角和补角在生活中的应用
余角和补角在生活中的应用非常广泛，涉及到很多领域。
以下是一些具体的例子：
1. 几何学：在几何学中，余角和补角是描述两条射线或线段之间角度关系的概念。
例如，在建筑设计、工程制图和机器人的运动规划中，这些概念是非常重要的。
2. 摄影：在摄影中，摄影师经常使用补角来创造出特定的视觉效果。
例如，如果摄影师想要在照片中突出某个对象，他可能会使用补角来使该对象与其他对象形成对比。
3. 交通信号灯：交通信号灯中的红灯和绿灯之间的角度通常是90度，这意味着它们是补角。
这种设计可以帮助驾驶员更清楚地看到交通信号，并确保交通顺畅。
4. 建筑设计：在建筑设计中，设计师经常使用余角和补角来创造具有特定视觉效果的建筑外观。
例如，使用特定的角度或线条可以创建出具有艺术感的建筑设计。
5. 植物学：在植物学中，余角和补角的概念可以用来描述植物的叶子和花朵的排列方式。
例如，有些植物的叶子排列成一个特定的角度，这样可以更好地适应其生长环境。
综上所述，余角和补角在生活中的应用非常广泛，涉及到多个领域。
它们可以帮助我们更好地理解和描述事物之间的关系，并在各个领域中创造出具有特定效果的设计。
数学课件余角和补角
余角的性质包括角度和为90度、余角之间的角度差为90度等。余角的定理包括同 角或等角的余角相等、互补角的余角互为补角等。这些性质和定理是数学中关于 角度的基本规则，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
补角的性质和定理
总结词
补角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何问题具有重要意义。
计算公式
如果角A和角B互为补角，则它们 的度数之和为180度，即A + B = 180度。
实例
如果一个角是60度，那么它的补角 就是120度；如果一个角是90度， 那么它的补角就是90度。
余角和补角的综合计算
综合计算公式
如果一个角的余角和补角之和等于 180度，则这个角的度数为90度。
实例
如果一个角的余角是30度，它的补角 是150度，那么这个角的度数就是90 度。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
互补性和互余性是余角和补角的基本性质。如果两个角互为 余角或补角，则它们的角度互补或相等。此外，同角或等角 的余角或补角也相等。这些性质在几何学中非常重要，可用 于解决各种几何问题。
02
余角和补角的性质和定理
余角的性质和定理
总结词
余角的性质和定理是数学中关于角度的基本概念，对于理解几何图形和解决几何 问题具有重要意义。
解析
设这个角为x度，根据补角和余角的定义， 我们可以列出方程：180° - x = 2(90° - x)。 解这个方程可以得到x的值为60°。
余角和补角的综合练习题及解析
题目
已知一个角的余角是这个角的补角的 1/3，求这个角的度数。
解析
设这个角为x度，根据余角和补角的定 义，我们可以列出方程：90° - x = 1/3(180° - x)。解这个方程可以得到x 的值为45°。
余角和补角
一个浪打上礁石，海鸟惊逃，以为 是一次谋杀；一个浪扑上海滩，孩 子欢喜，以为是大海开出了鲜花。
同样的事物，有不同的感受。所以 世界是什么样子并不重要，重要的 是你的心灵是什么样子。
知识目标：
1.什么是互为余角 2.余角的性质 3.什么是互为补角 4.补角的性质
一、互为余角定义
拓展训练
已知∠ ACB 和∠ CDB是直角
那么图中有几对余角？
C
1 2
A D
B
如图：在田字格中，求 ∠ 1+ ∠ 2+ ∠ 3的和
A 1 2 D 3 B F C
走进中考
如图，已知AOB是一直线，OC是 ∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直 角，图中相等角有几对？互余的 角有几对？互补的角有几对？
180°－X
归纳：一个角的补角比它的余角 大 90°。
必会题 范例讲解 已知一个角的补角是它的余角 的4倍，求这个角的度数。
下图是一副三角板
图（1）中有几对互余的角?
能力提升
图（2）中有几对互补的角?
（1）
（2）
今天我们学了什么？
余角、补角的定义： （1） 和为90°的两个角称互为余角； （2） 和为180°的两个角称互为补角； 余角、补角的性质： （1） 同角或等角的余角相等； （2） 同角或等角的补角相等；
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30
o
60
o
80o
(1)
(2)
(3)
(4)
100o 120
o
150
o
170o
(5)
同角或等角的补角相等
知识的运用
∠
15° 62°20 ′
人教版数学七年级上册 4.余角与补角课件(24张)
已知一个角的补角是它的3倍,这个角是多度?
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180－x)° 由题意得180－x=3x 解得 x = 45 则这个角的度数为45°
变式训练: 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个 角的度数
探究:余角和补角的性质 如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ， 如果∠1＝∠３，那么∠2与∠４相等吗？为 什么？
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
注意点
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的 度数和有关，与位置无关。
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是 90 ，补角是 180 ,
同一个锐角的补角比90余。角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
•
2.对于这种能力，人们普遍存在一种 疑问， 即为什 么只有 一部分 人会发 生联觉 现象。 一些人 用基因 来解释 这个问 题。有 研究者 已经注 意到， 如果一 个家族 中有一 人具有 联觉能 力，那 么很可 能会出 现更多 这样的 人。
•
3.科学研究指出，联觉现象大多出现 在数学 较差的 人身上 ，此外 ，左撇 子、方 向感较 差以及 有过预 知经历 的人也 通常会 出现联 觉现象 。也有 人认为 ，联觉 能力与 一个人 的创造 力有关 ，许多 著名的 科学家 和艺术 家都具 备联觉 能力。
DC
E
1
23 4
A
O
B
人教版数学七年级上册 4 . 3 . 3余角与补角课件( 共2 4 张P PT)
小结
互余
互补
两角间 1 2 90 1 2 180
《余角和补角》 讲义
《余角和补角》讲义一、引入在我们的日常生活和数学学习中，角是一个非常重要的概念。
而今天，我们要一起来探讨角的两个特殊关系——余角和补角。
想象一下，你正在观察一个直角三角形，其中一个锐角和另一个锐角之间似乎有着某种特别的联系。
又或者当你把一个角的度数与另一个角的度数相加，会得到一些有趣的结果。
这就是余角和补角所带来的奇妙之处。
二、余角的定义余角，简单来说，如果两个角的和是直角（90 度），那么我们就称这两个角互为余角。
例如，一个角是 30 度，那么它的余角就是 60 度，因为 30 度＋ 60 度＝ 90 度。
为了更好地理解余角，我们可以通过一些实际的例子来感受。
比如在一个直角三角形中，两个锐角就是互为余角的关系。
我们可以用数学式子来表示余角的关系：如果角 A 和角 B 互为余角，那么∠A ＋∠B ＝ 90°。
三、余角的性质假设角 A 是一个锐角，它的余角是角 B，那么∠A ＋∠B ＝ 90°。
如果还有一个角 C 也是角 A 的余角，即∠A ＋∠C ＝ 90°，由此可以得出∠B ＝∠C，这就说明了同角的余角相等。
2、等角的余角相等如果角 A ＝角 D，角 B 是角 A 的余角，角 C 是角 D 的余角，因为角 A ＋角 B ＝ 90°，角 D ＋角 C ＝ 90°，又因为角 A ＝角 D，所以角 B ＝角 C，这就证明了等角的余角相等。
四、补角的定义与余角类似，如果两个角的和是平角（180 度），那么这两个角互为补角。
比如说，一个角是 120 度，那么它的补角就是 60 度，因为 120 度＋ 60 度＝ 180 度。
同样可以用数学式子来表示：如果角 M 和角 N 互为补角，那么∠M ＋∠N ＝ 180°。
五、补角的性质1、同角的补角相等若角 P 有补角角 Q，且∠P ＋∠Q ＝ 180°，另有角 R 也是角 P 的补角，即∠P ＋∠R ＝ 180°，则可推出∠Q ＝∠R，证明了同角的补角相等。
余角和补角(57张PPT)数学
14
15
16
17
9.一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍，则比这个角小15°32′的角的度数是________.
24°28′
解析 设这个角为x°，则它的余角为90°－x°，补角为180°－x°，根据题意，得180°－x°＋10°＝3×(90°－x°)，解得x＝40，40°－15°32′＝24°28′.
14
15
16
17
解析 ∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
∴∠MOC与∠NOC互余，∠MOA与∠NOC互余，∠MOC与∠NOB互余，∠MOA与∠NOB互余，故选A.
14.如图，∠AOB与∠COD都是直角，∠AOD＝140°21′，则∠COB＝________°.若∠AOD＝α，则∠COB＝__________.
解 如图所示，∠BOC与∠BOC′即为所求；
(2)在(1)的条件下，若OP是∠AOC的角平分线，直接写出∠AOP的度数(不需要计算过程).
解 ∵∠AON＝45°，∠BON＝30°，∴∠AOB＝75°，∵∠BOC与∠AOB互余，∴∠BOC＝15°，∴∠AOC＝90°或60°，∵OP是∠AOC的角平分线，∴∠AOP＝45°或30°.
解 当∠AOD＝α时，∠DOE＝90°.
解
归纳总结 本题考查了余角和补角以及角平分线的定义；熟练掌握两个角的互余和互补关系是解决问题的关键.
例2 (教材例2变式训练)一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，则这个角的度数为________.
余角补角
3、判断题：
(1)一个角的补角必定是钝角. (2)一个角的余角必定是锐角. （ (
）3;∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为 补角. （ ） (4)若∠1= 180°− ∠2,则∠1与∠2互为补角. ( )
4、比一比，看谁填得快：
角α α的余角 75° 48° 27°37` α的补角 165° 138° 117°37`
5°
85°
§4.3.3余角和补角
如果两个角的和等于90°，就说这两个 角互为余角，其中一个角是另一个角的 余角．
2 1
几何表达式： ∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠1与∠2互为余角．
如果两个角的和等于180°，就说这两个 角互为补角，其中一个角是另一个角的补 角．
2
1
几何表达式： ∵∠1＋∠2＝180°， ∴∠1与∠2互为补角．
巩固练习：
1、图中给出的各角中，哪些互为余角？ 哪些 互为补角？
80 10 100 120 30 60
150
170
2、看图回答：
如图，点O为直线AB上一点， ∠BOC = 90°,OD是∠AOC A 内的一条射线.
D
C
O
B
∠AOD ∠DOC (1)图中互余的角是__________与___________. ∠AOD ∠BOD ∠AOC ∠BOC (2)图中互补的角是_______与_______;_______与______.
同角（等角）的补角 相等
1、互为余角、互为补角是两个角 之间的数量关系，与位置无关； 2、等角的余角相等，等角的补角 相等是证明角等的重要方法.
1、已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求 这个角的度数.
解: 设这个角为 x °,则这个角的余角是 (90 – x) °,补角是 ( 180 – x ) ° 依题意,得 180 – x = 4 ( 90 – x )
补角和余角的定义两者是什么意思
补角和余角的定义两者是什么意思补角和余角是在几何学中常用的术语，用来描述两角之间的关系。
它们有着不同的定义和含义，下面将详细介绍并比较这两个概念。
一、补角的定义在平面几何中，两个角互为补角是指它们的和等于90度。
换句话说，如果角A和角B是补角，那么A + B = 90°。
具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为90度减去x度，即90° - x°。
同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为90° - y°。
因此，两个角互为补角时，它们的度数之和等于90度。
例如，如果角A的度数为30°，那么角B的度数为90° - 30° = 60°；反之亦然，如果角B的度数为60°，那么角A的度数为90°- 60°= 30°。
因此，角A和角B互为补角。
二、余角的定义与补角不同，余角是指两个角之间的差等于90度。
换句话说，如果角A和角B是余角，那么A - B = 90°。
具体来说，如果角A的度数为x度，那么角B的度数为x度减去90度，即x° - 90°。
同理，如果角B的度数为y度，那么角A的度数为y度加上90度，即y° + 90°。
因此，两个角互为余角时，它们的度数之差等于90度。
例如，如果角A的度数为60°，那么角B的度数为60°- 90°= -30°；反之亦然，如果角B的度数为-30°，那么角A的度数为-30° + 90° = 60°。
因此，角A和角B互为余角。
补角和余角的区别：1. 补角和余角的定义不同：补角是和为90度，而余角是差为90度。
2. 补角的度数之和始终等于90度，而余角的度数之差始终等于90度。
3. 补角或余角可以是正角，也可以是负角，取决于原始角的度数。
余角和补角的性质
余角和补角的性质
余角的性质是同角或者等角的余角相等。
补角的性质是同角或者等角的补角相等。
在平面几何的证明题的时候，一般用余角的性质或者补角的性质来证明两个角相等。
比如如果角1+角2=90度，角2+角3=90度，那么角1=角3。
再比如如果角a+角B=180度，角B+角C=180度，那么角a=角C。
余角和补角的概念
如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角。
如果两个角的和等干180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。
这是角里面两个特殊的性质。
是数学界永恒不变的。
所以补角和余角的性质只差一个90度。
因为直角与平角也是有概念的，所以余角和补角的概念是由直角与平角延伸出来的。
因为两个直角相加在一起，就等于平角。
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∠∠BBOOEE++∠∠AAOODE==9108°0° ∠CBOE+∠ACOED=19800°° ∠∠CBOOED++∠∠AAOODD==9108°0° ∠BCODE+∠COD=9108°0° ∠BOC+∠AOC=180°
E
C
D
B
O
A
已知O为直线AB上一点，OE平分∠AOC，OF平分 ∠COB, 求∠EOF的大小.
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
B北
70°
西A
东
北偏东70°
方位角都是锐角
南
北偏西20°
顶点是观测点
边:南(北)射线 边：观测点的视线
说出下列各图中点B在点A的什么方向.
北
北
北
西
东
A 30°
B 南
南偏东60°
西
东
A
A
西
东
45°
B
B
南
南
西南方向
正南方向
如图，射线OA表示的
方向是_北_偏__西____; 25°
∠AOC+∠COB=90° ∠BOD+∠COB=90°
A
∠AOB+∠COD=180° ∠AOD+∠COB=180° ∠AOB=∠COD ∠AOC=∠BOD
C B
O
D
2、如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA ，OE 平分∠COB， ① ∠COB +∠ AOC= 180 °,∠ EOD= 90 °。 ②图中互余角有 4 对，互补角有 5 对。
12
3
4
同角或等角的余角相等
解：∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90° ∴ ∠2=90°－∠1 ， ∠4=90°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ 90°－∠1 =90°－ ∠3 即：∠2 =∠4
1、如图，∠AOB=∠COD=90°，图中互余角有 2 对，互 补角有 2 对,相等的角有 2 对.分别把他们列出来。
解：∵ OE平分∠AOC，OF平分∠COB，
∴∠EOC=
1 2
∠AOC，∠COF=12
∠COB E
C
F
∵∠AOB=∠AOC+∠COB=18
0∴°∠EOF=∠EOC+∠COF
A
O
B
= 1∠AOC+1 ∠COB
2
2
= （1 ∠AOC+∠COB)
2
=90°.
E 西
C F
北 D
正东：射线 OA
H
正南：射线 OB
射线OB表示的方向是
_南__偏__东____; 60° 射线OC表示的方向是
__西_南__方__向__.
A
北
25°
西
东
O
45° 60°
c
南
B
1. 如图，货轮 O在航行过程中,发 现灯塔A在它南偏东 60°的方向上,同时 ,在它北偏东40°、 南偏西10°、西北( 即北偏西45°)方向
上又分别发现了客
解：设这个角是x °，则它的补角是(180－x°), 余角是(90°－x°) ,根据题意得： （180－x）= 4 (90－x) 解得： x = 60 答：这个角的度数是60 °.
补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠ ３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
21
43
同角或等角的补角相等
互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关。
二、判断题： 1、90度的角叫余角，180度的角叫补角。 ✘ 2. 如果1 2 3 900 ,则1,2,3互为余角。✘ 3、如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角。 ✘ 4、互补的两个角不可能相等。 ✘ 5、钝角没有余角，但一定有补角。 ✔ 6、互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余。✘ 7.如果A 250 ,B 750 ,那么A与B互为余角。✘ 8. 如果 A x0 ,B (90 x)0 ,那么A与B互余。✔
∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180°, ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠ ３,那么∠2与∠４相等吗？为什么？
21
43
同角或等角的补角相等
解：∵ ∠1 +∠2=180°， ∠3 +∠4=180° ∴ ∠2=180°－∠1 ， ∠4=180°－ ∠3 ∵ ∠1 =∠3 ∴ 180°－∠1 =180°－ ∠3 即：∠2 =∠4
轮B、货轮C和海岛
D. 仿照表示灯塔方
位的方法画出表示
客轮B、货轮C和海
岛D方向的射线.
北
B
D 45°40°
O
西
●
东
60°
10°
●A
C南
方位角都是锐角
钝角和直角都没有余角
填空:
∠α 5° 32° 45° 77°
62°23′
x
∠α的余角 85° 58° 45° 13°
27°37′
90°- x
∠α的补角 175° 148° 135° 103°
117°37′
180°-x
同一个角的补角比它的余角大90度
例1:若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这 个角的度数。
余角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠ ３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
12
3
4
同角或等角的余角相等
∵ ∠1 +∠2=90°， ∠3 +∠4=90°, ∠1 =∠3
∴ ∠2 =∠4
余角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４互余 ，如果∠1＝∠ ３，那么∠2与∠４相等吗？为什么？
余角和补角
学习目标
1、理解和掌握余角和补角的定义； 2、会求出一个角的余角和补角； 3、理解掌握和运用余角和补角的性质
互为余角 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角
叫做互为余角，其中一个角是另一个角的余角。
互为补角 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫
做互为补角，射线 OC 正北：射线 OD
O
45°45°
A 东 西北方向：射线 OE 西南方向：射线 OF
G
东北方向：射线 OH
B 南
东南方向：射线 OG
定义 方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之 间的夹角称为方位角，一般以正北、 正南为基准，用向东或向西旋转的角 度表示方向
书写 通常要先写北或南，再写偏东或偏西