圆和圆的位置关系-数学习题及答案

一.内容：

圆和圆的位置关系

二. 教学目标：

1. 使学生掌握圆与圆的五种位置关系的定义、性质及判定方法。

2. 使学生掌握两圆连心线的性质。

3. 通过演示两圆的位置关系，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力；培养学生的辩证唯物主义观点。

三. 教学重点和难点：

两圆的五种位置与两圆的半径、圆心距的数量之间的关系既是重点也是难点。

四. 教学过程：

（一）复习：

直线和圆有几种位置关系？各是怎样定义的？

直线和圆有三种位置关系，即直线和圆相离、相切、相交。各种位置关系是通过直线与圆的公共点的个数来定义的。

（二）新课

电脑演示，做两圆的相对运动。

1、定义：

（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。

外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1））内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6））

（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切

外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2））

内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4））

（3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3））

注意：

（1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。

（2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。

（3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。

提问：从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有其它关系吗？可能不可能有三个公共点？

答：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合。

结论：在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。

2、两圆位置关系的数量特征

设两圆半径分别为R和r。圆心距为d，用电脑或投影再次出示两圆的五种位置关系，让学生观察R，r和d之间有何数量关系？

学生很可能只说出d＞R-r，则应向学生说明，这时两圆还可能外切或外离，如果只说出d＜R+r，则还可能内切或内含。结合上图会发现R，r和O1O2构成△AO1O2的三边。所以只有R-r＜d＜R+r时。才能判定两圆相交。反过来也成立，于是有：

为了方便记忆，将这五种数量关系用数轴表示为：

例：如图，⊙O的半径为5厘米，点P是⊙O外一点，OP=8厘米。

求：（1）以P为圆心作⊙P与⊙O外切，小圆⊙P的半径是多少？

（2）以P为圆心作⊙P与⊙O内切，大圆⊙P的半径是多少？

解：（1）设小圆⊙P与⊙O外切于点A，则

PA=OP－OA

=8－5

=3cm

所以⊙P1的半径是3cm

（2）设大圆⊙P与⊙O内切于点B，则

PB=OP+OB

=8+5

=13cm

所以⊙P2的半径是13cm

3、相切两圆的性质。

P109思考

观察发现：相切两圆也组成轴对称图形，通过两圆圆心的直线叫连心线，是它们的对称轴

相切两圆的连心线的性质：

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。（轴对称来说明，证明可用反证法，不作要求）例：如图，已知，⊙O1和⊙O2外切于P，并且⊙O和⊙O1、⊙O2分别内切于M、N，

△O1O2O的周长为18cm。求：⊙O的半径长。

解：设⊙O、⊙O1、⊙O2的半径分别为R、r1、r2

∵⊙O1和⊙O2相外切

∴O1O2=r1+r2

又⊙O和⊙O1、⊙O2分别相内切

∴O1O=R－r1，O2O=R－r2。

△O1O2O的周长为18cm即

O1O2+O1O+O2O=（r1+r2）+（R－r1）+（R－r2）=18。

∴R=9（cm）

例：⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，求证：直线O1 O2垂直平分AB。

证：连接O1A、O1B、O2A、O2B

∵O1A= O1B

∴O1在AB的垂直平分线上

∵O2 A=O2B

∴O2在AB的垂直平分线上

∵直线O1 O2垂直平分AB

总结：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

例：已知：两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A ，B 两点，⊙O 1经过点O 2。求∠O 1AB 的度数

解：∵圆O 1经过O 2 A O A O O O 2121==∴ ∴∠O 1AO 2=60°

∵O 1A=O 1B ，O 2A=O 2B OB OA AB O O 21=⊥∴

∴∠O 1AB=21

∠O 1AO 2=30°

在解决有关相交两圆的问题时，常常添加以下几种辅助线：连心线、公共弦、连结交点与圆心。从而可以把两圆半径、公共弦长的一半、圆心距集中到同一个三角形中，利用三角形的有关知识加以解决。

连结∴O 1O 2∥CD ， ∴∠C=∠AO 1O 2。 又∵O 2A=O 2O 1，

∴∠O 2A O 1=∠AO 1O 2， ∴∠C=∠O 1AO 2， ∴DA=DC 。

例：相交两圆的公共弦长为6，若两圆半径分别为8和5，则两圆的连心线为________？ 解：①圆心在公共弦两侧

B O A O B O A O 2211==， 21O O ∴为AB 的垂直平分线

55C O 1=∴

455O O 4

C O 3

AC 5A O 2122+=∴=∴==， ②圆心在公共弦同侧

C O 1

O 2

B

A

同①

455C O C O O O 4

C O 55

C O 212121-=-=∴==

O 1于D （1（2*两圆相交，通常连公共弦，把两圆中的边和角连接起来。

B E

D

O 1

C

O 2

A

∴∴（2）法一：∵AD 是圆O 1的直径 ∴点O 1为AD 中点，连O 1O 2