最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解

最新九年级数学求二次函数解析式专题讲解

类型一利用“三点式”求二次函数解析式

1.已知一个二次函数的图象经过A(0,-1)、B(1,5)、C(-1,-3)三点.

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)用配方法把这个函数的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式.

解析(1)设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),

-

根据题意得

--

解得

-

所以这个二次函数的解析式为y=2x2+4x-1.

(2)y=2x2+4x-1=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3.

2.已知二次函数的图象经过点(0,3)、(-3,0)、(2,-5).

(1)试确定此二次函数的解析式;

(2)请你判断点P(-2,3)是否在这个二次函数的图象上.

解析(1)设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c, 将(0,3)、(-3,0)、(2,-5)代入y=ax2+bx+c,得

解得--

∴此二次函数的解析式是y=-x2-2x+3.

(2)当x=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3,

∴点P(-2,3)在这个二次函数的图象上.

3.已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).

(1)求抛物线的表达式;

(2)设点D是抛物线上一点,且点D的横坐标为-2,求△AOD的面积. 解析(1)把A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y=ax2+bx+c得-

-

解得-

-

∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

(2)把x=-2代入抛物线的解析式得y=5,即D(-2,5),

∵A(3,0),∴OA=3,

∴S△AOD=×3×5=.

类型二利用“顶点式”求二次函数解析式

4.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点坐标为(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么该抛物线的解析式是()

A.y=-2x2+8x+3

B.y=-2x2-8x+3

C.y=-2x2+8x-5

D.y=-2x2-8x+2

答案C根据题意,设该抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3(a≠0),因为该抛物线经过点(3,1),所以a+3=1,a=-2.所以抛物线的解析式为y=-2(x-2)2+3=-2x2+8x-5.故选C.

5.已知二次函数y=ax2+bx+c中,函数值y与自变量x的部分对应值如

下表:

x …-1 0 1 2 3 …

y …10 5 2 1 2 …

(1)求该函数的表达式;

(2)当y<5时,x的取值范围是.

解析(1)由题意得二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,1), 设函数的表达式为y=a(x-2)2+1.

由题意得函数的图象经过点(0,5),

所以5=a·(-2)2+1.

所以a=1.

所以函数的表达式为y=(x-2)2+1(或y=x2-4x+5).

(2)由所给数据可知二次函数图象的对称轴为x=2,

∴(0,5)和(4,5)均在该函数图象上.

∴当y<5时,对应的x的范围为0

故答案为0

6.已知二次函数图象的顶点坐标为(2,-2),且经过点(3,1),求此二次函数的解析式,并求出该函数图象与y轴的交点坐标.

解析根据题意,可设二次函数的解析式为y=a(x-2)2-2(a≠0),

把(3,1)代入y=a(x-2)2-2,得a(3-2)2-2=1,

解得a=3,

所以二次函数的解析式为y=3(x-2)2-2.

当x=0时,y=3×4-2=10,

所以该函数图象与y轴的交点坐标为(0,10).

类型三利用“交点式”求二次函数解析式

7.如图22-5-1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(1,0),B(4,0),C(0,3)三点,求抛物

线的解析式.

图22-5-1

解析根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-4)(a≠0),把C(0,3)代入得a·(-1)×(-4)=3,解得a=,所以抛物线的解析式为y=(x-1)(x-4),即y=x2-x+3.

8.已知关于x的二次函数的图象与x轴交于(-1,0),(3,0)两点,且图象过点(0,3).

(1)求这个二次函数的解析式;

(2)写出它的开口方向、对称轴.

解析(1)∵二次函数的图象交x轴于(-1,0),(3,0)两点,

∴设该二次函数的解析式为y=a(x-3)(x+1)(a≠0).

将(0,3)代入,得3=a(0-3)×(0+1),

解得a=-1,

∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),

即y=-x2+2x+3.

(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

∴这个函数的图象的开口向下,对称轴为直线x=1.

9.已知二次函数y=ax2+bx+c过点A(1,0),B(-3,0),C(0,-3).

(1)求此二次函数的解析式;

(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6,求点P的坐标.(写出详细的解题过程)

图22-5-2

解析(1)根据题意,可设抛物线的解析式为y=a(x-1)·(x+3)(a≠0),

把C(0,-3)代入得a×(-1)×3=-3,

解得a=1,

所以这个二次函数的解析式为y=(x-1)(x+3)=x2+2x-3.