第二章过程特性及其数学模型

二、时间常数T
t
h KA(1 e T ) Q1
将t=T代入上式
A
h(T ) KA(1 e1) 0.632KA 0
h(T ) 0.632h()
h
h(∞)
当对象受到阶跃输入作用后， 0.632h(∞)
输出达到新的稳态值的63.2% 0
所需的时间,就是时间常数。
T
t
100%
t
当对象受到阶跃输入作用后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳定值所需的时间。
第二章 过程特性及其数学模型
第一节 化工过程的特点及其描述方法 第二节 对象数学模型的建立 第三节 描述对象特性的参数
第一节 化工过程的特点及其描述方法
一、对象特性 所谓对象特性是指被控对象的输出随输入及时间变化 的特性。
被控对象的输出量是
干扰
自动控制系统的被控变量。
操纵变量
被控变量
输入量
干扰 操纵变量
T
dh dt
h
KQ1
解微分方程得
t
h KQ1(1 e T )
当对象受到阶跃变化Q1=A
Q1
输出h是如何变化的。如图
A
t
0
h KA(1 e T )
h
t
当t →∞时，
h(∞)
h(∞)=KA 或 K=h(∞)/A
0
t1
t
放大系数，是对象的静态参数
储槽的阶跃响应曲线
意义： 1.放大系数的大小可以说明对象的灵敏度； 2.K大灵敏度高，稳定性下降； 3.K等于常数，是线性对象。
Q2
Rs
水位从h1上升到h2
Q1
dV h2 h1 dh A
A—水槽截面积 将dV代入
0 h
t1
t
h2
(Q1 Q2 )dt Adh
h1
t
t1
Q2
h Rs
Rs—阀的阻力
h 代入上式 (Q1 Rs )dt Adh
整理得
ARs
dh dt
h
RsQ1
令：T=ARs K=Rs
所以
T
dh dt
h
KQ1
t
h KQ 1 e T
dh KQ
dt t0 T
h
h
t
t
T
由此可见，时间常数越小，输出的变化快，达到新的 稳态值所需的时间也越短。
意义： 1.了解对象的惯性，变化的快慢； 2.T小，输出变化速度快，调节速度也快。反之T大变
化速度慢，调节速度也慢。因此，时间常数大对控 制不利；
3.时间常数T是一动态参数。
对象
图2-1 对象的输入输出量
控制通道：操纵变量至被控变量的信号联系。 干扰通道：干扰作用至被控变量的信号联系。
所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述 出对象输入量与输出量之间的关系——数学建模。
二、数学模型的表示方法： 1.非参量模型：用曲线、图表表示系统的输入与
输出量之间的关系。
2.参量模型：用数学方程式表示的系统输入与输 出量之间的关系。
输 入
y
t
t τ0 τn 反应器温度控制系统
—n 容量滞后
τ
所以滞后时间 0 n
纯滞后和容量滞后尽管本质不同，但实际上很难区分， 两者同时存在时，常常把两者合起来统称滞后时间。
意义： 1.表示对象的惰性； 2.τ大时控制困难。 四、根据阶跃响应曲线作图求特性参数K、T和τ
Q1
加料量
0 浓度
7．试述实验测取对象特性的阶跃反应曲线法和矩 形脉冲法各有什么特点？
8．反映对象特性的参数有哪些？各有什么物理意 义？它们对自动控制系统有什么影响？
9．为什么说放大系数K是对象的静态特性？而时间 常数T和滞后时间ζ是对象的动态特性？
10．对象的纯滞后和容量滞后各是什么原因造成的 ？对控制过程有什么影响？
储槽的阶跃响应曲线
0
纯滞后特性
滞后时间 示意图
习题与思考题
1．什么是对象特性？为什么要研究对象特性？ 2．何谓对象的数学模型？静态数学模型与动态数学
模型有什么区别？ 3．建立对象的数学模型有什么重要意义？ 4．建立对象的数学模型有哪两类主要方法？ 5．机理建模的根据是什么？
6．何谓系统辨识和参数估计？
其中时间t的取值范围为t≥2
三、滞后时间τ 定义：对象的输入变化后，到控制发生作用时所用
的时间。 传递滞后又叫纯滞后，一般用τ0表示。
加料量
图2-19
t 浓度
0
t
τ0
图2-19 纯滞后特性
比较两条响应曲线，它们除了在时 间轴上前后相差一个ζ的时间外，其 他形状完全相同。 表示成数学关系式为：
对象特性为一阶微分方程式： 无滞后 有滞后
表示RC电路特性的微分方程式：
方程的解为： eo ei (1 e t / RC )
e0的变化曲线如下：
13.已知一个简单水槽，其截面积为0.5m2，水槽中 的液体由正位移泵抽出，即流出流量是恒定的。 如果在稳定的情况下，输入流量突然在原来的基 础上增加了0.1m3/h，试画出水槽液位Δh的变化 曲线。
该水槽具有积分特性，如果以h、Q1分别表示液位 和流入量的变化量，那么就有：
带入已知量，得到h和t之间的函数关系：
h(t) 0.2t
水槽随时间的变化曲线：
14.为了测定某重油预热炉的对象特性，在某瞬间（假定为 t0 =0）突然将燃料气量从2.5t/h增加到3.0/h，重油出口 温度记录仪得到的阶跃反应曲线如图2-25所示。假定该 对象为一阶对象，试写出描述该重油预热炉特性的微分方 程式（分别以温度变化量与燃料量变化量为输出量与输入 量），并写出燃料量变化量为0.5t/h时温度变化量的函数 表达式。
该对象为具有纯滞后的一阶对象，由图可知放 大系数为：
K 150 120 60 （℃h/t） 3.0 2.5
一阶对象的输出响应：
带入数据，可得： 解此方程： 由于有纯滞后时间： 系统的微分方程为：
当燃料的变化量为0.5t/h时，其输出温度变化量的函数 表达式为：
t
t2
t2
KA(1 e T ) 60 0.5(1 e 3.35 ) 30(1 e ) 3.35
一阶常系数微分 方程
代入边界条件解微分方程
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h KQ1(1 e T )
h h2
0
t1
t
储槽的阶跃响应曲线
3.实验建模
1）阶跃响应曲线法
Q1 B
2）矩行脉冲法
Q1
A
0
t
t
h
y
0
t1
t
图2-9 储槽的阶跃响应曲线
t
矩形脉冲特性曲线
第三节 描述对象特性的参数
一、放大系数K
水槽对象的输入与输出的关系。得微分方程式。K称 为放大系数，
三、对象动态特性的研究方法
1.理论分析 根据系统工艺实际过程的数质量关系，分析计算 输入量与输出量之间的关系。
2.实验研究 需要在实际系统或实验系统中，通过一组输入,来 考察输出的跟随变化规律—反映输入与输出关系 的经验曲线和经验函数关系。
第二节 对象数学模型的建立
一、 机理建模法 机理法建摸就是根据生产过程的内在机理，写出各
种有关平衡方程式。如物料平衡方程式、能量平衡
方程式等。 1、一阶对象（单容对象）
举例
1
Q1
如图所示为一液体储槽对象
其静态方程
Q1 Q2
h
2 Q2
Rs
h为一不变的常数。用微分方程来
描述对象往往着眼于变化量。
当在某一时刻t1到t2这段时间内Q1
Q1
发生变化，Q1＞Q2，这时流入水
槽水量为
h
dV (Q1 Q2)(t2 t1) (Q1 Q2)dt
11．已知一个对象特性是具有纯滞后的一阶特性， 其时间常数为5，放大系数为10，纯滞后时间为2 ，试写出描述该对象特性的一阶微分方程式。
无滞后
有滞后
一阶微分方程式：
5 dy(t 2) y(t 2) 10x(t) dt
12.如图2-3所示的RC电路中，已知R=5，C=2。 试画出ei突然由0阶跃变化到5V时的eo变化曲线 ，并计算出t=T、t=2T、t=3T时的eo值。