1921正比例函数案.doc
11.2.1正比例函数(优质课教案)
11.2.1 正比例函数（优质课教案）一、教学目标1.能够理解正比例函数的定义，并能够根据定义筛选出函数中的正比例关系；2.能够通过图像和表格的方式表示正比例函数；3.能够根据给定的数据和框图绘制出对应的正比例函数图像。
二、教学准备1.讲义、课本；2.黑板、白板、彩色笔；3.学生练习册。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过生活中实际例子引入正比例函数的概念，如物体运动的速度与时间的关系、购买图书的单价与数量的关系等，让学生感受到正比例函数在生活中的应用。
2. 概念讲解（10分钟）通过板书和讲解，对正比例函数进行概念的讲解，包括定义、表达方式等。
强调正比例函数中的常数比例关系，即函数的解析式为 y = kx，k为常数。
3. 示范练习（20分钟）通过一些例题的讲解和解答，让学生理解如何筛选出正比例函数，并能够找到解析式中的常数k。
要求学生用图像和表格的方式表示正比例函数，并指导学生如何绘制图像。
4. 学生练习（25分钟）让学生在练习册上练习相关的习题，要求学生使用正确的方法和步骤解答问题，并要求学生通过图表绘制出函数的图像。
5. 提问讨论（10分钟）选择一些典型的习题，提问学生如何判断是否为正比例函数，并让学生用自己的语言解释正比例函数的概念。
鼓励学生积极思考和提问，加深对正比例函数的理解。
6. 小结（5分钟）对本节课内容进行小结，强调正比例函数的定义、特点和表达方式，并鼓励学生进行课后的巩固练习。
四、教学反思本节课通过引入生活中的实际例子，让学生对正比例函数有了初步的了解。
通过示范练习和学生练习，让学生掌握了筛选正比例函数的方法和绘制函数图像的技巧。
在提问讨论环节，学生也积极参与，能够较好地运用所学知识进行解答和解释。
整节课教学进程流畅，学生表现活跃，达到了预期的教学目标。
但教学过程中，有些学生还未能真正理解正比例函数和图像的关系，可能需要更多的练习和巩固。
以后教学中需要更加注重巩固和拓展练习的安排，确保学生对知识点的掌握和应用。
19.2.1正比例函数教案
-函数抽象能力的培养：学生往往难以将实际问题抽象为正比例函数模型，需要通过具体案例和练习来加强。
-图像与性质的理解：理解图像是一条直线且通过原点的特性，以及斜率k的正负对函数图像的影响。
-比例系数的理解：学生对比例系数k的理解可能不够深刻，难以理解其在图像上的表现。
-解决问题的策略：在应用正比例函数解决实际问题时，学生可能不知道如何设置变量和建立方程。
3.通过解决实际问题，让学生运用正比例函数知识，培养其数学建模和问题解决的核心素养。
4.引导学生运用合作、探究的学习方式，培养其数学交流和团队合作的核心素养。
5.激发学生对数学学科的兴趣，培养其自主学习、勇于创新的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调正比例函数是函数的一种特例，理解其定义，即y与x成正比的关系。
3.正比例函数的图像和特点：图像是一条过原点的直线，且斜率为常数k。
4.正比例函数的应用：解决实际问题时，根据已知条件，列出正比例函数表达式，并利用函数关系进行计算。
二、核心素目标
1.让学生掌握正比例函数的定义、性质和应用，培养其数学抽象和逻辑推理的核心素养。
2.培养学生通过观察、分析正比例函数图像，提高其直观想象和数据分析的能力。
举例：在分析物体的速度与时间关系时，学生可能会混淆速度与加速度的概念，需要教师通过具体示例和图示来帮助学生理解正比例函数中比例系数k的作用和意义。
四、教学流程
（一）导入新课
同学们，今天我们将要学习的是《正比例函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过路程与时间成正比的情况？”比如，当我们以一定的速度匀速行走时，行走的时间越长，行走的路程也就越远。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索正比例函数的奥秘。
八年级数学下册第19章一次函数1921正比例函数第2课时教案新人教版
19.2.1 正比例函数（2）【教学目标】知识与技能：1.理解正比例函数的概念.2.会用描点法画正比例函数图象.3.掌握正比例函数的性质．过程与方法：1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，培养学生数学建模的能力．2.通过对正比例函数的性质的探究，使学生经历做数学的过程，初步形成正确、科学的学习方法.情感态度与价值观：1.通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到生活实例中有大量的函数模型，激发学生学习数学的兴趣．2.培养学生热爱自然、热爱生活的优秀品质.【教学重点】1.正比例函数的概念.2.探究正比例函数的性质.【教学难点】正比例函数的性质中的y与x的变化关系.【教学过程】一、创设情境，引入新知1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2) 这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？(3) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？师生活动：教师用多媒体呈现问题，学生思考并解答.教师重点关注：学生能否顺利写出y与x的函数关系式. 注意自变量的取值范围．设计意图：通过“燕鸥”这一实际情境引入，使学生认识到现实生活和数学密不可分，向学生渗透热爱自然、关注珍惜物种、人与动物和谐共处的情感教育.同时发展学生从实际问题中提取有用的数学信息，建立数学模型的能力.二、观察思考、归纳概念问题1：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示？请指出函数解析式中的常数、自变量和自变量的函数．（1）圆的周长 l 随半径r 的大小变化而变化；（2）小华步行的速度为每分钟30米，小华所走的路程S （单位：米）随他所走的时间t （单位：分钟）的变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5 cm ，一些练习本摞在一起的总厚度 h （单位：cm ）随这些练习本的本数 n 的变化而变化；（4）冷冻一个0 ℃物体，使它每分下降2 ℃，物体的温度T （单位：℃）随冷冻时间t （单位：分）的变化而变化．（5）小华步行所走的路程为300米，他所走的时间t （单位：分钟）随他步行的速度（单位：米/分）的变化而变化.师生活动：教师多媒体呈现上述五个实际问题.学生独立解答，解答后小组交流，出代表进行反馈. 教师要重点关注：（1）题中学生易将写成.（4）题中每分钟下降2℃应记为“-2℃”，避免学生将写为.关注学生能否准确找出中的常量.设计意图：通过指出常数、自变量、自变量的函数，对函数的概念进行回顾，从而为后续环节找正比例函数的共同点建立生长点.通过对实际问题讨论，使学生体验从具体到抽象的认识过程. 问题2：将上表中的前四个函数与第五个函数进行比较，思考：前四个函数有什么共同特点？ 师生活动：学生观察、思考.小组交流，分析、归纳共同特点，出代表反馈.教师要根据学生的具体表现，通过引导、点拨，使学生比较、观察得出共同点.教师根据学生的表述板书：共同点：常数×自变量．学生阅读教材正比例函数的概念，教师板书：概念：一般地，形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．函数解析式 常数 自变量 函数 （1）l=2πr 2π r l （2）S=30t 30 t S （3）h=0.5n0.5 n h （4）T= －2t -2t T （5）300vt教师追问：这里为什么强调k是常数，k≠0呢？学生交流、讨论，互相补充.设计意图：通过将前四个函数与第五个函数进行比较，是学生通过比较、观察、分析、概括出正比例函数的共同特点，使学生明白正比例函数的特征，从而归纳出正比例函数的概念.有效地克服了因没有对比直接观察使学生出现的不适性、盲目性.培养学生的观察、分析、归纳、概括等思维能力.三、练习运用，内化概念判断下列函数是否为正比例函数？如果是，请指出比例系数.①；②；③；④；⑤；⑥师生活动：学生独立解答，教师巡视.教师根据学生反馈情况，引导学生根据“常数×自变量”归纳辨别正比例函数要注意的问题.教师重点关注学生能否正确辨别以下函数：、、.设计意图：使学生结合实例深入理解概念的内涵，做到具体问题具体分析.四、合作探究，概括性质1.画一画画出下列函数的图像.（要求：选择和本人学号相同的题号，画出函数图象）（1）①②（2）①②（3）①②（4）①②（5）①②（6）①②师生活动：教师讲清要求，巡视指导.学生按要求绘制函数图象.设计意图：使学生熟练函数图象的画法.为下一环节小组观察图像、归纳正比例函数图象做准备.避免只看一两个函数图象就轻易下结论的不科学、不客观的作法.学生选取与学号一致的题号画函数图象，是为了在画图环节不占用较多的时间和精力，以免影响教学效率.不同学生绘制不同函数图象，是为了学生在合作探究时可以观察到更多的函数图象，避免学生利用不完全归纳法归纳正比例函数性质时因图像数量少，从而缺乏典型性、缺少可信度的不科学作法.2.想一想以小组为单位，观察本组成员所画图像，你有什么发现？师生活动：学生以小组为单位进行观察、分析、交流，归纳正比例函数的性质.教师各组巡视，认真倾听各小组的想法，为汇总性质做准备.各小组出代表进行汇报，教师逐条板书.图像k的取值图像经过象限图像变化趋势y与x的关系k＞0 三、一象限从左向右图像呈上升趋势随着x的增大y也增大K＜0 二、四象限从左向右图像呈下降趋势随着x的增大y反而减小设计意图：培养学生的观察、分析、猜想等能力，发展学生的思维，使学生的思维在思维的深度和广度上有所发展.培养学生合作探究的意识和能力，使学生学会合作，学会倾听，学会交流.3.试一试利用课件验证你的猜想是否正确.师生活动：教师为学生提供可供学生动手操作的探究课件.学生利用几何画板课件动手验证环节二中猜想出的各种结论.设计意图：通过学生自己利用几何画板课件进行动态验证，激发学生的学习兴趣，培养学生动手实践的能力，同时使学生亲历画图——观察——猜想——验证，给学生提供自主探索的机会，使学生亲身体验做数学的过程，知道学习数学、研究数学的基本程序.五、想一想正比例函数的图像是经过原点的直线，那么怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？师生活动：教师引导学生思考、交流、归纳，得出两点法.六、练一练用你认为最简单的方法画出正比例函数的图像（教科书第113页练习）师生活动：学生练习，教师巡视指导.设计意图：巩固“两点法”画图像的方法.七、小结与作业：小结：本节课你有哪些收获？用你的语言说一说.作业：教材第120页1题、2题.设计意图：通过学生自己回顾、归纳本节内容，使学生对本节课的内容进行一次重新梳理，使学生能从整体上对本节内容有一个深刻地认识，使知识内化.八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【详解】要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.2．下列命题是真命题的是（）A．和是180°的两个角是邻补角；B．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；C．两点之间垂线段最短；D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【答案】D【分析】由邻补角的定义判断A，由过直线外一点作已知直线的平行线判断B，两点之间的距离判断C，由点到直线的距离判断D，从而可得答案．【详解】解：邻补角：有公共的顶点，一条公共边，另一边互为反向延长线，所以：和是180°的两个角是邻补角错误；故A错误；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故B错误；两点之间，线段最短；故C错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；正确，故D正确；故选：.D【点睛】本题考查的是命题的真假判断，同时考查邻补角的定义，作平行线，两点之间的距离，点到直线的距离，掌握以上知识是解题的关键．3．下列四个多项式，能因式分解的是()A．a－1 B．a2＋1C．x2－4y D．x2－6x＋9【答案】D【解析】试题分析：利用平方差公式及完全平方公式的结构特征判断即可．试题解析：x2-6x+9=（x-3）2．故选D．考点：2．因式分解-运用公式法；2．因式分解-提公因式法．4．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，故点P到AB的距离是3，故选A5．如图，直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组（）的解．A．x2y22x y2-=-⎧⎨-=⎩B．y x1y2x2=-+⎧⎨=-⎩C．x2y12x y2-=-⎧⎨-=-⎩D．y2x1y2x2=+⎧⎨=-⎩【答案】A【分析】首先利用待定系数法求出l1、l2的解析式，然后可得方程组．【详解】解：设l1的解析式为y=kx+b，∵图象经过的点（1，0），（0，-2），∴b20k b=-⎧⎨=+⎩，解得：b2 k2=-⎧⎨=⎩，∴l1的解析式为y=2x-2，可变形为2x-y=2，设l2的解析式为y=mx+n，∵图象经过的点（-2，0），（0，1），∴n102m n=⎧⎨=-+⎩，解得：n11 m2=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴l2的解析式为y=12x+1，可变形为x-2y=-2，∴直线l1、l2的交点坐标可以看作方程组x2y22x y2-=-⎧⎨-=⎩的解．故选：A．【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数解析式组成的方程组的解．6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB的中垂线交AC于D，P是BD的中点，若BC＝4，AC＝8，则S△PBC为（）A．3 B．3.3 C．4 D．4.5【答案】A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据勾股定理求出BD，得到CD的长，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵点D在线段AB的垂直平分线上，∴DA＝DB，在Rt △BCD 中，BC 2+CD 2＝BD 2，即42+（8﹣BD ）2＝BD 2， 解得，BD ＝5， ∴CD ＝8﹣5＝3， ∴△BCD 的面积＝12×CD×BC ＝12×3×4＝6， ∵P 是BD 的中点， ∴S △PBC ＝12S △BCD ＝3， 故选：A ． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 7．如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ．记Rt AOB ∆的面积为1S ，Rt COD ∆的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）A ．12S S >B ．12S S <C ．12=S SD ．由A 、C 两点的位置确定【答案】C【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12k|． 【详解】由题意得：S 1=S 2=12|k|=12． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数y ＝kx中k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=12|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想．8．在1x，13，21x+，2xx+中分式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【分析】由题意根据分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式进行分析即可．【详解】解：1x，13，21x+，2xx+中分式有1x，21x+，2xx+共计3个.故选：B.【点睛】本题主要考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．9．甲骨文是中国的一种古代文字，又称“契文”、“甲骨卜辞”、“殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是汉字的早期形式，是现存中国王朝时期最古老的一种成熟文字，如图为甲骨文对照表中的部分内容，其中可以抽象为轴对称图形的甲骨文对应的汉字是（）A．方B．雷C．罗D．安【答案】C【解析】根据轴对称图形的概念观察图形判断即可．【详解】由图可知，是轴对称图形的只有“罗”.故答案选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.10．点E（m，n）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m+1，n﹣1）对应的点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】C【分析】根据坐标的平移方法进行分析判断即可.【详解】(m+1)﹣m＝1，n﹣(n﹣1)＝1，则点E(m ，n)到(m+1，n ﹣1)横坐标向右移动1单位，纵坐标向下移动1个单位，故选C ．【点睛】本题考查了坐标的平移，正确分析出平移的方向以及平移的距离是解题的关键.二、填空题11．在平面直角坐标系中，Rt ABC ∆的顶点B 在原点O ，直角边BC ，在x 轴的正半轴上，90ACB ︒∠=,点A 的坐标为()3,3，点D 是BC 上一个动点（不与B,C 重合），过点D 作DE BC ⊥交AB 边于点E,将ABC ∠沿直线DE 翻折，点B 落在x 轴上的F 处．（1）ABC ∠的度数是_____________；（2）当AEF ∆为直角三角形时，点E 的坐标是________________．【答案】30° （1，33）或（2，33） 【分析】（1）根据∠ACB=90°以及点A 的坐标，得到AC 和BC 的长，再利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据直角三角形的定义可分三种情况考虑：①当∠AEF=90°时，②当∠AEF=90°时，③当∠EAF=90°时，三种情况分别求解．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，点A 的坐标为(3，∴3BC=3， ∴tan ∠ABC=AC BC 3 ∴∠ABC=30°，故答案为：30°；（2）△AEF 为直角三角形分三种情况：①当∠AEF=90°时，∵∠OED=∠FED ，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠OED=45°．∵∠ACB=90°，点A 的坐标为(3，∴tan∠ABC=30°．∵ED⊥x轴，∴∠OED=90°-∠ABC=60°．45°≠60°，此种情况不可能出现；②当∠AFE=90°时，∵∠OED=∠FED=60°，∴∠AEF=60°，∵∠AFE=90°，∴∠EAF=90°-∠AEF=30°．∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°．∵∴CF=AC•tan∠FAC=1，∴OF=OC-FC=3-1=2，∴OD=1，∴DE=tan∠ABC×∴点E的坐标为（1；③当∠EAF=90°时，∵∠BAC=60°，∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，∵∴CF=AC•tan∠FAC=1，∴OF=OC+CF=3+1=4，∴OD=2，∴DE=tan∠ABC×，∴点E的坐标为（2）；综上知：若△AEF为直角三角形．点E的坐标为（12）．故答案为：（1，3）或（2，233）． 【点睛】 本题考查了一次函数图象与几何变换、角的计算以及解直角三角形，解题的关键是根据角的计算以及解直角三角形找出CF 的长度．本题属于中档题，难度不大，但在解决该类题型时，部分同学往往会落掉2种情况，因此在平常教学中应多加对学生引导，培养他们考虑问题的全面性．12．将一次函数y=-2x-1的图象沿y 轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为______ ．【答案】y=-1x+1【分析】注意平移时k 的值不变，只有b 发生变化．向上平移3个单位，b 加上3即可．【详解】解：原直线的k=-1，b=-1；向上平移3个单位长度得到了新直线，那么新直线的k=-1，b=-1+3=1． 因此新直线的解析式为y=-1x+1．故答案为y=-1x+1．【点睛】本题考查了一次函数图象的几何变换，难度不大，要注意平移后k 值不变．13．如图，一次函数1y kx b =+和2y mx n =+交于点A ，则kx b mx n +>+的解集为___．【答案】1x >【分析】找出1y kx b =+的图象在2y mx n =+的图象上方时对应的x 的取值范围即可.【详解】解：由函数图象可得：kx b mx n +>+的解集为：1x >，故答案为：1x >.【点睛】本题考查了利用函数图象求不等式解集，熟练掌握数形结合的数学思想是解题关键.14．如图，在△ABC 中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F ，则DF 的长为________．【答案】1.1【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD ，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F ，再根据等角对等边求出AD=DF ，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE 是∠BAD 的角平分线，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°，∵DF ∥AB ，∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF ，∵∠B=90°﹣60°=30°，∴AD=12AB=12×11=1.1， ∴DF=1.1．故答案为1.1．考点：等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．15．在平面直角坐标系中，已知一次函数21y x =+的图像经过111(,)P x y ，222(,)P x y 两点，若12x x <，则1y 2y .（填”>”，”<”或”=”）【答案】<.【解析】试题分析：一次函数y kx+b =的增减性有两种情况：①当k 0>时，函数y kx+b =的值随x 的值增大而增大；②当k 0<时，函数y kx+b = y 的值随x 的值增大而减小.由题意得，函数21y x =+的k 0>，故y 的值随x 的值增大而增大.∵12x x <，∴12y y <.考点：一次函数图象与系数的关系.16．如图，△ABC 中，∠B 与∠C 的平分线交于点O ，过O 作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F ，若△ABC 的周长比△AEF 的周长大11cm ，O 到AB 的距离为4cm ，△OBC 的面积_____cm 1．【答案】242cm ．【分析】由BE=EO 可证得EF ∥BC ，从而可得∠FOC=∠OCF ，即得OF=CF ；可知△AEF 等于AB+AC ，所以根据题中的条件可得出BC 及O 到BC 的距离，从而能求出△OBC 的面积．【详解】∵BE=EO ，∴∠EBO=∠EOB=∠OBC ，∴EF ∥BC ，∴∠FOC=∠OCB=∠OCF ，∴OF=CF ；△AEF 等于AB+AC ，又∵△ABC 的周长比△AEF 的周长大22cm ，∴可得BC=22cm ，根据角平分线的性质可得O 到BC 的距离为4cm ，∴S △OBC =12×22×4=24cm 2． 考点：2．三角形的面积；2．三角形三边关系．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AB ＝15，AC ＝12，那么Rt △ABC 的面积是_____．【答案】2【分析】在Rt △ABC 中，利用勾股定理可求出BC 的长度，即可解决问题．【详解】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝10°，AB ＝15，AC ＝12，∴BC 1．∴S △ABC ＝12×1×12＝2 故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理的知识，属于基础题，解题关键是掌握勾股定理的形式．三、解答题18．计算：（x ﹣2）2﹣（x ﹣3）（x+3）【答案】﹣4x+1．【分析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算即可求出值．【详解】解：（x ﹣2）2﹣（x ﹣3）（x+3）＝x 2﹣4x+4﹣（x 2﹣9）＝x 2﹣4x+4﹣x 2+9＝﹣4x+1．【点睛】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．19．如图1，定义：在四边形ABCD 中，若180ADB BCA ∠+∠=，则把四边形ABCD 叫做互补四边形． （1）如图2，分别延长互补四边形ABCD 两边AD 、BC 交于点E ，求证：E CAB DBA ∠=∠+∠． （2）如图3，在等腰ABE ∆中，AE BE =，D 、C 分别为AE 、BE 上的点，四边形ABCD 是互补四边形，2E CAB ∠=∠，证明：222AD BD AB +=．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）结合互补四边形的定义，利用三角形外角的性质可证122180E ∠+∠+∠=︒，利用三角形内角和定理可证12180E CAB DBA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，由此可证E CAB DBA ∠=∠+∠； （2）根据（1）的结论结合2E CAB ∠=∠，可证CAB DBA ∠=∠，再根据等腰三角形的性质可证EAB EBA ∠=∠，再利用公共边AB 可证明ABD ∆≌BAC ∆，根据全等三角形的性质和互补四边形的定义可证90ADB ∠=︒，再根据勾股定理可证．【详解】解：（1）证明：如下图，∵1,2,180,E BCA E ADB BCA ADB ∠+∠=∠∠+∠=∠∠+∠=︒∴122180E ∠+∠+∠=︒，又∵180,1,2E EAB EBA EAB CAB EBA DBA ∠+∠+∠=︒∠=∠+∠∠=∠+∠,∴12180E CAB DBA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴E CAB DBA ∠=∠+∠;（2）由（1）得E CAB DBA ∠=∠+∠，又∵2E CAB ∠=∠，∴CAB DBA ∠=∠，∵AE BE =,∴EAB EBA ∠=∠,又∵AB=BA ，∴ABD ∆≌BAC ∆(ASA)，∴ADB BCA ∠=∠，又∵180ADB BCA ∠+∠=︒，∴90ADB BCA ∠=∠=︒，∴△ABD 为直角三角形，222AD BD AB +=．【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质．理解互补四边形的定义是解决此题的关键．（1）中能灵活运用三角形外角的性质和三角形内角和定理是解题关键；（2）能根据勾股定理和互补四边形的定义想到证明ADB BCA ∠=∠是解题关键． 20．补充下列证明，并在括号内填上推理依据.已知：如图，在ABC 中，50,58,A C BD ∠=︒∠=︒平分ABC ∠交AC 于点D ，DE 交AB 于点E ，且36BDE ∠=︒，求证：//DE BC .证明:180A C ABC ∠+∠+∠=︒，( ).50,58A C ∠=︒∠=︒，5058180ABC ∴︒+︒+∠=︒.( )，18050ABC ∴∠=︒-︒-_______=_________. BD 平分ABC ∠，12CBD ABC ∴∠=∠( )， 172362CBD ∴∠=⨯︒=︒， 36BDE ∠=︒，∴________=________，//BC DE ∴.( ).【答案】三角形内角和等于180︒；等量代换；58; 72︒；角平分线的定义；;CBD BDE ∠∠；内错角相等，两直线平行.【分析】由已知条件50,58A C ∠=︒∠=︒,先求出∠ABC 的度数，因为DB 平分∠ABC,得∠CBD=∠BDE ，即可得出结论．【详解】证明:180A C ABC ∠+∠+∠=︒，( 三角形内角和等于180︒ ).50,58A C ∠=︒∠=︒，5058180ABC ∴︒+︒+∠=︒.( 等量代换 )，18050ABC ∴∠=︒-︒-58︒=72，BD 平分ABC ∠，12CBD ABC ∴∠=∠( 角平分线的定义 )， 172362CBD ∴∠=⨯︒=︒， 36BDE ∠=︒，∴CBD BDE =∠∠，//BC DE ∴.( 内错角相等，两直线平行 ).故答案为三角形内角和等于180︒；等量代换；58; 72︒；角平分线的定义；;CBD BDE ∠∠；内错角相等，两直线平行.【点睛】本题主要考查平行线判定和性质的知识，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．21．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB=13m ，AD=12m ，BD=5m ，AC=15m ，求图中△ABC 的周长和面积．【答案】△ABC 的周长为41m ，△ABC 的面积为84m 1．【解析】直接利用勾股定理逆定理得出AD ⊥BC ，再利用勾股定理得出DC 的长，进而得出答案．【详解】解：在△ABD 中，∵AB=13m ，AD=11m ，BD=5m ，∴AB 1=AD 1+BD 1，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADC 中，∵AD=11m ，AC=15m ，∴22AC AD -（m ），∴△ABC 的周长为41m ，△ABC 的面积为84m 1．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确得出DC 的长是解题关键．22．（2017黑龙江省龙东地区，第27题，10分）由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销．某药店准备购进一批口罩，已知1个A 型口罩和3个B 型口罩共需26元；3个A 型口罩和2个B 型口罩共需29元．（1）求一个A 型口罩和一个B 型口罩的售价各是多少元？（2）药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A 型口罩数量不少于35个，且不多于B 型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【答案】（1）一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元；（2）有3种购买方案，具体见解析．其中方案三最省钱．【分析】（1）设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元，根据：“1个A 型口罩和3个B 型口罩共需26元；3个A 型口罩和2个B 型口罩共需29元”列方程组求解即可；（2）设A 型口罩x 个，根据“A 型口罩数量不少于35个，且不多于B 型口罩的3倍”确定x 的取值范围，然后得到有关总费用和A 型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．【详解】（1）设一个A 型口罩的售价是a 元，一个B 型口罩的售价是b 元，依题意有：3263229a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得：57a b =⎧⎨=⎩． 答：一个A 型口罩的售价是5元，一个B 型口罩的售价是7元．（2）设A 型口罩x 个，依题意有：353(50)x x x ≥⎧⎨≤-⎩， 解得35≤x≤1.5，∵x 为整数，∴x=35，36，1．方案如下：设购买口罩需要y 元，则y=5x+7（50﹣x ）=﹣2x+350，k=﹣2＜0，∴y 随x 增大而减小，∴x=1时，y 的值最小．答：有3种购买方案，其中方案三最省钱．考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．23．解下列分式方程．（1）1212x x=- （2）2115225x x x -+-=--【答案】（1）14x =；（2）2x = 【分析】（1）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；（2）根据解分式方程的一般步骤解分式方程即可；【详解】解：（1）1212x x=- 化为整式方程为：122x x -=移项、合并同类项，得41x -=-解得：14x = 经检验：14x =是原方程的解． （2）2115225x x x -+-=-- 化为整式方程为：2152x x -++=-移项、合并同类项，得36x =解得：2x =经检验：2x =是原方程的解．【点睛】此题考查的是解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解决此题的关键，需要注意的是解分式方程要验根．24．如图1，△ABC 是边长为4cm 的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA=6cm ，点D 从点O 出发，沿OM 的方向以1cm/s 的速度运动，当D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE ．（1）求证：△CDE 是等边三角形（下列图形中任选其一进行证明）；（2）如图2，当点D 在射线OM 上运动时，是否存在以D ，E ，B 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)见解析；(2) 存在，当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【分析】（1）由旋转的性质可得CD=CE ，∠DCA=∠ECB ，由等边三角形的判定可得结论；（2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∵将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，∴∠DCE=60°，DC=EC ，∴△CDE 是等边三角形；（2）解：存在，①当0≤t ＜6s 时，由旋转可知，60ABE ∠=︒，60DBE ∠<︒，若90BED ∠=︒，由(1)可知，△CDE 是等边三角形，∴60DEC ∠=︒，∴60DEC ∠=︒，∴30CEB ∠=︒，∵CEB CDA ∠=∠，∴30CDA ∠=︒，∵60CAB ∠=︒，∴30DCA CDA ∠=∠=︒，∴4DA CA ==，∴OD=OA ﹣DA=6﹣4=2，∴t=2÷1=2s ； ②当6＜t ＜10s 时，由∠DBE=120°＞90°，∴此时不存在；③ t = 10s 时，点D 与点B 重合，∴此时不存在；④ 当t ＞10s 时，由旋转的性质可知， ∠CBE=60°又由（1）知∠CDE=60°，∴∠BDE=∠CDE+∠BDC=60°+∠BDC ， 而∠BDC ＞0°，∴∠BDE ＞60°，∴只能∠BDE=90°，从而∠BCD=30°，∴BD=BC=4cm ，∴OD=14cm ，∴t=14÷1=14s ； 综上所述：当t=2或14s 时，以D 、E 、B 为顶点的三角形是直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．已知：x =，321-=y ，若x 的整数部分是m ，y 的小数部分是n ，求()225m x n y +--的值【答案】【分析】化简x =得2，整数部分是m=0；化简321-=y 得小数部分是，由此进一步代入求得答案即可．【详解】解：x =y=321-=y∵12，∴0＜1，3＜4，∴x 的整数部分是m=0，y 的小数部分是，∴5m 2+(x-n)2-y2)【点睛】此题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，掌握化简的方法和计算的方法是解决问题的关键．八年级上学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．如图，ABC ∆的周长为26cm ，分别以A B 、为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧交于点D E 、，直线DE 与AB 边交于点F ，与AC 边交于点G ，连接BG ，GBC ∆的周长为14cm ，则BF 的长为 （ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．12cm【答案】A 【分析】将△GBC 的周长转化为BC+AC ，再根据△ABC 的周长得出AB 的长，由作图过程可知DE 为AB 的垂直平分线，即可得出BF 的长.【详解】解：由作图过程可知：DE 垂直平分AB ，∴BF=12AB ，BG=AG ， 又∵△GBC 的周长为14，则BC+BG+GC=BC+AC=14，∴AB=26- BC-AC=12，∴BF=12AB=6. 故选A.【点睛】本题考查了作图-垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形的周长，解题的关键是△GBC 的周长转化为BC+AC 的长，突出了“转化思想”.2．下列命题是假命题的是（ ）．A 10是最简二次根式B ．若点A （-2，a ），B （3，b ）在直线y=-2x+1，则a>bC ．数轴上的点与有理数一一对应D ．点A （2，5）关于y 轴的对称点的坐标是（-2，5）【答案】C【分析】根据最简二次根式、一次函数及不等式、数轴及实数、轴对称和坐标的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．10是最简二次根式，故A 正确；。
1921正比例函数11113101635.doc
19.2.1正比例函数（1）教学目标：1、理解正比例函数的概念。
2、经历用函数解析式表示函数关系的过程，进一步发展符号意识；经历从一类具体函数中抽象出正比例函数概念的过程，发展数学抽象概括能力。
重难点：正比例函数的概念复习1、什么是单项式？系数？次数？2、什么是函数？有哪几种表示方法3、如果速度一定，路程与时间成什么关系？如果用v 表示速度， s，t分别表路程和时间，你能写出这个关系式吗？你还能举出生活中成正比例关系的例子吗？正比例关系两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系思考： 1、如果用 x 和 y 来表示这两个相关联的量，用k 来表示它们的比值，那么 Y 与 X 成正比例就可以表示为？这个比值k 可以取哪些值？2、两个成正比例关系的量:y/x=k（一定），请问： y 是 x 的函数吗？如果是，用解析式怎样表示？那它又是什么函数呢？活动一：引入概念：2011 年开始运营的京沪高速铁路全长1318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题 :(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需多少小时 (结果保留小数点后一位)?1318 ÷ 300≈ 4.4(h).(2)京沪高铁列车的行程y(单位 :km)与运行时间 t(单位 :h)之间有何数量关系 ?从函数的观点看，京沪高铁列车的行程y（单位： km）是运行时间 t（单位： h）的函数吗？能写出解析式和自变量的取值范围吗？y=300t. (t≥0)(3)京沪高铁列车从北京南站出发 2.5h 后,是否已经过了距始发站 1100km 的南京南站 ?y=300×2.5=750(km), 故列车尚未到达距始发站1100km 的南京南站思考：1.y=300t 中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的?活动二：下列问题中的变量对应规律可用怎样的函数表示?(1)圆的周长l 随半径 r 的大小变化而变化l= 2πr.3(2)铁的密度为 7.8 g/cm ,铁块的质量 m(单位 :g)随它的体积 V(单位 :3cm )的大小变化而变化 ;m = 7.8V.(3)每个练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随这些练习本的本数n 的变化而变化 ;h=0.5 n.(4)冷冻一个 0 ℃物体 ,使它每分下降 2 ℃ ,物体的温度 T(单位 : ℃)随冷冻时间 t(单位 :分)的变化而变化 .T=- 2t.认真观察以上出现的五个式子（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？（3）这 5 个函数表达式有何共同特征？请你用语言加以描述．形成概念：1.如果我们把这个常数记为 k，你能用数学式子表达吗？ y=kx?2.对这个常数 k 有何要求呢？为什么？ k≠0?3. 请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如y=kx(k ≠0) 的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数。
人教版八年级数学下册19.2.1正比例函数优秀教学案例
1.小组讨论：组织学生进行小组讨论，让学生分享自己的观点和思考，通过交流和互动，促进学生共同进步。
2.小组探究：组织学生进行小组探究，让学生通过合作、实验、观察等方式，共同发现正比例函数的图象和性质，培养学生的合作能力和团队精神。
3.小组展示：组织学生进行小组展示，让学生通过讲解、展示等方式，展示自己的学习和探究成果，提高学生的表达能力和自信心。
4.通过本节课的学习，让学生能够运用所学的正比例函数知识，对生活中的实际问题进行分析和解决，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.采用自主学习、合作探究、交流分享的教学方法，引导学生主动参与课堂，培养学生独立思考和合作交流的能力。
2.通过情境创设、问题引导，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究正比例函数的定义、图象和性质。
1.布置作业：布置一些与正比例函数相关的练习题，让学Biblioteka 巩固所学知识，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.生活实例导入：以购物场景为例，展示商品价格与数量之间的关系，引导学生观察和思考这种关系是否可以用数学模型来描述。
2.问题引导：提出问题：“商品的价格与数量之间存在怎样的关系？这种关系可以用数学符号如何表示？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。
3.情境体验：让学生举例说明生活中存在的其他类似关系，如速度与路程的关系，引导学生体会正比例函数在生活中的广泛应用。
（三）学生小组讨论
1.小组合作：将学生分成小组，让学生通过合作、讨论的方式，探讨正比例函数的图象和性质，促进学生之间的交流和合作。
2.问题解决：让学生分组解决一些与正比例函数相关的问题，如根据函数的性质推断图象的变化，提高学生解决问题的能力。
八年级数学19.2.1 正比例函数教案
§19．2．1 正比例函数教学目标１．认识正比例函数的意义．２．掌握正比例函数解析式特点．３．理解正比例函数图象性质及特点．４．能利用所学知识解决相关实际问题．教学重点１．理解正比例函数意义及解析式特点．２．掌握正比例函数图象的性质特点．３．能根据要求完成转化，解决问题．教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握．教学过程:Ⅰ．提出问题，创设情境一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．１．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？２．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？３．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？我们来共同分析：一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：25600÷（30×4+7）≈200（km）若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：y=200x（0≤x≤127）这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即y=200×45=9000（km）以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习．Ⅱ．导入新课首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？１．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．２．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．３．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．４．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．答:１．根据圆的周长公式可得：L=2 r．２．依据密度公式p=mV可得：m=7．8V．３．据题意可知： h=0．5n．４．据题意可知：T=-2t．我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x 的形式一样．一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数．我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ [活动一]画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．１．y=2x ２．y=-2x结论：１．函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值：画出图象如图（1）．２．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：x -3 -2 -1 0 1 2 3 y642-2-4-6画出图象如图（2）．３．两个图象的共同点：都是经过原点的直线． 不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；•经过第二、四象限．让学生在完成上述练习的基础上总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律：正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线．•当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．正是由于正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条直线，•我们可以称它为直线y=kx ． [活动二]经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，•怎样画最简单？为什么？经过原点与点（1，k ）的直线是函数y=kx 的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k ）．因为两点可以确定一条直线．Ⅲ．随堂练习用你认为最简单的方法画出下列函数图象：１．y=32x ２．y=-3xⅣ．课时小结本节课我们通过实例了解了正比例函数解析式的形式及图象的特征，并掌握图象特征与关系式的联系规律，经过思考、尝试，知道了正比例函数不同表现形式的转化方法，及图象的简单画法，为以后学习一次函数奠定了基础．x -3 -2 -1 0 1 2 3y -6 -4 -2 0 2 4 6§19．2．2 一次函数(一)教学目标：1、掌握一次函数解析式的特点及意义2、知道一次函数与正比例函数的关系3、理解一次函数图象特点与解析式的联系规律教学重点：一次函数解析式特点 2.一次函数图象特征与解析式的联系规律 教学难点1、一次函数与正比例函数关系 2、根据已知信息写出一次函数的表达式。
初中八年级下册数学1921 正比例函数(第1课时)教案q
19.2.1 正比例函数第1课时一、教学目标【知识与技能】认识正比例函数的意义,掌握正比例函数解析式特点.【过程与方法】能利用正比例函数知识解决相关实际问题.【情感态度与价值观】通过对实际问题的解决,亲身感受数学来源于生活,体会在学习中与同学合作交流获得成功的喜悦,增强学习的自信心.二、课型新授课三、课时第1课时共2课时四、教学重难点【教学重点】理解正比例函数意义及解析式特点.【教学难点】正比例函数的解析式的求法.五、课前准备教师：课件、三角尺、直尺等.学生：三角尺、铅笔、直尺、练习本.六、教学过程（一）导入新课（出示课件2）2006年7月12日，某运动员在一次田经大奖赛110米栏的决赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录。
教师问：假定该运动员在这次110米栏决赛中奔跑速度是8.54米/秒，那么他奔跑的路程y（单位：米）与奔跑时间x（单位：秒）之间有什么关系？学生回答：y=8.54x (0≤x≤12.88)类似于y=8.54x这种形式的函数在现实世界中还有很多.它们都具备什么样的特征呢?进入今天学习的课题:正比例函数.（二）探索新知1.出示课件4-5，探究正比例函数的概念教师问：写出下列问题中的函数关系式：(1)圆的周长l随半径r的大小变化而变化；学生1答：l=2πr(2)铁的密度为7.8g/cm3 ,铁块的质量m（单位：g）随它的体积v（单位：cm3)大小变化而变化；学生2答： m=7.8v(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本摞在一起的总厚度 h 随这些练习本的本数n的变化而变化；学生3答： h=0.5n(4)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化.学生4答：T=-2t教师问：观察下面这些函数有什么共同点？（1）l=2πr；(2)m=7.8v；(3)h=0.5n；(4)T=-2t师生一起解答：这些函数都是常数与自变量的乘积的形式.总结点拨：（出示课件6）定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．教师强调: 正比例函数y=kx(k≠0)的结构特征①k≠0②x的次数是1出示课件7，学生自主练习后口答，教师订正.考点1：利用正比例函数的概念求字母的值已知y＝(k＋1)x＋k－1是正比例函数，求k的值.（出示课件8）师生共同讨论解答如下：解：根据题意得：k＋1≠0且k－1＝0，解得：k＝1.师生共同归纳：函数解析式可转化为y=kx（k是常数，k ≠0）的形式.出示课件9，学生自主练习后口答，教师订正.考点2：利用待定系数法求正比例函数的解析式若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2.（1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时，函数y的值.（出示课件10）学生独立思考后，师生共同解答.解:（1）设正比例函数解析式是 y=kx，（设）把 x =-4, y =2 代入上式，得2 = -4k，（代），（求）解得k=-12x；（写）∴所求的正比例函数解析式是y=-12（2）当 x=6 时, y = -3.出示课件11，学生自主练习后口答，教师订正.2.出示课件12-15，探究利用正比例函数解决实际问题教师问：2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米.设列车的平均速度为300千米每小时.考虑以下问题：（1）乘高铁，从始发站北京南站到终点站上海站，约需多少小时（保留一位小数）？学生答：1318÷300≈4.4（小时）.教师问：（2）京沪高铁的行程y（单位：千米）与时间t（单位：时）之间有什么数量关系？学生答:因为路程=速度×时间，所以可以列出y=300t（0≤t≤4.4）.教师问：（3）从北京南站出发2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？学生答：y=300×2.5=750（千米）, 这时列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站.考点1：利用正比例函数解答实际问题2016年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它.(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：天)之间有什么关系？(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程大约是多少千米？（出示课件16）学生独立思考后，师生共同解答.教师依次展示学生的解答过程：学生1解: (1)这只燕鸥大约平均每天飞行的路程为25600÷128=200（千米）答：这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行200千米.学生2解：(2)假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为y =200x (0≤x≤128).学生3解：(3)这只燕鸥飞行一个半月的行程，即：x=45，所以y=200×45=9000（千米）答：这只燕鸥飞行一个半月的行程大约是9000千米.出示课件18，学生自主练习，教师给出答案.教师：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么样吧.（三）课堂练习（出示课件19-24）练习课件第19-24页题目，约用时20分钟.（四）课堂小结（出示课件25）（五）课前预习预习下节课（19.2.1第2课时）的相关内容.知道正比例函数的性质和图象.七、课后作业1、教材第87页练习第1,2题.2、第123-124页第1、9题.八、板书设计正比例函数第1课时1.正比例函数的概念考点1 考点22.利用正比例函数解决实际问题考点13.例题讲解九、教学反思成功之处：本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,部分学生就显得很吃力.补救措施：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让部分学生完成,另一组难的让基础好的学生完成.。
人教版数学八年级下册1921正比例函数教案与反思
19.2 一次函数19.2.1 正比例函数第1课时 正比例函数的定义教学目标一、基本目标【知识与技能】1．理解正比例函数的概念．2．掌握正比例函数解析式的特点．【过程与方法】经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系．【情感态度与价值观】在探求正比例函数解析式的过程中，发展学生的数学应用能力．二、重难点目标【教学重点】正比例函数的概念．【教学难点】判断一个函数是否是正比例函数．教学过程环节1 自学提纲，生成问题【5 min 阅读】阅读教材P86～P87的内容，完成下面练习．【3 min 反馈】1．一般地，形如y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．2．下列函数：①y ＝4x； ②y ＝3x ＋1; ③y ＝1；④y ＝8x ；⑤v ＝－5t ；⑥3x ＋1＝0; ⑦y ＋2x; ⑧y ＝8x 2＋x (1－8x )．其中，是正比例函数的有④⑤⑧.3．若关于x的函数y＝(m－1)x是正比例函数，则m≠1.环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是()A．y＝2xB．y＝x＋2C．y＝x2D．y＝2x【互动探索】(引发学生思考)正比例函数的定义是什么？如何根据定义进行判断？【分析】选项A，y＝2x，自变量次数不为1，错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误；选项C，y＝x2，自变量次数不为1，错误；选项D，y＝2x，符合正比例函数的定义，正确．【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.【例2】若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数，则m的值为() A．3B．－3C．±3D．不能确定【互动探索】(引发学生思考)正比例函数满足的条件是什么？【分析】由题意，得|m|－2＝1，且m－3≠0，解得m＝－3.【答案】B【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数y＝kx成立的条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.活动2巩固练习(学生独学)1．下列函数中，正比例函数是(D)A．y＝－错误!x－1B．y＝错误!C．y＝5(x＋1)D．y＝－2x2．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是(A)A．正方形的周长y和边长x的关系B．圆的面积y与半径x的关系C．直角三角形中一个锐角的度数为x，另一个锐角的度数为yD．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵树的高度为y 厘米3．下列说法中不成立的是(D)A．在y＝3x－1中，y＋1与x成正比例B．在y＝－x2中，y与x成比例C．在y＝2(x＋1)中，y与x＋1成正比例D．在y＝x＋3中，y与x成正比例4．若函数y＝(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为1.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知A、B两地相距30 km，小明以6 km/，步行的时间为x，∴0≤6x≤30，解得0≤x≤5，即该函数自变量的取值范围是0≤x≤5.【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了正比例数的定义，根据题意得出函数关系式是解题关键．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)正比例函数的定义一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．练习设计请完成本课时对应训练！第2课时正比例函数的图象与性质教学目标一、基本目标【知识与技能】1．能够画出正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的图象与性质．．能够利用正比例函数图象与性质解决简单的数学问题．【过程与方法】1．通过画正比例函数图象，总结正比例函数的图象与性质，发展学生的数学应用能力．2．在正比例函数的图象中体会数形结合思想，并提高解决问题的能力．【情感态度与价值观】认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．二、重难点目标【教学重点】掌握正比例函数的图象与性质．【教学难点】利用正比例数的图象与性质解决问题．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P87～P89的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.2．正比例函数的图象是一条直线，它一定经过原点．3．因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是(0,0)和(1，k)．4．当k > 0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y也增大；当k0时，y随x的增大而减少；D．不论x如何变化，y都不变2．函数y＝|2x|的大致图象是(C)A B C D3．已知y＝(2m－1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为(A)A．y＝－5x B．y＝5xC．y＝3x D．y＝－3x4．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x每增加3时，y就减小4，则k＝－4 3 .5．已知函数y＝(||a－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数．(1)求正比例函数的解析式；(2)画出函数的图象；(3)若函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，试比较y1，y2的大小．解：(1)∵y＝(|a|－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数，∴|a|－3＝0且a－3≠0，解得a＝－3，∴y＝－12x.(2)当x＝1时，y＝－12，且函数图象过原点，其图象如图所示：(3)在y＝－12x中，k＝－12＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x1＜x2时，y1＞y2.活动3拓展延伸(学生对学)【例3】已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝11.(1)求y与x之间的函数表达式；(2)求当x＝2时y的值．【互动探索】设正比例函数解析式→代入x、y的两组值进行计算→得出y与x 的函数表达式→把x ＝2代入求出对应的y 值【解答】(1)设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)．把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入，得⎩⎨⎧ k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎨⎧ a ＝－3，k ＝2，∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．(2)把x ＝2代入，得y ＝2×22－3×(2－2)＝8.【互动总结】(学生总结，老师点评)用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【例4】已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)．(1)求这个函数的解析式；(2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上；(3)已知图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1、y 2的大小．【互动探索】(1)把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将点A 的横坐标代入正比例函数关系式，计算出函数值，若函数值等于－2，则点A 在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断．【解答】(1)∵正比例函数y ＝kx 的图象经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2.∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x .(2)将x ＝4代入y ＝－2x ，得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上．(3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.【互动总结】(学生总结，老师点评)将已知点的坐标代入求出正比例函数解析式，是解决问题的关键．环节3 课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)正比例函数⎩⎨⎧ 图象性质根据图象或性质确定解析式练习设计请完成本课时对应训练！【素材积累】 指豁出性命，进行激烈的搏斗。
八年级数学下册19.2.1 正比例函数教案
第 1 页 共 3 页19．2 一次函数19.2.1 正比例函数1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它．(1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？(2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？(3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数 下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝2x 解析：选项A ，y ＝2x，自变量次数不为1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式，错误；选项C ，y ＝x 2，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D.方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1.【类型二】 确定正比例函数中字母的值若函数y ＝(m －3)x |m |－2是正比例函数，则m 的值为( )A ．3B ．－3C ．±3D ．不能确定解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0，解得m ＝－3.故选B.方法总结：正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.探究点二：正比例函数的图象和性质【类型一】 正比例函数的图象在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是( )解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大，且函数为正比例函数．故选C.方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限．【类型二】 正比例函数的性质关于函数y ＝13x ，下列结论中，正确的是( ) A ．函数图象经过点(1，3) B ．不论x 为何值，总有y ＞0 C ．y 随x 的增大而减小 D ．函数图象经过第一、三象限 解析：A.当x ＝1时，y ＝13，故A 选项第 2 页 共 3 页错误；B.只有当x ＞0时，y ＞0，故B 选项错误；C.∵k ＝13＞0，∴y 随x 的增大而增大，故C 选项错误；D.∵k ＝13＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D 选项正确．故选D. 方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性． 【类型三】 正比例函数的图象与系数的关系 已知正比例函数y ＝(m －1)x 的图象上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，有y 1＞y 2，那么m 的取值范围是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞1 C ．m ＜2 D ．m ＞0 解析：根据题意，y 随x 的增大而减小，则m －1＜0，即m ＜1.故选A. 方法总结：直线y ＝kx 所在的位置与k 的符号有直接的关系：k ＞0时，直线必经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；k ＜0时，直线必经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小． 【类型四】 正比例函数图象上点的坐标特征 点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，则y 1与y 2的关系是( ) A ．y 1≥y 2 B ．y 1＝y 2 C ．y 1＜y 2 D ．y 1＞y 2 解析：∵点A (5，y 1)和B (2，y 2)都在直线y ＝－x 上，∴y 1＝－5，y 2＝－2.∵－5＜－2，∴y 1＜y 2.故选C. 方法总结：熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 探究点三：求正比例函数的解析式 【类型一】 用定义求正比例函数的解析式 已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝－1时，y ＝11，求y 与x 之间的函数表达式，并求当x ＝2时y 的值． 解析：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，得出y＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得出方程组，求出方程组的解即可，把x ＝2代入函数解析式，即可得出答案． 解：设y 1＝kx 2，y 2＝a (x －2)，则y ＝kx 2＋a (x －2)，把x ＝1，y ＝5和x ＝－1，y ＝11代入得⎩⎪⎨⎪⎧k －a ＝5，k －3a ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，k ＝2，∴y 与x 之间的函数表达式是y ＝2x 2－3(x －2)．把x＝2代入得y ＝2×22－3×(2－2)＝8.方法总结：用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．【类型二】 用待定系数法求正比例函数的解析式已知正比例函数y ＝kx 图象经过点(3，－6)，求：(1)这个函数的解析式；(2)判断点A (4，－2)是否在这个函数图象上；(3)图象上两点B (x 1，y 1)、C (x 2，y 2)，如果x 1＞x 2，比较y 1，y 2的大小．解析：(1)利用待定系数法把(3，－6)代入正比例函数y ＝kx 中计算出k 即可得到解析式；(2)将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，计算函数值，若函数值等于－2，则A 点在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y 随x 的增大而减小，即可判断． 解：(1)∵正比例函数y ＝kx 经过点(3，－6)，∴－6＝3·k ，解得k ＝－2，∴这个正比例函数的解析式为y ＝－2x ；(2)将x ＝4代入y ＝－2x 得y ＝－8≠－2，∴点A (4，－2)不在这个函数图象上； (3)∵k ＝－2＜0，∴y 随x 的增大而减小．∵x 1＞x 2，∴y 1＜y 2.方法总结：将A 点的横坐标代入正比例函数关系式，求出函数值，再进一步判定是解决问题的关键．三、板书设计1．正比例函数的图象2．正比例函数的性质3．正比例函数解析式的确定本节课在教师引导下使学生通过自己的观察、研究、自学和小组的探索、讨论来发现问题、解决问题，再通过教师的点拨、总结进行知识归纳，理论提升的教学方法．由学生亲自来发现事物的特征和规律，更能使学生产生兴奋感、自信心，激发学生兴趣，产生自主学习的内在动力，更有利于发展学生的创造性思维能力．第 3 页共3 页。
八年级数学下册19一次函数1921正比例函数导学案新人教版
19.2.1正比例函数课型: 新授课上课时间：课时： 1【三维目标】1、理解正比例函数的概念及其图象的特征2、能够画出正比例函数的图象3、能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题【重点】正比例函数的概念【难点】正比例函数性质【课前准备】1、还记得描点法画函数图象的一般步骤吗？①______________,②___________________③____________________2、细读课本内容，完成课本“思考”，试着写出函数解析式：⑴；⑵；⑶；⑷。
【学习流程】一、正比例函数的概念观察“思考”中所得的四个函数；（1）观察这些函数关系式，这些函数都是常数与自变量的形式，（2）一般地，形如（）函数，叫做正比例函数，其中k叫做。
思考：为什么强调K是常数，K≠0 ？(3)、列举日常生活中正比例函数的模型，你知道多少？练一练（1）、下列函数哪些是正比例函数？① y=x3② y=3x③ y=-12x+1 ④ y=2x ⑤y=x2+1 ⑥ y=(a2+1)x+2(2)、若y=5x3m-2是正比例函数，则m=___________.(3)、若y=(m-2)x m-3是正比例函数，则m=____________.二、正比例函数图像的画法与性质（一）、用描点法画出下列函数的图像（1）、 y=2x （2）、 y=-2x解：（1）列表得： 解：（1）列表得：（2）描点、连线： （2）描点、连线：（3）、 y=0.5x （4）、 y=-0.5x 解：（1）列表得： 解：（1）列表得：（2）描点、连线： （2）描点、连线：（二）、活动二：观察上题画函数，完成下列问题（1）正比例函数是一条 ，它一定经过 。
（2）因为过 点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是（ ， ）和（ ， ）（3）当k > 0时，直线经过 象限，y 随x 的增大而当k 〈0时，直线经过 象限，y 随x 的减小而 板块三、知识升华既然正比例函数的图像是一条直线，那么最少几个点就可以画出这条直线？怎样画最简单？ 试一试：用最简单的方法画出下列函数的图像x… -3-2-10 1 2 3 …y=2x……… -3-2-10 1 2 3 …y=2x……… -3-2-10 1 2 3 …y=2x……x … -3-2-10 1 2 3 … y=0.5x ……（1）、 y=-3x （2） y=32x解：（1）当x=_____时，y=_____, 解：当x=_____时，y=_____,取点_______和_________,（2）描点、连线得：收获乐园本节课你有哪些收获？请在小组内交流。
1921正比例函数
待 例：已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试
定 系 数
求y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例 又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
一、设所求的正比例函数解析式。 二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入 所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的 方程，解这个方程求出比例系数k。 三、把k的值代入所设的解析式。yΒιβλιοθήκη 5y=2x4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
12 3 4 5
x
-1
-2
-3
-4
y 2x
-5
观察2： 画出正比例函数 y 1 x 的图象。 y y=22x
相同点
过原点 的直线。
5 ４ ３ ２ １
-5 -4 -3 -2 -1 0 -1
1 23 45
y1x 2
x
函数 y=kx
-2 -3
写出下列问题中的函数关系式
（1）圆的周长 l 随半径r变化的关系；
（2）铁块的质量m（单位：g）随它的体积v （单位：cm3)变化的关系（铁的密度为7.8g/cm3)
(1)l 2r
(2)m=7.8v
3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本
叠在一起的总厚度 h随练习本的本l 数n变化的关系； (3)h=0.5n
• 2.列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正 比例函数． （1）正方形的边长为xcm，周长为ycm. y=4x 是正比例函数
（2）某人一年内的月平均收入为x元，他这年（12个月） 的总收入为y元． y=12x 是正比例函数
1921正比例函数
19.2.1 正比例函数(2)一、内容和内容解析1.内容正比例函数的图象及性质.2.内容解析.本节课是在学习了正比例函数概念后，研究其图象及其性质.描点法是画陌生函数图象的通法，研究正比例函数，主要研究其图象的形状、位置及其增减性.在正比例函数的图象及其性质研究中，蕴涵了数形结合、分类讨论的思想和直观观察、想象、归纳等数学认知活动.因此，本课的教学重点是用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．二、目标和目标解析1.目标（1）会画正比例函数的图象.（2）能根据正比例函数的图象和表达式y = kx (k≠0)，理解当k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．（３）通过观察图象、归纳总结，概括出正比例函数性质的活动，发展数学直观观察和想象、数学概括能力，体会数形结合的思想.2.目标解析目标（1）达成的标志是：会用描点法和两点法画正比例函数的图象；目标（2）达成的标志是：针对具体的正比例函数，能画出（想象出）图象，正确理解函数图象所经过的象限与增减性；理解k的符号变化是怎样影响图象位置及增减性的.目标（3）达成的标志是：能通过观察发现图象的特征并能用坐标描述，用变量解释图象特征，进而概括出正比例数的图象性质．三、教学问题诊断分析，学生通过函数的概念和表示法的学习，初步体会了函数研究方法。
通过函数图象的学习，知道了用描点法可以直观地表示一个函数，据此可以进一步探究变量的变化规律和变化趋势．研究正比例函数的变化规律，需要两次概括：第一次，在k为具体数值时，随着自变量的值的增大，函数值怎样变化;第二次，当k的正负号变化时，对应函数的增减性怎样变化.这两次概括过程需要较强的数学概括能力，学生会遇到较大困难.需要教师引导学生分层次设计活动，从具体到一般地引导学生进行分类归纳.四、教学支持条件分析为了让学生更直观地理解正比例函数的图象及性质与系数k的关系，可以利用几何画板制作动画进行展示：当k固定时，函数值是怎样随着自变量的增大而变化的；当k的值变化时，是怎样影响函数的增减性的。
人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。
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土城子中学八年级数学 (学科)导学方案
课题19. 2. 1正比例函数(1)课型新授课总课时数时间第周第课时设计者潘明玲审核者张晓梅
学习目标知识技能(1)通过实例，列出正比例函数关系式；(2)通过观察，得到正比例函数，并理解正比例函数。
数学思考：正比例函数与生活实际问题之间的密切关系。
解决问题：能利用正比例函数解决生活实际问题。
情感态度：(1)通过师生活动、学生自我探究、小组合作学习，让学生充分参与到数学学习的过程中来。
(2)让学生感知数学知识来源于生活，同时也服务于生活；
重
点
利用正比例函数解决生活实际问题，理解正比例函数的概念。
难
点
利用正比例函数解决生活实际问题。
关
键
理解正比例函数的概念。
教
法
引导，点播学法II:薜
导学过程设计
%1.知识回顾，目标导入（5分钟）
有一首儿歌，同学们一定很熟悉，它叫做《数青蛙》，“一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水；两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通、扑通跳下水……”
提问：
1、在这首儿歌中，你发现了什么规律？
2、假如设青蛙只数为x,嘴数、眼数、腿数、扑通声数分别为刃、%巾、y4,你是否能用函数解析式表示出它们与x之间的关系？
2016- -2017学年度第二学期
二次设计 函数解析式
常数 自变量 函数 (1)
(2)
(3)
(4)
(5)
表中的
前四个函数
与第五个函 数进行比较， 思考：前四个 函数有什么 共同特点？ 0 ）的函数,
%1. 自主学习，合作探究（20分钟）
1、问题探究：
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请 写出函
数解析式，并分别写出哪些是常数、自变量和函数.（完成下 （1） 圆的周长1随半径r 的变化而变化.
（2） 铁的密度为7・8g/cn?,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单
位：cm 3）的变花而变化.
（3） 每个练习本的厚度为0.5cm, 一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化.
（4） 冷冻一个0° C 的物体，使它每分钟下降2° C,物体温度T （单位：。
C ）随冷冻时间t （单位:min ）的变化而变化.
（5） 小华步行所走的路程为300米，他所走的时间『（单位：分钟）随他步 行的速度v （单位：米/分）的变化而变化.
⑴ 如果我们把前四个函数常数记为k,自变量用x 表示，函数用y 表
示，你能用数学式子表达前四个函数关系式吗?
⑵正比例函数的概念
一般地，形如 ________ （k 是常数，k —
叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数。
（3）你觉得在定义中，有哪些需要我们注意的?2、归纳总结，形成概念
二次设计%1.拓展训练，巩固提高：(10分钟)
1、下列函数中，哪些是正比例函数？比例系数是多少？
(1) y=- 5x (2)y=-(3)y=10x+3 (4) S
2、若函数y = (m-4)x是关于x的正比例函数，则加
3、列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函
数.
(1)正方形的边长为xcm,周长为ycm・
(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收
入为y元.
(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm,高为xcm ,体积为ycm3.
(4)一列火车以90千米/时的速度匀速前进，求它的行驶路程s
(单位：千米)随行驶时间t (单位：时)变化的函数解析式。
4、若y关于x成正比例函数，当*4时，y= -2.
(1)求出y与x的关系式；
(2)当x=6时，求出对应的函数值
四，课堂小结，达标测试(10分钟)
1、下列函数中，哪些是正比例函数？比例系数是多少? (l)y=2x2 (2) y=l-6a
(3)S=-7a (4)m=l/x
2、写出正方形的周长c与边长a的函数解析式。
3、2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考
虑以下问题：
(1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时
(结果保留小数点后一位)
(2)京沪高铁列车的行程y (单位：km)与运行时间t (单位：h)之间有何数量关系?
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的
南京站?
教学反思:。