高数课件10洛必达法则
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高等数学课件同济版第二节洛必达法则
,
汇报人：
目录
洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
单击此处添加标题
洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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汇报人：
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洛必达法则的起源和历史
洛必达法则是由法国数学家洛必达提出的 洛必达法则是微积分中的一个重要法则，用于解决极限问题 洛必达法则在17世纪末被提出，并在18世纪初被广泛应用
洛必达法则在微积分的发展中起到了重要作用，对现代数学和科学产生了深远影响
洛必达法则在高等数学中的地位和作用
洛必达法则是微积 分中的一个重要定 理，用于解决极限 问题
洛必达法则在高等 数学中广泛应用于 求极限、求导数、 求积分等问题
洛必达法则是解决 复杂极限问题的有 效工具，可以提高 求解效率
洛必达法则在高等 数学中具有重要的 理论价值和实际应 用价值
洛必达法则的定义和定理
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洛必达法则：一种用于求极限的方法，由法国数学家洛必达提出
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法则的逆形式
洛必达法则的变种：包括洛必 达法则的推广形式和洛必达法 则的逆形式
洛必达法则的变种和推广形式： 包括洛必达法则的推广形式和 洛必达法则的逆形式
总结洛必达法则的重要性和应用价值
洛必达法则是微积分中的重要定理， 对于解决极限问题具有重要意义。
洛必达法则可以帮助我们更好地理 解和掌握微积分的基本概念和方法。
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洛必达法则在工程、物理、经济等 领域有着广泛的应用价值。
洛必达法则在解决实际问题时，可 以提高计算效率和准确性。
分析洛必达法则在高等数学中的地位和发展趋势
洛必达法则是微积 分中的重要定理， 广泛应用于求极限、 导数、积分等领域
洛必达法则在高等数 学中的地位：是解决 复杂数学问题的重要 工具，也是理解微积 分概念的重要途径
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高数第三章第二节洛必达法则31页PPT
0
例8. 求 limxnlnx(n0).
x 0
解: 原式
lim
x0
ln x xn
1
lim
x0
n
x
xn1
lim ( xn) 0 x0 n
0型
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0
00
通分
0
取倒数
取对数
0
转化
转化
转化
1
0
例9. 求 lim (sexctaxn).
原式
lim
x
nxn1
ex
xlimn(n21e)xxn2
xl imnne!x 0
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例6. 求xl im exnx (n0,0).
(2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
xk x n xk1
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习题解答 P139 1题(7)、（6）
2 用洛必达法则求下列极限 :
lntan7x (1) lim
x0 lntan2x
(2) lx iamxxmnaam(a0)
解 (1)式 x l i0m 7tsae2 77 x n cx2tsae2 22 x n cx
0型 0
解 原式 lx i0m taxxn3xlxim0se3c2xx21 xlimlx0i tm 0a32nxs22ex2c6xxtanxse213xc lxi m01t axtnxa2n x13 .
1 3
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时 ,
ln x,
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
洛必达法则课件-2025届高三数学一轮复习
2e xe
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
2
1
1
即当x→0时，g(x)→ ，即有g(x)> ，所以
2
2
0 ≤a ≤
1
.
2
跟踪训练 已知函数f(x)＝2ax3＋x.当x∈(1，＋∞)时，恒有f(x)>x3－a，求
a的取值范围.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)>x3－a恒成立，
即2ax3＋x>x3－a恒成立，
即a(2x3＋1)>x3－x恒成立，
综上，实数a的取值范围是(－∞，0].
3 设函数 ( ) = 1 −
−
,设当x ≥ 0时， ( )≤
，则a的取值范围为
+1
【分析】当a<0时显然不成立；当a≥0时，若x=0，则a∈R，
若x>0，原不等式等价于
，利用导数可得
xe x e x 1
a
xe x x
xe x e x 1
0
x
0
x
x
1
e x e x 2
则 lim
x 0 1 cos x
2
注意：
1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→＋∞，x→－∞，x→a＋，x→a－，
洛必达法则也成立.
0 ∞
∞
2.洛必达法则可处理0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞型求极限问题.
∞
0 ∞
∞
3.在着手求极限前，首先要检查是否满足0， ，0·∞，1 ，∞0,00，∞－∞
从而 g(x)＝ x 在(0，＋∞)上单调递增，
ex－1
所以 a≤lim x .
x→0
ex－1
ex
由洛必达法则得lim g(x)＝lim x ＝lim 1 ＝1，
4.2 洛必达法则 课件 《高等数学》(高教版)
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例2 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 二、其它未定式的极限
除了上述“ ”和“ ”型未定式外，还有“ ”，“ ”,“ ”,“ ”,“ ”等五种未定式型．一般总可将其化 为“ ”型或“ ”型未定式，然后再应用洛必达法则．
例1 求下列函数的极限. 解：
解：
解：(5)对
两边同时取对数，得
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理1 如果函数 与 满足条件：
(2)在点的某(去心)邻域内可导，且
；
(3)
存在（或无穷大）.
则
例1 求下列函数的极限. 解：
随堂练习
计算下列函数的极限.
4.2 洛必达法则 一、“ ”型与“ ”型未定式的极限
定理2 如果函数 与 满足条件：
4.2 洛必达法则
4.2 洛必达法则
在学习无穷小量阶的比较时，我们已经遇到过两个无穷小 量之比的极限，这种极限可能存在，也可能不存在，通常把两 个无穷小量之比或两个无穷大量之比统称为未定式，分别简记 为“ ”型或“ ”型.未定式的极限不能直接利用“商的极限 等于极限的商”这一运算法则来求.洛必达(L' Hospital)法则 是以导数为工具来研究未定式极限的重要方法.
经典洛必达法则-PPT课件
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
k k e f ( ) e kf ( ) 0
cos x 0 .( ) 例 求 lim 0 x 2 x 2 sin x (cosx) 解 原式 lim lim sin 1. 1 x 2 x 2 ) 2 (x 2
cos x 1 x 0 例求 lim .( ) 3 x 0 0 x 1 s in x 21 x 解 原式 lim . 2 x 0 3 x
例
3 x 3 x 2 求 lim . 3 2 x 1x x x 1
0 ( ) 0
解：
正解：
×
注意: 不是未定式不能用L’Hospital法则 !
2、 型未定式解法：
定理3：设
(1) 定理 3 对其他极限过程也是成 立的。
f ( x ) ( 2 ) 当 lim 不存在也不为 时，应改用他 F ( x )
f( x x ) sin x 0
F ( x ) f ( x ) sin x
验证 F ( x ) 在 [0,] 上满足Rolle定理条件.
3.
f ( ) 对任 k , 意 存 的 在 ( a 实 点 b ), 使 数 k . f ( ) f () 分析 要 证 ( ) kf ( ) 0 . k, 即证 f f ()
f ( x ) f ( x ) ( 或 f ( x ) f ( x )), 0 0 ( x ) 0 . 那么 f 0
同济大学《高等数学》(第四版)32节洛必达法则省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
cos bx
lim
1.
x0 cos ax
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例5 求 lim tan x . x tan 3 x
2
()
解
原式
lim
x
sec2 3 sec2
x 3x
1 3
lim
x
cos2 3 x cos2 x
2
2
1 lim 6cos 3x sin 3x lim sin 6x
3 x 2cos x sin x 2
x
(
ln sin x 2x)2
；
2
ln(1 1 )
2、 lim
x；
x arctan x
3、lim x cot 2x ； x0
4、lim( x1
2 x2
1
x
1
)； 1
5、 lim x sin x ； x0
6、 lim ( 1 )tan x ； x x0
7、 lim ( 2 arctan x)x . x
5、1；
三、连续.
上页 下页 返回
x sin 2 x 2
lim 6cos6x 3. x 2cos 2 x
2
上页 下页 返回
注意：洛必达法则是求未定式旳一种有效措施， 但与其他求极限措施结合使用，效果更加好.
例6
求
lim
x0
tan x x2 tan
x x
.
解
原式
lim
x0
tan x x3
x
lim
x0
sec2 3
x x2
1
lim
x0
tan 2 3x2
x
lim
x0
x2 3x2
高数课件10洛必达法则
,
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
添加 标题
洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
添加 标题
洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
添加标题
洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
添加标题
其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
01 洛 必 达 法 则 的 定 义 02 洛 必 达 法 则 的 应 用 03 洛 必 达 法 则 的 注 意 事 项
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洛必达法则是微积分中的一种重要法则，用 于解决极限问题
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洛必达法则分为上下两个部分，分别用于解 决不同类型的极限问题
添加 标题
洛必达法则的上部分用于解决0/0型极限问 题，即当分子和分母都趋于0时，可以通过 洛必达法则转化为其他形式进行求解
洛必达法则可以将复杂不定积 分转化为简单不定积分
洛必达法则可以解决一些无法 直接求解的不定积分问题
洛必达法则在求解不定积分时， 需要注意函数的连续性和可导 性
洛必达法则是解决定积分问题的重要工具 洛必达法则可以将定积分转化为无穷小量 洛必达法则可以简化定积分的计算过程 洛必达法则在求解定积分中的应用广泛，如求解极限、求导数等
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ极限时，必须先求导数 函数在所求极限处必须连续
求导数后，必须满足洛必达 法则的条件
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求可导 函数的极限，不能用于求不 可导函数的极限
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求导数
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
洛必达法则只能用于求极限， 不能用于求极限值
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洛必达法则的定义：如果函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b] 上可导，且其导数为f'(x)/g'(x) f(x)g'(x)/g'(x)^2
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其次，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可导，且 g'(x)≠0，那么f(x)/g(x)在区间[a, b]上可导，且其导 数为f'(x)/g'(x) - f(x)g'(x)/g'(x)^2
经典洛必达法则ppt
例5. 求
解: 原式
例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式
例7. 求 (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
从而 由(1)
用夹逼准则
e x sin x 1 0 .( ) 例 求 lim 2 x 0 (arcsin 0 x)
解 arcsin x ~ x ( x 0) e x sin x 1 0 原 式 lim ( ) 2 x 0 0 x e x cos x 0 lim ( ) x 0 0 2x x e si n x 1 . lim x0 2 2
特别地 当 F ( x ) x ,
F (b) F (a ) b a , F ( x ) 1,
f (b) f (a ) f ( ). ba
f ( b ) f ( a ) f ( ) F ( b ) F ( a ) F ( )
柯西中值定理 若函数 f ( x )及F ( x )满足: (1) 在闭区间 [a, b]上连续 ; (2) 在开区间 (a, b)内可导 , 且F ( x ) 0, 则在开区间 (a, b)内至少存在一点 ,使得 f (b) f (a ) f ( ) F (b) F (a ) F ( ) 柯西定理的下述证法对吗 ?
0 1、 型未定式解法： 0
定理1：设
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 .
证明：注意，x = a 有可能是 f (x) 和 F(x) 的间断点 故 x = a 只可能是可去间断点
则有
注意：
（2）使用法则时一定要注意验证法则的条件。
（3） 定理1中
洛必达法则课件
0 0
)
lim lim
e cos x 2x e sin x
x
x 0
(
)
.
x 0
2
12
洛必达法则
例 求 lim
x
tan x tan 3 x
2
.
(
)
解
原式 lim
x
sin x cos 3 x cos x sin 3 x
cos 3 x cos x
0 0
2
lim
)
有:
lim
e n次
x ln x .
n!
x
e
n
x
0
14
洛必达法则
用法则求极限有两方面的局限性
其一, 当导数比的极限不存在时,不能断定函数 比的极限不存在, 这时不能使用洛必达法则. 例
求 lim x cos x x
x
x
解
原式 lim
x a ( x )
lim
f ( x) F ( x)
lim
称为
tan x x
0 0
(
或
0 0 )
型未定式.
lim ln sin ax ln sin bx
x 0
如,
(
)
x 0
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定. 在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算 法则来求.
9
洛必达法则
1 f f ( x ) z lim lim A x F ( x ) z 0 1 F z
高等数学《洛必达法则》课件
2. 若 lim f ( x) , lim g( x) ,
x x0
x x0
则称 lim f ( x) 为 型未定式 . xx0 g( x)
例如, lim tan x , x tan3 x
2
3. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) ,
x x0
x x0
例如, lim x ln x, x0
1 lim ( x0 x
1
e
x
), 1
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 1 型未定式.
x x0
1
6. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) 例0,如, lim(cos x)x ,
x x0
x x0
x0
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 00 型未定式.
x x0
7. 若 lim f ( x) , lim g( x) 例0, 如, lim xsin x ,
x , x 该法则仍然成立.
(2) 若 lim f ( x)仍为0型未定式 ,且 f ( x) ,
xx0 g( x)
0
g( x)满足定理中f ( x), g( x)所满足的条件,则可
继续使用洛必达法则 , 即
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xx0 g( x) xx0 g( x) xx0 g( x)
0
例9 求 lim xm ln x. （m>0） ( 0 ) x0+
解
原式
lim
x0
ln x xm
lim
x0
x1 m xm1
xm
lim x0
洛必达法则(课堂PPT)
limF(x)0,可补充定义 f(a)F(a)0.
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
高等数学-洛必达法则
−1
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
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03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
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03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊
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tan x sin x cos 3 x lim = lim ⋅ π π x → tan 3 x x → sin 3 x cos x
2 2
0 ( ) 0
sin x cos 3 x cos 3 x = lim ⋅ lim = − lim π sin 3 x π cos x π x→ x→ x → cos x
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0 二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ∞ ) . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 法则来求极限 仍可使用
0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 ∞ 1 0 步骤: 步骤 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ , 或0⋅ ∞ ⇒ 0⋅ ⇒ . ∞ ∞ 0 0
即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 0 ∞ 或 型 营口地区成人高等教育 QQ群 0 ∞
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例9 lim x ln x +
x→0
ln x = lim+ 1 x →0 x
2 2
− 3 sin 3 x =3 = − lim π − sin x x→
2
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2
1 x sin 例7 lim x x x→0 e − 1
2
0 ( ) 0
1 1 2 x sin − cos x x = lim x →0 ex 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则 失效” 法则“ 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 1 2 x sin x = lim x ⋅ x sin 1 = 1× 0 = 0 但 lim x × x x →0 e − 1 x →0 e − 1 x
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
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xµ 证明 lim ln βx = 0 lim λx = 0 (β , λ, µ > 0) 例5 x→+∞ e x→+∞ xµ 证 分两种情况
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y= x
µ
y = ln βx
x
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tan x . 例6 求lim π x→ tan3x
2
∞ ( ) ∞
直接应用法则比较麻烦，先变形， 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
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0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当 → a(或x → ∞)时,两个函数f ( x) x
与F( x)都趋于零或都趋于无穷 ,那末极限 大 f ( x) 0 ∞ lim 称为 或 型未定式. x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
当x → ∞时,以及x → a, x → ∞时,该法则仍然成立.
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证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) = 0, x≠a x=a , F ( x ), F1 ( x ) = 0, x≠a x=a ,
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , ∵ lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
注
在反复使用法则时， 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 未定式，若不是未定式，不可使用法则。
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π
例3 求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1 x .
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x lnsinax ∞ ( ) . 例4 求 lim ∞ x→0 lnsin bx →
及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
2 sec2 x tan x 1 tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 3 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代 但与其它求极限方法 尤其是等价无穷小的代 结合使用， 换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更 结合使用 可以简化运算过程， 使用起来也更有效。 好，使用起来也更有效。
1 = − lim+ x = 0 = lim+ x 1 x →0 x →0 − 2 x
注意：对数因子不下放，要放在分子上 注意：对数因子不下放，
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④ 将x → x0换成x → x , x → x , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 仍有类似的结论
+ 0ຫໍສະໝຸດ − 00 如： → ∞时 型的极限 x 0 定理 设f ( x ), g ( x )在 | x |> N上有定义，且 上有定义， (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
+ − 将x → x0换成x → x0 , x → x0 , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 结论仍成立 营口地区成人高等教育 QQ群
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x3 − 3x + 2 0 求 lim 3 . 例1 ( ) 2 x→1 x − x − x + 1 0 3 x2 − 3 0 解 原式 = lim 2 ( ) x →1 3 x − 2 x − 1 0 6x 3 = lim = . x →1 6 x − 2 20 x −x e − e − 2x ( ) e x + e− x − 2 ( 0 ) 0= lim 例2 lim x→0 x − sin x x → 0 1 − cos x 0 0 ( ) x −x 0 e −e e x + e− x = 2 = lim = lim x → 0 sin x x → 0 cos x
所要求的条件， 定理中对 f ( x ), g ( x )所要求的条件，则可继 续 使用法则， 使用法则，直到不再是 未定式为止
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim =⋯ x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x )
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∞ 型的极限， 关于 型的极限，有下述定理 ∞
定理
的某邻域内有定义， 设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞
x → x0 x → x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且 g′( x ) ≠ 0 可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → x 0 g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x )
注
分子分母中出现 1 1 x → 0时, sin x , cos x或x → ∞时, sin , cos x x 不可使用L.Hospital法则 不可使用 营口地区成人高等教育 QQ群 法则
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例8 解
tan x − x 求 lim 2 . x→0 x tan x
sec2 x − 1 tan x − x = lim 原式 = lim 3 x →0 x →0 3 x2 x
洛必达法则
在第一章中我们已经知道， 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时， 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“ 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 0, ∞ 0∞ 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 本节我们就利用 中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 法则， 极限的 法则 利用这一法则， 0 ∞ 和 这两种基本未定式的极限， 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0 ∞ 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,00 , ∞ 0 ,1∞ 等其它类型的未定式的极限
x →∞ x →∞
( 2) f ( x ), g ( x )在 | x |> N时可导，且 g′( x ) ≠ 0 时可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → ∞ g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x →∞ g ( x ) x → ∞ g ′( x ) 营口地区成人高等教育 QQ群