高数课件10洛必达法则

tan x 0 ,( ) 例如, x→0 例如 lim → x 0 ln sin ax ∞ lim ,( ) x→0 ln sin bx → ∞
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定理 设 1)当x → 0时 函数 f ( x) 及 F( x) 都趋于零 ( , ; (2) 在a 点的某领域内 点a 本身可以除外), f ′( x) (
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0 ∞ 一、 型及 型未定式解法 : 洛必达法则 0 ∞
定义 如果当 → a(或x → ∞)时,两个函数f ( x) x
与F( x)都趋于零或都趋于无穷 ,那末极限 大 f ( x) 0 ∞ lim 称为 或 型未定式. x→a F( x) 0 ∞ ( x→∞)
2 2
− 3 sin 3 x =3 = − lim π − sin x x→
2
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2
1 x sin 例7 lim x x x→0 e − 1
2
0 ( ) 0
1 1 2 x sin − cos x x = lim x →0 ex 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则 失效” 法则“ 分母→1，分子振荡而没有极限L.Hospital法则“失效” 1 2 x sin x = lim x ⋅ x sin 1 = 1× 0 = 0 但 lim x × x x →0 e − 1 x →0 e − 1 x
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0 二、 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,0 ,1 , ∞ 型未定式解法
0 0
∞
关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 关键:通过适当的恒等变形将其它类型未定式化 为洛必达法则可解决的类型 ( 0 ), ( ∞ ) . 仍可使用L.Hospital法则来求极限 法则来求极限 仍可使用
x →∞ x →∞
( 2) f ( x ), g ( x )在 | x |> N时可导，且 g′( x ) ≠ 0 时可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → ∞ g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x →∞ g ( x ) x → ∞ g ′( x ) 营口地区成人高等教育 QQ群
当x → ∞时,以及x → a, x → ∞时,该法则仍然成立.
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证 定义辅助函数
f ( x ), f1 ( x ) = 0, x≠a x=a , F ( x ), F1 ( x ) = 0, x≠a x=a ,
在 U 0 (a , δ ) 内任取一点 x , 在以 a 与 x 为端点的区间上 ,
注
分子分母中出现 1 1 x → 0时, sin x , cos x或x → ∞时, sin , cos x x 不可使用L.Hospital法则 不可使用 营口地区成人高等教育 QQ群 法则
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例8 解
tan x − x 求 lim 2 . x→0 x tan x
sec2 x − 1 tan x − x = lim 原式 = lim 3 x →0 x →0 3 x2 x
由慢到快依次是： 由慢到快依次是： 对数函数、幂函数、 对数函数、幂函数、 指数函数 这一点从图上即可看出 o
y= x
µ
y = ln βx
x
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tan x . 例6 求lim π x→ tan3x
2
∞ ( ) ∞
直接应用法则比较麻烦，先变形， 解 直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则
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∞ 型的极限， 关于 型的极限，有下述定理 ∞
定理
的某邻域内有定义， 设f ( x ), g ( x )在x0的某邻域内有定义，且 (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞
x → x0 x → x0
( 2) f ( x ), g ( x )可导，且 g′( x ) ≠ 0 可导， f ′( x ) ( 3) lim = A(或∞ ) x → x 0 g ′( x ) f ( x) f ′( x ) 则 lim = lim = A(或∞ ) x → x0 g ( x ) x → x0 g ′( x )
次法则， ① 若µ = 正整数 则连续使用µ次法则，得 xµ µ! lim λx = lim µ λx = 0 x → +∞ e x → +∞ λ e ② 若µ ≠ 正整数 记µ = [µ ] + r (0 < r < 1) 则连续使用[ 次法则 次法则， 则连续使用 µ]次法则，得
xµ µ ( µ − 1)⋯( µ − [ µ ] + 1) x µ −[ µ ] lim λx = lim [ µ ] λx x → +∞ e x → +∞ λ e ∞ µ ( µ − 1)⋯( µ − [ µ ] + 1) x r = lim ∞ x → +∞ λ[ µ ]e λx 营口地区成人高等教育 QQ群
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注
Baidu Nhomakorabea
①定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 定理的条件：分子分母都是无穷小； 都可导，且分母的导数不等于0； 都可导，且分母的导数不等于 ；导数之比的 极限存在或为∞ 定理的结论： ②定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限 ′ ③ 若 lim f ( x ) 还是未定式，且 f ′( x ), g′( x )满足 还是未定式， x → x 0 g ′( x )
tan x sin x cos 3 x lim = lim ⋅ π π x → tan 3 x x → sin 3 x cos x
2 2
0 ( ) 0
sin x cos 3 x cos 3 x = lim ⋅ lim = − lim π sin 3 x π cos x π x→ x→ x → cos x
及 F′( x) 都存在且F′( x) ≠ 0; f ′( x) (3) lim ( ); 存在 或为无穷大 x→a F′( x) f ( x) f ′( x) . 那末lim = lim x→a F( x) x→a F′( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
f1 ( x ), F1 ( x )满足柯西中值定理的条 件,
则有
f ( x ) f ( x ) − f (a ) f ′(ξ ) = = F ( x ) F ( x ) − F (a ) F ′(ξ ) (ξ在x与a之间) f ′(ξ ) f ′( x ) = A, = A, ∴ lim 当x → a时,ξ → a , ∵ lim ξ → a F ′(ξ ) x → a F ′( x ) f ( x) f ′(ξ ) ∴ lim = lim = A. x→a F ( x ) ξ → a F ′(ξ )
注
在反复使用法则时， 在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为 未定式，若不是未定式，不可使用法则。 未定式，若不是未定式，不可使用法则。
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π
例3 求 lim 2
x→+∞
− arctan x 1 x .
0 ( ) 0
1 − 2 x2 解 原式 = lim 1 + x = lim = 1. 2 x → +∞ 1 x → +∞ 1 + x − 2 x lnsinax ∞ ( ) . 例4 求 lim ∞ x→0 lnsin bx →
洛必达法则
在第一章中我们已经知道， 在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小 或都是无穷大时， 或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可 能不存在，即使极限存在也不能用“ 能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极 限的商”这一运算法则。 限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式 0, ∞ 0∞ 本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式 本节我们就利用 中值定理来建立求未定式 极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求 法则， 极限的 法则 利用这一法则， 0 ∞ 和 这两种基本未定式的极限， 这两种基本未定式的极限，也可间接求出 0 ∞ 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ ,00 , ∞ 0 ,1∞ 等其它类型的未定式的极限
a cos ax ⋅ sin bx cos bx 解 原式 = lim = lim = 1. x → 0 b cos bx ⋅ sin ax x → 0 cos ax
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xµ 证明 lim ln βx = 0 lim λx = 0 (β , λ, µ > 0) 例5 x→+∞ e x→+∞ xµ 证 分两种情况
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④ 将x → x0换成x → x , x → x , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 仍有类似的结论
+ 0
− 0
0 如： → ∞时 型的极限 x 0 定理 设f ( x ), g ( x )在 | x |> N上有定义，且 上有定义， (1) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0
+ − 将x → x0换成x → x0 , x → x0 , x → +∞ , x → −∞ , x → ∞ 结论仍成立 营口地区成人高等教育 QQ群
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x3 − 3x + 2 0 求 lim 3 . 例1 ( ) 2 x→1 x − x − x + 1 0 3 x2 − 3 0 解 原式 = lim 2 ( ) x →1 3 x − 2 x − 1 0 6x 3 = lim = . x →1 6 x − 2 20 x −x e − e − 2x ( ) e x + e− x − 2 ( 0 ) 0= lim 例2 lim x→0 x − sin x x → 0 1 − cos x 0 0 ( ) x −x 0 e −e e x + e− x = 2 = lim = lim x → 0 sin x x → 0 cos x
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µ ( µ − 1)⋯( µ − [ µ ] + 1)( µ −[ µ ] ) x r −1 = lim [ µ ]+1 λx x → +∞ λ e µ ( µ − 1)⋯( µ − [ µ ] + 1)( µ − [ µ ]) = lim =0 [ µ ]+1 λx 1− r x → +∞ λ e x µ λx ln 当 本例说明： x → +∞ 时， βx , x , e 都趋于 + ∞ 本例说明： λx y=e 但它们趋于+∞的速度有快有慢 但它们趋于 的速度有快有慢 y
1 = − lim+ x = 0 = lim+ x 1 x →0 x →0 − 2 x
注意：对数因子不下放，要放在分子上 注意：对数因子不下放，
所要求的条件， 定理中对 f ( x ), g ( x )所要求的条件，则可继 续 使用法则， 使用法则，直到不再是 未定式为止
f ( x) f ′( x ) f ′′( x ) lim = lim = lim =⋯ x → x0 g ( x ) x → x 0 g ′( x ) x → x0 g ′′( x )
2 sec2 x tan x 1 tan x 1 = lim = lim = . x →0 6x 3 x →0 x 3 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法——尤其是等价无穷小的代 但与其它求极限方法 尤其是等价无穷小的代 结合使用， 换——结合使用，可以简化运算过程，效果会更 结合使用 可以简化运算过程， 使用起来也更有效。 好，使用起来也更有效。
0
∞
1. 0 ⋅ ∞ 型
1 ∞ 1 0 步骤: 步骤 0⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞ ⇒ , 或0⋅ ∞ ⇒ 0⋅ ⇒ . ∞ ∞ 0 0
即将其中之一个因子下放至分母就可转化为 0 ∞ 或 型 营口地区成人高等教育 QQ群 0 ∞
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例9 lim x ln x +
x→0
ln x = lim+ 1 x →0 x